Akademie für Kommunikation und Medientechnik Standort

Akademie für Kommunikation und Medientechnik
Standort Mannheim
Physik
Jahrgangsstufe II
Technisches Gymnasium
Schuljahr 2016/2017
Wekum
GmbH
Unterrichtseinheit zum Nachweis der Relativitätstheorie
Der menschliche Alltag zeigt, dass einige Aussagen absolut,1 einige jedoch relativ sind. Zum Beispiel wird der
Standort einer Tasse, die auf einem Tisch neben einer Teekanne steht, von zwei gegenüber sitzenden Personen
unterschiedlich wahrgenommen. Steht die Tasse für die eine Person links von der Kanne, ist der Sachverhalt für die
gegenüber sitzende Person genau umgekehrt, hängt also von der Position des Beobachters ab. Dagegen herrscht
beim Füllstand der Tasse Einigkeit, denn dieser ist für beide Personen gleich. Auch die Relativitätstheorie von Albert
Einstein (1879-1955) beschäftigt die Frage, was relativ oder absolut ist, vor allem in Situationen, in denen sich
Beobachter relativ zueinander bewegen.
Werden in der Physik auf Grund aktueller Erkenntnisse neue Sichtweisen und Theorien zugelassen, dann müssen
diese nicht nur die aktuellen Erkenntnisse ohne Widerspruch erklären, sondern zusätzlich ihre Anwendbarkeit auf
die gesicherten Erkenntnissen der bisherigen Physik beweisen. Insofern liegt es nahe, die nach Hendrik Lorentz
(1853-1928) benannte Lorentz-Kraft aus relativistischer Sicht zu untersuchen, weil diese eine Aussage über bewegte
Elektronen macht, die zu einem Beobachter in Beziehung gesetzt werden können.
1. Lorentz-Kraft
Die Lorentz-Kraft F = Q  v  B beschreibt die Kraft, die auf eine Ladung Q wirkt,
welche sich mit der Geschwindigkeit v längs eines Weges s senkrecht zu den
Feldlinien eines Magnetfeldes der Flussdichte B bewegt. Um die Richtung der
Lorentz-Kraft zu bestimmen, kann die 3-Fingerregel angewendet werden,
indem der Daumen der linken Hand die Bewegungsrichtung der Ladung anzeigt
und der um 90o gespreizte Zeigefinger die Richtung der Feldlinien. Damit zielt
der Mittelfinger in Richtung der Kraftwirkung, sobald er mit dem Zeigefinger
einen rechten Winkel nach unten bildet. Falls die Bewegungsrichtung der
Elektronen keinen rechten Winkel mit den Feldlinien bildet, kann die LorentzKraft für beliebige Winkel  zu F = Q  v  B  sin () verallgemeinert werden.
Werden in der Physik auf Grund aktueller Erkenntnisse neue Sichtweisen und Theorien zugelassen, dann müssen
diese nicht nur die aktuellen Erkenntnisse ohne Widerspruch erklären, sondern zusätzlich ihre Anwendbarkeit auf
die gesicherten Erkenntnissen der bisherigen Physik beweisen. Insofern liegt es nahe, die nach Hendrik Lorentz
(1853-1928) benannte Lorentz-Kraft aus relativistischer Sicht zu untersuchen, weil diese nur auf bewegte Elektronen
wirkt.
Dazu wird eine Person A eingeführt, die relativ zu einem vom Strom I durchflossenen Rohr im Abstand r ruht und
eine Ladung Q beobachtet, die sich parallel zum Rohr im Abstand r mit der Geschwindigkeit v bewegt. A stellt fest,
dass auf Q an seinem Standort die Lorentz-Kraft F = Q  v  B wirkt, die von der Flussdichte des Magnetfeldes stammt,
das durch die im Leiter strömenden Ladungen erzeugt wird. Wenn z positive und z negative Ladungen, die sich
relativ zum Rohr mit den Geschwindigkeiten +u und -u bewegen, in der Zeit t den Rohrabschnitt mit der Länge s
durchlaufen, dann gilt nach dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz u = s/t oder t = s/u. In der Zeit t sind aber e  z positive
und -e  z negative Ladungen durch den Rohrabschnitt s geflossen. Damit mit die Stromstärke I als Quotient aus
2∙z∙e
2∙z∙e∙u
Ladung und Zeit zu I =
und mit t = s/u zu I =
wird.
t
s
Ein gerader und vom Strom I durchflossener Leiter erzeugt aber ein Magnetfeld, dessen Feldlinien senkrecht zum
Leiter verlaufen und diesen kreisförmig umhüllen. Da die Flussdichte B dieses Magnetfeldes im Abstand r jedoch B
I
Q ∙ v ∙ 𝜇𝑜 ∙ I
2∙z∙e∙u
= o 
beträgt, misst Beobachter A daher die Lorentz-Kraft F = Q  v  B =
und mit I =
gilt F=
2π ∙ r
𝜇𝑜 ∙ Q ∙ v ∙ z ∙ e ∙ u
N
π∙r∙s
A2
, wobei o = 4   10-7
2π ∙ r
s
die magnetische Feldkonstante angibt.
Die elektrische Feldstärke, die radial im Abstand r auf die Ladung Q wirkt, hängt vom elektrischen Fluss  = o  
EN  A ab, der betragsgleich zu der im Feld eingeschlossenen Ladung Q ist. Diese von dem schottischen Physiker
James Clerk Maxwell (1831-1879) formulierte Gleichung geht davon aus, dass der stromdurchflossene Leiter von
einer zylindrischen Ladungshülle umgeben wird, in der jedem Mantelstück der Hülle A = 2  r  s der Hülle die
Feldstärke EN zugeordnet ist. Da die Hülle aber dieselbe Länge s wie der stromdurchflossene Leiter hat und die darin
eingeschlossene Ladung aus z positiven und negativen Elementarladungen e besteht, kann die Maxwell-Gleichung
im Falle des Rohrstücks als o  E  2  r  s = z  e dargestellt werden. Die positiven Ladungsträger verursachen
z∙e
daher die gleiche elektrische Feldstärke E =
wie die negativen, allerdings in entgegen gesetzter Richtung.
2 π ∙ εo ∙ r ∙ s
As
In dieser Beziehung gibt o  8,854  10-12
die elektrische Feldkonstante an, die das Verhältnis zwischen
Vm
Flussdichte und Feldstärke im Vakuum beschreibt. Zum Verständnis sei außerdem angemerkt, dass der elektrische
Fluss keine Ladungen transportiert, sondern lediglich die Kraftwirkung von einem zum anderen Punkt des
elektrischen Feldes überträgt.
Wie aber beschreibt eine Person B denselben Vorgang, die mit der Ladung Q im
Abstand r parallel zum Rohrstück s mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Ladung
mitbewegt wird, also relativ zur Ladung Q im Ruhezustand weilt? Weil B von den
Geschwindigkeiten u und –u der positiven und negativen Ladungsträger im Rohrstück
seine Eigengeschwindigkeit v abziehen muss, wird die Geschwindigkeit der positiven
u−v
Ladungsträg aus relativistischer Sicht zu u′+ =
u ∙ v und die Geschwindigkeit der
1−
negativen Ladungsträger zu
u′_
−u− v
=
u∙v
1− 2
c
c2
.Wegen der Längenkontraktion verringert sich
′ 2
(u )
allerdings der Abstand der Ladungsträger um den Faktor √1 − +2 , weil die positiven
c
Ladungsträger gegenüber B die Geschwindigkeit u′+ besitzen.
Da dieselbe Anzahl an Ladungsträgern nun aber einen kleineren Raum einnimmt, wird die Ladungsdichte der
1
1
positiven Ladungsträger um den Faktor
und die der negativen Ladungsträger um den Faktor
′ 2
′ 2
√1−
√1 – ( u+)
2
c
z∙e
erhöht. Aus Sicht von B verursachen die positiven Ladungen daher im Abstand r die Feldstärke E =
1
und die negativen Ladungen die Feldstärke E =
′ 2
√1 − ( u+ )
c2
z∙e
2π ∙ εo ∙ r ∙s
Insgesamt wirkt die Feldstärke E = E_ - E+ und damit wird E =
( u′+ )2
Wird in der Wurzel √1 −
u∙v 2
)
c2
u∙v
c2 ∙ (1− 2 )2
c
c2 ∙ (1−
sodass √
c2
die Größe u′+ durch
u−v
1−
u∙v
c2
1

z∙e
(
1
u∙v 2
) − (u − v)2
c2
u∙v
c2 ∙ (1− 2 )2
c
c2 ∙ (1−
verbleibt.
u∙v 2
) − (u − v)2
c2
u∙v
c ∙ (1− 2 )
c
u∙v
u2 ∙ v2
√ c2 ∙ (1 − 2 ∙ 2 +
) − ( u2 − 2 u ∙ v + v2 )
c
c4
u∙v
c ∙ ( 1− 2 )
c
2
2 2 2
√1 ∙ c2 − 2 ∙ u ∙ v2∙ c + u ∙ v 4 ∙ c − u2 + 2 u ∙ v − v2
c
c
u∙v
c ∙ ( 1− 2 )
c
2 2
√c2 + u ∙2v − u2 − v2
c
u∙v
c ∙ ( 1− 2 )
c
Durch
Ziehen
der
Wurzel
verändert. Die Auflösung der beiden Binome (1 Das
Ausmultiplizieren
u∙v 2
)
c2
im
der

c
(u − v)2
c2 ∙ (1−
. Wird die 1 als 1 
u∙v 2
)
c2
direkt (u – v)2 abgezogen werden,
Nenner
u∙v
).
′ 2
√1− ( u+ )
2
ersetzt, ergibt sich √1 −
√ c2 ∙ (1−
.
1
-
′ 2
√1− ( 𝑢_2 )
c
geschrieben, kann davon wegen Gleichheit der Nenner c 2  (1 -
2π ∙ εo ∙ r ∙s
in entgegengesetzter Feldrichtung.
( u′_ )2
c2
√1−
2π ∙ εo ∙ r ∙s
(u_ )
c2
wird
der
Ausdruck
zu
)2 und (u - v)2 führt danach zu
c2
Klammerausdrücke
im
Zähler
ergibt
und Kürzen durch c2 unter Abzug von - 2 u ∙ v + 2 u ∙ v = 0 erbringt
. Um die Variable c im Nenner zu eliminieren, muss sie im Zähler vor die Wurzel gestellt werden,
was zunächst durch Ausklammern von c 2 gemäß
geschieht und damit dem Binom
2 2
2
2
√c2 ∙ ( 1 + u ∙4v − u2 − v2 )
c
c
c
u2
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
u∙v
1− 2
c
u∙v
c ∙ ( 1− 2 )
c
u2 ∙ v 2
u2
v2
− 2− 2 )
c4
c
c
u∙v
c ∙ ( 1− 2 )
c
c ∙ √1 +
=
=
2
2 2
2
√ 1 − u2 + u ∙4v − v2
c
c
c
u∙v
1− 2
c
entspricht.
Dieser Ausdruck kann nun mit dem Kehrwert in die Gesamtfeldstärke E = E_ - E+ eingesetzt werden und liefert die
positive Feldstärke E+ =
z∙e
2π ∙ εo ∙ r ∙ s

1−
u2
u∙v
c2
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
. Um die negative Feldstärke zu erhalten, muss die
Geschwindigkeit u darin nur durch – u ersetzt werden, also E_ =
zweiten Nenners zu 1 +
1−
u2
u∙v
c2
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
E =
z∙e
2 π ∙ εo ∙ r ∙ s
1

u∙v
c2
2π ∙ εo ∙ r ∙ s

1−(
u2
) . Subtraktion der Nenner 1 +
u∙v
c2
– (1 -
u∙v
c2
) =1+
r und nach Vorziehen des Zählers
u∙v
c2
u∙v
c2
z∙e∙u∙v
π ∙ εo ∙ r ∙ s ∙ c2
mit Vereinfachung des
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
–1+
z∙e
2π ∙ εo ∙ r ∙ s
u∙v
c2
=2∙
∙(
u∙v
c2
u∙v
c2
2
u
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
1+
-
führt schließlich zu
in den vorderen Bruch E =
. Für Geschwindigkeiten u << c und v << c strebt der Bruch
womit die Feldstärke zu E =
−u∙v
)
c2
. Die gesamte Feldstärke E = E_ - E+ beträgt damit E =
2u∙v
c2
u2
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
u2
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
z∙e
1
u2
v2
√(1− 2 )∙(1− 2 )
c
c
z∙e∙u∙v
π ∙ εo ∙ r ∙ s ∙ c2

jedoch gegen 1,
vereinfacht werden kann. Person B folgert daraus, dass auf seine relativ zu
ihm ruhende Ladung Q die elektrische Kraft F el = Q  E wirkt, was nach Einsetzen von E =
z∙e∙u∙v
π ∙ εo ∙ r ∙ s ∙ c2
zu Fel =
Q⋅z∙e∙u∙v
wird.
π ∙ εo ∙ r ∙ s ∙ c2
Nach den Maxwell-Gleichungen für den elektrischen Vektor ⃗E und den magnetischen Vektor ⃗B breiten sich
elektromagnetische Wellen im Vakuum aber mit Lichtgeschwindigkeit aus und sind mit deren Feldkonstanten über
Q⋅z∙e∙u∙v
1
die Beziehung o  o  c2 = 1 verbunden. Wird in der Gleichung Fel =
2 für o =
2 eingesetzt, kann die auf
die Ladung Q wirkende elektrische Kraft als F el =
𝜇𝑜 ∙ Q ∙ v ∙ z ∙ e ∙ u
π∙r∙s
𝜇 ∙Q∙v∙z∙e∙u
π ∙ εo ∙ r ∙ s ∙ c
μo ∙ c
formuliert werden und entspricht damit genau der
Lorentz-Kraft F = 𝑜
zu Beginn dieser Ausführungen. Damit ist eindeutig bewiesen, dass die relativistische
π∙r∙s
Betrachtung der Lorentz-Kraft zu genau denselben Ergebnissen führt wie die klassische Physik.
2. Lichtaberration
Ein weiterer Beweis für die Gültigkeit der Relativitätstheorie liefert die von dem englischen
Astronomen James Bradley (1693-1762) untersuchte Aberration des Lichtes, die aber erst hundert
Jahre später durch den deutschen Physiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) genau bestimmt
wurde. Sie entsteht durch die Bewegung der Erde auf der Umlaufbahn um die Sonne und führt
dazu, dass ein Fixstern, der von der Erde aus mit einem Fernrohr beobachtet wird, seinen
Aufenthaltsort im Lauf eine Jahres scheinbar längs einer Kreisbahn ändert, die parallel zur Erde
verläuft.
Gründe für diesen Effekt sind die Geschwindigkeit v ~ 30 km/s der Erde auf der Umlaufbahn um
die Sonne und die endliche Lichtgeschwindigkeit c ~ 3 ∙ 106 km/s. Sie bewirken, dass ein Lichtstrahl
des beobachteten Fixsterns zwar die Mitte des Fernrohrobjektives trifft, nicht aber dessen Okular,
weil sich das Fernrohr während der Ausbreitung des Lichtstrahls mit der Erde ein Stück
weiterbewegt hat. Deshalb weicht die Einfallsrichtung des Lichtstrahles gegenüber der
tatsächlichen Position des Fixsternes für den Beobachter auf der Erde um den Winkel β mit tan β
= v ∙ Δt / c ∙ Δt ~ 20,5" Bogensekunden ab, wobei Δt die Laufzeit des Lichtes im Fernrohr angibt.
Aus diesem Grund darf auch ein Objekt am Sternenhimmel von einem Ort x auf der Erdoberfläche
niemals senkrecht angepeilt werden, weil das Licht des Objektes eine gewisse Zeit t benötigt, bis
es den Ort x und damit das Okular des aufgestellten Fernrohrs erreicht. In dieser Zeit hat die Erde
aber bereits den Weg s = vErde ∙ t auf ihrer Umlaufbahn zurückgelegt, so dass der Lichtstrahl hinter
dem Fernrohr auftreffen würde.
Wie aber kann dieser Effekt berechnet werden, wenn nur die relative Bewegung zwischen der Lichtquelle und dem
Beobachter betrachtet wird? Das Ergebnis muss natürlich auch für einen Beobachter gelten, den allein die relative
Bewegung des Fixsternes gegenüber der eigenen Person interessiert.
Wären Stern S' und Beobachter A relativ zueinander in Ruhe, so müsste Beobachter A den Ort
A1 einnehmen und würde dort den Lichtstrahl u' in seinem Fernrohr sehen. Bewegt sich aber S'
mit der Geschwindigkeit v relativ zu A, dann ergibt die Addition der Lichtgeschwindigkeit u' mit
der Sterngeschwindigkeit v den Vektor der Lichtgeschwindigkeit u, in dessen Richtung A nun
sein Fernrohr einstellen muss. Dazu muss er sich an den Ort A 2 begeben und das Fernrohr
nach rechts drehen. Die Beträge der Lichtgeschwindigkeiten u = u' = c sind dabei gleich, weil
die Lichtgeschwindigkeit derzeit die kosmische Obergrenze aller Geschwindigkeiten bildet.
Werden die Geschwindigkeiten u und u' derart in ein Koordinatensystem übertragen, dass die
x-Achse für den Beobachter A in der Horizontalen und die y-Achse in der Vertikalen liegt, dann
geben die Winkel α1 und α2 die Neigung des Fernrohrs gegen die Vertikale an gemäß:
ux = c ∙ sin α2 mit uy = c ∙ cos α2 und u′x = c ∙ sin α1 mit u′y = c ∙ cos α1
y
Da die Komponenten ux und u′x parallel zur Sterngeschwindigkeit v liegen, kann die
y'
relativistische Addition von Geschwindigkeiten gemäß u =
α2
=
α1
′
u ∙ v
1 + x2
c
c ∙ sin α1 + v
u'
u
u′x + v
v
c
1+ ∙ sin α1
x
x'
u′ + v
1+
u′ ∙ v
c2
durchgeführt werden, also ux
. Das Einsetzen von ux = c ∙ sin α2 und u′x = c ∙ sin α1 liefert die Gleichung c ∙ sin α2 =
. Wird diese Gleichung durch c geteilt, kann der Neigungswinkel α2 des Fernrohrs am
Ort A2 explizit zu sin α2 =
sin α1 +
v
c
v
c
1+ ∙ sin α1
bestimmt werden.
Um den Zusammenhang zwischen den Vertikalkomponenten uy =
∆y
∆t
und u′y =
∆y′
∆t′
zu finden, müssen erneut die
v
Lorentz-Transformationen für den Lichtweg gemäß y = y' und die dafür benötigte Zeit t =
v
werden. Damit gelten aber auch Δy = Δy' für den Weg und entsprechend Δt =
∆t′+ 2 ∙ ∆x′
c
2
√1− v2
c
t′ + 2 ∙ x′
c
2
√1− v2
∆x′
v
=
1+ 2∙ ′
c
∆t
2
√1− v2
c
angewendet
c
∙ Δt' für die Zeit.
Da die Horizontalkomponente u′x aber wie die Vertikalkomponente u′y =
in der Form u′x =
∆x′
∆t′
oder Δx' = u′x ∙ Δt' ausgedrückt werden kann und
Wird dieser Ausdruck in Δt =
v ∆x′
1+ 2∙ ′
c
∆t
2
√1− v2
c
Da für die Vertikalkomponente
u′y
=
∆y′
∆t′
eingesetzt, bleibt als Zeit Δt =
nach dem Geschwindigkeit/Zeit-Gesetz
= c ∙ sin α1 gilt, wird Δx' = c ∙ sin α1 ∙ Δt'.
v ( c ∙ sin α1 ∙ ∆t′ )
1+ 2∙
c
∆t′
2
√1− v2
mit Δy' =
∙ Δt' = Δy gilt, wird uy =
und nach Kürzen durch Δt' zu uy =
v
∙ sin α1 ∙ ∆t′
c
∆y
∆t
sin α2 =
v
1+ ∙ sin α1
c
stehen.
v
∙ sin α1
c
2
√1− v2
c
1+
√1− v2
c
1+
v
∙ sin α1
c
∙ u′y . Einsetzen von uy = c ∙ cos α2 und u′y = c ∙
2
√1− v2
c
1+
v
∙ sin α1
c
∙ c ∙ cos α1 und nach Kürzen durch c sodann cos α2 =
Tangens aber allgemein durch tan α =
v
c
v
∙ sin α1 ∙ ∆t′
c
2
√1− v2
c
nun durch Einsetzen von Δt =
2
cos α1 liefert c ∙ cos α2 =
sin α1 +
1+
∙ Δt' =
2
u′y ∙ ∆t′ ∙ √1− 2
c
1+
∆t′
für u′x
c
u′y
v2
zu uy =
∆y′
und
sin ∝
cos ∝
v
∙ sin α1
1
c
2
cos ∝2
√1− v2 ∙ cos ∝1
c
v
sin α1 +
c
2
v2
cos ∝1 ∙ √1− 2
c
=
1+
α1) schließlich zu tan α =
√1− v2
c
v
∙ sin α1
c
1+
∙ cos α1. Da der
ausgedrückt werden kann, wird der Neigungswinkel des Fernrohrs mit
zu tan α2 =
v
c
v
∙ sin α1 )
c
v
v2
( 1 + ∙ sin α1 ) ∙ √1− 2 ∙ cos ∝1
c
c
( sin α1 + ) ∙ ( 1 +
v
und nach Kürzen durch (1 + ∙ sin
c
.
Bradley fand für Sterne, deren Licht mit α1 = 0 senkrecht auf die Ebene der Erdbahn strahlt, den Winkel α 2  20,5".
Mit α1 = 0 wird aber auch sin α1 = 0 und cos α1 = 1. Für v << c wird zudem der Quotient
relativistische Betrachtung des Neigungswinkel tan α 2 =
v
sin α1 +
c
v2
cos ∝1 ∙ √1− 2
c
v2
c2
 0, so dass die
v
zu tan α2  vereinfacht werden kann. Werden
c
darin die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Umlaufbahn und die Lichtgeschwindigkeit c eingesetzt, ist tan α 2 
3 ∙ 104 m/s
3 ∙ 108 m/s
= 0,0001 mit α2  20,5" als Winkelbogen. Damit ist auch für die Aberration des Sternenlichtes rechnerisch
bewiesen, dass ein relativistischer Ansatz zu denselben Ergebnissen wie die klassische Physik führt.
3. Compton-Wellenlänge
Dieser von dem US-Physiker Artur Compton (1892-1962) entdeckte Vorgang besagt, dass die Wellenlänge von Licht
beim Auftreffen auf ein Elektron vergrößert wird. Die nach ihm benannte Compton-Wellenlänge C weist einen festen
Wert C ~ 2,426  10-12 m auf, der allein aus Naturkonstanten besteht:
C =
h
me ∙ c
Die Vergrößerung der Wellenlänge hängt bei diesem Vorgang nicht von der Frequenz des Photonenstrahls ab,
sondern allein vom Streuwinkel :
 = C · (1 - cos )
Obwohl die Zunahme der Wellenlänge in der Literatur häufig unter dem Blickwinkel der klassischen Physik erklärt
wird, muss trotz gleicher Ergebnisse eine relativistische Sichtweise Vorrang erhalten, weil die Massenveränderung
im Bereich der Lichtgeschwindigkeit nicht übersehen werden darf. Wie bei der klassischen Herleitung wird die
Kollision von Photon und Elektron als vollkommen elastischer Stoß ausgelegt, für den die Erhaltungssätze von
Energie E und Impuls p gelten:
E + E0 = Ep + Ee
p + p0 = pp + pe
Darin geben die Größen E und Ep die Energie des Photons vor und nach dem Stoß an,
während E0 und Ee die Energie des Elektrons vor und nach dem Stoß bezeichnen. In
gleicher Weise sind die Impulse von Photon und Elektron zu verstehen, die zu p = pp + pe
vereinfacht werden können, weil der Impuls des Elektrons vor dem Stoß als po = 0
angenommen wird. Zudem kann die Gleichung p = pp + pe unter Anwendung des
Kosinussatzes umgewandelt werden gemäß p2e = p2 + p2p - 2 · p · pp · cos .
Wegen der Massenänderung muss zusätzlich zu den beiden Erhaltungssätzen die Relation zwischen Energie und
Impuls berücksichtigt werden. Für die Energie der Ruhemasse, die in der klassischen Sichtweise als E0 = 0
𝑚0
𝑚0
angenommen wird, gilt aber E =
· c2 gemäß E = m · c2, während der Impuls p = m · v die Form p =
·v
2
2
√1− v2
√1− v2
c
annimmt. Das Verhältnis von Impuls und Energie liefert die Beziehung
Die Energie E =
𝑚0
2
√1− v2
c
p
E
=
v
c2
· c2 kann durch Multiplikation der Gleichung mit √1 −
und damit v =
v2
c2
c2 ∙ p
E
zu E · √1 −
v2
c2
c
als Geschwindigkeit.
= m0 · c2 umgeformt
werden, worin die Variable v =
c2 ∙ p
E
gemäß E · √1 −
c2 ∙ p2
gekürzt, womit die Gleichung E · √1 −
E2
c4 ∙ p2
E2
c2
= m0 · c2 eingesetzt werden kann. Der Bruch wird durch c2
= m0 · c2 lautet. Das Produkt m0 · c2 gibt aber die Energie E0 der Masse
im Ruhezustand an, was zur Schreibweise E · √1 −
c2 ∙ p2
E2
2 ∙ p2
E2
= Eo führt. Wird diese Gleichung zu E2 · (1 - c
) = Eo2
quadriert und die Klammer mit E2 ausmultipliziert, nimmt die Gleichung die Form E2 - c2 · p2 = Eo2 an. Die Auflösung
nach E2 liefert schließlich die Energie/Impuls-Relation in ihrer bekannten Formulierung:
E2 = Eo2 + c2 · p2
Für Teilchen mit der Ruhemasse m0 = 0 gilt vereinfacht E2 = 0 + c2 · p2 oder E2 = c2 · p2, so dass die Energie E =
√c 2 ∙ p2 nach Auflösung der Wurzel die Form E = c · p annimmt. Wird die Energie/Impuls-Relation auf den
elastischen Stoß zwischen den Photon und Elektron angewendet, muss diese nach dem Impuls p2 = p2e =
E2e − E2o
c2
des
Elektrons nach dem Stoß aufgelöst werden. Darin kann die Energiebilanz E + E0 = Ep + Ee nach Ee = E + E0 - Ep
aufgelöst und zum Ausdruck Ee2 = (E + E0 - Ep)2 quadriert werden, so dass der Impuls nun p2e =
E
Da Photonen keine Ruhemasse m0 besitzen, kann ihr Impuls vor dem Stoß als p =
gemäß E = c · p formuliert werden. Durch Einsetzen der Impulse p2e =
-2·
c
·
Ep
c
c2
und p =
c2
E
vereinigt wurde, so dass (E + E0 - Ep) -
Eo2
=
E2
+
Ep2
Ep
samt pp =
c2
·
- 2 ∙ E ∙ Ep · cos β verbleibt.
=
E
c
·
Ep
c
zu
Ep
c
in den
c
c
(E + Eo – Ep)2 – E2o E2
· cos β an. Diese Gleichung kann durch c2 gekürzt werden, nachdem das Produkt 2
2
lautet.
und nach dem Stoß als pp =
c
(E + Eo – Ep)2 – E2o
umgeformten Impulserhaltungssatz p2e = p2 + p2p - 2 · p · pp · cos  nimmt dieser die Form
E
(E + Eo – Ep)2 – E2o
c2
+
E2p
c2
2 ∙ E ∙ Ep
c2
Das Auflösen der Klammer (E + E0 - Ep)2 führt zu E2 + Eo2 + Ep2 + 2 ∙ E ∙ Eo - 2 ∙ E ∙ Ep - 2 ∙ Ep ∙ Eo und damit zur Gleichung
E2 + Eo2 + Ep2 + 2 ∙ E ∙ Eo - 2 ∙ E ∙ Ep - 2 ∙ Ep ∙ Eo = E2 + Ep2 - 2 ∙ E ∙ Ep · cos β. Darin werden alle Quadratgrößen durch die
gegenseitige Subtraktion entfernt, womit 2 ∙ E ∙ Eo - 2 ∙ E ∙ Ep - 2 ∙ Ep ∙ Eo = 2 ∙ E ∙ Ep · cos β verbleibt. Diese Gleichung
kann gleichzeitig durch 2 und durch den Bruch
ergibt. Die Addition des Bruchs
Photonen gemäß
=
1
E𝑜
1
Ep
1
1
-E=E +
1
𝑜
gekürzt werden, was im Ergebnis
1
Ep
-
1
E𝑜
-
1
E
=
− cos β
E𝑜
auf beiden Seiten der Gleichung weist die Differenz der Wellenlänge für die
E𝑜
− cos β
E𝑜
1
E ∙ E𝑜 ∙ Ep
aus, die durch Ausklammern von
1
E𝑜
auf der rechten Gleichungsseite zu
1
Ep
-
1
E
· (1 - cos β) führt.
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum v =   f [m/s] als Produkt aus
Wellenlänge  [m und Frequenz f =  =
1
T
Hz definiert ist, wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit für v = c zu c = 
 ν, so dass die Frequenz der Photonen als ν =
c
λ
ausgedrückt werden kann. Die Energie des Photons ist aber nach
c
h∙c
λ
λ
Max Planck als E = h   definiert, was nach Einsetzen von ν = zu der Formel E =
und
1
E
in der Gleichung
1
Ep
-
1
E
=
1
E𝑜
· (1 - cos β) jeweils durch den Kehrwert
1
E
=
λ
h∙c
führt. Werden die Brüche
1
Ep
ausgedrückt und zudem die
Energie des Elektrons im Ruhezustand nach Einstein als Eo = m0 · c2 angenommen, dann kann die Gleichung zu
λ
λp
1
=
· (1 - cos β) umgewandelt werden. Die Multiplikation dieser Gleichung mit dem Nenner h ∙ c führt
h ∙ c h ∙ c m𝑜 ∙ c2
zu λp - λ =
h∙c
mo · c2
· (1 - cos β), worin der Bruch
h∙c
mo · c2
durch Kürzen von c zu C =
h
mo ∙ c
vereinfacht wird. Die Differenz
der Lichtwellenlängen vor und nach dem Stoß wird zu Δ λ = λp - λ zusammengefasst, woraus die ComptonWellenlänge in ihrer bekannten Form resultiert:
Δ λ = C · (1 - cos )
4. Ausblick
Alle bisher angestellten Betrachtungen und Beweisführungen beziehen sich auf den Spezialfall gleichförmig
bewegter Bezugssysteme, weshalb dieser Teil der Relativitätstheorie auch spezielle Relativitätstheorie (SRT) heißt.
Die Grundannahmen dazu veröffentlichte Albert Einstein erstmals im Jahr 1905 unter dem Titel "Zur Elektrodynamik
bewegter Körper". Etwa zehn Jahre später erweiterte er die spezielle Relativitätstheorie auf beschleunigte
Bezugssysteme zur allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Eine Theorie mit einem derartigen Anspruch muss aber
die Wirkung von Gravitationsfeldern einbeziehen, denn ein Beobachter ohne Kontakt zu Außenwelt kann in einem
konstant beschleunigten Raum nicht entscheiden, ob er sich in einem beschleunigten Bezugssystem aufhält oder in
einem Gravitationsfeld ruht. Diese Tatsache hat bereits Galilei erkannt, wenn eine Person unter Deck eines Schiffes
den freien Fall eines Körpers beobachtet. In Erweiterung der Galilei-Transformationen nahm Einstein im Gegensatz
zu Newton an, dass sich auch Gravitationswirkungen nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können.
Waren schon die Annahmen der speziellen Relativitätstheorie experimentell kaum überprüfbar, wird es im Hinblick
auf gekrümmte Räume und Zeiten noch schwieriger, passende Laborversuche zu ersinnen und durchzuführen.
Dennoch haben vor allem zwei Experimente zur Anerkennung und Festigung der allgemeinen Relativitätstheorie
geführt, nämlich zum einen der Nachweis von Gangunterschieden bei Uhren und zum anderen die Lichtablenkung
im Gravitationsfeld der Sonne.