Stochastische Analysis und Finanzmathematik

Stochastische Analysis und Finanzmathematik
Prof. Dr. Jan Kallsen
HVB-Stiftungsinstitut für Finanzmathematik
TU München
4. September 2006
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
1.1 Beispiel: Forward-Geschäft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beispiel: europäische Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Stochastische Analysis in diskreter Zeit
2.1 Diskrete Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) . . . . .
2.3 Filtrierung (Ft )t=0,1,2,... . . . . . . . . . . .
2.4 Bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen X
2.5 Stochastischer Prozess X = (Xt )t=0,1,2,... . .
2.6 Martingal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Stochastisches Integral H • X . . . . . . . .
2.8 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Stochastisches Exponential E(X) . . . . . .
2.10 Doob-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Irrpfad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Martingal-Darstellung . . . . . . . . . . . . .
3
4
5
Stochastische Analysis in stetiger Zeit
3.1 Stochastischer Prozess X = (Xt )Rt≥0 . . . .
3.2 Stochastisches Integral H • X = Hs dXs
3.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Stochastisches Exponential E(X) . . . . .
3.5 Doob-Meyer-Zerlegung . . . . . . . . . . .
3.6 Lévy-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . .
3.8 Geometrische Brownsche Bewegung . . . .
3.9 Itô-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Rechenregeln für Itô-Prozesse . . . . . . .
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Arbitragetheorie in diskreter Zeit
4.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Selbstfinanzierende Handelsstrategien . . . .
4.3 Abzinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Erster Fundamentalsatz der Preistheorie . . .
4.5 Bewerten und Hedgen von Termingeschäften
4.6 Zweiter Fundamentalsatz der Preistheorie . .
4.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Wertpapiere mit Dividenden . . . . . . . . .
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26
27
Arbitragetheorie in stetiger Zeit
5.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Begriffe analog zum Diskreten (vgl. Abschnitt 4)
5.3 Erster Fundamentalsatz der Preistheorie . . . . .
5.4 Bewerten und Hedgen von Termingeschäften . .
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30
31
31
31
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INHALTSVERZEICHNIS
5.5
5.6
3
Zweiter Fundamentalsatz der Preistheorie . . . . . . . . . . . . . . .
Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
6
Ausblick: unvollständige Märkte
6.1 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
37
7
Zinsmodelle
7.1 Zugrunde liegende Wertpapiere . . . . . . . . . .
7.2 Verschiedene Zinsen . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Verschiedene Zinspapiere . . . . . . . . . . . . .
7.4 Aspekte der Zinsmodellierung . . . . . . . . . .
7.5 Numeraireansatz zur Bwertung von Zinsoptionen
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38
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42
43
Short-Rate-Modelle
8.1 Allgemeines Modell . . . . . . . . . . .
8.2 Affine Zinsstruktur . . . . . . . . . . .
8.3 Beispiele affiner Short-Rate-Modelle . .
8.4 Allgemeines affines Short-Rate-Modell
8.5 Vasiček . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . .
8.7 Ho-Lee . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Hull-White (erweitertes Vasiček) . . . .
8.9 Ein affines Zwei-Faktor-Modell . . . .
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45
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46
46
46
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48
48
50
52
53
10 LIBOR-Marktmodelle
10.1 Neue Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Diskretes lognormales LIBOR-Marktmodell . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Bewertung von Caplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
56
56
57
11 Grafiken
11.1 Marktmodelle und Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Vasiček-Zinsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
58
60
63
8
9
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Heath-Jarrow-Morton
9.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Arbitragefreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Beispiel: Vasiček/Hull-White-Modell unter ÄMM Q (vgl. 8.8)
9.5 Bewertung/Hedging von Bond-Optionen . . . . . . . . . . . .
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1
1
EINFÜHRUNG
4
Einführung
Zwei zentrale Fragen:
• Bewertung redundanter Wertpapiere
• Absicherung des aus Wertpapiergeschäften entstehenden Kursrisikos
Zwei zentrale Hilfsmittel:
• duplizierende Portfolios
• Abwesenheit von Arbitrage
1.1
Beispiel: Forward-Geschäft
Kunde möchte 1$ in einem Jahr (=Zeitpunkt T ) zu heute (=Zeitpunkt 0) festgelegtem
Kurs F0 e kaufen.
Frage
• Welcher Kurs F0 ist fair?
• Wie sichert die Bank das entstehende Kursrisiko ab?
Voraussetzungen
• Am Markt gehandelt sind
– bei T fällige Nullkuponanleihen auf 1$; deren Kurs (in e) zum Zeitpunkt
0 sei D0 ,
– bei T fällige Nullkuponanleihen auf 1e; deren Kurs (in e) zum Zeitpunkt
0 sei E0 .
• keine Arbitragemöglichkeiten (risikolose Gewinne) am Markt
Erstelle Portfolio zum Zeitpunkt 0:
- Kaufe 1 T-$-Nullkuponanleihe; Kosten: D0
- Verkaufe
D0
E0
0
T-e-Nullkuponanleihen; Kosten: − D
E0 E0 = −D0
Behauptung
•
D0
E0
ist der einzige faire Forwardpreis (in dem Sinne, dass keine Arbitragemöglichkeiten entstehen).
• Das obige (so genannte duplizierende) Portfolio beseitigt das Kursrisiko der
Bank.
1
EINFÜHRUNG
5
Begründung
Cashflows
Zeitpunkt 0
Zeitpunkt T
Portfolio
+D0 − D0 = 0e
+1$
0
−D
E0 e
Forwardgeschäft (Käufer)
0e
+1$
−F0 e
Annahme:
Dann:
0
F0 < D
E0
Kaufe Forward, verkaufe Portfolio
0
risikoloser Gewinn D
E0 − F0 e bei T
Annahme:
Dann:
0
F0 > D
E0
Verkaufe Forward, kaufe Portfolio
0
risikoloser Gewinn − D
E0 + F0 e bei T
0
Bei F0 = D
E0 : Gewinne/Verluste des verkauften Forwards werden durch das duplizierende Portfolio genau ausgeglichen.
1.2
Beispiel: europäische Call-Option
Stillhalter erhält das Recht, Aktie S zum Zeitpunkt T (Fälligkeit) zum Preis 100 (Basispreis) zu kaufen; d.h. er erhält max(0, ST − 100) zum Zeitpunkt T .
Fragen
• Fairer Preis C0 dieses Vertrags zum Zeitpunkt 0?
• Wie sichert die Bank als Verkäufer das entstehende Kursrisiko ab?
Voraussetzungen
• Am Markt gehandelt sind
– die Aktie S,
– bei T fällige Nullkuponanleihen auf 1 e; deren Kurs zum Zeitpunkt 0 sei
0,99.
• keine Arbitragemöglichkeiten am Markt
• ganz einfache Kursentwicklung der Aktie:
S0 = 100
ST = 110
mit Wahrscheinlichkeit 0,6
ST = 90
mit Wahrscheinlichkeit 0,4
1
EINFÜHRUNG
6
Ziel Erstelle duplizierendes Portfolio, d.h. mit Wert max(0, ST − 100) bei T .
φ0 Anleihen, φ1 Aktien
Wert des Portfolios:
0, 99φ0 + 100φ1
V0
φ0 + 110φ1
10
φ0 + 90φ1
VT
0
Option
VT = max(0, ST − 100) gilt für φ0 = −45, φ1 = 0, 5.
Cashflow
Zeitpunkt 0
Zeitpunkt T
Portfolio
V0 = 0, 99φ0 + 100φ1 = 5, 45e
VT
Option
C0
max(0, ST − 100)
Wie im Forward-Fall folgt:
• C0 = 5, 45e ist der einzige faire Preis der Option.
• Durch den Kauf des Portfolios beseitigt die Bank das Kursrisiko aus dem Verkauf der Option vollständig.
Bemerkungen
• Wahrscheinlichkeiten gehen nicht in das Ergebnis ein.
• Im Gegensatz zum Forward ist die Annahme eines (unrealistischen) Kursverlaufsmodells nötig.
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
2
Stochastische Analysis in diskreter Zeit
2.1
7
Diskrete Zeit
-
0
2.2
1
2
t
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P )
Ω:
Menge der möglichen Ausgänge (oft abstrakt)
F:
σ-Algebra
(= unter abzählbaren Mengenoperationen ∩,∪, usw.
abgeschlossene Familie von Mengen A ∈ Ω)
P
2.3
Wahrscheinlichkeitsmaß
P (A) = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ∈ F
Filtrierung (Ft )t=0,1,2,...
wachsende Folge von σ-Algebren auf Ω, d.h. F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ F.
Idee: Ft steht für die zum Zeitpunkt t vorhandene Information.
A ∈ Ft bedeutet: Zur Zeit t ist bekannt, ob Ereignis A eintritt oder nicht.
2.4
Bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen X
Formal: E(X|Ft ) ist Ft -messbare Zufallsvariable, so dass E(XY ) = E(E(X|Ft )Y )
für alle Ft -messbaren Zufallsvariablen Y .
Idee: E(X|Ft ) ist der erwartete Mittelwert von X auf Grundlage der Information
zum Zeitpunkt t.
2.5
Stochastischer Prozess X = (Xt )t=0,1,2,...
Folge von Zufallsvariablen (= zufällige Folge von Zahlen)
Beispiel: Xt Kurs eines Wertpapieres zur Zeit t oder
Xt Zahl der Wertpapiere im Portfolio zur Zeit t.
2.5.1
Adaptierter Prozess
X heißt adaptiert, falls Xt Ft -messbar.
Idee: Xt ist zum Zeitpunkt t bekannt (z.B. Aktienkurs)
2.5.2
Vorhersehbarer Prozess
X heißt vorhersehbar, falls Xt Ft−1 -messbar.
Idee: Xt ist schon kurz vor t bekannt (z.B. Zahl der Wertpapiere im Portfolio, da Anruf
beim Makler notwendig)
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
2.6
8
Martingal
Ein adaptierter Prozess X heißt Martingal, falls E(Xt |Fs ) = Xs für s ≤ t.
Idee:
• Beste Prognose für zukünftigen Wert Xt zum gegenwärtigen Zeitpunkt s ist
gegenwärtiger Wert Xs .
• Prozess bleibt im Mittel auf heutigem Stand.
Beispiel: Spielvermögen in einem fairen Spiel
Beispiel: Z Zufallsvariable ⇒ Xt := E(Z|Ft ) Martingal (von Z erzeugtes Martingal)
(denn E(Xt |Fs ) = E(E(Z|Ft )|Fs ) = E(Z|Fs ) = Xs )
2.7
Stochastisches Integral H • X
Seien X ein adaptierter Prozess, H ein vorhersehbarer Prozess.
Das stochastische Integral H • X = (H • Xt )t=0,1,2,... ist der durch
H • Xt :=
t
X
(mit ∆Xs := Xs − Xs−1 )
Hs ∆Xs
s=1
definierte adaptierte Prozess.
Idee:
Ht
Xt
Zahl der Wertpapiere zum Zeitpunkt t (Handelsstrategie/Portfolio)
Aktienkurs zum Zeitpunkt t
Kursänderung von Xt−1 auf Xt
?
t-1
6
-
t
Wahl von Ht
Ht ∆Xt
H • Xt
Kursgewinn bzw -verlust zwischen t − 1 und t
kumulierte Kursgewinne zwischen 0 und t
Allgemeiner H, X Rd -wertig, H • X reellwertig definiert durch
H • Xt :=
t
X
=
H > ∆X
| s {z }s
s=1
Skalarprodukt
d
t X
X
s=1 i=1
Hsi ∆Xsi
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
9
Idee:
Xt = (Xt1 , . . . , Xtd )
Ht = (Ht1 , . . . , Htd )
P
Ht> ∆Xt = dt=1 Hti ∆Xti
2.8
Kurse von d Wertpapieren
Portfolio aus d Wertpapieren
Saldo der Kursgewinne/-verluste aus allen Papieren
zwischen t − 1 und t
Eigenschaften
1. X Martingal ⇒ H • X Martingal (in der Regel)
Idee: Aktie X wirft im Mittel keine Gewinne/Verluste ab
⇒ Dies gilt auch für dynamische Handelsstrategien.
Begründung für s = t − 1:
E(H • Xt |Ft−1 ) = E(H • Xt−1 + Ht ∆Xt |Ft−1 )
= H • Xt−1 + E(Ht ∆Xt |Ft−1 )
= H • Xt−1 + Ht E(∆Xt |Ft−1 )
{z
}
|
=0
= H • Xt−1
2. H • (K • X) = (HK) • X
Begründung
H (K X)t =
•
•
=
t
X
s=1
t
X
Hs ∆(K • X)s
Hs Ks ∆Xs
s=1
= (HK) • Xt
3. (Partielle Integration)
XY = X0 Y0 + Y− • Y + Y− • X + [X, Y ]
wobei der Prozess X− = (Xt− )t=0,1,2,... definiert ist durch Xt− := Xt−1 (und
X0− = 0) und der Kovariationsprozess [X, Y ] = ([X, Y ]t )t=0,1,2,... definiert ist
durch
t
X
[X, Y ]t :=
∆Xs ∆Ys
s=1
(für X = Y quadratische Variation von X)
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
10
Begründung
Xt Yt = X0 Y0 +
= X0 Y0 +
t
X
(Xs Ys − Xs−1 Ys−1 )
s=1
t
X
Xs−1 (Ys − Ys−1 ) +
s=1
Ys−1 (Xs − Xs−1 ) + (Xs − Xs−1 )(Ys − Ys−1 )
= X0 Y0 + X− • Yt + Y− • Xt + [X, Y ]t
4. [H • X, K • Y ] = (HK) • [X, Y ]
Begründung
[H • X, K • Y ] =
=
t
X
s=1
t
X
∆(H • X)s ∆(K • Y )s
Hs ∆Xs Ks ∆Ys
s=1
=
t
X
Hs Ks ∆[X, Y ]
s=1
= (HK) • [X, Y ]
5. (Itô-Formel)
Sei f : R → R zweifach stetig differenzierbare Funktion.
f (Xt ) = f (X0 ) +
t
X
(f (Xs ) − f (Xs− ))
s=1
1
= f (X0 ) + f (X− ) • Xt + f 00 (X− ) • [X, X]t + Restt
2
wobei
Restt =
t X
s=1
1
f (Xs ) − f (Xs− ) − f (Xs− )∆Xs − f 00 (Xs− )(∆Xs )2
2
0
Idee: Rest ist klein, falls die Zuwächse ∆Xt klein sind (Taylorsche Näherung).
Begründung
0
f (X− ) Xt =
•
t
X
f 0 (Xs− )∆Xs
s=1
f 00 (X− ) • [X, X]t =
t
X
s=1
f 00 (Xs− ) ∆[X, X]s
| {z }
=(∆Xs )2
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
2.9
11
Stochastisches Exponential E(X)
Sei X ein adaptierter Prozess.
Die Gleichung
Z = 1 + Z− • X
besitzt eine eindeutige Lösung Z, das stochastische Exponential E(X) := Z. Es gilt:
E(X)t =
t
Y
(1 + ∆Xs )
s=1
1
≈ exp Xt − X0 − [X, X]t
2
falls Zuwächse ∆Xt klein.
Idee: ∆Zt = Zt− ∆Xt bedeutet, dass die Zuwächse von Z proportional vom gegenwärtigen Wert abhängen.
Begründung mit Induktion
Zt = Zt−1 + Zt−1 ∆Xt
t−1
Y
=
(1 + ∆Xs )(1 + ∆Xt )
=
s=1
t
Y
(1 + ∆Xs )
s=1
In der Näherung o (∆Xs )2 = 0 gilt:
1
exp Xt − X0 − [X, X]t
2
t
Y
1
2
=
exp(∆Xs ) exp − (∆Xs )
2
s=1
t Y
1
1
2
2
2
2
=
1 + ∆Xs + (∆Xs ) + o((∆Xs ) )
1 − (∆Xs ) + o((∆Xs ) )
2
2
s=1
t Y
1 1 2
2
2
1 + ∆Xs + (∆X
)
−
(∆X
)
+
o((∆X
)
)
=
s
s
s
2
2
≈
s=1
t
Y
(1 + ∆Xs ) = E(X)t
s=1
2.10
Doob-Zerlegung
Die meisten adaptierten Prozesse X lassen sich eindeutig zerlegen in der Form
X = X0 + M + A,
wobei M Martingal mit M0 = 0 und A vorhersehbar mit A0 = 0. A heißt Kompensator oder Drift von X.
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
12
Begründung
Xt = X0 +
= X0 +
t
X
s=1
t
X
∆Xs
(∆Xs − E(∆Xs |Fs−1 )) +
|s=1
{z
}
Mt
t
X
E(∆Xs |Fs−1 )
|s=1
{z
At
}
M Martingal, denn E(∆Mt |Ft−1 ) = E(∆Xt |Ft−1 ) − E(E(∆Xt |Ft−1 )|Ft−1 ) = 0
Idee: ∆At steht für den erwarteten Trend von X zwischen t − 1 und t, ∆Mt für die
zufällige Abweichung von diesem Trend.
2.11
Irrpfad
Ein Standard-Irrpfad sei ein adaptierter Prozess X mit
a) X0 = 0
b) ∆Xt unabhängig von Ft−1 (d.h. von der Vergangenheit)
c) P (∆Xt = 1) = P (∆Xt = −1) =
1
2
Idee: Folge von Münzwürfen, addiere/subtrahiere 1 bei Kopf/Zahl
2.12
Martingal-Darstellung
Seien X Standard-Irrpfad und (Ft )t=0,1,... die von X erzeugte Filtrierung (d.h. aller
Zufall im Modell resultiert aus der Münzwurffolge). Dann gibt es für jedes Martingal
M ein vorhersehbaren Prozess H mit
M = M0 + H • X
(d.h. alle Martingale sind stochastische Integrale nach X).
Idee: Jede zufällige Auszahlung Z = MT lässt sich mit Anfangskapital M0 und
Handelsstrategie H als Endkapital Z = M0 + H • XT bei T erhalten.
2
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT
H=0,11
1
1, 1
Xt
Mt
H=0,1
0
1
1
2
1
2
1
2
H=0,121
2
1, 21
H=0,099
0
0, 99
H=0,099
1
2
H=0,09
−1
0, 9
1
2
1
2
0
0, 99
H=0,081
−2
0, 81
13
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1, 331
1
1, 089
1
1, 089
−1
0, 891
1
1, 089
−1
0, 891
−1
0, 891
−3
0, 729
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
3
Stochastische Analysis in stetiger Zeit
14
wie bisher: Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Filtrierung (Ft )t≥0 (jetzt in stetiger Zeit)
-
0
3.1
t
Stochastischer Prozess X = (Xt )t≥0
Familie von Zufallsvariablen (= zufällige Funktionen der Zeit)
X heißt stetig (bzw. càdlàg, von endl. Variation, ...), falls t 7→ Xt (ω) stetig (bzw.
càdlàg, von endl. Variation, ...) für festes ω.
càdlàg: rechsseitig stetig mit linksseitigen Grenzwerten
von endlicher Variation: Der Graph der Funktion hat als Kurve im R2 endliche Länge
(bis zu jedem t).
Beispiel: stetig differenzierbare Funktionen
Gegenbeispiel: Brownsche Bewegung
X heißt adaptiert, falls Xt Ft -messbar (d.h. bei t bekannt).
X heißt vorhersehbar, falls „Xt kurz vor t bekannt“ (mathematische Definition ist
schwierig).
Ein adaptierter càdlàg-Prozess heißt Martingal, falls E(Xt |Fs ) = Xs für s ≤ t.
3.2
Stochastisches Integral H • X =
R
Hs dXs
Seien X adaptierter càdlàg-Prozess (Aktienkursverlauf),
H vorhersehbarer Prozess (Zahl der Aktien im Portfolio = Handelsstrategie).
Ziel Definition des stochastischen Integrals H
Handelsgewinne/verluste bis t)
•
X = (H
•
Xt )t≥0 (kumulierte
Sinnvolle Eigenschaften
a) Für Ht = Y 1]r,s] (t) mit Fr -messbarer Zufallsvariable Y (kaufe Y Aktien bei r,
verkaufe alle wieder bei s) ist H • Xt = Y (Xmin(s,t) − Xmax(r,t) ).
b) H • X ist linear in H.
c) H • X ist stetig in H
(d.h. Htn → Ht punktweise ⇒ H n • Xt → H • Xt stochastisch).
Allgemeine Theorie stochastischer Prozesse ⇒ Für eine große Klasse von Prozessen
X (Semimartingale) und eine große Klasse von Integranden (u.a. alle beschränkten)
existiert genau eine solche Abbildung.
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
15
Rt
Schreibweisen H • Xt = 0 Hs dXs
Rt
Rt
Rt
Statt Yt = 0 Hs dXs oder (wegen 0 dYs = 0 1dYs = Yt − Y0 )
Rt
Rt
0 dYs = 0 Hs dXs
schreibt man auch
dYs = Hs dXs
(sinnvoll nach Wiedereinführen der Integralzeichen).
Anderer Zugang: Stieltjes-Integration Handelsgewinne im Intervall [t, t + dt]:
“Ht dXt ”, wobei dXt Kursänderung zwischen t und t + dt.
t
Falls Xt differenzierbar mit Ableitung Ẋt = dX
dt , gilt dXt = Ẋt dt.
Rt
Rt
Definiere also H • Xt = 0 Hs dXs := 0 Hs Ẋs ds (Stieltjes-Integral).
Problem Wichtigster Prozess Brownsche Bewegung ist nicht differenzierbar, nicht
einmal von endlicher Variation ⇒ Stieltjes-Integral nicht definiert.
d
Allgemeiner
R · H, X R -wertig,
•
H X = 0 Hs dXs reellwertig definiert durch
H • Xt =
d
X
H i • Xti
i=1
(Kursgewinne/-verluste aus ganzem Portfolio)
3.3
Eigenschaften
1. X Martingal ⇒ H • X Martingal (in der Regel)
2. H • (K • X) = (HK) • X
(differentiell geschrieben: Ht (Kt dXt ) = (Ht Kt )dXt )
3. (partielle Integration)
XY = X0 Y0 + X− • Y + Y− • X + [X, Y ]
wobei der Prozess X− = (Xt− )t≥0 def. ist durch Xt− := limXs
s↑t
und der Kovariationsprozess [X, Y ] = ([X, Y ]t )t≥0 definiert ist durch
[X, Y ]t = lim
n→∞
n
X
(X k t − X k−1 t )(Y k t − X k−1 t )
k=1
n
(für X = Y quadratische Variation von X)
4. [H • X, K • Y ] = (HK) • [X, Y ]
n
n
n
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
16
5. (Itô-Formel)
Seien X stetig, f : R → R zweifach stetig differenzierbare Funktion.
1
f (Xt ) = f (X0 ) + f 0 (X) • Xt + f 00 (X) • [X, X]t
2
(d.h. df (Xt ) = f 0 (Xt )dXt + 12 f 00 (Xt )d[X, X]t )
(vgl. Kettenregel
df (Xt )
dt
t
= f 0 (Xt ) dX
dt )
Mehrdimensional
Seien X Rd -wertig und stetig,
f : Rd → R zweifach stetig differenzierbar
mit partiellen Ableitungen ∂1 f, . . . , ∂d f
und zweifachen Ableitungen ∂ij f .
f (Xt ) = f (X0 ) +
d
X
∂i f (X)
•
Xti
i=1
(bzw. df (Xt ) =
Pd
i
i=1 ∂i f (Xt )dXt
d
1 X
+
∂ij f (X) • [X i , X j ]t
2
i,j=1
+
1 Pd
i,j=1 ∂fij (Xt )d[X
2
i, X j ] )
t
6. H • X und [X, Y ] = [Y, X] sind linear in X
7. (H • X)0 = 0, H • (X − X0 ) = H • X
8. X differenzierbar mit Ableitung Ẋ ⇒
Rs
0
Z
Ht dXt =
0
|
s
Ht Ẋt dt
{z }
Lebegue−Integral
9. X stetig, X oder Y von endlicher Variation ⇒ [X, Y ] = 0
10. [X, Y ] ist von endlicher Variation; ferner stetig, falls X oder Y stetig.
3.4
Stochastisches Exponential E(X)
Sei X ein Semimartingal.
Die Gleichung
Z = 1 + Z− • X
(d.h. Z0 = 1, dZt = Zt− dXt ) besitzt eine eindeutige Lösung Z, das stochastische
Exponential E(X) := Z.
Für stetiges X gilt
1
E(X)t = exp Xt − X0 − [X, X]t .
2
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
17
Begründung Itô-Formel für Yt = Xt − X0 − 12 [X, X]t und f (x) = ex
⇒ Für Zt = eYt gilt:
1
dZt = deYt = eYt dYt + eYt d[Y, Y ]t
2
1
1
3.3(7)
dYt = d(Xt − X0 ) − d[X, X]t = dXt − d[X, X]t
2
2
1
1
1
[Y, Y ] = [X, X] − 2 X, X0 − [X, X] + X0 + [X, X], X0 − [X, X]
2
2
2
|
|
{z
} t
{z
}
von endl.
ebenso
Variation
und stetig
= [X, X] + 0 + 0
1
1
⇒ dZt = Zt dXt − Zt d[X, X]t + Zt d[X, X]t = Zt dXt
2
2
3.5
Doob-Meyer-Zerlegung
„Viele“ Semimartingale X lassen sich eindeutig zerlegen in der Form
X = X0 + M + A,
wobei M Martingal mit M0 = 0 und
A vorhersehbar, von endl. Variation und A0 = 0.
A heißt wieder Kompensator oder Drift von X.
3.6
Lévy-Prozess
Ein Lévy-Prozess (Prozess mit unabhängigen, stationären Zuwächsen) ist ein Semimartingal X mit:
a) X0 = 0,
b) Xt − Xs ist unabhängig von Fs für s ≤ t,
c) die Verteilung des Zuwachses Xt − Xs hängt nur von t − s ab.
Idee: X hat konstantes Wachstumsverhalten in stochastischem Sinne; stochastisches
Analogon der linearen Funktion.
3.7
Brownsche Bewegung
Ein Lévy-Prozess X heißt Standard-Brownsche Bewegung (Wiener-Prozess), falls Xt
N (0, t)-verteilt für t ≥ 0.
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
18
Eigenschaften
Sei W eine Standard-Brownsche Bewegung.
a) W ist ein Martingal.
Begründung
E(Wt |Fs ) = Ws + E(Wt − Ws |Fs )
= Ws + E(Wt − Ws )
= Ws + E(Wt−s − W0 )
SBB
= Ws + E(Wt−s ) = Ws + 0 = Ws
b) W ist stetig.
c) [W, W ]t = t
Es gilt sogar:
X stetiges Martingal mit X0 = 0 und [X, X]t = t ⇒ X Standard-Brownsche
Bewegung
d) Die Verteilung von W ist eindeutig bestimmt (Wiener-Maß).
e) (Girsanow)
Sei Q ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichteprozess
E(N ) für ein
R
|F
)
=
E(N
)
,
d.h.
Q(A)
=
E(N
)t dP für alle
Martingal N . (d.h. E( dQ
t
t
dP
A
A ∈ Ft ).
f := W − [W, N ] eine Standard-Brownsche Bewegung bzgl. Q.
Dann ist W
f) Martingal-Darstellungssatz (vgl. Irrpfade)
Sei (Ft )t≥0 die von W erzeugte Filtrierung (d.h. aller Zufall kommt von W ).
Dann gibt es für jedes Martingal M einen vorhersehbaren Prozess H mit
M = M0 + H • W
(d.h. alle Martingale sind stochastische Integrale nach X).
g) Für “vernünftige” Integranden H gilt:
i
Z
t
Hs dWs
E
=0
0
ii
Z
t
Hs dWs
Var
Z
=E
0
t
Hs2 ds
0
Begründung
i
E(H • Wt ) = E(H • W0 ) = 0,
da H • W
Martingal
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
19
ii
Z
t
Hs dWs
Var
=
E((H • Wt )2 )
nach i)
0
(part. Integ.)
=
E(2(H • W )− H • Wt + [H • W, H • W ]t )
=
0 + E(H 2 • [W, W ]t )
Z t
2
E
Hs ds
=
0
Warum Brownsche Bewegung?
Satz Jeder stetige Lévy-Prozess ist von der Form Xt = µt + σWt mit Konstanten µ,
σ und einer Standard-Brownschen Bewegung W (Brownsche Bewegung mit Drift).
3.8
Geometrische Brownsche Bewegung
Idee: Bei Aktienkursen sind eher die relativen Zuwächse „konstant“.
Z heißt geometrische Brownsche Bewegung, falls eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften gilt:
1.
(a) Z0 = 1,
(b) ZZst ist unabhängig von Fs für s ≤ t,
(c) die Verteilung von
(d) Z ist stetig.
Zt
Zs
hängt nur von t − s ab,
2. Z = eX für eine Brownsche Bewegung mit Drift X.
e für eine Brownsche Bewegung mit Drift X.
e
3. Z = E(X)
e = X + 1 [X, X]
Zusammenhang: i) X
2
e X]
e
e − 1 [X,
ii) X = X
2
Begründung des Zusammenhangs
1 e e
e
e
E(X) = exp X − [X, X]
⇒ ii.
2
e X],
e [X,
e X]]
e = [X,
e X]
e + 2 1 [X,
e [X,
e X]
e ] + [[X,
e X]
e + 0 ⇒ i.
[X, X] = [X,
|
| {z }
{z
}
2
stetig,
ebenso
von endl.
Var.
3.9
Itô-Prozess
Jetzt allgemeiner:
X heißt Itô-Prozess, falls
dXt = µt dt + σt dWt
für vorhersehbare Prozesse µ, σ und eine Standard-Brownsche Bewegung W .
3
STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT
20
Idee: vergleiche Analysis:
Differenzierbare Funktionen Xt sind von der Form dXt = µt dt, d.h. sie sehen lokal
wie eine lineare Funktion mit Steigung µt aus.
Itô-Prozesse sehen lokal wie eine Brownsche Bewegung mit Driftkoeffizient µt und
Diffusionskoeffizient σt aus.
3.10
Rechenregeln für Itô-Prozesse
Sei dXt = µt dt + σt dWt .
a) d[X, X]t = σt2 dt
Begründung
Z
·
µs ds +
| {z }
stetig,
endl. Var.
= [σ • W, σ • W ]t
Z
[X, X]t =
0
= σ 2 • [W, W ]t
Z t
=
σs2 ds,
·
Z
σs dWs ,
0
·
µs ds +
| {z }
ebenso
0
·
Z
σs dWs
0
t
Linearität
da [W, W ]t = t
0
b) (Itô-Formel)
Für f : R2 → R zweifach stetig differenzierbar gilt:
1
2
df (t, Xt ) =
∂1 f (t, Xt ) + ∂2 f (t, Xt )µt + ∂22 f (t, Xt )σt dt
2
+∂2 f (t, Xt )σt dWt
Begründung
Itô-Formel angewandt auf Yt = (t, Xt ) und f
⇒ df (t, Xt ) = df (Yt )
1
= ∂1 f (Yt ) + ∂2 f (Yt )dXt + ∂11 f (Yt ) d[t, t]
| {z }
2
=0
1
1
+2 ∂12 f (Yt ) d[t, Wt ] + ∂22 f (Yt ) d[W, W ]t
|
{z
}
| {z }
2
2
=0
=dt
1
2
=
∂1 f (t, Xt ) + ∂2 f (t, Xt )µt + ∂22 f (t, Xt )σt dt
2
+∂2 f (t, Xt )σt dWt
Anmerkung Lévy-Prozess, Brownsche Bewegung, Itô-Prozesse usw. existieren auch
mehrdimensional.
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
4
Arbitragetheorie in diskreter Zeit
21
- t
Diskrete Zeit:
0
1
T −1
....
2
T
Gegeben
d + 1-dimensionaler adaptierter Prozess St = (St0 , . . . , Std ), t = 0, . . . , T :
Preisprozess der d + 1 Wertpapiere am Markt.
Idee: Sti : Kurs von Wertpapier i zur Zeit t = 0, . . . , T
4.1
Beispiel
Einfaches Marktmodell mit 2 Wertpapieren:
a) festverzinsliches Wertpapier (Geldmarktkonto, Anleihe)
St0 = S00 exp(rt),
t = 0, 1, . . . , T
mit r konstant
b) Aktie (oder Fremdwährung)
St1 = S01 exp(Xt )
mit X0 = 0, (∆Xt )t=1..T unabhängig, identisch verteilt
z.B. ∆Xt ∼ N (µ, σ 2 ), d.h. normalverteilt
4.2
Selbstfinanzierende Handelsstrategien
Eine Handelsstrategie (Portfolio) ist ein d + 1-dimensionaler vorhersehbarer Prozess
φt = (φ0t , . . . , φdt ), t = 0, . . . , T .
Idee: φit : Zahl der Wertpapiere vom Typ i im Portfolio zur Zeit t = 0, . . . , T
Wert(prozess), Vermögensprozess V (φ) = (Vt (φ))t=0,1,..,T des Portfolios:
Vt (φ) :=
φ>
t St
=
d
X
φit Sti
i=0
φ heißt selbstfinanzierend, falls
d
X
i
(∆φit )St−1
=0
für t = 1, . . . , T.
i=0
Idee: Vermögen wird nur umgeschichtet, kein Kapital hinzugefügt oder entnommen.
Lemma φ selbstfinanzierend ⇔ Vt (φ) = V0 (φ) + φ • St
(d.h. Vermögen = Anfangsvermögen + Handelsgewinne/-verluste)
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
22
Begründung
Vt (φ)
⇔
∆(φ> S)t
>
⇔ φ>
t St − φt−1 St−1
⇔ (φt − φt−1 )> St−1
4.3
=
=
=
=
V0 (φ) + φ • St
φ>
t ∆St
>
>
φ
t St − φt St−1
0
Abzinsen
Umständlich: d + 1-dimensionale Strategien mit Nebenbedingung
einfacher: Abzinsen → d-dimensionale Strategien ohne Nebenbedingung
1
St1
Std
b
St := 0 = 1, 0 , . . . , 0 heißt (nach S 0 ) diskontierter Preisprozess.
St
St
St
1
>b
b
Vt (φ) := 0 Vt (φ) = φt St
heißt diskontierter Wertprozess.
St
4.3.1
Lemma
φ selbstfinanzierend
⇔
d
X
i
∆φit Sbt−1
=0
für t = 1, . . . , T
i=0
⇔ Vbt (φ) = Vb0 (φ) + φ • Sbt
für t = 0, . . . , T
Begründung wie oben
4.3.2
Lemma
Seien (φ1t , . . . , φdt )t=0,...,T vorhersehbarer Prozess und V0 ∈ R gegeben. Dann gibt
es genau einen vorhersehbaren Prozess (φ0t )t=0,...,T derart, dass φt = (φ0t , . . . , φdt )
selbstfinanzierend ist mit Anfangskapital φ>
0 S0 = V 0 .
Begründung
φ = (φ0 , . . . , φd ) selbstfinanzierend
⇔ Vbt (φ) = Vb0 (φ) +
φ • Sbt
| {z }
b1 ,...,S
bd )t
(φ1 ,...,φd )•(S
1
d • b1
b1
bd
b
bd
⇔ φ0t Sbt0 +(φ1 , . . . , φd )>
t (S , . . . , S )t = V0 (φ) + (φ , . . . , φ ) (S , . . . , S )t
|{z}
1
⇔
b1
bd
= Vb0 (φ) + (φ1 , . . . , φd ) • (Sb1 , . . . , Sbd )t − (φ1 , . . . , φd )>
t (S , . . . , S )t
= Vb0 (φ) + (φ1 , . . . , φd ) • (Sb1 , . . . , Sbd )t−1 − (φ1 , . . . , φd )t−1 (Sb1 , . . . , Sbd )t−1
φ0t
Bemerkung: φ • Sb hängt nicht von (φ0t )t=0,...,T ab.
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
4.3.3
23
Konvention
Identifiziere (Sb1 , . . . , Sbd ) mit Sb = (Sb0 , . . . , Sbd ) und (φ1 . . . φd ) mit der selbstfinanzierenden Strategie φ = (φ0 , . . . , φd ) aus dem Lemma (zu V0 = 0).
4.4
4.4.1
Erster Fundamentalsatz der Preistheorie
Zentrale Annahme
Es gibt keine Arbitrage (=risikoloser Gewinn).
Eine selbstfinanzierende Strategie φ heißt Arbitrage, falls
V0 (φ) = 0,
⇔
4.4.2
VT (φ) ≥ 0 und P (VT (φ) > 0) > 0
Vb0 (φ) = 0,
VbT (φ) ≥ 0. und P (VbT (φ) > 0) > 0
Satz
Der Markt ist arbitragefrei (d.h. es gibt keine Arbitrage)
⇔
es gibt ein äquivalentes Martingalmaß (ÄMM)
(d.h. ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q ∼ P (also mit Q(N ) = 0 ⇔ P (N ) = 0) derart,
daß Sb ein Q-Martingal ist).
Idee: Unter den hypothetischen Wahrscheinlichkeiten Q wird der Markt zu einem
fairen Spiel.
Begründung
⇐: Sei φ selbstfinanzierende Strategie mit φ • SbT ≥ 0.
⇒ φ • Sb Q-Martingal
⇒ EQ (φ • SbT ) = φ • Sb0 = 0
also Q(φ • SbT > 0) = 0
also P (φ • SbT > 0) = 0
Sb Q-Martingal
⇒: anschaulich:
X(ω2 )
6
1 @
@Q
Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße
@
HH
@
@
H r
@
HH HH
X(ω1 )
H 1
HH
b
H {φ • ST : φ Handelsstrategie}
EQ (φ • ST ) = 0 für alle φ, da Q orthogonal gewählt
⇒ Sb Martingal unter Q
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
4.5
24
Bewerten und Hedgen von Termingeschäften
Viele Termingeschäfte lassen sich durch eine Zufallsvariable X (nämlich deren Auszahlung) ausdrücken. Wir nennen diese (zufällige) Auszahlung, Derivat, Option.
4.5.1
Beispiele
1a) Europäischer Call
X = (ST1 − K)+ = max(0, ST1 − K)
S 1 : Underlying, T : Fälligkeit, K: Basispreis
1b) Europäischer Put
X = (K − ST1 )+
1c) Amerikanischer Call/Put, d.h. Auszahlung jederzeit möglich.
keine Darstellung als Zufallsvariable X
2a) Forward
X = S 1 − Ft
S 1 : Underlying, T : Fälligkeit, t: Abschlussdatum
Wähle den Forwardpreis Ft > 0, so dass Vertrag bei t nichts kostet.
b) Future: keine Darstellung als Zufallsvariable X
Unterschied zum Forward: Futurpreisänderung Ut − Ut−1 wird täglich den Handelspartnern gutgeschrieben/belastet, so dass Kündigung ohne Kosten möglich.
4.5.2
Voraussetzungen
Der Markt (S 0 , . . . , S d ) sei arbitragefrei; ferner: keine Transaktionskosten, beliebiger
Handel möglich, keine Dividenden.
4.5.3
Redundante Wertpapiere
Die Auszahlung X heißt duplizierbar, falls eine selbstfinanzierende Strategie φ existiert mit
X = VT (φ)
(= V0 (φ) + φ • ST )
d.h. abgezinst
b := X = Vb (φ) + φ • SbT .
X
ST0
φ heißt Hedgingstrategie und V0 (φ) fairer Preis der Option.
Wann ist X duplizierbar? Warum fairer Preis? Wie berechnet man ihn?
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
4.5.4
25
Gesetz des einen Preises
Satz Sei X Auszahlung (Option).
⇔
1.
2.
⇔
3
X ist duplizierbar (durch Strategie φ)
Genau ein Preis π der Option zum Zeitpunkt 0 führt nicht
zu Arbitrage (nämlich π = V0 (φ)). (Gesetz des einen Preises)
b den gleichen Wert
Für jedes ÄMM Q hat EQ (X)
0
b
(nämlich S0 EQ (X) = π = V0 (φ)).
Begründung
1 ⇒ 2: Sei etwa π > V0 (φ) (sonst analog).
Erstelle Portfolio:
zur Zeit 0:
zur Zeit T:
kaufe φ
verkaufe Option
lege π − V0 (φ) risikolos an
Kosten
V0 (φ)
−π
π − V0 (φ)
Saldo
0
Handelsstrategie φ
Option
Wert
X
−X
Anlage
(π − V0 (φ)) ST0
S0
0
π−
Saldo
S0
V0 (φ) ST0
0
(Arbitragegewinn)
2 ⇒ 3: Sei Q ÄMM.
b t ).
Führe Option als neues Wertpapier d + 1 ein durch Sbtd+1 := EQ (X|F
d+1
0
d
d+1
Sb
ist Martingal ⇒ Markt (S , . . . , S , S ) mit Option ist arbitragefrei.
2.
b
⇒ π = S d+1 = S 0 Sbd+1 = S 0 EQ (X)
0
0 0
0
3 ⇒ 1: schwieriger
Allgemeiner
X duplizierbar (durch φ)
⇔
Genau ein Preisprozess (Std+1 )t=0,..,T für die Option führt nicht zu Arbitrage, nämlich
b t ).
Std+1 = Vt (φ) = St0 EQ (X|F
4.6
Zweiter Fundamentalsatz der Preistheorie
Der Markt ist vollständig (d.h. jede Auszahlung X ist duplizierbar)
⇔
es gibt genau ein ÄMM Q.
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
26
Begründung
⇐: Folgt nach vorigem Satz, 3 ⇒ 1
b = 1A .
⇒: Zu A ∈ F wähle diskontierte Auszahlung X
Dann ist Q(A) = EQ (1A ) = EQ (X) von Q unabhängig
nach vorigem Satz, 1 ⇒ 3.
Ziel
Berechnung der duplizierenden Strategie φ und des fairen Preises π
b
π = V0 (φ) = S00 EQ (X)
Zur Berechnung von π sind ÄMM nützlich (aber nicht unbedingt nötig).
4.7
4.7.1
Beispiele
Forwardpreis bei deterministischem Zins
(d.h. St0 deterministisch)
Forward auf S 1 mit Fälligkeit T und Forwardpreis F0 (zum Zeitpunkt 0 abgeschlossen):
X = ST1 − F0
Duplizierende Strategie:
φt =
(φ0t , φ1t )
=
F0
− 0 ,1
ST
(statische Strategie), denn
VT (φ) = φ>
T ST = −
F0
+ 1ST1 = ST1 − F0 = X
ST0
Fairer Preis von X:
π = V0 (φ) = φ>
0 S0 = −
F0 0
S00
1
1
S
+
1S
=
S
−
F
0
0
0
ST0 0
ST0
S0
Dies ist 0, falls F0 = S01 ST0 ( fairer Forwardpreis).
T
Also: φ = kaufe 1 Aktie und nimm dafür Kredit auf.
S0
S1
(allgemeiner: Ft = St1 ST0 mit statischer Hedgingstrategie (− St0 , 1), falls Abschluss
t
t
bei t)
4.7.2
Europäischer Call im Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein-Modell)
St0 = ert (fester Zins)
S 1 : Aktie
S 2 : Option, genauer ST2 = X = (ST1 − K)+
T = 3, K = 100, r = 0
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
27
Wahrscheinlichkeiten unter P (unter Q):
1
Sbt1
Sbt2
!
φ1 =0,525 (0,5)
100
0 ,6
0
,4(
7, 48
0
,5)
t
1
133, 10
φ3 =1 (0,5)
33, 10
121
0 ,6
0
1
,4(
21
108, 90
0 ,5
φ2 =0,752 (0,5)
)
110
0 ,6
8, 90 12, 73 0,4(0
108, 90
φ13 =0,449
(0,5)
, 5) 8, 90
99
0 ,6
0
, 4(
4, 45
89, 10
0 ,5
)
0 1
108, 90
φ3 =0,449 (0,5)
8, 90
99
0 ,6
0
1
, 4(
4, 45
89, 10
0 ,5
φ2 =0,248 (0,5)
)
90
0 0 ,6
0
1
, 4(
2, 23
89, 10
0,5 φ3 =0 5)
)
(0,
0
81
0 ,6
0
, 4(
0
72, 90
0 ,5
)
0
0
1
2
3
fairer Preis π = V0 (φ) = S00 Sb02 = 7, 48e
• Markt ist vollständig, da binärer Baum ⇒ eindeutiges Martingalmaß
(2 Gleichungen mit 2 Unbekannten in jeder Verzweigung)
Alternativ:
1, 1
q1
q2
1
1
q3
0, 9
Martingalmaß, falls q1 + q2 + q3 = 1
und 1, 1q1 + 1q2 + 0, 9q3 = 1
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten ⇒ viele Martingalmaße Q
⇒ kein perfektes Hedgen
• Berechnung von Sbt2 bzw. π z.B. rekursiv im Baum (= bedingte Erwartungswerte
unter Q)
• Berechnung der Hedgingstrategie φt = (φ1t , φ2t ) via φ1t ∆Sbt1 = ∆Sbt2
(d.h. φt =
4.8
b2
∆S
t
)
b
∆St1
und Selbstfinanzierungsbedingung
Wertpapiere mit Dividenden
Gegeben: d + 1-dimensionaler adaptierter Prozess St = (St0 , . . . , Std )
Wertpapierprozess wie bisher
d + 1-dimensionaler adaptierter Prozess Dt = (Dt0 , . . . , Dtd )
(mit D0 = (0, . . . , 0)).
kumulativer Dividendenprozess
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
28
i : Dividende auf Wertpapier i zur Zeit t.
Idee: ∆Dti = Dti − Dt−1
6
6
t−1
Handel φt−1 → φt
6
t
DividendenausschÃijttung ∆Dt
KursÃd’nderung St−1 → St
4.8.1
Handelsstrategien
Eine Handelsstrategie ist (wieder) ein d + 1-dimensionaler vorhersehbarer Prozess
φt = (φ0t , . . . , φdt ).
Idee: φit : Zahl der Wertpapiere vom Typ i zur Zeit t vor der Dividendenausschüttung.
Wertprozess Vt (φ) des Portfolios:
Vt (φ) = φ>
t (St + ∆Dt ) =
d
X
φit (Sti + ∆Dti )
i=0
Idee: Wert des Portfolios nach der Dividendenausschüttung
(Vor der Ausschüttung wäre das wie bisher φ>
t St .)
φ heißt selbstfinanzierend, falls
>
φ>
t St−1 = φt (St−1 + ∆Dt−1 )
für t = 1, . . . , T
>
(⇔ ∆φ>
t St−1 = φt ∆Dt−1 )
Idee: Wert nach Umschichtung φt−1 → φt gleich Wert vor Umschichtung
4.8.2
Sbt :=
b :=
D
Abzinsen
1
St0
1
St0
S1
Sd
t
t
= (1, St0 , . . . , St0 )
( S10
t
diskontierter Preisprozess
1
St0
• Dd )
Dt0 , . . . ,
t
1
>
b
b
b
V (φ) := S 0 Vt (φ) = φt (St + ∆Dt )
•
Dt =
•
diskontierter Dividendenprozess
diskontierter Wertprozess
t
Lemma
φ selbstfinanzierend
⇔
⇔
⇔
>
b
b
∆φ>
t St−1 = φt−1 ∆Dt−1
Vt (φ) + φ • (S + D)
b
Vbt (φ) = Vb0 (φ) + φ • (Sb + D)
Lemma 4.3.2 gilt weiterhin.
4.8.3
Erster Fundamentalsatz der Preistheorie mit Dividenden
Arbitrage wird wie bisher definiert.
4
ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT
29
Satz Sei Dt0 = 0 (d.h. keine Dividenden auf den Numeraire).
Der Markt ist arbitragefrei
⇔
b
es gibt ein äquivalentes Martingalmaß ÄMM für Sb + D
b
b ein Q-Martingal ist).
(d.h. ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q ∼ P , so dass S + D
4.8.4
Beispiel: Bewertung und Hedging eines Futures
S 1 Aktie
T
Fälligkeit des Futures
Ut Futures„preis“ zum Zeitpunkt t, d.h. UT = ST1
Preis des Futurevertrages St2 = 0 (da Abschluss, Kündigung jederzeit kostenfrei)
Dividendenprozess D2 = U (da Ut − Ut−1 Auszahlung zwischen t − 1 und t).
Falls Markt aus Geldmarktkonto, Aktie, Future arbitragefrei, gibt es ein ÄMM für Sb1
b 2 = 0 + 10 • D2 = 10 • U .
und Sb2 + D
S
S
0
⇒ U = S • ( S10 • U ) Q-Martingal
⇒ Ut = EQ (ST1 |Ft )
Voraussetzung Deterministischer Numeraire ST0
S0
Q ÄMM 0 b1
Ut = EQ (ST1 |Ft ) = ST0 EQ (SbT1 |Ft )
=
ST St = T0 St1 = Ft
St
(Futurespreis = Forwardpreis)
Hedgingstrategie (Future abgeschlossen zur Zeit 0, Numeraire deterministisch):
• diskontierter Wertprozess der selbstfinanzierenden Strategie „1 Future“:
d.h. φt = (φ1t , φ2t ) = (0, 1) und V0 (φ) = 0:
b 1 )t + φ2 • (Sb2 + D
b 2 )t
Vbt (φ) = Vb (φ) + φ1 • (Sb1 + D
1
= 0 + 0 + 0 • (ST0 Sb1 )t
S
ST0 • b1
=
St
S0
S0
• diskontierter Wertprozess der selbstfinanzierenden Strategie „ ST0 Aktien“, d.h.
S0
t
φt = (φ1t , φ2t ) = ( ST0 , 0) und V0 (φ) = 0:
t
b 1 )t + φ2 • (Sb2 + D
b 2 )t
Vbt (φ) = Vb (φ) + φ1 • (Sb1 + D
S0
= 0 + T0 • Sbt1 + 0
St
= Vt (φ)
d.h. φ dupliziert den Zahlungsstrom eines Futures (Hedgingstrategie).
kein statischer Hedge (im Gegensatz zum Forward)
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
5
Arbitragetheorie in stetiger Zeit
30
Stetige Zeit
-
T
0
t
Gegeben
d + 1-dimensionales Semimartingal St = (St0 , . . . , Std ), t ∈ [0, T ]:
Preisprozess der d + 1 Wertpapiere am Markt
5.1
Beispiel
Osborne/Samuelson-Marktmodell mit 2 Wertpapieren
a) festverzinsliches Wertpapier (Geldmarktkonto, Anleihe)
St0 = exp(rt),
t ∈ [0, T ] mit r konstant
b) Aktie (oder Fremdwährung)
St1 = S01 exp(µt + σWt )
= S01 E(e
µI + σW )t
mit Konstanten µ, σ und Standard-Brownscher Bewegung W
It = t, µ
e=µ+
σ2
2
d.h. S 1 ist geometrische Brownsche Bewegung
allgemeiner: d Aktien

Sti = S0i exp µi t +
d
X

σ ij Wtj 
j=1
mit unabhängigen Standard-Brownschen Bewegungen W 1 , . . . , W d und
µ = (µ1 , . . . , µd ) ∈ Rd , σ = (σ ij )i,j=1,..,d ∈ Rd×d
Kritik
Modell passt nur mäßig zu den Daten.
• Große Kursänderungen sind häufiger.
(semiheavy tails, Ausweg: Sprungmodelle)
• Große Kursänderungen treten geballt auf.
(volatility clustering, Ausweg: Modelle mit stochastischer Volatilität)
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
5.2
31
Begriffe analog zum Diskreten (vgl. Abschnitt 4)
• Handelsstrategie (Portfolio): d + 1-dimensionaler vorhersehbarer Prozess
φt = (φ0t , . . . , φdt ) mit technischer Zulässigkeitsbedingung.
• Wertprozess Vt (φ) := φ>
t St
• φ selbstfinanzierend, falls Vt (φ) = V0 (φ) + φ • St
• Sbt :=
1
S
St0 t
• Vbt (φ) :=
5.2.1
diskontierter Preisprozess
1
V (φ)
St0 t
b
= φ>
t St diskontierter Wertprozess
Lemma
φ selbstfinanzierend ⇔ Vbt (φ) = Vb0 (φ) + φ • Sbt
5.2.2
Lemma
(φ1 , . . . , φd ), V0 gegeben
⇒ Diese können auf eindeutige Weise zu selbstfinanzierender Strategie
φ = (φ0 , φ1 , . . . , φd ) mit Anfangskapital V0 ergänzt werden.
5.3
Erster Fundamentalsatz der Preistheorie
φ heißt Arbitrage, falls
V0 (φ) = 0,
VT (φ) ≥ 0,
(oder Vb0 (φ) = 0,
5.3.1
VbT (φ) ≥ 0,
P (VT (φ) > 0) > 0
P (VbT (φ) > 0) > 0)
Satz
Der Markt ist arbitragefrei (jedenfalls ungefähr)
⇔
es gibt ein äquivalentes Martingalmaß (ÄMM).
5.4
Bewerten und Hedgen von Termingeschäften
Gegeben: Arbitragefreier Markt (S 0 , . . . , S d )
Auszahlung X heißt duplizierbar (durch selbstfinanzierende Hedgingstrategie φ), falls
X = VT (φ).
Satz Sei X Auszahlung.
X duplizierbar (durch φ).
⇔ X hat genau einen arbitragefreien Anfangspreis π
(nämlich π = V0 (φ)). (Gesetz des einen Preises)
b hat für jedes ÄMM Q denselben Wert V0 (φ).
⇔ EQ (X)
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
5.5
32
Zweiter Fundamentalsatz der Preistheorie
Der Markt ist vollständig (d.h. jede (beschränkte) Auszahlung ist duplizierbar)
⇔ es gibt genau ein ÄMM Q.
5.6
Black-Scholes-Modell
(= obiges Osborne-Samuelson-Modell)
St0 = exp(rt)
St1 = S01 exp(µt + σWt ) = S01 E(e
µI + σW )t mit It = t, µ
e=µ+
5.6.1
σ2
2 .
Satz
1. Es gibt ein (eindeutiges) ÄMM Q mit Dichte
dQ
µ
e−r
=E −
W
.
dP
σ
T
2.
St1
Sbt1
ft = Wt −
wobei W
µ
e−r
σ t
σ2
r+
2
f )t
f
=
t + σ Wt = S01 E(rI + σ W
2
σ
f )t
ft = Sb01 E(σ W
= Sb01 exp
t + σW
2
S01 exp
Q-Standard-Brownsche Bewegung ist.
3. Der Markt ist arbitragefrei und vollständig.
Andere Schreibweise
dSt0 = St0 rdt
ft )
dSt1 = St1 (e
µdt + σdWt ) = St1 (rdt + σdW
0
0
dSbt = 0
(da Sbt = 1)
ft Q-Martingal
µ − r) + σdWt ) = Sbt1 σdW
dSbt1 = Sbt1 ((e
Begründung
1. Nach Girsanow ist
µ
e−r
µ
e−r
Wt − W, −
W
= Wt +
[W, W ]t
σ
σ
t
µ
e−r
= Wt +
t
σ
f
= W
eine Q-Standard-Brownsche Bewegung, insbesondere Q-Martingal.
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
33
Wegen
S1
Sbt1 = t0
St
σ2
t + σWt
µ
b−r+
2
2
σ
1
f
b
t + σ Wt
= S0 exp
2
f )t ist Sb Q-Martingal (da Integral nach W
f ).
= Sb01 E(σ W
= Sb01 exp
Eindeutigkeit von Q folgt aus 3 und dem zweiten Fundamentalsatz.
2. elementare Umformungen
3. Erster Fundamentalsatz ⇒ Arbitragefreiheit
b diskontierte Auszahlung.
Vollständigkeit: Sei X
f und das Martingal Mt = EQ (X|F
b t)
Martingaldarstellungssatz angewandt auf W
⇒ Es gibt einen vorhersehbaren Prozess H mit
Z
b = MT
X
>
= M0 +
ft
Ht d W
0
Z
>
= M0 +
0
Ht b1 f
St σdWt
b
St1 σ | {z }
|{z} =dSbt1
=:φ1t
Z
= M0 +
>
φ1t dSet1
(= M0 + φ1 • SbT1 ).
0
5.6.2
Derivate
Wie bewertet und hedgt man konkrete Auszahlungen?
Betrachte eine Auszahlung der Form X = f (ST1 ).
Satz
1. Der faire Preisprozess S 2 von X ist von der Form St2 = p(T − t, St1 ) mit
!
!!
Z
σ2
−rτ
p(τ, x) = e
f x exp
r−
τ + yστ
φ(y)dy,
2
wobei
1 2
1
φ(y) = √ exp − y
2
2π
Dichte der N (0, 1)-Verteilung sei.
2. p(τ, x) ist auch Lösung der partiellen Differentialgleichung
1
−∂1 p(τ, x) + rx∂2 p(τ, x) + x2 σ 2 ∂22 p(τ, x) − rp(τ, x) = 0.
2
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
34
3. Die Duplikationsstrategie ist von der Form φt = (φ0t , φ1t ) mit
φ1t = ∂2 p(T − t, St1 )
−rt
φ0t
= e
X Ft
ST0 p(T −
t, St1 )
das „Delta“ der Option
− St1 ∂2 p(T − t, St1 ) .
Begründung
1.
Sbt2 = EQ
= e−rT EQ f (ST1 )|Ft
σ2 −rT
1
f
f
Ft
= e
EQ f St exp r −
(T − t) + σ (WT − Wt )
{z
}
|
2
|
{z
} N (0, T − t)bei t bekannt
verteilt
Z 2
√
σ
−rT
1
= e
f St exp (r − )(T − t) + σy T − t
N (0, 1)(dy)
2
2. Sbt2 = e−rt p(T − t, Sbt1 ert ) = pe(t, Sbt1 )
Itô-Formel für Itô-Prozess dSbt1 σdWt und pe(t, x):
dSbt2
=
∂1 pe(t, Sbt1 )
1
1
1
2
+ ∂22 pe(t, Sbt )(σ Sbt ) dt + ∂2 pe(t, Sbt1 )σ Sbt1 dWt
2
ist Q-Martingal, also Drift=0, d.h
1
0 = ∂1 pe(t, x) + ∂22 pe(t, x)(τ, x)2
2
⇒ Gleichung für p(t, x).
3. Ferner dSbt2 = ∂2 pe(t, Sbt1 )σ Sbt1 dWt = ∂2 p(T − t, St1 )dSbt1 .
Andererseits: dSbt2 = dVbt (φ) = φ1t dSbt1 .
⇒ φ1t = ∂2 p(T − t, Sbt1 )
Außerdem:
φ0t = Sbt2 − φ1t Sbt1 = e−rt (p(T − t, St1 ) − ∂2 p(T − t, S, t1 )St1 ).
5.6.3
Europäischer Call
Spezialfall: europäischer Call X = (ST1 − K)+ :
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
35
Satz (Black-Scholes-Formel) Für den fairen Preisprozess S 2 des europäischen Calls
gilt:
!
2
log(St1 /K) + (r + σ2 )(T − t)
1
2
√
St = St Φ
−
σ T −t
!
2
log(St1 /K) + (r − σ2 )(T − t)
−r(T −t)
√
,
e
Φ
σ T −t
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung sei.
Fiel die Duplikationsstrategie φt = (φ0t , φ1t ) gilt
!
2
log(St1 /K) + (r + σ2 )(T − t)
1
√
,
φt = Φ
σ T −t
2
φ0t = −e−r(T −t) KΦ
log(St1 /K) + (r − σ2 )(T − t)
√
σ T −t
!
.
Begründung
Voriger Satz ⇒ St2 = p(T − t, St1 ) mit
+
√
σ2 τ + σ τ y − K φ(y)dy
p(τ, x) = e
x exp r −
2
−∞
+
Z ∞
√
σ2
−rτ
x exp r − )τ + σ τ y − K φ(y)dy
= e
2
z
−rτ
Z
∞
2
log(Xt1 /K) + (r + σ2 )(T − t)
√
mit z =
σ T −t
Z ∞
√ 2
1
1
dy − e−rτ KN (0, 1)([z, ∞))
= x√
exp − y − σ τ
2
2π z
√
= xN (0, 1)([z − σ τ , ∞)) − e−rτ KN (0, 1)([z, ∞))
√
= xφ(−z + σ τ ) − erτ Kφ(−z)
Voriger Satz ⇒
φ1t = ∂2 p(T − t, St1 )
2 1 1
φ0t = e−rt (St−
φt St )
direkt ausrechnen
5.6.4
Exkurs
Amerikanischer Put im Black-Scholes-Modell
Umtausch des Puts gegen (K − St1 )+ jederzeit vor T möglich
Theorie ⇒ eiziger fairer (d.h. arbitragefreier) Preis des Puts ist
St2 =
sup
τ ∈[t,T ] Stoppzeit
EQ (K − ST )+ |Fτ
5
ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT
36
Stoppzeit τ : zufälliger Zeitpunkt, der mit der Informationsstruktur (Filtrierung) verträglich ist (kein In-die-Zukunft-sehen)
D.h. Preis = Supremum der Preise von europäischen Puts, die zum zufälligen Zeitpunkt
τ ≤ T fällig sind.
Theorie ⇒ St2 = p(T − t, St1 ), wobei p stetig,
p(τ, x) ≥ (K − x)+ ,
p(0, x) = (K − x)+ ,
1
−∂1 p(τ, x) + rx∂2 p(τ, x) + x2 σ 2 ∂22 p(τ, x) − rp(τ, x) = 0
2
+
falls p(τ, x) > (K − x)
Bemerkung
Im Fall r ≥ 0, keine Dividende lohnt sich vorzeitiges Ausüben beim amerikanischen
Call nicht, d.h. die Preise von europäischen und dem amerikanischen Call stimmen
überein.
6
AUSBLICK: UNVOLLSTÄNDIGE MÄRKTE
6
Ausblick: unvollständige Märkte
37
Problem der unvollständigen Märkte:
• keine Duplikationsstrategie, d.h. kein perfektes Hedging und daher auch
• keine eindeutigen Optionspreise
6.1
Bewertung
Eine unter vielen möglichen Auswegen:
1. Stelle parametrisches Modell unter dem (unbekannten, aber noch Fundamentalsatz existierenden) ÄMM Q auf.
2. Bestimme die unbekannten Parameter durch Gleichsetzen der theoretischen Optionspreise EQ ((ST1 − K)+ ) mit den am Markt beobachteten Preise von Standardoptionen. (Kalibrieren)
3. Bewerte mit Hilfe dieses Maßes dann z.B. nicht gehandelte Derivate.
Problem
• Neue Preise hängen mitunter stark von der parametrischen Modellklasse ab. Ist
diese tatsächlich angemessen?
• Die neuen Preise weisen keinen Bezug zu Hedgingstrategien auf.
6.2
Hedging
Approximiere Option so gut wie möglich, z.B. im quadratischen Sinne:
min E (VT (φ) − X)2
φ
φ ist dann die bestapproximierende Strategie für die Option X.
7
ZINSMODELLE
7
38
Zinsmodelle
7.1
Zugrunde liegende Wertpapiere
a) Geldmarktkonto
Rt
St0 = exp( 0 rs ds) wobei rt stochastisch
b) für jedes T ≥ 0 eine Nullkuponanleihe mit Fälligkeit T (T -Bond):
(pTt )t∈[0,T ] mit pTT = 1
Fragen
• konkretes Modell für pTt , rt
• Bewertung, Hedging von Zinsderivaten
7.2
Verschiedene Zinsen
7.2.1 rt
augenblicklicher kurzfristiger Zins
7.2.2 LS,T
t
einfacher Zins für [S, T ], ausgehandelt bei t (LIBOR-Forward-Rate)
1 + (T − S)LS,T
=
t
pSt
pTt
Begründung
Zeit
Ertrag = −Kosten
Portfolio
pS
t
pT
t
T -Bonds
pSt −
t
Verkauf: 1 S-Bond, Kauf:
S
S-Bond wird fällig.
−1e
T
T -Bond wird fällig.
pS
t
e
pT
t
pS
t
pTt
pT
t
7.2.3 RtS,T
stetiger Zins für [S, T ], ausgehandelt bei t
S,T
eRt
=
pSt
pTt
mit Zinseszins
= 0e
7
ZINSMODELLE
39
7.2.4 ftT
augenblickliche Forward-Rate für T , ausgehandelt bei t
(Zins für eine Anlage von T bis T + dt)
ftT = lim RtT,T + = −
→0
d
log pTt
dT
log pTt − log pSt
)
T −S
t
Arbitragefreiheit ⇒ rt = ft , d.h. kurzfristiger Zins ist durch Nullkuponanleihen festgelegt.
(denn RtS,T = −
7.2.5
Zusammenhang
St0
t
Z
= exp
rs ds
0
pTt
Z
= exp −
T
fts ds
t
7.3
Verschiedene Zinspapiere
7.3.1
Kuponanleihe
• Fixed coupon bond mit Nennwert 1
1 + rδ
rδ
rδ
rδ
- Zeit
T1
fairer Preis pt für t ≤ T1 :
T3 · · · Tn
T2
pt =
pTt n
+
n
X
rδpTt i
i=1
Begründung
Duplizieren des Zahlungsstroms durch Portfolio
Zeit
Portfolio
Ertrag = −Kosten
t
Kaufe rδ Ti -Bonds, für
i = 1, .., n − 1
und rδ + 1 Tn -Bonds.
−
T1
..
.
T1 -Bond wird fällig.
..
.
rδ
..
.
Tn−1
Tn
Tn−1 -Bond wird fällig.
Tn−1 -Bond wird fällig.
rδ
rδ + 1
n
X
rδpTt i − pTt n
i=1
7
ZINSMODELLE
40
• Floating rate bond mit Nennwert 1
T
1 + LTn−1
n−1
,Tn
δ
LTT11 ,T2 δ LTT22 ,T3 δ
0
- Zeit
T0
T2 · · · Tn
T1
fairer Preis pt für t ≤ T0 :
pt = pTt 0
Begründung duplizierendes Portfolio
Zeit
Portfolio
Ertrag = −Kosten
t
T0
Kaufe einen T0 -Bond
T0 -Bond wird fällig,
−pTt 0
1 − T11 pTT10 = 0e
kaufe
T1
T
pT1
0
1
T
pT2
T1 -Bonds.
1
..
.
Tn−1 -Bond wird fällig;
kaufe
pT
0
T1 -Bonds.
T1 -Bond wird fällig;
kaufe
..
.
Tn−1
1
1
n
pT
T
Tn -Bonds.
1 T2
T p
pT2 T1
0
1
= LTT00 ,T1 (T1 −
1
T
pT1
−
..
.
1
−1
T
pTn−1
n−2
T
,Tn−1
= LTn−2
(Tn−1
n−2
n−1
Tn
Tn -Bonds werden fällig.
T0 )
1
n
pT
T
T
= 1 + LTn−1
n−1
− Tn−2 )
,Tn
(Tn − Tn−1 )
n−1
7.3.2
Swaps
Zeit:
Auszahlung
T1 = T0 + δ
T2 = T1 + δ
...
Tn = Tn−1 + δ
LTT00 ,T1 δ
−Rδ
LTT11 ,T2 δ
−Rδ
...
...
n
LTn−1
δ
n−1
−Rδ
T
,T
Wähle Swaprate R so, dass Vertrag bei Abschluss t ≤ T0 nichts kostet.
pTt 0 − pTt n
faire Swaprate für t ≤ T0 : R = P
δ ni=1 pTt i
Begründung
duplizierendes Portfolio: +1 floating rate bond −1 fixed rate bond.
Wähle R so, dass Preisdifferenz = 0.
7
ZINSMODELLE
7.3.3
41
Bondoptionen
Call- und Put-Optionen auf Anleihen:
z.B. Auszahlung (pTT10 − K)+ bei T0
Bewertung/Hedging erfordert stochastisches Modell. (später)
7.3.4
Caps und Floors (hier: Cap)
T1 = T0 + δ
T2 = T1 + δ
...
Tn = Tn−1 + δ
(LTT00 ,T1 − R)+ δ
caplet
(LTT11 ,T2 − R)+ δ
caplet
...
n
(LTn−1
− R)+ δ
n−1
caplet
Zeit
Auszahlung
T
,T
R: Caprate
Sei Sti Preis einer europäischen Put-Option auf einen Ti -Bond mit Fälligkeit Ti−1 und
+
1
1
Basispreis 1+δR
, d.h. STi i−1 = 1+δR
− pTTii−1 .
fairer Preis Ct des Caps für t ≤ T0 :
Ct = (1 + δR)
n
X
Stj
j=1
Begründung duplizierendes Portfolio
Zeit
Portfolio
Ertrag = −Kosten
t0
Kauf: je 1 + δR Put-Optionen S 1 , . . . , S n
−(1 + δR)
T0
Optionen S 1 werden fällig;
T1 +
1
T1 -Bonds.
kaufe 1+δR
T1
1+δR − pT0
+
1
(1 + δR) 1+δR
− pTT10
T1 + T1
1
pT0
− 1+δR
T1
1+δR − pT0
pT
0
pT
j
j=1 St
Pn
0
= 0e
T1
Optionen S 2 werden fällig;
T1 -Bonds werden fällig;
T2 +
1
kaufe 1+δR
T2 -Bonds.
T2
1+δR − pT1
pT
1
T2
...
Tn−1
ebenso
Tn
Tn -Bonds werden fällig.
(
(((
+
(1((
(1+δR
− pTT21
(1(
+(
δR)
(
(
T1 +
1
+ 1+δR
T
1+δR − pT0
pT1
0
+(T(
T2 (
1
− 1+δR
−(p(
pT21
T2 (1+δR
(((
T1
pT(
((
1
= (LTT00 ,T1 − R)+ δ
1+δR
n
pT
T
n−1
1
1+δR
T
= (LTn−1
n−1
− pTTnn−1
,Tn
+
− R)+ δ
Umgekehrt folgt analog: Mit Caplets kann man Bond-Optionen duplizieren; der faire
Preis der Optionen (K − pTT10 )+ und (LTT00 ,T1 δK − K + 1)+ stimmen überein.
7
ZINSMODELLE
7.3.5
42
Swaptions
Call-Optionen auf die Rate r des Swaps
pTt 0
−
pTt n
−
n
X
rδpTt i
i=1
=δ
n
X
T
pTt i (Lt i−1
,Ti
− r)
i=1
Auszahlung bei T0 z. B.
δ
n
X
!+
T
pTTi0 (LTi−1
0
,Ti
− r)
=
1 − pTTn0 −
n
X
!+
rδpTTi0
= δ(R − r)+
i=1
i=1
wobei R =
n
1−pT
T0
Pn
T
δ i=1 pTi
n
X
pTTi0 ,
i=1
faire Swaprate bei T0 (vgl. 7.3.2)
0
Bewertung/Hedging von Swaptions erfordert stochastisches Modell.
7.4
Aspekte der Zinsmodellierung
1. Modellierung unter objektivem Maß P , unter risikolosem Maß der Arbitragetheorie Q (bzg. eines Numeraires) oder unter P und Q?
2. Was wird zunächst bzw. durch einfache Gleichungen modelliert?
• kurzfristiger Zins rt
• alle Forward-Raten
Short-Rate-Modelle
ftT
• LIBOR-Forward-Raten
• Swap-Raten
Heath-Jarrow-Morton
LS,T
t
LIBOR-Marktmodelle
Swap-Marktmodelle
3. Was wird als Numeraire für das risikoneutrale Maß gewählt?
• Geldmarktkonto
• T -Bond
• kurzfristige Anlage aus nächstfälliger Anleihe
• Summe von T -Bonds
4. Diskrete oder stetige Struktur, d. h. endlich oder unendlich viele Wertpapiere?
5. Zahl und Bedeutung der Faktoren (etwa der Brownschen Bewegungen in den
stochastischen Differentialgleichungen)?
6. Modellierung mit deterministischer/stochastischer Volatilität, stetigen/unstetigen
Treiberprozessen usw.?
wünschenswert: geschlossene Formeln für Bonds und Standardoptionen, z. B. damit
Kalibrierung nicht zu rechenaufwendig (vgl. 6.1)
7
7.5
ZINSMODELLE
43
Numeraireansatz zur Bwertung von Zinsoptionen
Viele Optionen (Bondoptionen, Caplets, Swaptions) haben eine Auszahlung der Form
CT = (VT1 − KVT2 )+ = VT1 1D − KVT2 1D ,
wobei V 1 , V 2 Bondportfolios sind und D := {VT1 > KVT2 }.
Sei P1 das äquivalente Martingalmaß der Arbitragetheorie bzgl. des Numeraires V 1
(analog P2 für V 2 ).
⇒ fairer Preis von X := VT1 1D zur Zeit t ist Vt1 EP1 ( VX1 |Ft ) = Vt1 P1 (D|Ft ),
T
fairer Preis von Y := KVT2 1D zur Zeit t ist Vt2 EP2 ( VY2 |Ft ) = KVt2 P2 (D|Ft ).
T
⇒ fairer Preis von CT ist
V1
V1
T
T
Ct = VT1 P1 ( VT2 > K|Ft ) − KVt2 P2 ( VT2 > K|Ft ).
Man erhält explizite Preisformeln, falls die Verteilung von VT1 /VT2 unter P1 und P2
explizit bekannt ist (z. B. Lognormalverteilung).
8
SHORT-RATE-MODELLE
8
44
Short-Rate-Modelle
8.1
Allgemeines Modell
Sei Q das äquivalente Martingalmaß des Marktes bzgl. St0 = exp(
Modell für kurzfristigen Zins r unter Q:
Rt
0
rs ds).
drr = bt dt + σt dWt ,
wobei bt , σt stochastiche Prozesse, W RSBB unter Q
T
⇒ pTt = St0 EQ ( S10 |Ft ) = EQ (exp(− t rs ds)|Fs )
T
8.2
Affine Zinsstruktur
Hätten gern: explizite Formel für pTt , etwa
pTt = exp(−G(t, T ) − H(t, T )rt ) (affine Zinsstruktur)
mit deterministischen G, H.
Oder allgemeiner: pTt = exp(−G(t, T ) − H1 (t, T )Xt1 − · · · − Hn (t, T )Xtn )
mit gegebenen stochastischen Prozessen X 1 , . . . , X n (affine Mehrfaktormodelle)
Zum Rechnen schön: rt (bzw. Xt1 , . . . , Xtn )) normalverteilt
⇒ pTt lognormalverteilt
⇒ Black-Scholes-Formel für Bondoptionen
8.3
Beispiele affiner Short-Rate-Modelle
1. Vasiček (1977): drt = (b + βrt ) + σdWt
mit b, β, σ deterministisch
2. Cox-Ingersoll-Ross (1985): drt = (b + βrt )dt + σ
mit b, β, σ deterministisch
p
r(t)dWt
3. Ho-Lee (1986): drt = b(t)dt + σdWt
mit b(t), σ deterministisch
4. Hull-White (erweitertes Vasiček, 1990): drt = (b(t) + β(t)rt )dt + σ(t)dWt
mit b(t), β(t), σ(t) deterministisch
p
5. Hull-White (erweitertes CIR, 1990): dr(t) = (b(t)+β(t)rt )dt+σ(t) r(t)dWt
mit b(t), β(t), σ(t) deterministisch
8.4
Allgemeines affines Short-Rate-Modell
drt = (b(t) + β(t)rt )dt +
Dann
pTt
p
a(t) + α(t)rt dWt
= exp(−G(t, T ) − H(t, T )rt ) mit G(T, T ) = 0 = H(T, T ),
∂t G(t, T ) =
∂t H(t, T ) =
1
a(t)H 2 (t, T ) − b(t)H(t, T )
2
1
α(t)H 2 (t, T ) − β(t)H(t, T ) − 1
2
8
SHORT-RATE-MODELLE
45
Begründung
Rt
Setze Mt = exp(− 0 rs ds − G(t, T ) − H(t, T )rt )
Itô-Formel für f (x) = ex :
dMt = Mt − rt dt − ∂t G(t, T )dt − H(t, T )drt
1 2
− ∂t H(t, T )rt dt + 2 H (t, T )d[r, r]t
= Mt
− 1 − H(t, T )β(t) − ∂t H(t, T ) + 12 H 2 (t, T )α(t) rt dt
+ − ∂t G(t, T ) − b(t)H(t, T ) + 12 a(t)H 2 (t, T ) dt
1p
a(t) + α(t)rt dWt
+
2
p
= 21 Mt a(t) + α(t)rt dWt
⇒ M ist Q-Martingal mit MT = 1 =
⇒ Mt =
pT
t
St0
pT
T
ST0
für t ∈ [0, T ].
Forward-Raten: ftT = g(t, T ) + h(t, T )rt mit
g(t, T ) = ∂T G(t, T )
h(t, T ) = ∂T H(t, T )
Insbesondere
dftT
8.5
= ∂t g(t, T )dt + ∂t h(t, T )rt dt + h(t, T )drt
p
= . . . dt + h(t, T ) a(t) + α(t)rt dWt
Vasiček
drt = (b + βrt )dt + σdWt
⇒ r ist Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, insbesondere Gaußscher Prozess,
H(t, T ) =
G(t, T ) =
eβ(T −t) − 1
,
β
σ 2 (4eβ(T −t) − e2β(T −t) − 2β(T − t) − 3)
4β 3
eβ(T −t) − 1 − β(T − t)
,
+b
β2
dftT = . . . dt + σeβ(T −t) dWt
• Vorteil: deterministische Koeffizienten
⇒ rt normalverteilt, T -Bonds lognormalverteilt
⇒ explizite (Black-Scholes-)Formeln für Bondoptionen usw.
• Nachteil: negative Zinsen möglich
8
8.6
SHORT-RATE-MODELLE
46
Cox-Ingersoll-Ross
drt = (b + βrt )dt +
√
rt dWt ,
r≥0
⇒
H(t, T ) =
2(eγ(T −t) − 1)
(γ − β)(eγ(T −t) − 1) + 2γ
mit γ =
2γe(γ−β)(T −t)/2
2b
G(t, T ) = − 2 log
σ
(γ − β)(eγ(T −t) − 1) + 2γ
8.7
p
β 2 + 2σ 2 ,
!
Ho-Lee
drt = b(t)dt + σdWt
⇒ r ist Gaußscher Prozess,
H(t, T ) = T − t,
G(t, T ) = −
σ2
(T − t)3 +
6
Z
T
b(s)(T − s)ds,
t
dftT = . . . dt + σdWt
8.8
Hull-White (erweitertes Vasiček)
drt = (b(t) + βrt )dt + σdWt
hier: β, σ konstant
⇒ r ist Gaußscher Prozess,
eβ(T −t) − 1
,
β
Z
Z T
σ2 T 2
G(t, T ) = −
H (s, T )ds +
b(s)H(s, T )ds.
2 t
t
H(t, T ) =
b(T ) wird an die beobachteten Forward-Raten f0T kalibriert.
dftT = . . . dt + σeβ(T −t) dWt
8.9
Ein affines Zwei-Faktor-Modell
drt = −λ(rt − mt )dt + σ1 dWt1 + σ2 dWt2 ,
dmt = b(t)dt + σ1 dWt1 ,
wobei λ, σ1 , σ2 , b(t) deterministisch, W 1 , W 2 unabhängige Q-SBB
8
SHORT-RATE-MODELLE
47
Dann pTt = exp(−G(t, T ) − H(t, T )rt − K(t, T )mt ) mit
1 − e−λ(T −t)
,
λ
1 − e−λ(T −t)
K(t, T ) = T − t −
,
λ
G(T, T ) = 0,
1
1
∂t G(t, T ) = −K(t, T )b(t) + (H(t, T ) + K(t, T ))2 σ12 + H 2 (t, T )σ22
2
2
H(t, T ) =
dftT = ∂T G(t, T ) + e−λ(T −t) rt + (1 − e−λ(T −t) )mt
dftT = . . . dt + σ1 dWt1 + σ2 e−λ(T −t) dWt2
Begründung
Rt
Setze Mt = exp(− 0 rs ds − G(t, T ) − H(t, T )rt − K(t, T )mt )
Analog 8.4 folgt: M ist ein Martingal mit MT =
⇒ Mt =
pT
t
St0
für t ∈ [0, T ]
Auch hier sind rt , ftT , log pTt Gaußsche Prozesse.
pT
T
ST0
9
HEATH-JARROW-MORTON
9
48
Heath-Jarrow-Morton
9.1
Ansatz
Modellierung der ganzen Forward-Rate-Kurve ftT , T ≥ 0
dftT = αtT dt + σtT dWt
mit stochastischen Prozessen (αtT )t≥0 , (σtT )t≥0 und Standard-Brownscher Bewegung
(Wt )t≥0
(bzw. Mehrfaktormodell: W, σ mehrdimensional, d.h.
dftT
=
αtT dt
+
n
X
σtT,i dWti ;
i=1
hier nur Einfaktormodelle)
Modellbildung Wahl von σtT und αtT
Beispiele
1. σtT = σ deterministisch und konstant (Hoo-Lee-Modell, vgl. 8.7)
2. σtT = σe−λ(T −t) deterministisch (Vasiček/Hull-White-Modell, vgl. 8.8)
3. Zweifaktormodell (vgl. 8.9):
σtT,1
σtT,2
=
σ̄1
σ̄2 e−λ(T −t)
Fragen
• Dynamik von pTt , rt unter P und ÄMM Q? Arbitragefreiheit?
• Bewertung/Hedging von Bond-Optionen?
9.2
Satz
1.
dpTt
=
pTt
rt +
mit
ATt
Z
:= −
ATt
1 T 2
T
+ (Σt ) dt + Σt dWt
2
T
αts ds;
ΣTt
Z
:= −
t
T
Σst ds.
t
2.
drt = (f 0 )tt + αtt dt + σtt dWt
mit
(f 0 )Tt :=
∂ T
f
∂T t
9
HEATH-JARROW-MORTON
Begründung
49
1.
Z
log pTt
T
−
=
t
Z
T
−
=
fs ds
Z t
Z t
s
s
s
f0 +
αu du +
σu dWs ds
t
Fubini
=
−
Z
0
T
f0s
Z
f0s
αus dsdu
t
Z tZ
T
σus dsdWu
+
0
T
αus dsdu
0
Z tZ
T
−
+
σus dsdWu
0
0
u
0
u
Z t
Z tZ t
Z tZ t
+
f0s +
αus dsdu +
σus dsdWu
0
0
u
0
u
Z t
Z t
Fubini
=
log pT0 +
ATu du +
ΣTu dWu
0
0
Z t
Z tZ s
Z tZ s
s
s
+
f0 ds +
αu duds +
σus dWu ds
0
0
0
0
0
Z t
Z t
=
log pT0 +
(fss ATs )ds +
ΣTs dWs
0
Z 0t
Z t
T
+ T
T
=
p0 exp
(rs As )ds +
Σs dWs
0
0
Z · Z ·
1 T 2
Itô
T
T
T
Σs dWs
=
p0 E
rs + As + (Σs ) ds +
2
0
0
t
−
=
⇒ pTt
T
Z tZ
T
+
0
t
0
Z tZ
2.
Z
T
(f 0 )st ds
t
Ableiten 0 0
⇒ (f )t
ftT − ftt
Z t
Z t
T
T
=
f0 +
αs ds +
σsT dWs
0
0
Z t
Z t
−f0t −
αst ds −
σst dWs
0
0
Z tZ T
Z tZ T
T
t
0 u
=
f0 − f0 +
(α )s duds +
(σ 0 )us dudWs
0
t
0
t
Z TZ t
Z TZ t
Fubini
=
f0T − f0t +
(α0 )us dsdu +
(σ 0 )us dWs du
t
0
t
0
Z T
Z t
Z t
0 u
0 u
0 u
(f )0 +
(α )s ds +
(σ )s dWs du
=
t
0
0
Z t
Z t
(α0 )us ds +
(σ 0 )us dWs
(?)
=
(f 0 )u0 +
=
0
0
9
HEATH-JARROW-MORTON
rt =
ftt
Z
t
+
αst ds
Z
t
+
σst dWs
0
0
Z t
Z t
Z t
Z t
t
s
0 u
s
0 u
=
f0 +
αs +
(α )s du ds +
σs +
(σ )s du dWs
0
s
0
s
Z t
Z t
Z tZ u
Fubini
0 s
s
=
(f )0 ds +
αs ds +
(α0 )us dsdu +
0
0
0
0
Z t
Z tZ u
s
σs ds +
(σ 0 )us dsdu + f00
0
0 0 Z s
Z t
Z s
s
0 S
0 s
0 s
=
αs + (f )0 +
(α )u du +
(σ )u dWu
ds
0
0
0
Z t
+
σss dWs + r0
0
Z t
Z t
(?)
s
0 s
=
(αs + (f )s )ds +
σss dWs + r0
=
f0t
50
0
9.3
0
Arbitragefreiheit
Faustregel Außer dem Numeraire können höchstens ebenso viele Wertpapiere unabhängig modelliert werden, wie es „Zufallsquellen“ (hier: Brownsche Bewegungen)
gibt, wenn man Arbitragefreiheit möchte. Für Vollständigkeit benötigt man in der Regel mindestens so viele Wertpapiere (außer S 0 ) wie Zufallsquellen.
hier: 1 Brownsche Bewegung, ∞ viele T -Bonds
⇒ Konsistenzbedingung nötig
Satz
1. Der Markt ist (nur dann) arbitragefrei, falls
AT + 12 (ΣTt )2
Ht := t
ΣTt
αT
oder Ht := Tt − ΣTt
σt
nicht von T abhängt. (HJM-Driftbedingung)
2. In diesem Fall ist er vollständig.
3. Sei Q das zugehörige äquivalente Martingalmaß (für die diskontierten T -Bonds
pT
pbTt = St0 ).
t
R
ft := Wt − t Hs ds gilt:
Für die Q-Standard-Brownsche Bewegung W
0
dftT
dpTt
drt
ft
= −σtT ΣTt dt + σtT dW
ft )
= pTt (rt dt + ΣTt dW
ft
= (f 0 )tt − σtt Σtt dt + σtt dW
9
HEATH-JARROW-MORTON
51
Begründung
1. Sei Q ÄMM
ft := Wt −
Girsanow ⇒ W
einen Prozess H.
Rt
0
Hs ds ist Q-Standard-Brownsche Bewegung für
db
pTt
=
d
partielle
Integration
=
1 T
p
St0 t
pTt d
1
1
+ 0 dpTt +
0
St
St
1 T
d 0 , pt
St
| {z
}
1
=0, da S 0 vorherseht
bar, von endl. Variation
Z t
1
1
1
=
exp
−
r
ds
⇒ d 0 = −rt 0 dt
s
St0
S
S
0
t
t
dpTt
⇒ db
pTt
1 T 2
T
=
rt +
+ (Σt ) dt + Σt dWt
2
1 T 2
T
T f
T
T
= pt
rt + At + (Σt ) + Ht Σt dt + Σt dWt
2
1 T 2
T
T
T
T f
= pbt
At + (Σt ) + Ht Σt dt + Σt dWt
2
pTt
ATt
Q-Martingal, falls Drift = ATt + 12 (ΣTt )2 + Ht ΣTt = 0
2. ähnlich wie im Black-Scholes-Modell
3. Ableiten ⇒
d
dT
0 =
ATt
1
+ (ΣTt )2 + Ht ΣTt
2
= αtT + σtT ΣTt + Ht σtT
dftT
=
pTt
αtT dt + σtT dWt
=
ft
(αtT + σtT Ht )dt + σtT dW
(?)
ft
−σtT ΣTt dt + σtT dW
(rt +
ATt
|
=
pTt (rt dt
drt =
=
=
(?)
=
=
dpTt
+
1
ft
+ (ΣTt )2 + Ht ΣTt )dt + ΣTt dW
2 {z
}
=0
ft )
ΣTt dW
(f 0 )tt + αtt dt + σtt dWt
ft
(f 0 )tt + αtt + σtt Ht dt + σtt dW
ft
(f 0 )tt − σtt Σtt dt + σtt dW
9
HEATH-JARROW-MORTON
9.4
52
Beispiel: Vasiček/Hull-White-Modell unter ÄMM Q (vgl. 8.8)
σtT = σe−λ(T −t)
Also
ΣTt
Z
T
= −
σts ds =
t
dftT
dpTt
drt
σ −λ(T −t)
e
−1
λ
1 − e−λ(T −t) −λ(T −t)
ft
e
dt + σe−λ(T −t) dW
λ
σ −λ(T −t)
T
f
= pt rt dt +
e
− 1 dWt
λ
ft
= (f 0 )tt dt + σdW
= σ
Satz
1.
ftT = g(t, T ) + h(t, T )rt
mit
g(t, T ) = f0T + e−λ(T −t) f0t +
σ2
2

 1−
e−λ(T −t)
!2
λ
h(t, T ) = −e−λ(T −t)
(affine Zinsstruktur)
2.
pTt = exp(−G(t, T ) − H(t, T )rt )
mit
Z
T
G(t, T ) =
g(t, s)ds
t
Z
H(t, T ) =
T
h(t, s)ds
t
(affine Zinsstruktur)
3.
ft
drt = (f 0 )t0 + λ(f0t − rt ) + σdW
Im Fall f0t = σ 2 + c e−λt ist dies
ft .
drt = λ(σ 2 − rt )dt + σdW
(Ornstein-Uhlenbeck-Prozess).
−
1−
e−λT
λ
2


9
HEATH-JARROW-MORTON
53
Begründung
3.
rt =
ftT
=
⇒ (f 0 )Tt
=
⇒ (f 0 )tt =
Z t
− e−λ(t−s) −λ(t−s)
fs
= +
σ
e
ds +
σe−λ(t−s) dW
λ
0
0
Z t
Z t
−λ(T −s)
21 − e
−λ(T −s)
T
fs
σ
e
ds +
σe−λ(T −s) dW
f0 +
λ
0
0
Z t
Z t
fs
(f 0 )T0 −
σ 2 (1 − e−λ(T −s) )e−λ(T −s) ds − λ
σe−λ(T −s) dW
0
0
Z t
Z t
2
−λ(t−s) −λ(t−s)
0 t
fs
σ (1 − e
)e
ds − λ
σe−λ(t−s) dW
(f )0 −
ftt
Z
f0t
t
21
0
0
= −λrt + (f 0 )t0 − λf0t
1.
g(0, T ) + h(0, T )r0 = f0T + e−λT f00 + 0 − e−λT r0
= f0T
d(g(t, T ) + h(t, T )rt ) = λe−λ(T −t) f0t dt + e−λ(T −t) (f 0 )t0 dt
1 − e−λ(T −t) −λ(T −t)
e
dt
λ
+e−λ(T −t) drt
+σ 2
−λe−λ(T −t) rt dt
1 − e−λ(T −t)
t
0
= e−λ(T −t) λf
(f
)t0 + σ 2
0 +
λ
t
0
t
f
λf0 + λrt − λrt dt + σdWt
(f )0 − −
2.
pTt
Z
= exp −
t
9.5
T
fts ds
Z
T
Z
g(t, s)ds −
= exp
t
T
h(t, s)ds rt
t
Bewertung/Hedging von Bond-Optionen
Satz
Voraussetzung: σtT sei deterministisch.
Betrachte europäischen Call auf pT1 mit Fälligkeit T0 und Basispreis K, d.h. Auszahlung (pTT10 − K)+ bei T0 .
Für dessen fairen Preisprozess S 2 gilt für t ≤ T0 :


R
T1
T0
1 T0
T
T
2
1
0
log(pt /Kpt ) + 2 t (Σs − Σs ) ds

qR
St2 = pTt 1 Φ 
T0
T1
T0 2
t (Σs − Σs ) ds


R
T1
T0
1 T0
T
T
2
1
0
log(pt /Kpt ) − 2 t (Σs − Σs ) ds
.
qR
−KpTt 0 Φ 
T0
T1
T0 2
t (Σs − Σs ) ds
9
HEATH-JARROW-MORTON
54
Die Option wird dupliziert durch ein Portfolio φt = (φTt 0 , φTt 1 ) aus T0 - und T1 -Bonds,
wobei


R
T1
T0
1 T0
T1 − ΣT0 )2 ds
(Σ
log(p
/Kp
)
+
s
s
t
2 t
,
qRt
φTt 1 = Φ 
T0
T1
T0 2
t (Σs − Σs ) ds


R
T1
T0
1 T0
T
T
2
1
0
log(pt /Kpt ) − 2 t (Σs − Σs ) ds
.
qR
φTt 0 = −KΦ 
T0
T1
T0 2
t (Σs − Σs ) ds
Begründung
ähnlich der Black-Scholes-Formel, aber aufwendiger:
1. Schritt: Numerairewechsel
Zeige
T
T1
2
0
St = pt EQT1 1{pT1 ≥K} Ft − Kpt EQT0 1{pT1 ≥K} Ft ,
T0
T0
wobei QT das T -Forwardmaß bezeichnet.
Das ist das eindeutige ÄMM, wenn statt des Geldmarktkontos S 0 der T -Bond pT als
Numeraire verwendet wird.
Es gilt:
T dQ 1
E
Ft = 0 T .
dQ
S t p0
2. Schritt
Zeige für die nach den neuen Numeraires abgezinsten Nullkuponanleihen:
d
pTt 1
pTt 0
=
pTt 1
pTt 0
(ΣTt 1 − ΣTt 0 )dWt0
für eine QT0 -Standard-Brownsche Bewegung W 0 .
⇒
pTT10
pTT00
=
pTt 1
pTt 0
Z
exp
T0
(ΣTs 1
ΣTs 0 )dWs0
Z
T0
(ΣTs 1
ΣTs 0 )2 ds
(ΣTs 1
ΣTs 0 )2 ds
−
−
−
t
|
{z
} |
{z
}
zur Zeit t bekannt
normalverteilt unter QT0
t
Analog:
d
pTt 1
pTt 0
=
pTt 1
pTt 0
(ΣTt 1 − ΣTt 0 )dWt1
für eine QT1 -Standard-Brownsche Bewegung W 1
⇒
pTT10
pTT00
=
pTt 1
pTt 0
Z
exp
T0
(ΣTs 1
ΣTs 0 )dWs1
Z
T0
−
−
−
|t
{z
} |t
{z
}
T
1
zur
Zeit
t
bekannt
normalverteilt unter Q
9
HEATH-JARROW-MORTON
55
Beachte ferner
pTT10 ≥ K ⇔
pTT10 ≥ K ⇔
pTT10
pTT00
pTT00
pTT10
≥K
≤
1
K
Dann ähnliche Argumentation wie im Black-Scholes-Modell.
9.5.1
Beispiel: Vasiček/Hull-White-Modell 8.8
Bestimmt werden muss lediglich
Z
T0
(ΣTs 1 − ΣTs 0 )2 ds = σ 2
t
1 − e−λ(T1 −T0 )
λ
!2
1 − e−2λ(T0 −t)
.
2λ
σ, λ werden z.B. aus den Daten geschätzt.
9.5.2
Zweifaktormodell 8.9
Definiere
ΣT,1
t
ΣT,2
t
Z
:= −
t
T
−σ̄1 (T − t)
σsT,1
ds =
−λ(T −t)
σsT,2
−σ̄2 1−e λ
Obiger Satz gilt entsprechend mit
Z
T
(ΣTs 1 ,1 − ΣTs 0 ,1 )2 + (ΣTs 1 ,2 − ΣTs 0 ,2 )2 ds
t
−λ(T1 −T0 ) 2 1 − e−2λ(T0 −t)
2
2
2 1−e
.
= σ̄1 (T1 − T0 ) (T0 − t) + σ̄2
λ
2λ
10
LIBOR-MARKTMODELLE
10
56
LIBOR-Marktmodelle
10.1
Neue Aspekte
• LIBOR wird unter geeignetem Maß lognormal
⇒ Black-Formal für Caplets anwendbar
(=
ˆ Black-Scholes-Formel mit LIBOR als Underlying)
Aber: Explizite Formeln hat man auch in Gaußschen Short-Rate-/HJM-Modellen.
• Modellierung von nur endlich vielen statt unendlich vieler Anleihen
⇒ Kalibrierung einfacher
• T -Bond statt Geldmarktkonto als Numeraire verwendet
(da rt gar nicht unbedingt definiert)
Vergleich
1 + (T − S)LS,T
=
t
pSt
pTt
LS,T
ist lognormal in lognormalen LIBOR-Marktmodellen,
t
hingegen ist pSt /pTt lognormal in Gausßschen HJM-Modellen
(jeweils unter dem T -Forwardmaß)
10.2
Diskretes lognormales LIBOR-Marktmodell
Gegeben: Ti = iδ, i = 0, . . . , M
T
Wollen: Modell für LIBOR-Forwardraten Lt i−1
,Ti
, i = 1, . . . , M
Gegeben:
• deterministische Funktionen λi (t), t ∈ [0, Ti−1 ], i = 1, . . . , M
(Volatilität von LTi−1 ,Ti )
• positive, in i fallende Anfangspreise pT0 i , i = 0, . . . , M
T
p i−1
T
,T
⇔ positive LIBOR-Forwardraten L0 i−1 i = 1δ 0 Ti − 1 , i = 1, . . . , M
p0
Exkurs Ti -Forwardmaß QTi : das Wahrscheinlichkeitsmaß, unter dem alle nach pTi
diskontierten Preisprozesse Martingale sind
(Existenz folgt aus Arbitragefreiheit und erstem Fundamentalsatz)
Zusammenhang Numerairewechsel – Maßwechsel:
Dichteprozess von QTi bzgl. QTj ist Zt =
T
T
T
T
j
pt i p0
pt j p0 i
T
Idee: Konstruiere nun induktiv Prozesse Lt i−1
T
dLt i−1
,Ti
T
= Lt i−1
,Ti i
λ (t)dWti
.
,Ti
mit Dynamik
mit QTi -SBB W i
⇒ LTi−1 ,Ti ist lognormal-verteiltes Martingal unter QTi .
10
LIBOR-MARKTMODELLE
57
Motivation:
• Martingalbedingung muss erfüllt sein, da pTi LTi−1 ,Ti = 1δ (pTi−1 − pTi ) handelbares Wertpapier.
• Lognormalität ist wünschenswert für Black-Scholes-Formel.
Achtung: LTi−1 ,Ti ist weder lognormal noch Martingal unter QTj für j 6= i.
10.3
Bewertung von Caplets
T
Satz Betrachte Caplet mit Auszahlung CTi = (LTi−1
i−1
dessen fairen Preis Ct für t < Ti gilt
Ct =
,Ti
− R)+ δ zur Zeit Ti . Für
RT
T
,T
log(Lt i−1 i /R) + 12 t i−1 (λi (s))2 ds
qR
Φ
Ti−1 i
(λ (s))2 ds
t
RT
!
T
,T
log(Lt i−1 i /R) − 12 t i−1 (λi (s))2 ds
qR
.
− RΦ
Ti−1 i
2 ds
(λ
(s))
t
δpTt i
Begründung
T
,Ti
− R)+ δpTTii |Ft ).
Fairer Preis ist Ct = pTt i EQTi ((LTi−1
i−1
T
pTTii = 1 und LTi−1
i−1
,Ti
ist lognormalverteilt unter QTi mit Erwartungswert 0 sowie
T
,Ti
VarQTi (LTi−1
|Ft )
i−1
Z
=
Ti−1
(λi (s))2 ds
t
⇒ Situation wie bei Herleitung der Black-Scholes-Formel
11
GRAFIKEN
11
58
Grafiken
11.1
Marktmodelle und Daten
−20
−40
−30
X(t)
−10
0
Standard−Irrpfad
0
200
400
600
800
1000
8
10
t
0
−1
−2
W(t)
1
2
Standard−Brownsche Bewegung
0
2
4
6
t
11
GRAFIKEN
59
5.5
5.0
3.5
4.0
4.5
logarithmierter Index
6.0
6.5
DAX: Oktober 1959 − April 2001
0
2000
4000
6000
8000
10000
6000
8000
10000
6000
8000
10000
Handelstage
0.05
−0.05
−0.15
tägliche log−Renditen
0.10
0.15
DAX: Oktober 1959 − April 2001
0
2000
4000
0.05
−0.05
−0.15
tägliche log−Renditen
0.10
0.15
Simulation
Handelstage
0
2000
4000
11
11.2
GRAFIKEN
60
Black-Scholes
Europäischer Call mit Basispreis 1
50
40
fzei
t
0.25
30
tlau
0.20
Res
20
is
nspre
Optio
0.15
10
0.10
0.05
0
0.00
0.9
1.0
1.1
1.2
Aktienpreis
Europäischer Call mit Basispreis 1
0.04
0.03
rämie
Zeitp
0.02
50
0.01
40
0.00
0.9
Re
20
1.0
Akt
ien
stla
ufz
eit
30
pre
is
10
1.1
1.2
Zeitprämie := Optionspreis − Ausübungspreis
0
11
GRAFIKEN
61
0.15
0.10
0.00
0.05
Optionspreis
0.20
0.25
Callpreis für verschiedene Volatilitäten
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
Aktienpreis
0.03
0.02
0.00
0.01
Zeitprämie
0.04
0.05
Zeitprämie für verschiedene Volatilitäten
0.8
0.9
1.0
Aktienpreis
Zeitprämie := Optionspreis − Ausübungspreis
1.1
1.2
GRAFIKEN
62
Duplikationsstrategie
50
40
30
tlauf
zeit
1.0
Res
11
20
0.8
0.6
eil
nant
Aktie
10
0.4
0.2
0
0.0
0.9
1.0
1.1
Aktienpreis
1.2
11
GRAFIKEN
11.3
63
Vasiček-Zinsmodell
0.00
0.02
0.04
Zinssatz
0.06
0.08
0.10
Kurzfristiger Zins als Funktion der Zeit
0
2
4
6
8
10
8
10
Zeit in Jahren
0.6
0.4
0.0
0.2
Anleihenpreis
0.8
1.0
Anleihe mit Fälligkeit in 10 Jahren
0
2
4
6
Zeit in Jahren
Anleihenpreis pTt
Zeit t
Restlaufzeit T = 10
11
GRAFIKEN
64
0.6
0.4
0.0
0.2
Anleihenpreis
0.8
1.0
Anleihenpreise zum Zeitpunkt 0
0
2
4
6
8
10
8
10
Restlaufzeit in Jahren
Anleihenpreis pTt
Zeit t = 0 Restlaufzeit T
0.06
0.04
0.00
0.02
Forward Rate
0.08
0.10
Zinsstrukturkurve zum Zeitpunkt 0
0
2
4
6
Restlaufzeit in Jahren
Forwardrate ftT
Zeit t = 0 Restlaufzeit T
11
GRAFIKEN
65
Anleihenpreise
1.0
0.9
Anleihenp
0.8
0.7
reis
0.6
0.5
0.4
2
4
10
6
6
it
ze
s
eit
k
llig
Fä
8
8
Zeit
4
2
10
Anleihenpreis pTt
Zeit t
Fälligkeit T
Anleihenpreise
1.0
0.9
Anleihenp
0.8
0.7
reis
0.6
0.5
0.4
2
4
10
Re
8
6
eit
ufz
a
stl
6
8
4
2
10
Anleihenpreis pTt
Zeit t
Restlaufzeit T − t
Zeit
11
GRAFIKEN
66
Zinsstrukturkurve
0.08
Forw
0.06
ard R
0.04
ate
0.02
0.00
10
8
it
eitsze
Fälligk
6
4
2
2
4
6
Zeit
8
10
Zinsstrukturkurve
10
8
Zeit
0.08
6
0.06
4
te
a
ard R
Forw
0.04
2
0.02
0.00
2
4
6
Fälligkeitszeit
Forwardrate ftT
Zeit t
Fälligkeit T
8
10
11
GRAFIKEN
67
Zinsstrukturkurve
0.08
Forw
0.06
ard R
0.04
ate
0.02
0.00
10
8
Restla
6
ufzeit
4
2
2
4
6
8
Zeit
10
Forwardrate ftT
Zeit t
Restlaufzeit T − t
0.06
0.04
0.02
0.00
Forward Rate
0.08
0.10
Zinsstrukturkurve als Funktion der Restlaufzeit
0
2
4
6
Restlaufzeit in Jahren
8
10
LITERATUR
68
Literatur
[1] T. Björk. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, 1998.
[2] J. C. Hull. Options, Futures and other Derivatives. Prentice Hall, 2000.
[3] D. Lamberton & B. Lapeyre. Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman & Hall, 1996.
[4] M. Baxter & A. Rennie. Financial Calculus. Cambridge University Press, 2002.
[5] M. Musiela & M. Rutkowski. Martingale Methods in Financial Modelling. Springer, second edition, 2005.