Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

T2
Mitschrift von Markus Drapalik und Bernhard Reiter
nach einer Vorlesung von Prof. Harald Grosse
SS 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
1.1
Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Strahlungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Welle-Teilchen Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Comptoneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
Übergang zur Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Materie-Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Die Schrödingergleichung
2.1
7
einige Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Die dreidimensionale Schrödingergleichung: Radialsymmetrische
Potentiale
27
4 Streuung
4.1
34
Streuung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.1.1
Potentialstreuung D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.1.2
Streuung im D = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.1.3
Spin 1/2 Teilchen: e, p, n,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.1.4
2
2
4
2 Spins in C ⊗ C ≡ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Abschlussbemerkungen
1
45
50
Einleitung
1.1
Überblick
07.03.2005
fang
ad T4
1
An-
statistische Physik: Thermodynamik
Naturkonstanten: k = 1, 38 · 10−23 J/K (Boltzmannkonstante
kanonische Ensemble: mittelt über Konfiguration mit dem Boltzmanfaktor
Z=
X
e−βE(Konf ) = e−βF (T,...)
Z
1
kT
. . . Zustandssummen
E
. . . Energie
F
. . . freie Energie
β
=
Gibbs, Boltzmann, Planck, Einstein
me ≈ 0.5 M eV /c2 = 10−27 g
me c2 ≈ 10−6 erg
1, 6 · 10−12 erg = 1 eV
Zimmertemperatur: T = 300 K = 5 · 10−14 erg =
1
40 eV
deswegen funktionieren die meisten Gleichungen auch noch bei Zimmertemperatur:
thermische Korrekturen im Promillebereich
1.2
Geschichte
Kirchhoff, Bunsen (1859): entdecken Spektrallinien
Balmer (1885): Balmerserie (Regularitäten)
Rydberg (1890)
Röntgen (1895)
Max Planck (1900): Strahlungsformeln (der Maxi Planck, der Star unter allen)
Albert Einstein (1905): Lichtquantenhypothese (E = hν 1 )
(1908): Kombinationsprinzip
Ernest Rutherford (1911): Atomkern (der hat gestrahlt und hat dann den Atomkern
entdeckt)
Max Laue (1912): Streuung von Röntgenstrahlen am Kristall
Niels Bohr (1913): (Theaterstück: Kopenhagen - Missverständnis zwischen Bohr
und Heisenberg)
1 E ist daher immer konstant!
ν
Eges = N · ~ω
Energie ist also quantisiert
(Wenn sie einem auf einem anderen Stern mitteilen wollen, was sind die ganzen Zahlen, dann
sagen’s ihm er soll das messen)
λ 2πν
c = λν = 2π
ω
2
Compton, deBroglie (1923): Comptoneffekt (~
p = ~~k, |~k| =
2π
p|
λ ,|~
= ~ ωc =
E2
c )
Heisenberg, Born (1925): Matrizenmechanik (Operatorenmechanik)
Schrödinger (1926): Quantisierung als Eigenwertproblem
Born: Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Davisson, Germer (1927): Streuung von e− an Kristallen, Beugung
1.3
Strahlungsformel
geht um Beschreibung der Hohlraumstrahlung durch Gesetz für Energiedichte E(ν, T )
Rayleigh-Jeans-Gesetz:
für kleine Frequenzen
E(ν, T ) = konst · ν 2 kT
Wien:
für große Frequenzen
hν
E(ν, T ) = konst · ν 2 (hν) · e− kT
hier kommt der Boltzmannfaktor hinein
für Zwischenbereich interpoliert:
E(ν, T ) = konst · hν 3
1
e
hν
kT
−1
an dem Minus sieht man, dass das Bosonen sind
1.4
07.03.2005 Ende
08.03.2005 Anfang
Welle-Teilchen Dualismus
Welle: leiten Wellengeleichung aus Maxwell-Gleichungen her
~
E
Quellen
Wirbel
~ = 4π%
div E
~ = − 1 ∂ B~
rotE
c ∂t
~
B
~ =0
div B
~ =
rotB
~
1 ∂E
c ∂t
+
4π ~
c j
betrachten den Fall % = 0, ~j = 0
2 ⇒ E = |~
p|c ⇒ E 2 = |~
p|2 c2 + m2 c4 relativistische Energie-Impuls-Beziehung
aus der Formel ist klar: Photon hat Masse Null
wie messe ich in Raum und Zeit?
E2 − p
~2 c2 = m2 c4
|{z} | {z }
t
~
x
es ist nicht alles relativ
btw: ziehe ich Wurzel aus Energie-Impuls-Beziehung,
sehe ich, dass Anti-Teilchen bestehen:
q
p
2
2
E = ± m2 c4 + |~
p|2 c2 = mc2 1 + mp~2 c2 = mc2 (1 + 2mp~2 c2 + O(~
p2 )2 )
E+ = mc2 +
p
~2
2m
+ O(p2 )
3
führen Potentiale ein:
~ = rotA
~
B
~ =0
bestätigen das: div B
weitere Überlegungen:
~ = − 1 rotA
~˙
rotE
c
~˙ ) = 0
~ + 1A
rot(E
c
| {z }
0
~ = − 1 A(t,
~˙ ~x)
sei jetzt E
c
Eichung des Potentials:
~=0
Potential kann immer geeicht werden, wählen, weil’s praktisch ist, div A
1.5
Comptoneffekt
Streuung von Röntgenstrahlen an Elektronen (Bindungsenergie ca. 10-100eV)
Man beobachtet: Streustrahlung gleicher Frequenz wie die eingestrahlte und zuaätzlich Strahlung mit geringerer Frequenz
Rechnen das realtivistisch:
E = ~ω
c = λν =
λ
2πω
p~ = ~~k
2π
|~k| =
λ
E 2 = m2 c4 + p~2 c2
Rechnen das ganze im Ruhsystem
~ω + me c2 = ~ω +
p
~q2 c2 + m2e c4
p~ = p~0 + ~q
4
09.03.2005
fang
An-
p~ = ~~k, p~0 = ~~k 0
Ee2 = m2e c4 + ~q2 c2
~(ω − ω 0 ) + me c2 =
p
~q2 c2 + m2e c4
~2 (ω 2 + ω 02 − 2ωω 0 ) + 2~(ω − ω 0 )me c2 + m2e c4 = (~
p − p~0 )2 c2 + m2e c4
| {z }
q
~2
0
ωω
−2~ωω 0 + 2~(ω − ω 0 )me c2 = −2 cos ϑ~2 |~k||~k 0 |2 = 2 cos ϑ~2 2 c2
c
(ω − ω 0 )
me c2
= ωω 0 (1 − cos ϑ)
~
λ
1
1
ω − ω0
~
λ0
−
= 0− =
=
(1 − cos ϑ)
2πc 2πc
ω
ω
ωω 0
me c2
λ0
|{z}
Wellenlänge der gestreuten Welle
h
λ
+
(1 − cos ϑ)
|{z}
me c | {z }
alte Wellenlänge
>0
=
h
= Comptonwellenlänge ≈ 7 · 10−11 m
me c
1.6
Übergang zur Quantisierung
Welle:
~
E
Ψ(t, ~x) = e−iωt+ik~x = e−i ~ t+
nichtrelativistisches, freies Teilchen (E =
p
~2
2m ):
p
~2
Ψ(t, ~x) = e−i 2m~ t+
wenden Operator
~~
i∇
i~
p~
x
~
i~
p~
x
~
auf diese Wellenfunktion an:
~~
∇Ψp~ (t, ~x) = p~Ψp~ (t, ~x)
i
kommen damit auf eine Eigenwertgleichung
~
Dies ist die Eigenwertgleichung für den Impulsoperator p~ˆ = ~i ∇
5
Das ist jetzt eigentlich nichts Besonderes, aber vor 1900 hat niemand das physikalisch gedacht
Es ist eine Quantisierungsvorschrift3
Interpretation:
habe einen Phasenraum und möchte ein korrespondierendes quantisiertes System
kreieren
Dazu benutze ich eine solche Quantisierungsvorschrift (sie führt also ein klassisches,
dynamisches System P = {(~x, p~)} mit Hamiltonfunktion, Poissonklammern in ein
korrespondierendes Quantensystem über)
Vorschrift: ersetzen:
p~ →
~~
∇
i
~2
p~2
→−
∆
2m
2m
E → i~
∂
∂t
ˆ
~x → ~x
Multiplikation mit ~x:
ˆΨp~ (t, ~x) = ~xΨp~ (t, ~x)
~x
da
i~
∂
p~2
Ψp~ =
Ψp~ ≡ EΨp~
∂t
2m
daraus folgt die 3dimensionale Schrödingergleichung (E =
i~
p
~2
2m
+ V ):
∂
~2 ∆
Ψ(t, ~x) = −
Ψ(t, ~x) + V (~x)Ψ(t, ~x)
∂t
2m
Beispiel Magnetfeld:
~ →∇
~ + ieA
~
∇
ˆ)
~ = m~v A(~
~ x) ⇒ ~ ∇
~ · A(
~ ~x
p~A
i
Ansatz zur Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung:
Ψ(t, ~x) = e−i
3 Der
Et
~
Φ(x)
Impuls ist aber nicht quantisiert, der bleibt kontinuierlich
6
e−i
Et
~
EΦ(x) = (−
~2
ˆ)Φ(x)e−i Et
~
∆ + V (~x
2m
EΦ(x) = (−
~2
ˆ)Φ(x)
∆ + V (~x
2m
Das ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung (geht natürlich nur mit zeitunabhängigen Potentialen)
betrachten nun noch Integral über den Raum:
Z
d3 x|Φ(~x)|
V ol
ergibt die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein Teilchen im Volumen treffe
1.7
Materie-Welle
Elektronen werden an Kristall gestreut, er besteht Interferenz (Davisson-Germer)
Falls
d · sin ϑ = n · λ
kommt es zur Verstärkung.
2
Die Schrödingergleichung
(das sollte Kapitel 2 sein)
2.1
einige Wellengleichungen
i
i
ebene Welle: Ψp~ = e− ~ Ep t e ~ p~~x , Ep =
p2
2m
klassische Physik
Impuls
p~
Ort
~x
Energie
E
Quantenmechanik
~
x)
~ (t, ~
2 ∇Ψp
= p~Ψp~ (t, ~x)
ˆΨp~ (t, ~x) = ~xΨp~ (t, ~x)
~x
∂
i~ ∂t
Ψp~ (t, ~x) = EΨp~ (t, ~x)
zeitabhängige Schrödingergleichung:
i~Ψp~ (t, ~x) = (−
~2
ˆ))Ψp~ (t, ~x)
∆ + V (~x
2m
komplex konjugiert:
−i~Ψ∗p~ (t, ~x) = (−
~2
ˆ))Ψ∗ (t, ~x)
∆ + V (~x
p
~
2m
7
09.03.2005 Ende
14.03.2005 Anfang
Normierungsbedingung:
Z
d3 xΨ∗p~ (0, ~x)Ψp~ (0, ~x) ⇒
Z
d3 xΨ∗p~ (t, ~x)Ψp~ (t, ~x) = 1
Behauptung:
i~
∂
∂t
Z
d3 xΨ∗p~ (t, ~x)Ψp~ (t, ~x) = i~
Z
d3 x{(
∂
∂ ∗
Ψ (t, ~x))Ψp~ (t, ~x)+Ψ∗p~ (t, ~x)( Ψp~ (t, ~x))} = 0
∂t p~
∂t
4
zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Sei V (x) unabhängig von t
Ansatz (Produktansatz):
Ψ(t, ~x) = e−
(i~) · (
iE
~ t
Φ(~x)
Et
−iE iE t
~2
)e ~ Φ(~x) = (−
∆ + V (~x))Φ(~x)e−i ~
~
2m
(−
~2
~
∆ + V (x))Φ(~
x) = EΦ(~x)
2m
Genau genommen fehlt ja in Schrödingergleichung E 2 = m2 c4 + p~2 c2 .
berücksichtigt man das, kommt man zur Klein-Gordon-Gleichung:
−~2
∂2
1 ∂2
m2 c2
Ψ = (m2 c4 + c2 (−)~2 ∆)Ψ ⇒ ( 2 2 − ∆ + 2 )Ψ(t, ~x) = 0
2
∂t
c ∂t
~
diese beschreibt die relativistische Bewegung von Teilchen mit Spin 0 (gehören zu
den Bosonen): Π-Mesonen
ist aber keine wichtige Gleichung
p
kann auch E = p~2 c2 + m2 c4 direkt in Quantenmechanik überführen:
p
∂
Ψ =+ −i~2 ∆ + m2 c4
∂t
i~
ist die Salpetergleichung und braucht keiner
wie stelle ich ein Photon dar?
mit einer Wellengleichung
Aµ (t, ~x) = {
0
Jµ (t, ~x)
das ist durch folgende Beziehung mit Maxwell verknüpft:
4h
= c = m = 1 = e = π, solche Einheiten haben die Theoretiker gerne
8
Aµ = (
V
)
~
A
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
Dirac-Gleichung:5
i~
∂
~2
Ψ = (−
∆ + V )Ψ
∂t
2m
E 2 = p~2 c2 + m2 c4
geht über in:
i~
~ ∂
~ ∂
∂
Ψ = {cα1
+ α1
+}
∂t
i ∂x
i ∂y
(Ende 14.03. fehlt)
Beginn
25.04.2005
1D-Schrödingergleichung:
~2 d 2
+ V (x))ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Z
Z
Z
∞
~2
2
2
−
dxψ ∗ ψ 00 + dx |ψ| V (x) = E dx |ψ|
2m −∞
| {z }
{z
}
|
(−
~2
2m
R∞
−∞
1
dx|ψ 0 |2
hT iψ + hV iψ
| {z }
= E
>0
(2)
Sei
V (x)
≤
V 0 (x) ≥ 0 f r
0, V (∞) = 0
x≥0
V (x) = V (−x)
Bsp

0
V (x) =
V
|x| ≥ a
0
|x| < a
(1)
Gerade Fkt: ψ(x) = −ψ(x)
Ungerade Fktψ(x) = −ψ(−x)
5 der
Dirac hat ja noch nix von den Antiteilchen gewusst, aber er hat sie erfunden
9
κα
tan κα = p
V a2 − x2 a2
| 0 {z
}
Ü Limes 2V0 a = λ fest, a > 0, V0 → ∞
√
cot
q
V02 a2
−=
V0 a2 − a2
√
a2
2 2
k
e = V0 a2 − κ2 a2
|{z}
a2
2 2
= V0 a2 − 2 a2
κ a
ψ
= c1 e−kx ,
ψ
= c2 cosκx,
k2 = κ2=V0 −
q
r
λ
a − a2
2
r
√
λ
a cot
−
2
a
r
λ −1
0
)
a → 0, del H(:
2
cot
λ
2a
√
=
q
a2
λ
2a
√
=
q
=
− a2
− a
λ
2
− a
√
,
=
λ2
4
(Spitz nach unten)
−ψ00 − λδ (x)ψ (x) = E ψ (x)
−ψ 0 (˜
) + ψ(˜
) − λ
Z
˜
Z
dxδ(x)ψ(x) = E
−˜
|
{z
}
¯
dxψ(x) → 0f re− > 0
−ē
ψ(0)
Z
∞
lim
η→0
dxδ(x)ψ(x) = ψ(0)
−∞
ψ 0 ( 0+ ) − ψ( 0− ) = −
|{z}
|{z}
˜
−˜
−ψ 00 = Eψ
λ
|{z}
ψ(0),
Kopplungskonstante
für x 6= 0, E negativ
10
ψ stetig
−ψ 00 + V (x)ψ
= Eψ, ψ ∈ L2
¯
= Eψ(x)
−∆ψ + V (x̄)ψ
V (x) = −
α l(l + 1)
+
r
r2
ψ ∈ C ∞ (R\{0})
Ungerade:
(wieder (2))
−ψ 00
=
(V0 − )ψ
= c1 e−kx ,
I: ψ
II: ψ
= c4 sin κx,
Anstückeln: x = a : c1 e−ka
k2 = κ2 = V0 − = c4 sin κa
Ableiten: − kc1 e−ka
1
−
k
= c4 κ cos κa
1
=
tan κa
κ
κa
κa
− tan κa =
=√
ka
V0 a2 − κ2 a2
Falls
π
2
<
√
√
π
2 : kein Bindungszustand
< 3π
2 : ∃!1 Bindungszustand
V0 <
V0 a
−
~2 d 2
ψ(x) = (E − V (x))ψ(x)
2m dx2
Sei V (x) ≤ 0, V (±∞) = 0 (V 0 > 0 für x > 0), |V (0)| < ∞, V (x) = V (−x)
Versuchen L2 -Lösungen heuristisch zu charakterisieren (Konvexitätsüberlegungen)
Suchen antisymmetrische Lösungen
Randbedingungen: ψ 0 (0) 6= 0, ψ(0) = 0
Bildchen Potential1
Sei E < 0
−
2m
2m
d2
ψ(x) = (− 2 |E| + 2 |V (x)|)ψ(x)
2
dx
| ~{z } |~ {z }
−ε
v(x)
ψ 00 = (ε − v(x))ψ(x)
Krümmung = 0 für ε = v(xklassisch ) und ∀x̄i , für die ψ(x̄) = 0
11
Ende 25.04.2005
Beginn
26.04.2005
• falls ε > v(x) und ψ(x) > 0 ⇒ ψ 00 > 0 konkav von unten
• falls ε > v(x) und ψ(x) < 0 ⇒ ψ 00 < 0 konvex von unten
• falls ε < v(x) und ψ(x) > 0 ⇒ ψ 00 < 0
• falls ε > v(x) und ψ(x) > 0 ⇒ ψ 00 > 0
Bildchen Potential rechts
Vorr.: die Eigenfunktionen ψ1 , ψ2 , . . . zu den Eigenwerten E1 , E2 , . . . bzw. ε1 , ε2 , . . .
∀0 < x < xklassisch
ψ 00 < 0 → |ψ(x)| ≤ ψ 0 (0)x
Behauptung: Die n-te Eigenfunktion hat genau n−1 Nullstellen im offenen Intervall
(0, ∞)
Seien: ψ1 , ψ2 Lösungen zu Energien ε̃1 , ε̃2 , sei ε̃1 > ε̃2
ψ100 = (ε̃1 − v(x))ψ1 (x)
ψ200 = (ε̃2 − v(x))ψ2 (x)
Bildchen Sinüsser
ε̃2 ergibt eben einen Knoten mehr als ε̃1
ψ2 ψ100 = (ε̃1 − v(x))ψ1 ψ2
ψ1 ψ200 = (ε̃2 − v(x))ψ1 ψ2
(ψ2 ψ10 − ψ1 ψ20 )0 = (ψ2 ψ100 − ψ1 ψ200 ) = (ε̃1 − ε̃2 ψ1 ψ2 )
Z
x̄2
(ψ2 ψ100 − ψ1 ψ200 )|xx̄¯21 = (ε̃1 − ε̃2 )
dx :
x̄1
x̄2
Z
dxψ1 ψ2
x̄1
Z
ψ2 (x̄2 ) ψ10 (x̄2 ) −ψ2 (x̄1 ) ψ10 (x̄1 )
= (ε̃1 − ε̃2 )
| {z } | {z }
| {z }
<0
>0
>0
x̄2
dxψ1 ψ2
x̄1
Sei ψ2 (x) ≥ 0 ∀ x̄1 ≤ x ≤ x̄2 ⇒ Widerspruch!
Sei ψ2 ∀ x̄1 ≤ x ≤ x̄2 nichtnegativ
Bildchen Logistik
Z
1 ∞ |ψ|2
dx 2
4 0
x
0
Z ∞
Z ∞
2
1
|ψ|
=
dx|ψ 0 |2 ≥
dx 2
4 0
x
0
Z
T
=
∞
dx|ψ 0 |2 ≥
12
aus ψ(0) = ψ 0 (0) = 0 ⇒ ψ(x) = 0, muss daher immer durch 0 durchrasen
Bildchen Kasten mit Sinüssern
Lösungsfunktion muss Vorzeichen Wechseln, da ja Orthonormalsystem
ψ100
=
ψ200
=
x¯
(ψ2 ψ10 − ψ1 ψ20 )|x̄21
Ende 26.04.2005
Beginn
27.04.2005
(1 − v(x))ψ1 (x)
(2 − v(x))ψ2 (x)
Z x̄2
dx ψ1 ψ2
= (1 − 2 )
|{z}
| {z } x̄1
>0
>0
ψ1 (x̄1 ) = ψ1 (x̄2 ) = 0
Z x̄2
ψ2 (x̄2 ) ψ10 (x̄2 ) −ψ2 (x̄1 ) ψ10 (x̄1 ) = (1 −2 )
dxψ1 ψ2 ⇒ ψ2 muss im Intervall (x̄1 , x̄2 )Nullstelle haben bzw. Vorzeich
| {z }
| {z }
x̄1
<0
>0
−ψ 00 +
2m
V (x)ψ
~2
ψ 00
=
=
2m
Eψ(x)
~
(V0 − E)ψ
I : ψ(x) = c1 e−kx
k2
= v0 − √
=
v0 − k
v0 % ∞
− > ψ(x)
ψ(a)
=
0 ∀x ≥ a
= ψ(−a) = 0
(Dirichlet-Randwert-Problem)
L2 ([−a, a], dx)
R∞
dxψ ∗ (x)ϕ(x) = hψ|ϕi
−∞
Mannigfaltigkeit: Torus
7.
Der harmonische Oszillator
Bem.: typische Potenziale
niedrig-energetische Anregungen
13
= L2 (R, dx)
~2 d 2
mω 2 2
= −
+
x
2
2m dx
2
= Eψ
H
H
Hψ
Sei x = λy :
(−
~2 2 d 2
mω 2 2
+
y
λ
2
2m dy
2λ2
m
=
E ψ(y)
2 λ2
~
| {z }
= −
H
1 m2 ω 2 2
1 d2
+
y )ψ(y)
2
2 dy
2 |~2{zλ4}
=1
mit
m2 ω 2
= ~2 λ4
mω
=
r~
mω
=
~
λ2
λ
=
E
mE
=
~2 λ 2
~ω
Sei
A =
A†
=
1 d
√ (
+ y)
2 dy
d
1
√ (−
+ y)
2 dy
hϕ|Aψi = A† ϕ|A
(
~ d †
~ d
1 d
) =
= − ( )†
i dy
i dy
i dy
p†
~ d †
)
i dy
d
(~ )†
dy
(
= p
~ d
)
i dy
d
= −~
dy
d †
= ~( )
dy
=
14
(
A† A =
=
1
d
d
(−
+ y)(
+ y)
2 dy
dy
d
1
d2
{− 2 + y 2 −
y
2
dy
dy
|{z}
+y
d
}
dy
d
d
( dy
y)+y dy
{z
|
}
1
ist unterhalb beschränkt. Gleichheit: Nullpunktenergie.
1
1
hψ|hψi = ψ|A† Aψ + hψ|ψi ≥
2
2
| {z }
=||Aψ>|2
Gleichheit ⇔
√
2A |ψi = 0
(
d
+ y)ψ(x)
dy
ψ(y)
=
0
= ψ(0)e−
= ψ(0)e−
y2
2
λ2 x2
2
mω
2
= ψ(0)e− 2~ x
Ende 27.04.2005
Beginn
02.05.2005
Harmonischer Oszillator
[h, A] = A† A, A = A† , A A = −A
| {z }
−1
Sei
h |ψi = E |ψi??? hψ|ψi = 1 ⇒ A† |ψi istEV zuhzumEW + 1
⇒ A |ψi istEV zuhzumEW − 1
Bew.
hA† − A† h |ψi = A† |ψi
hA† |ψi =
( + 1)A† |ψi
(hA − Ah) |ψi = −A |ψi
h
A |ψi
| {z }
=
(A − A) |ψi = ( − 1)A |ψi
EV zuhzumEW −1
15
†
A |ψi2
*
=
†
†
A ψ|A ψ =
+
†
ψ| AA
|{z} ψ
*
=
A† A+1
†
A |ψi2
h
1
1
ψ|(A A + +
)|ψ
| {z 2} 2Satz
†
+
1
= ( + )mitA† |ψi ∈ H
2
1
= ψ|A† Aψ = ( − )1
2
1
1
=
ψ|(h − )ψ = ( − )
2
2
1
= A† A +
2
Satz: h ist nach unten durch 12 beschränkt.
∀ψ ∈ H
hψ|ψi
...
Bem: Zwischen 12 und 32 gibt es keine Eigenvektoren; die einzig möglichen Eigenvektoren sind bei 0 = 12 , 1 = 32 ,\ldots n = n + 12
Die dazugehörigen Eigenvektoren sind
|0i
|1i = A† |0i
(A† )2 |0i
√
|2i =
2
..
.
A†
(A† )n |0i
√
=√
|ni =
n
n!
|n − 1i
| {z }
(A† )n−1
√
n−1
|n−1i
2
Normierung: Beh.: (A† )n |0i = n!
+
*
† † n−1 2
†
† n+1
n−1
|0 = n 0|An−1 (A† )n+1 |0 =
Induktion: A (A )
|0i = 0|A
(AA ) |(A )
| {z }
†
(A A +1)
|{z}
n−1
n(n − 1)! = n!
EW von A† A :
1
1 1
A† A |ni = (h − ) |ni = (n + − ) |ni
2
2 2
A† A heißt Quanten(Teilchen-)Zahloperator
y2
|0i = N e− 2
y2
y2
y2
N
d
2N
|1i = √ (−
+ y)e− 2 = √ ye− 2 antisymm, einKnoten ∝ H1 (y)e− 2
2 dy
2
y2
y2
y2
2N
d
2N
|2i = √ √ (−
+ y)e− 2 = √ ye− 2 antisymm, einKnoten ∝ H1 (y)e− 2
2 2 dy
2
16
Ende 02.05.2005
Beginn
03.05.2005
harmonischer Oszillator:
h = A† A + 21 , [A, A† ] = 1, [h, A† ] = A† , [h, A] = −A
EV: |0i : A |0i = 0, |0i =
1
1
π4
e−
y2
2
= const e
mω x2
t
2
, h0 |0i = 1
Vakuum=kein Quant
Ein Quant: |1i = A† |0i, h1 |1i = h0| AA† |0i = 1, A† =
h0| A |0i = O
√1 (− d
dy
2
+ y), h1 |0i =
h1| = h0| A
Zwei Quant:
|2i =
√1 (A† )2
2
|0i, . . . γn |ni = A† |n − 1i = 1, γn2 = hn − 1| AA† |n − 1i
hier fehlt einiges
hn |ni =
hn |ni =
√
√1 h0| Am |ni, A |ni = σn |n − 1i, hn| A† A |ni = σ 2 = n, σn =
n
n
m!
√
√1
n h0| Am−1 |n − 1i ∝ h0| Am−2 |n − 2i . . . ∝ h0| Am−n |0i = O
m!
h |ni = (n + 12 ) |ni = (A† A + 12 ) |ni
Born-Jordan-Heisenberg - Matrizenmechanik:
kleiner Einschub Matrizenmechanik
(aber nicht so wichtig)
Basis für H: |0i , |1i , |2i , . . ., vollständig. ON
Wahl einer Darstellung:





|0i = 



1
0
0
0
..
.










 , |1i = 






0
1
0
0
..
.









hier fehlt auch was
√
A† |ni = γn |n + 1i = n + 1 |n + 1i
√
√
hm| A† |ni = n + 1 hm |n + 1i = n + 1δm,n+1
h1| A† |0i = 1

(A† )mn




=



0 0
0
0
1 0
0
0
√
0
2 0
0
√
0 0
3 0
√
..
..
..
.
.
.
4
···
···
···
···










 , (A)mn = 






17
0 1 0
0 ···
√
0 0
2 0 ···
√
0 0 0
3 ···
0 0 0
0 ···
.. ..
..
..
. .
.
.










1
2
0

 0


h= 0

 0

..
.
3
2
···
···
···
···
0 0
0 0
0
0
.. ..
. .
0
0
..
.









Einschub wieder Ende
y
λ2 = mω
~ , x= λ

A = √1 ( d + y)
2 dy
A† = √1 (− d + y)
2
dy

†
A+A =
√
2y =
√
r
2λx =


2mω
x̂ = 

~


p̂ =
~
~ d
=
i dx
i
r
~
mω
(A − A† ) =
2~
i





x̂ = 









2
x̂ = 




r
(x̂)mn =
r
0
1
−1
0
√
0 − 2



mω 

2~ 

 0

0

r


~

 2mω
.. 
. 

√
2 0
√
0
6
5
0
..
.
0
7




~
.. 
. 
 2mω



..
.
√
~ √
( n + 1δm,n+1 + n + 1δn,m+1 )
2mω
hn| x̂2 |ni = (2n + 1)
hn| x̂ |ni = 0
18
~
2mω






0
0
√
2
0
√
0
3
√
− 3 0
..
.

0 1
0
0
√
1 0
2 0
√
√
2 0
3
0
√
0 0
3 0
..
.
1
0
0
3
√
2 0
√
0
6
0 1
0
0
√
1 0
2 0
√
√
0
2 0
3
√
3 0
0 0






.. 

. 

andere Variante zur Berechnung:
x̂2 ∝ (A + A† )2
2
†
†
= hn| (A + A† )2 |ni = hn| (A2 + AA
A +A† ) |ni = 2n + 1
|{z} + A
|{z}
n
A† A+1
hn| p̂2 |ni = −~2
mω~
mω
hn| (A − A† )2 |ni =
(2n + 1)
2~
2
hn| p̂ |ni = 0
⇒ (∆x̂)2n (∆p̂)2n = (2n + 1)
~ mω~
(2n + 1)
2mω 2
(∆x̂)n (∆p̂)n = (2n + 1)
hn| T |ni = hn|
hn| V |ni =
~
~
≥
2
2
ω~
p̂2
|ni =
(2n + 1)
2m
4
mω 2
mω 2 ~
hn| x̂2 |ni =
(2n + 1) = ~ω(2n + 1) ≡ hn| T |ni
2
2 2mω
Dies war das Virialtheorem
Bem.: berechnen:
[p̂x̂, x̂2 ] = x̂[p̂, x̂]x̂ + [p̂, x̂]x̂2 = −2i~x̂2
[p̂x̂, p̂2 ] = p̂[x̂, p̂2 ] = 2p̂i~
Ende 03.05.2005
Anfang 4.5. fehlt heftigst
→ H(y) =
X
h2p y 2p ≈
p=0,1,...
falls k bzw. p bis ∞ läuft ⇒ ψ(y) ≈ e
X 1
2
y 2p = ey
pi
p
y2
2
⇒ Reihe muss unendliches Polynom sein.
⇒ ∃kmax ≡ N
3
2N − 1 = 2N ⇒ N = N +
1
2
III) 3-dimensionale Schrödingergleichung H = L2 (R3 , d3 x)
III)1) 3-dim harm. Oszillator
H=−
~
mω 2 2 mω 2 2 mω 2 2
∆+
x +
x +
x ,
2m
2 1
2 2
2 3
19
D(H) = S(R3 ) ⊂ H
Hψ = Eψ Produktansatz: ψ(x1 , x2 , x3 ) = χ1 (x1 )χ2 (x2 )χ3 (x3 ),
−χ2 χ3
χi ∈ L2 (R, dxi )
~2 ∂ 2
mω12
~2 ∂ 2 mω22 2
~2 ∂ 2 mω32 2
χ1 +
+
+
χ1 χ2 χ3 +χ3 χ1 (−
χ2 )χ2 +χ1 χ2 (−
χ )χ3 = E
2
2
2m ∂x1
2
2m ∂x2
2
2m ∂x23
2 3
mω12 2
~2 ∂ 2 mω22 2
~2 ∂ 2 mω32 2
~2 ∂ 2
+
+
+
x
)χ
(x
)
+(−
x
)χ
(x
)+(−
x )χ3 (x3 ) = E
(−
1
1
2
2
2m ∂x21
2 1
2m ∂x22
2 2
2m ∂x23
2 3
|
{z
}
χ1 (x1 )
| {z }
E1
1
1
1
⇒ E = ~ω1 (h1 + ) + ~ω2 (h2 + ) + ~ω3 (h3 + )
2
2
2
ψn1 ,n2 ,n3 = cn1 ,n2 ,n3 Hn1 (x1 )Hn2 (x2 )Hn3 (x3 )e−(
mω1
2~
x21 +
mω2
2~
x22 +
mω3
2~
Ende 04.05.2005
(Keine
VO
da Test am
09.05.2005)
Beginn
10.05.2005
3-dim Oszillator
H = L2 (R3 , d3 x)
HΨ = EΨ
1
1
1
En1 ,n2 ,n3 = ~ω1 (n1 + ) + ~ω2 (n2 + ) + ~ω3 (n3 + )
2
2
2
3
En1 ,n2 ,n3 = ~ω(n1 + n2 + n3 + )
|
{z
} 2
ω1 = ω2 = ω3 = ω :
N
Drehimpuls:
Lk = kmn xm pn
{Lk , Lm } = kmn lk
Lx = ypz − zpy
Lx
=
Ly
=
Lz
=
~ ∂
∂
(y
−z )
i ∂z
∂y
~ ∂
∂
(z
−x )
i ∂x
∂z
~ ∂
∂
(x
−y )
i ∂y
∂x
20
x23 )
kanonische Kommutatorrelation:
[x̂i , p̂j ] = i~δij
auf D
Hats aus Sparsamkeit weggelassen...
[x, px ] = i~,
[y, px ] = 0
[x, py ] = 0,
[y, py ] = i~
[x, pz ] =,
[y, pz ] = 0
gehen über zu Kugelkoordinaten:
x = r sin ϑ cos ϕ
y
= r sin ϑ sin ϕ
z
= r cos ϑ
formen Differenzialoperatoren um:
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
=
+
+
∂ϑ
∂ϑ ∂x ∂ϑ ∂y ∂ϑ ∂z
(Rest aus Gründen der allgemeinen Bekanntheit erspart)
und setzen für die Drehimpulse ein:
Lx
Ly
Lz
∂
∂
~
− sin ϕ )
( (− cot ϑ cos ϕ
i
∂ϕ
∂ϑ
~
∂
∂
= ( (− cot ϑ sin ϕ
− sin ϕ )
i
∂ϕ
∂ϑ
~
∂
∂
= ( (− cot ϑ cos ϕ
− sin ϕ )
i
∂ϕ
∂ϑ
=
und weiters:
L+
L−
L†−
~
∂
∂
(− cot ϑeiϕ
+ ieiϕ )
i
∂ϕ
∂ϑ
~
∂
∂
= Lx − iLy = (− cot ϑeiϕ
− ieiϕ )
i
∂ϕ
∂ϑ
= Lx + iLy =
=
(Lx − iLy )† = L†x + iL†y
alles auf C ∞ (S 2 )
Eigenwertproblem für Lz auf L2 ((0, 2π), dϕ)
unleserliche Zeile
21
~ ∂
Φ(ϕ) − Lz Φ(ϕ) = λΦ(ϕ)
i ∂ϕ
d ln Φ =
dΦ
i
= λdϕ
Φ
~
i
e ~ λϕ
Φ(ϕ) = √
2π
2π
Z
dϕ|Φ(ϕ)|2 = 1
0
Bedingung: Φ(0) = Φ(2π)
1 i
1
√
= √ e ~ λϕ ⇒ λ = ~m,
2π
2π
m = 0, ±1, ±2, . . .
ganzzahlige Quantisierung!!
Kommutatoren:
wir schicken voraus:
[Lx , Ly ]
= iLz
weil nämlich mit Lx = ypz − zpy , Ly = zpx − xpz
[(ypz − zpy ), (zpx − xpz )] = i~ypx + i~xpy = i~Lz
(das darf sich jeder selbst durchrechnen)
und jetzt mit zyklischem Vertauschen:
[Lx , Ly ]
= i~Lz
[Ly , Lz ]
= i~Lx
[Lz , Lx ]
= i~Ly
das ist die Lie-Algebra der Drehgruppe (O(3) = SU (z))
jetzt weiter die Kommutatoren:
[L+ , L− ] = [(Lx + iLy ), (Lx − iLy )] = −ii~Lz + i(−i)~Lz = 2~Lz
[L+ , Lz ] = [(Lx + iLy ), Lz ] = −i~Ly + ii~Lx = −~(Lx + iLy ) = −~L+
[Lz , L+ ] = ~L+
22
wir erkennen: L+ und L− sind Leiteroperatoren
Ende 10.05.2005
Beginn
11.05.2005
Drehimpulsalgebra
Ldx , Ldy = Ldz
Lx = yPz − zPy , . . .
[Lx , Ly ] = i~Lz ,
[xi , pj ] = i~δij
[Ly , Lz ] = i~Lx ,
[Lz , Lx ] = i~Ly
∈Z
EW-Problem für Lz Φ(y) =
~ ∂
i ∂ϕ Φ(ϕ)
Φ(ϕ)eindeutig
⇒
Φ(ϕ) =
Bemerkung. Bedingung der Eindeutigkeit wird bei Spin
1
2
i
z}|{
m ϕ
e √
2π
( 32 ,...) Teilchen verletzt
Exp: H. Rauch et al. 2π-Drehung ⇒Interferenz-Pattern, 4π-Drehung keine (SchalIllustration...)
Φ(0) = ξΦ(2π)
Falls ∃ Phase bei Drehung um 2π: ξ = 1 Boson, Spin 0, 1, . . .
−1: Fermion, Spin 12 , . . .
i,-i 4 (?) Einheitswurzel
N-te Einheitswurzel: Anyon QHE
L− = Lx − iLy ;
L+ = Lx + iLy ,
[L+ , L− ] = 2~Lz
[Lz , L+ ] = [Lz , (Lx + iLy )] = i~Ly + i(−i~)Lx = ~ (Lx + iLy ) = ~L+
analog
[Lz , L− ] = −~L−
i
†
[Lz , L+ ] = L†z , L†+ = [L− , Lz ] = − [Lz , L− ]
h
L+ L−
= L2x + L2y − i (Lx Ly − Ly Lx )
{z
}
|
L− L+
= L2x + L2y − ~Lz
i~Lz
L2
= L2x + L2y + L2z = L+ L− − ~Lz + L2z
L2
= L− L+ − ~Lz + L2z
23
2
L , Lk = [Lm Lm , Lk ]
= Lm [Lm , Lk ] + [Lm , Lk ] Lm
| {z } | {z }
i~mkn Ln
i~mkn Ln
= i~(mkn Lm Ln + nkm Lm Ln )
| {z }
−mkn
=0
L2 ist der Casimiroperator (kommutiert mit allen Erzeugern der Liealgebra O(3) =
SU (2)
Der Casimir, des is derselbe wie vom Casimireffekt, der is vor a por Johrn gstorbn,
der wor der Präsident von irgendso ana Europäischen Physikalischen irgendwos
Gesellschaft...
L2 und Lz können gleichzeitig diagonalisiert werden.
EigenwertproblemH = L2 (S 2 ,
dΩ )
|{z}
sin ϑdϑdϕ
L2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi ,
Lz |lmi = ~m |lmi
explizit
L2 Y (ϑ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Y (ϑ, ϕ)
LZ Y (ϑ, ϕ) =
~ ∂
i ∂ϕ Y
(ϑ, ϕ) = ~m Y (ϑ, ϕ)
| {z }
imϕ
P (ϑ) e√2π
AB = BA
Suchen gemeinsame Eigenvektoren
Aϕi = λi ϕi ⇒ BAϕi = λi (Bϕi ) = A(Bϕi )
Diagonalisiere B
Bψi = µk ψk ⇒ Gemeinsame Eigenvektoren sind ϕi ◦ ψk
Korr: Ylm (ϑ, ϕ) = |lmi = P (ϑ)Φ(ϕ)
[A, B] = 0 Sei Aϕ = λϕ ⇒ BAϕ = λBϕ = ABϕ ⇒ ϕ Eigenvektor zum selben
Eigenwert λ
Sei Bψ = µψ ⇒ ABψ = µAϕ = BAψ ⇒ ψ Eigenvektor zum selben Eigenwert µ
l unbekannt L2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi
L2 Lz |lmi = ~2 l(l + 1)Lz |lmi
L2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi
L2 Lz |lmi = ~2 l(l + 1)Lz |lmi
Lz |lmi = ~m |lmi
eimϕ
⇒ |lmi = P (ϑ) √
2π
24
(H1 + H2 )ψn1 ψn2 ψn3 |n1 n2 n3 i
Beh.
L+ |l, mi = clm |l, m + 1i
Vor: hl, m l0 , m0 i = δll0 δmm0
Lz L+ |l, mi = clm Lz |l, m + 1i
Lz L+ |l, mi = clm Lz |l, m + 1i
(Lz L+ + ~L+ ) |l, mi = ~L+ (m + 1) |l, mi = ~(m + 1)clm Lz L+ |l, m + 1i
⇒ Lz L+ |l, mi = ~(m ± 1)L± |l, mi
| {z }
|l,m+1i
2
sei reell
z}|{
2
kL+ |l, mik = clm |l, mi
hl, m|
|l, mi = c2lm
L− L+
| {z }
L2 −L2z −~Lz
= ~2 (l(l + 1) − m2 − m)
= ~2 (l(l + 1) − m(m + 1))
≥0
Ende 11.05.2005
16., 17.05.2005:
Pfingsten
Anfang
18.05.2005
da fehlt jede Menge
B diagonal außer Entartung
 
Amn
 
 
 










=












α1
..
.































α1





α2
..



.
α2








α3
..






.
..
.
α3
..
25
.


B11
B22


Bnm = 







B33
..
.
diagonalisiere B in Unterräume in denen A entaretet ist
vielleicht fehlt hier auch was (glaub aber nicht)
L+ |l, li (ϑ, ϕ) = 0



∂
eilϕ
∂ 
∂

~eiϕ 
i cot ϑ ∂ϕ + ∂ϑ  Pl (z) √2π = 0 ⇒ l cot ϑPl = ∂ϑ Pl
|{z}
il
Pl . . . Legendre-Funktion
Pl (ϑ) = constl (sin ϑ)l
∂Pl
= constl l(sin ϑ)l−1 cos ϑ = constl · l(sin ϑ)l cot ϑ
∂ϑ
L2 |l, 0i = ~2 l(l + 1) |l, 0i = L− L+ |l, 0i
L− L+ + L2z − ~Lz = ~e−iϕ (i cot ϑ
∂
∂
− )Pl (ϑ) = ~2 l(l + 1)Pl (ϑ)
∂ϕ ∂ϑ
|{z}
i
−
∂2
∂
− cot ϑ
∂ϑ2
∂ϕ
Pl = l (l + 1) Pl ⇒ −
d
d
(1 − z 2 ) Pl = l (l + 1) Pl
dz
dz
|l, mi (ϑ, ϕ) = Yl,m (ϑ, ϕ) = clm Plm (ϑ) e|imϕ
| {z } √{z }
2π
reell
p
stellen uns Kreis mit Radius R = l(l + 1) vor, Lösungen liegen im 1. Quadranten
(zwischen |l, 0i und |l, li), und dazu noch die komplex konjugierten
hier fehlen die einzelnen kets 1,1 u.ä. mit ihren zugehörigen Normierungsfaktoren
(sollten oben schon einmal ohne Normiereung stehen, tun sie aber noch nicht)
damit sind auf jedenfall die Orbitale der Elektronen im Atom festgelegt (das freut
den Chemiker)
sei m > 0
m
Pl,m (ϑ) = (−1)
1 − z2
26
m2 dm
Pl (z)
dz m
Die radiale Schrödingergleichung D = 3
H = L2 (R3 , d3 x)
~2
p2
+ V (r) = −
∆ + V (r)
2m
2m
H=
−~2 ∆ = −~2
1 ∂ 2 ∂
L2
r
+
r2 ∂r ∂r
r2
HΨ = EΨ
Ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)
Ylm (ϑ, ϕ)
| {z }
imϕ
clm Plm (ϑ) e√2π
Z
1
dz Pl (z)Pl0 (z 0 ) = cl δl,l0
−1
dΩ = sin
ϑdϑ} dϕ
| {z
d cos ϕ
Z
3
dΩd∗ (Ω)g(Ω) ≡ hf |gi
Die dreidimensionale Schrödingergleichung: Radialsymmetrische Potentiale
~2
∆ + V (r) ψ(r, ϑ, ϕ) = Eψ(r, ϑ, ϕ)
−
2m
ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm (ϑ, ϕ)
−∆ = −
−∆(ϑ,ϕ) = −
∆(ϑ,ϕ)
1 ∂ 2 ∂
r
−
2
r ∂r ∂r
r2
1 ∂
∂
1
∂2
1
sin ϑ
−
= 2 L2
2
2
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
~
L2 Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm
∆(ϑ,ϕ)
~2
1 ∂ 2 ∂
− 2 r
−
+ V (r) RYlm = ER(r)Ylm
2m
r ∂r ∂r
r2
~2 1 ∂ 2 ∂
~2 l(l + 1)
−
r
+
+
V
(r)
R(r) = ER(r)
2m r2 ∂r ∂r
2mr2
r ∈ [0, ∞)
27
Ende 18.05.2005
Anfang
23.05.2005
Sei R(r) =
u(r)
r
u0 (r) u(r)
− 2
r
r
r2 R0 (r) = ru0 (r) − u(r)
0
r2 R0 (r) = u0 (r) + ru00 (r) − u0 (r)
R0 (r) =
radiale Schrödingergleichung
−
2m
~2 V
(r) ≡ v(r)
2m
~2 E
≡
~2 l(l + 1) u(r) V (r)
u(r)
~2 1 00
u (r) +
+
u(r) = E
2
2m r
2mr
r
r
r


 d2

l(l + 1)


+ v(r) u(r) = u(r)
− 2 +
2
r
 dr
|
{z
}
vef f (r)
Graph: 0 bis infty; x: r y:v(r); -eˆ2/r=v(r);bei x=0:-13.5eV(1s: Grundzustand HAtom) sowie l(l+1)/rˆ2 und summe der beiden. min: v min: Kreisbahn
R∞
2
2
Für E < 0 gibt es gebundene Zustände (für v(r) = − er ) falls 0 dr r2 |R(r)| < ∞,
R
∞
2
2
R(r) = u(r)
r ⇒ 0 dr r u(r) < 0
L2 = Lk Lk = kmn x̂m p̂n kαβ x̂α p̂β
[x̂i , p̂j ] = i~δij
= ~2 ∂ 2
r + r2 p2
∂r
und verwenden von
3
X
k=1
xk
∂
∂
=r
∂xk
∂r
⇒ p2 = −~2
L2
1 ∂ 2 ∂
r
+ 2
2
r ∂r ∂r
r
Asymptotisches Verhalten: r % ∞, sei limr%∞ v(r) = 0
√
d2
− −r
u(r)
=
u(r),
u
(r)
=
e
. . . exponentieller Abfall
∞
dr2
d2
l(l + 1)
− 2+
+
v(r)
u(r) = u(r)
dr
r2
r & 0, sei limr&o r2 v(r) = 0
⇒−
⇒
d2
l(l + 1)
− 2+
dr
r2
28
u0 (r) = 0
Ansatz: u(r) = crλ
cλ(λ − 1)rλ+2 = cl(l + 1)rλ+2

s
r
2 
l+1
1
1
1
1
λ= ±
+ l2 + l = ±
l+
=
−l
2
4
2
2
∞
Z
dr u2 (r) < ∞
⇒
0
allg Lsg: u0 = αl rl+1 + βl r−l βl = 0∀l ≥ 1 Für l = 0 wählen wir Lsg: v0 (r) = α0 r
Das Wasserstoffatom
ze2
~2
∆−
mit z = 1
H=−
r
{z }
| 2m
p2
2m
2
~
(∆p) (∆x) ≥
2
2
Stabilität:
hHi ∼
=
2
~2
1
1
2
−l
2
4 · 2m (∆x)
r
| {z }
| {z }
L2
1
L
d
~2
e2
f =− 2 3 + 2
dL
4m L
L
f (L) =
Lmin =
e2
ψml4
~2 1
−
=
−2
8m L2
L
~2
~2
4ml2
Größenordnungen:
e2
e2
= mc2 ⇒ Rkl =
Rkl
mc2
α=
Rkl ·
λc
e2 ∼ 1
=
~c
137
1
e2 ~c
~
=
=
= λc
α
mc2 e2
mc
1
~ ~c
~2
=
=
. . . Bohr-Radius
2
α
mc e
me2
Energie:
E=
mc2 =
H-Atom, H =
p2
2m
−
e2
~c
mc2
0.5 MeV
2
=
e2
r
29
me4
= 27 eV
~2
Ende 23.05.2005
Beginn
24.05.2005
hΨ|HΨi
= hGrundzustandsenergiei − ∞
Ψ→0 hΨ|Ψi
inf
und weiter mit irgendetwas anderem
p2
2m
hHi =
l12 = r2 ,
1
l1
=
− e2
1
1
~2
− e2
≥c
2
r
2ml1
l2
1
r
inf hHi ≥ inf
kΨk=1
~2
− e2
2m hri
1
= −∞
r
aus der Unschärferelation ⇒ Stabilität des H-Atoms
Bsp einer Wellenfunktion, spdass obiges beliebig klein wird
R groß, ε klein
2 R2
r ≈
2
1
1
≈ ε
r
2
radiale Schwingungsgleichung
~2
l(l + 1)
d2
l2
− 2+
−
u(r)
2m
dr
r2
r
d2
l(l + 1)
β
u(r)
− 2+
−
dr
r2
r
= Eu(r)
= −κ2 u(r)
Verhalten: u(r) ≈r→∞ e−κr , u(r) ≈γ→0 γ l+1
Ansatz:
u(r)
= e−κr L(r)
u0 (r)
= e−κr (L0 − κL)
u00 (r)
= e−κr (−2κL0 + κ2 L + L00 )
00
u =
l(l + 1) β
2
− + κ e−κr
r2
r
Laguerre-DGL
L00 −
l(l + 1)
β
L − 2κL0 + L = 0
r2
r
30
L(r)
= rl+1
∞
X
cn rn =
n=0
=
∞
X
∞
X
cn rn+l−1
n=0


∞

 X
cn rn+l−1 (n + l + 1) (n + l) − l(l + 1) =
cn rn+l [2κ(n + l + 1) − β]
|
{z
}
n=0
n=0
n2 +n(2l+1)=n(n+2l+1)
=
∞
X
cn+1 rn+l [(n + 1)(n + 2l + 2)] =
X
cn rn+l [2κ(n + l + 1) − β]
n=0
cn+1
n(r)
2κ(n + l + 1) − β
2κ
(2κ)n+1
≈
cn . . . ≈
c1
(n + 1)(n + 2l + 2)
n+1
(n + 1)!
X
X (2κr)n+1
=
e−κr = e2κr−κr ∈
/ L2
cr rn e−κr ≈
(n + 1)!
n
= cn
Haben also keine Lösung, da Reihe abbrechen muss
⇒ 2κ (n + l + 1) = β
| {z }
N
N ist Hauptquantenzahl ≥ 1
~2 2
~2 β 2
1 ~2 4m2 e4
1
E=
κ =−
=
−
=−
2
2
4
2m
2m 4N
N 8m ~
2N 2
me4
~2
haben hier ein diskretes Punktspektrum
N
=
n+l+1
n
. . . radiale Quantenzahl
l
=
1, 2, . . .
Grafik Energieniveaus (Orbitale)
hl = −
d2
l(l + 1) β
+
−
2
dr
r2
r
es fehlen in unserer Rechnung noch ein paar Kleinigkeiten: z.B. Elektron-ElektronWechselwirkung
Algebraische Lösungsmethoden Beh.:
hl = A†l Al
mit
Al =
d
l+1
β
−
+
dr
r
2(l + 1)
31
A†l Al
=
−
= −
d
l+1
β
−
+
dr
r
2(l + 1)


d
l+1
β
−
+
dr
r
2(l + 1)

β
d2 
β2
 d 1 1 d  (l + 1)2
+
−
2
−
+
+


d2 |dr r {z r dr}
r2
2r 4(l + 1)2
− r12
= −
(l + 1)2 − (l + 1) β
R2
d2
β2
+
−
=
h
+
+
l
d2
r2
r
4(l + 1)2
4(l + 1)2
Ende 24.05.2005
Beginn
25.05.2005
(sollte nichts am Anfang fehlen)
H-Atom
hl = −
d2
l(l + 1) β
β2
+
− = A†l Al −
,
2
2
dr
r
r
4(l + 1)2
A†l = −
A†l Al
β=
2m 2
e ,
~2
=
d
l+1
β
−
+
dr
r
2(l + 1)
l+1
β
d
l+1
β
d
+
−
+
= − −
dr
r
2(l + 1)
dr
r
2(l + 1)
2
2
d 1 1 d
d
(l + 1)
β
= − 2 + (l + 1)
−
+
−
dr
dr r
r dr
r2
r
|
{z
}
− r12
jetzt fehlt was
l+1
Al kl = kl + 2 2
Al
r
d2
l(l + 1) + 2(l + 1) β
= − 2+
−
Al
dr
r2
r
= kl+1 Al
(l + 1)
A†l kl + 2
= kl A†l
r2
|
{z
}
kl+1
kl A†l = A†l kl−1
Sei hl un,l = n,l un,l ⇒ Al kl un,l = n,l Al un,l ⇒ Al un,l ∝ un−1,l+1
|{z}
kl+1 Al
N = n + l + 1, En,l = − 2N1 2
N=2,3:...
3: 3s 2p
32
2m
E
~2
2: 2p
2
~2 l(l+1)
− er
2m r 2
β2
A†l Al − 4(l+1)
2 ≥
Veff =
kl =
⇒
2
β
− 4(l+1)
2,
Gleichheit ⇔ Al u0,l = 0
d
l+1
β
−
+
dr
r
2(l + 1)
u0,l = 0
β
Lösung: u0,l = cl rl+1 e− 2(l+1) r
β
2
2
e
R
=
me2
~2
=
1
rB
4
= mc2 ~c2 c2
rB =
~2
me2
−
r
u1s (r) = u0,0 (r) = co re rB
R∞
dr ru21s (r)
hri1s = R0 ∞
dr u21s (r)
0
hri1s
Al =
R∞
2
dr r2 rR1s
(r)
= R0 ∞
2
2
dr r R1s (r)
0
l+1
1
d
−
+
dr
r
rB (l + 1)
l+1
Al , A†l = 2 2
r
β
4(l + 1)2
h
i
l+1
†
[Al , hl ] = Al , Al Al = 2
Al
r2
hl = A†l Al +
,
βr
Al u0,l = 0 ⇔ u0,l = cl rl+1 e− 2(l+1)
l+1
Al hl = hl + 2 2
Al
r
|
{z
}
hl+1
A†l hl+1 = hl A†l
Sei hl un,l = n.l un,l
⇒ hl+1 Al un,l = Al hl un,l = n,l (Al un,l )
| {z }
∝un+1,l+1
33
Ende 25.05.2005
Anfang
30.05.2005
hl+1 un,l+1 = n,l+1 un,l+1
A†l hl+1 un,l+1
= hl A†l un,l+1 = n,l+1 A†l un,l+1 ⇒ A†l un,l+1 ∝ un+1.l
l+1 − βr
d
1
Bsp: Gegeben: u0,l ; gesucht: u1,l−1 ∝ A†l+1 u0,l = dr
− rl + 2l
r e 2(l+1) =
βr
2l + 1
1
1
rl+1 e− 2(l+1) ∼
−
+β
+
= untenr & 0(=)rl
r
2l 2(l + 1)
{z
}
|
1 Knoten in (0,∞)
4
4.1
Streuung
Streuung in einer Dimension
~2 d2
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
−
2m dx2
R∞
R∞
|x|→∞
Sei V (x) −→ 0( −∞ dx |V (x)| < ∞ −∞ dx x |V (x)| < ∞,∃V 0 )
Spektrum des s.o. Op H kann diskretes Punktspektrum haben und hat absolut
stetiges kontinuierliches Spektrum (bezüglich Lebesgue-Maß) (6= singuläres stetig;
@ in Atom-, Molekülphysik (siehe B. Simon, M. Reed))
A = A†
R
A = γ λdE(λ) vs.
P
A = αn |ni hn|
| {z }
P
spA
1
2π
4.1.1
Z
∞
dxeikx = δ(k − k 0 )
−∞
Potentialstreuung D = 1
~2 d 2
+
V
(x)
ψ(x) = Eψ(x),
−
2m dx2
Anfang
31.05.2005
E > 0,
|x|→∞
V (x) −→ 0
Suchen Lösungen, die für x → ±∞ zu Lösungen der freien Schrödingergleichung
~2 d2
− 2m
dx2 ϕ(x) = Eϕ(x) ”konvergieren“ (∃ zeitabhängige Streutheorie (starke Konvergenz von unitären Gruppen))
ϕ(x) = α(k)eikx + β(k)e−ikx
E=
~2 k 2
2m
Randbedingungen:
x→−∞
ψ(x) −→ eikx + R(k)e−ikx
34
eikx
. . . ebene einfallende Welle
R(k) . . . Reflexionskoeffizient
bzw.
x→+∞
ψ(x) −→ T (k)eikx
T (k) . . . Transmissionskoeffizient
(wenn nix reflektiert wird, haben wir Soliton-Welle)
Beispiel.
~2 d2
−
+ λ̄δ(x) ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
d2
− 2 + aδ(x) ψ(x) = ψ(x)
dx
RB bei x = 0, lim→0 (ψ 0 (˜
) − ψ 0 (−˜
)) = λψ(0)

eikx + R(k)e−ikx
ψ(x) =
T (k)eikx
x<0
x>0
1 + R(k) = T (k)
ikT (k) − ik(1 − R(k)) = λT (k)
−ik + ikR(k) = (λ − ik)(1 + R(k)) = λ − ik + λR − ikR
R(k) =
λ
,
2ik − λ
T (k) =
2ik
2ik − λ
folgendes hat Grosse weggelöscht...
j(x) =
|R|2 + |T |2 = 1
Beispiel.
−
d2
+
V
(x)
ψ = Eψ
dx2
2 Fälle: sei
V0 > E,
+
d2
ψ = (V0 − E)ψ → ψ(x) = α(κ)eκx + β(κ)e−κx
dx2
35
κ2 = V 0 − E
√
2m
2κa
= e−2a (V0 −E) ~
≈
e|{z}
|T (k)|2
| {z }
Durchlässigkeit Gamovfaktor
4 Randbedingungen:
2 bei x = −a und 2 beix = a
4.1.2
Streuung im D = 3
(kugelsymmetrisches Potential)
nicht vergessen: dΩ = d cos θdϕ
k
. . . Impuls des gestreuten Teilchen /der gestreuten Welle
gestreute Welle ist für ausreichend große r Kugelwelle
~2
−
∆ + λV (r) ψ(x) = |{z}
E ψ(x)
2m
~2 k2
2m
2m
∆ + k 2 ψ(x) = 2 λV (r)ψ(x)
|~
{z
}
+ Randbedingungen
ρ(x)
Bemerkung.
−∆u(x) = ρ(x)
Z
d3 yρ(y)
u(x) =
4π |x − y|
Z 3
d yρ(y)
1
−∆u(x) =
−∆x
= ρ(x)
4π
|x − y|
−∆x G0 (x − y) = δ 3 (x − y)
| {z }
1
4π|x−y|
−∆
1
= 4πδ 3 (x)
|x|
−∆ − k 2 ψ(x) = −ρ̃(x)
−∆ − k 2 G(x) = δ 3 (x)
brauchen Greenfunktion:
36
Ende 31.05.2005
Anfang
01.06.2005
Behauptung.
G(x) =
ei|k||x|
eikr
=
4π |x|
4πr
Beweis. r 6= 0 z.z.
a)
−∆ − k 2 G(|x|) = 0
ikr
ikr
eikr
1 ∂ 2 ∂
e
1 ∂ 2
e
eikr
2
− 2 r
−k
= − 2 r ik
− 2 − k2
r ∂r ∂r
r
r ∂r
r
r
r
ikr
1 ∂
e
=− 2
ikreikr − eikr − k 2
r ∂r
r
eikr
1
ikr
2 ikr
ikr
− k2
=0
= − 2 ike − k re − ike
r
r
Z
d3 x
|∆x|≤ε
Z
Greenformel:
lim
ε→0
eikr
4πr
eikr
∇
4πr
−∆ − k 2
2
d f
|∆x|≤ε
−∆ − q 2
Z
ε→0
d3 keikr
3
(2π)
Z
d3 xδ 3 (x)g(x)
g(x) = lim
|∆x|≤ε
g(x) = g(0)
Z
G̃(k) =
d3 k ikx
e
(2π)3
d3 k ikx 2
e
k − q 2 G̃(k)
(2π)3
Z
d3 k ikx
=
e
(2π)3
Z
=
Gesucht: Lösung von −∆ − q 2 G(x) = δ 3 (x)
Ansatz:
Z
d3 k ikx
e
G̃(k)
↔
G̃(k)
=
d3 xe−ikx G(x)
(2π)3
1
+ Lösung der homogenen Gleichung
⇒ G̃(k) = 2
k − q2
Z
i|k||x−y|
2m
3 e
⇒ ψ(x) = eikx − λ
d
y
V (|y|)ψ(y)
Lippmann-Schwinger-Gleichung
4π~2
|x − y|
Z
G(x) =
Der linke Term ist dabei Lösung von −∆ + k 2 eikx = 0
Die Lippmann-Schwinger-Gleichung ist von der Gestalt
Z
ψ(x)
= ψhom + λ
dy ker(x, y)ψ(y)
Z
= ψhom + λ dy ker(x, y) ψhom (y) + λ dz ker(y, z)ψ(z)
Z
Z
Z
2
= ψhom + λ dy ker(x, y)ψhom (y) + λ
dy ker(x, y) dz ker(y, z)ψ(z)
|
{z
}
Z
O(λ2 )
37
λV (r) = −
e2
r
Näherung: 1. Term der Born-Reihe
ψ B (x) = eßkx −
2mλ
4π~2
Z
|x−→∞| ikx eikx
d3 yeik|x−y|
−→ e
+
V (|y|)eikx + O λ2
f (θ)
|x − y|
r
wo f (θ) Streuamplitude
Ende 01.06.2005
Anfang
06.06.2005
Streuung: Schrödingergl + RB = Integralgl.
1. Born-Näherung
r−
x·y
z }|r {
Z 3 k |x − y|
2m λ
d ye
ψk (x) = eikx − 2
V (|y|) eikx + O λ2
~ 4π
|x − y|
|
{z
}
s (x)
ψk
|x|→∞
ψks (x) −→
2m λ eikr
− 2
~ 4π r
|
Z
d3 yeikx−ik( r ·y) V (|y|)
{z
}
x
eikr
r
fq1B (ϑ)
|x| = r
p
x2 + y 2 − 2x · y
v
x y
u
y2
= ru
u1 + 2 − 2
r
r |{z}
r
t
|x − y| =
O( r1 )
1
x·y
1
= r 1−
+ O( 2 ) = r −
+O
r r
r
r
r
√
x̃
1 − x̃ = 1 +
+ O x̃2
r?
x y
fq1B (ϑ) = −
2m λ eikr
~2 4π r
38
Z
d3 yeiqy V (|y|)
wo
q = k − k0
x
k0 = k
r
0
k = k
q 2 = q 2 = k − k0
2
= k 2 + k 02 − 2kk 0 cos ϑ
= 2k 2 (1 − cos ϑ)
| {z }
2 sin3
q = 2k sin
ϑ
2
ϑ
2
df = r2 dl
q =Impulsübertragung
ϑ =Streuwinkel (im Ruhsystem des Targets)
löst Schrgl. zur Energie E =
~2 2
2m k
Randbed:
|x|→∞
ψk (x) −→ eikx +
eikr
r
f (ϑ)
|{z}
Streuamplitude
(Interferenzterm wird ausgeblendet)
...
Teilchendichte . Fläche . Geschwindigkeit=# der Teilchen die pro Sekunde durch
die Fläche durchtreten
ikx e = 1T./V ol
~k
p
~
1
∗ 1
∗
j ein = 2m
ψein
i ∇ψein − ψein i ∇ψein = m = m = v
~k 1B 2
~
1
∗ 1
∗
j aus = 2m
ψaus
i ∇ψaus − ψaus i ∇ψaus = m fq (ϑ)
|{z} | {z2 }
v
r
ψaus =# der Teilchen pro Sekunde, die in den Raumwinkel dΩ gestreut werden
dσ =
#aus
#ein
⇒
dσ
dΩ
2
= |f |
df
2
v |fq1B (ϑ)|
r2
z }| {
r2 dΩ /dΩ
dΩ# Teilchen die pro
R
dσ
= σtot (Fläche)
dΩ dΩ
dσ
dΩ
2
= |f (ϑ)|
39
dσ
dΩ
2
= |f (ϑ)|
fq1B (ϑ)
Z
2m λ
=− 2
d3 yeiq·y V (|q|)
~ 4π
Z 1
Z 2π
Z ∞
2m λ
2
dzeiqyz V (q)
dϕ
=− 2
dy y
~ 4π 0
−1
0
Z ∞
2m λ
eiqy − e−iqy
= 2
dy y 2 2π
~ 4π 0
iqy
Z ∞
2m
sin qy
= 2λ
dy y
V (y)
~
q
0
z
z }| {
mit q · y = |q| |y| cos ϑ=qyz
R 2π R π
dΩ = sin ϑdϑdϕ = −d cos
0
−π
| {zϑ} ϕ
Ende 06.06.2005
Anfang
07.06.2005
z
Streuung, Streuamplitude
|x|→∞
ψk (x) −→ eikx +
eikr
f (ϑ)
| r {z }
Kugelwelle
dσ
dΩ
2
= |f (ϑ)|
q 2 = q 2 = 2k 2 − 2kk0 = 2k 2 (1 − cos ϑ) = 2k sin ϑ2
E=
~2 k2
2m
=
~2 k2
2m
1. Born Näherung:
f (ϑ) =

− e2
rB
Beispiel. λV (r) =
0
2m
λ
~2
∞
Z
dyy
0
sin yqV (y)
q
für 0 ≤ r ≤ rB
sonst
Z
2m e2 rB
sin yq
f (ϑ) = 2
dyy
~ rB 0
q
Z rB
2
3
q&0 2m e
yq
2m e2 rB
'
dyy
=
~2 rB 0
q
~2 rB 3
2
= rB
3
Streuquerschnitt wird für kleine Energien isotrop
2
|f (ϑ)| '
2m
λ
~2
2 Z
∞
2
dyy V (r)
2
0
Im Bsp:
dσ
2 q&0 4 2
= |f (ϑ)| ' rB
dΩ
g
e2
r
= mc2 , r =
e2 ~2 c2
mc2 e4
=
~2
mc2 rB
=
~2
e2
40
−µr
Bsp: Yukawapotential λV (r) = −g e
r
Z ∞
eiyq eiyq − e−iyq
2m
dyy
f (ϑ) = 2 g
~
q
2i
0
2m 1
1
1
= 2g
−
~ 2iq µ − iq µ + iq
|
{z
}
2iq
µ2 +q 2
=
2mg
~2 (µ2 + q 2 )
⇒ µ = 0; g → ±e2
Streuung am Coulombpotential (Rutherford)
q 2 = 4k 2 sin2 ϑ2
R∞
R∞
dye−αy = α1 falls Re α > 0 0 dyeiy(q+iε) =
0
dσ
dΩ
2
= |f (ϑ)| =
Z 2 4m2 e4
16~2 k4 sin4
ϑ
2
=
Z 2 e4
16E 2 sin4
1
(−i)(q+iε)
ϑ
2
Bemerkung.
1. Diff. Streuquerschnitt ist unabhängig von ~ (klassisch identisch)
R
dσ
2. divergiert für ϑ = Θ(nicht messbar ;∃ immer Abschirmung) ⇒ σtot = dΩ dΩ
=
∞(Infrarotproblem der QED)
(Teilchentrajektorien werden nie gerade Linien) ∃ logarithmische Modifikationen
3. Coulomb-Lippmann-Schwinger lösbar
exakte Lösung für |f (ϑ)| ist gleichf 1B (ϑ) (obwohl Born’sche Näherung)
4. Coulombpotential ist langreichweitig für r → ∞(rV (r)) 6= 0
(weitentfernte Teilchen “spüren” noch das Potential) Streuung Elektronen am
Kern; Rutherford deduzierte Atomstruktur
5) Spin – Statistik – Periodensystem
P
PZ Pj2
2
Neutrale Atome: H = j=1 2m
− Ze
+ i<j
rj
e2
|xi −xj |
5) Spin-Statistik (Periodensystem)
Stern-Gerlach Versuch: Elektronenstrahl durch Magnetfeld gestreut
∆E = −µB = −µz Bz
⇒ Kraft = +µz
∂Bz
±O
∂z
Kopplung an Magnetfeld: Zeeman-Effekt
Atome mit Z ungerade geben gerade H von ?? ⇒ Drehimpulsoperator
Lorentzkraft: F = eE + qc vx R
41
Ende 07.06.2005
Beginn
08.06.2005
L=
mv 2
e
+ vA − V (x)
2
c
statisch: B = rot A
A → A0 + ∇W (x)
Vektorpotential nicht eindeutig
Hamiltonfunktion:
H=
(p − ec A)
p2
e
e2
A2
=
−
(pA + Ap) +
2m
2m 2mc
2mc2
Minimalsubstitution: p → p − ec A


0


konstantes Magnetfeld: B =  0 
B


y


wählen Eichung: A = − B2  −x 
0

∂Ax
B
=− ,
∂y
2
H=
∂Ay
B
=+
∂x
2
⇒

0


rot  0 
+B
p2
e
e2 B 2 2
−
Lz B +
(x + y 2 )
2m 2mc
2mc2 4
Ap = −
B
B
(ypx − xpy ) = +Lz
2
2
diamagnetisches Term ist sehr klein und wird daher vernachlässigt ⇒ LamdanHamiltonoperator
H-Atom im Magnetfeld:
HB =
e
e2
p2
−
Lz B −
2m |2mc{z } r
µB
daraus folgt Aufspaltung der im H-Atom entarteten Energieniveaus (Zeeman-Effekt)
e
e~
l = 2, B 6= 0 : (∆Em )spinlos = − 2mc
hnlm̃ Lz nlm̃i B = − 2mc
m̃B
e~
. . . Bohr’sches Magneton
2mc
magnetisches Moment
e
e− , p, n, . . . Spin 12 : µ = g 2mc
s
g =2+(
α
+ O(α2 )) . . . gyromagnetisches Verhältnis
2π
42
2 aus Dirac-Gleichung (und die Antiteilchen auch)
α
2π
von Schwinger
Spin-Matrizen:
s = ~2 σ
0
1
σ=
Basis ist |↑i ≡
1
0
1
0
!
0
i
,
!
i
0
,
!
= |0i ,
2
σ =3=
σx2
+
+
σz2
!!
im H = C2
!
0
1
|↓i ≡
σy2
1 0
0 −1
= |1i
3
0
=1+1+1=
erfüllt Drehimpulsalgebra: [sx , sy ] = i~sz im C2 :
0
3
!

2

, 2~2 1 = L2 =  0
0
!
α
β
0
2
0

0

0 
2
L⇒L+S =J
falls L und S jedes für sich eine SU(2)-Algebra erfüllen, erfüllt auch J SU(2)Algebra
∀ reine Zustand über C2 heißt ein q-Bit: |ϕi hϕ|
4.1.3
Ende 08.06.2005
Beginn
13.06.2005
Spin 1/2 Teilchen: e, p, n,...
hier fehlt furchtbar viel
2
Wählen Basis in C : |↑i =
1
0
!
0
1
, |↓i =
!
Zustand P↑ = |↑i h↑| =
1
0
0
0
!
α
β
!
=
Zustand P↓ = |↓i h↓| =
1
0
0
0
α
0
!
0
0
0
1
!
!
gemischter Zustand:
αP↑ + (1 − α) P↓ =
α
0
0
(1 − α)
Allgemeinste 2-dimensionale Dichtematrix:
0 ≤ ρ,
Trρ = 1
43
!
,
0<α<1
1
ρ=
2
!
n1 − in2
1 − n3
1 + n3
n1 + in2
1
(1 + n · σ)
2
=
man betrachte dazu einfach explizite Berechnung von RS
0 ≤ ρ ≤ 1, beide EW müssen positiv sein, d.h. Trρ positiv und det ρ ≥ 0
det ρ =
1
4
(1 + n3 ) (1 − n3 ) − (n1 − in2 ) (n1 + in2 ) =
1
4
1 − n23 − n21 − n22 ≥ 0
⇒ |n| ≤ 1
nennt man Blochsphäre
Alle reinen Zustände: ein EW = 1, anderer EW = 0 ist äquivalent zu det ρ = 0 ⇔
|n| = 1
d.h. n ist auf der S 2
α
0
†
Geg.: ρ ∈ U unitär ⇒ U ρU =
0
(1 − α)
!
Observable: 2x2 hermitesche Matrizen Geg.: Zustand ρ, Observable A
Erwartungswert im Zustand ρ A zu messen: TrρA = hAiρ
A = α0 1 + α · σ,
α0 , α i ∈ R
∀reine Zustände = 1 Q-Bit
∀gemischten Zustände = noisy Q-Bit
N-QBits reiner Zustand über C2 ⊗ . . . ⊗ C2
C 2 ⊗ C 2 ≡ C4
Basis:
1
0
!
0
1
,
!!
,
1
0
!
0
1
,
!

1
0
ei ⊗ fj :

1
! 

 0 
1


=

0
 0 
0
!
⊗

K1 L1


 K2 L2 


=

 K1 L2 
K2 L1

K1
K2
!
⊗
L1
L2
!
44
Matrizen: S 1 + S 2 = S =
~
2
(σ 1 + σ 2 ) ≡
~
2
(σ 1 ⊗ 12 + 12 ⊗ σ 2 )
unitäre Transformationen von N-QBits heißen Quantum Gates
Menge von Quantum Gates entspricht Rechnen des Quantencomputers (2N × 2N
Matrizen)
4.1.4
2 Spins in C2 ⊗ C2 ≡ C4
Tensorprodukt: H1 ⊗ H2 : wählt ONS in H1 & H2
|{z} |{z}
ei
fi
bilden formales Produkt (??) ei ⊗ fj wählt dies als Basis, linear ausdehnen, vervollständigen
C21
C22
:
:
1
0
!
1
0
!
,
1
,
2
0
1
!
0
1
!
1
2

!
|↑↑i =
1
0
!
|↓↑i =
0
1
!
|↑↓i =
1
0
!
|↓↓i =
0
1
!
⊗
1
0
!
⊗
1
0
!
⊗
0
1
!
⊗
0
1

1


 0 

=


 0 
0


0


 1 


=

 0 
0


0


 0 

=


 1 
0


0


 0 


=

0


1
Ali Bmj ui ⊗ vj = Ali Bmj ui vj
(A ⊗ B) (u ⊗ v) = Au ⊗ Bv
45
Ende 13.06.2005
Beginn
14.06.2005
Gesamtspin:
S = S 1 + S 2 = S 1 ⊗ 12 + 11 ⊗ S 2 =
~
(σ 1 × 12 + 11 ⊗ σ 2 )
2
S+ =
S− =
S z = S1z + S2z =
~
(σ1 ⊗ 12 + 11 ⊗ σ2 )
2
Aij B11
Aij B21
(A ⊗ B)ijlke = Aij Bkl uj ve = Aij ui Bkl vl =
Aij B12
Aij B22
!
Beispiel.

σ1z
⊗ 12 =
1 0
0 −1
!
1
0
⊗
!  1 0
 0 −1
0
=

1

0

11 ⊗
σ2z
=
1
0
0
1
!  1
 0
1 0
=

0 −1

!
⊗





~

Sz = 
2



0
1











0
0
2
Basis in C4 :
1
Triplett: √ (|↑↓i + |↓↑i)
2
1
Singlett: √ (|↑↓i − |↓↑i)
2
S z |↑↑i =
~
2 |↑↑i
2
1
S z (|↑↓i + |↓↑i) √ = 0
2
46
0
1 0
0 −1






0
−1 0
0 −1
0
2






1
S z (|↑↓i − |↓↑i) √ = 0
2
S z |↓↓i = −~ |↓↓i
S z |↑↑i = (S1z + S2z ) |↑↑i = ~
1 1
+
2 2
|↑↑i



S 2 |↑↑i = ~2 s(s + 1) |↑↑i =  S 21 + S 22 +2
|{z} |{z}
3 2
4~
3 2
4~
S1 ⊗ S2
| {z }

 |↑↑i
S1+ S2− +S1− S2+ +S1z S2z
1
2
S 2 (|↑↓i + |↓↑i) √ = ~2 √ (|↑↓i + |↓↑i) = ~2
2
2
3 3 1
+ +
4 4 2
|↑↑i
S 2 |↓↓i = 2~2 |↓↓i
L2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi
1 1
1
S | , ± i = ~2
2 2
2
2
3 1 1
| ,± i
2 2 2
...
D(l)
|{z}
(2l+1)×(2l+1)
( 21 )
(l+ 12 )
(l− 12 )
⊗D
| {z } = D
| {z } ⊕ D
| {z }
2×2
C2l+2
C2l
Dimensionen stimmmen schon mal (kein Beweis, aber schon recht nett)
Bemerkung.
(l1 )
(l2 )
D
| {z } ⊗ D
| {z } =
(2l+1)
(2l+1)
lM
1 +l2
D(l)
l=|l1 −l2 |
(o. Bew) Clebsch-Gordon-Reihe
D( 2 ) ⊗ D( 2 ) = D(0) ⊕ D(1)
1
1
Unitäre Transformationen im Hilbertraum H = L2 (R3 , d3 x)
Translation: ψ(x),
x → x0 = x + a (3par-Gruppe) ψ 0 (x)
Wahrscheinlichkeit:
2
2
fordern|ψ 0 (x0 )| = |ψ(x)|
wählen: ψ 0 (x0 ) = ψ(x) = ψ(x0 − a)(Phasenwahl)
Darstellung: ψ 0 (x) = ψ(x − a)
47
Ende 14.06.2005
Anfang
15.06.2005
Behauptung. Der Impulsoperator ist der infinitesimale Erzeuger der Translationen
n
P
1
ψ 0 (x) = e− 2 ap ψ(x) = e−a∇ ψ (x) = n (−a∇)
ψ(x)
n!
Ua Ua† = Ua† Ua = 1 ' (1 − ~i ap)ψ(x)
ψ 0 (x) − ψ(x) = −a∇ψ(x) inf. Erzeuger Nabla
Unitäre Gruppe: Ua1 Ua2 = Ua1 +a2
Drehimpuls: x → x0 = Rx
()
Beispiel. Drehung um z-Achse x0i = Rij xj


cos α − sin α 0


Rij =  sin α cos α 0 
0
0
1
|ψ 0 (x0 )| = |ψ(x)|
Wählen Phase.
ψ 0 (x) = ψ(R−1 x)
1
Beispiel. ψ 0 (x) = e− 2 αnL ψ(x)
z-Richtung:
1
ψ 0 (x) = e− ~ αLz ψ(x) =
∂
αy ∂x
ψ(x)
 0  
x
cos α
 0  
 y  =  sin α
z0
0
∂
∂
∂
1 − ~1 α α~ x ∂y
− y ∂x
ψ(x) = ψ(x) − αx ∂y
ψ(x) +
 


x
cos αx − sin αy
0
 


0   y  =  sin αx + cos αy 
z
z
1
− sin α
cos α
0
∂
∂
Inf. Entwickliung von ψ(R−1 x) = ψ(x−αy, αx+y, z) ' ψ(x, y, z) −αy ψ + α ψ
∂x
∂y
|
{z
}
(αLz α)(x)
xxx.uni-augsburg.de
qspires/slac
Bogdanov/Sokal
He:
H() =
Ende 15.06.2005
22.06.2005: keine VO wg. Test
Anfang
27.06.2005
p21
Ze2
p2
Ze2
e2
−
+ 2 −
+
2m
r1
2m
r2
|x1 − x2 |
En1 ,l1 ,m1 ,n2 ,l2 ,m2 =
EH Z
|{z}
2
1
1
+
2
(n1 + l1 + 1)
(n2 + l2 + 1)2
−13.5 eV
a) E() ist monoton steigend
b) H() ist linear in ⇒ E() ist konkav
2
2
2
c) Sei x1 groß |x1e−x2 | ' |xe 1 | ⇒ Pot. gesehen von x1 : (−Z + ) er1
⇒Alle neutralen Atome haben unendlich viele Bindungszustände.
Für = 1 und Z = 1 Elektron sieht kurzreichweitiges Potential
48
⇒ ∃!1 Bindungszustand von H − natürlicher Parität(S) (Sternatmosphäre)
(∃!3 Bindungszustände von H − unnatürlicher Parität(P)
R
R
1
h0 V 0i = e2 d3 x d3 yϕ21s (x)ϕ21s (y) |x−y|
= 54 e2
EHe ≤ EH 2Z 2 − 5 Z 4
Z=2
Störungsreihe: H = H0 + v; Vor: keine Entartung
(0)
H0 |ni
(0)
= En |ni

(0)
(H0 + v) |0i
|
(1)
+ |0i
{z

(0)
(1)
(2)
(0)
(1)
+ . . . = E0 + E0 + 2 E0 + . . .
|0i + |0i + . . .
}
(0)
Sei h0 0i = 1 = h0 0i
= E0 |0i
(1)
+ V |0i
1. Ordnung: H0 |0i
(1)
h0 H0 0i
(0)
(0)
0. Ordnung: H0 |0i
(0)
(1)
⇒ h0 0i
(1)
= 0, . . . 0 h0 0i
(0)
(0)
(0)
(0)
+ (0) h0 V 0i
(1)
(1)
+ E0 |0i
(1)
E0 + E0
= E0 |0i
= (0) h0 0i
(0)
(0)
(1) (0)
|
(2)
(1)
(0)
E0
(2)
(1)
E0
(2)
E0
(0)
(1)
, E0
(0)
=(0) h0 V 0i
(0)
h0 0i
{z }
1
(0)
2. O: H0 |0i + V |0i =
|0i +
|0i +
|0i
D D E(2)
E(1)
(2)
(0)
(0)
(0)
(0)
0
+ (0) 0 V − E0
0
= E0 (0) h0 0i
0 H 0 − E0
| {z }
1
(2)
(1)
= (0) h0 V 0i
(0)
(0)
P
(1)
(0)
Beh: |0i = − n6=0 |ni(0) hn|(0) |0i
En −E0
(1)
(1)
(1)
(1)
H 0 − E0
|0i = −V + E0 |0i
|
{z
}
⇒ E0
P
“
n6=0
(0)
(0)
En −E0
”
|nihn|
(kleine Teile fehlen)
H
neutrale Atome: N=Z H =
Thm: Sei H = −∆ −
1
r
PN p2j
j=1
2m
−
Ze2
rj
+
e2
i<j |xi −xj |
P
+ V (r)
Für V = 0 gibt es Entartung und Niveaus En,l = En−1,l+1
(Thm: ∆V (r) >< 0 ⇒ En,l >< En−1,l+1
Anwendung: Einteilchenbild
R
PR
2
ρ(x)
∆ − Zer + d3 y |x−y|
ψ(x) = Eψ(x), ρ(x) =
ψ(x, xi , xn )d3 xi d3 xN 3~ω
2
28.06.
wissen schon:
HN,Z =
N
N
N
X
X
X
p2j
ze2
1
−
+ e2
2m
|xj |
|xi − xj |
j
j
i<j
dazu kommt noch:
• Berücksichtigung des Spins & Pauliprinzip
49
• relativistische Korrekturen
• Spin-Bahn-Kopplung
• Feinstruktur:
– σL dV
dr
– σ i σ j · Spin-Bahn-Kopplung
• elektrische Felder
• magnetische Felder
Kann dann Bearbeiten:
p
c2 p2 + m2 c4 = mc2
p2
−O
1+
2m2 c2
2 !!
p2
c4
verwende da aber besser gleich Dirac-Gleichung oder überhaupt relativistische Feldgleichungen
mit Spin (aber ohne relativistische Korr.) komme ich zu Pauli-Gleichung
HP auli =
X (σ j (p − eAj ))2
i
+ V (. . .)
2m
j
kann auch Moleküle basteln, indem ich einfach Gleichungen zweier Atome addiere
(und schaue, was passiert)
damit Vorstellungen wie Van-der-Waals-Kraft unnötig (aber PDGL-Systeme sehr
kompliziert)
5
Abschlussbemerkungen
Ein Formalismus ist noch keine “Theorie”, es Bedarf einer Interpretation
Schrödinger Wellenfunktion ist nicht messbar
QM widerspricht klassischem Determinismus: was heißt das?
Bem.:
1
h↑↓ − ↓↑ | (σ · a) ⊗ (σ · b) | ↑↓ − ↓↑i = a · b = cos (α − β)
2
gibt es Hidden-Variables? wurde heiß diskutiert von Neumann, Bohm6 , Bell (1966)
Beweis, dass QM tatsächlich anders als KM aus
Clausner-Horn-Shimoni-Holt-Ungleichung
6 sehr kurios, Bohm’sche Quantenmechanik vereinigt QM mit klassischer Trajektorie so, dass
Ergebnisse der QM herauskommen
50
Seien ξi (λ) und ηj (λ) stochastische Variable, i, j = 1, 2
Z
Eij = E(ξi , ηj ) =
|ξi (λ)| ≤ 1
dρ(λ)ξi (λ)ηj (λ)
|ηj (λ)| ≤ 1
Beh.:
|E11 − E12 | + |E21 + E22 | ≤ 2
Z
E11 − E12 =






dρ (ξ1 η1 ) (1 ± ξ2 η2 ) − ξ1 η2 1 ± ξ2 η1 
|{z}


∗
|E11 − E12 | ≤ 2 ± (E22 + E21 )
*: falls |x| ≤ 2 ± y ⇒ |x| + |y| ≤ 2
daher gilt das vorige
liegt so eine Verteilung vor, dann gilt in der QM
|cos (α1 − β1 ) − cos (α1 − β2 )| + |cos (α2 − β1 ) − cos (α2 − β2 )| ≤ 2
wählen α1 =
π
2,
β1 =
π
4,
α2 = 0, β2 = − π4
damit:
cos (α1 − β1 ) − cos (α1 − β2 ) + cos (α2 − β1 ) + cos (α2 − β2 ) ≤ 2
|
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
√
√
√
√
2
2
2
2
2
2
2
2
Annahme: Linearität des Erwartungswerts
es gibt also keine Hidden-Variables
Interpretation:
Einstein-Schrödinger: “Gott würfelt nicht”, Katze, ERP
Heisenberg-Bohr: nur beobachtbare Größen, Kopenhagener Interpretation, Messung: Beobachter stört, Unschärfe - verborgene Parameter?, Wellenpaket wird reduziert
weitere lustige Fragen: reduktion des Wellenpakets im Gehirn?, Wellenfunktion des
Universums
Interpretation von Everett & Wheeler: Many-Worlds-Theory
2 Grundpfeiler der modernen Physik:
• relativistische QM (Quantenfeldtheorie): Materie
51
• allgemeine Relativitätstheorie: Raum-Zeit
und beide widersprechen einander
52