5. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
5. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“
Besprechung am 11. Juni 2013
Vorbemerkung
Das kartesische Produkt zweier (ungerichteter) Graphen G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) ist der
(ungerichtete) Graph G1 G2 = (V1 × V2 , E ) mit
(u1 , u2 ), (v1 , v2 ) ∈ E ⇐⇒ (u1 = v1 und (u2 , v2 ) ∈ E2 ) oder ((u1 , v1 ) ∈ E1 und u2 = v2 )
für alle (u1 , u2 ), (v1 , v2 ) ∈ V1 × V2 . Ähnlich wie in Aufgabe 2 des 4. Übungsblattes kann man
folgende Aussage beweisen:
Sei m ≥ 0. Für alle Graphen G1 und G2 sowie H1 und H2 mit G1 ≡m H1 und G2 ≡m H2 gilt:
G1 G2 ≡m H1 H2 .
Aufgabe 1
Es sei τ = (R, ∅, ar) eine unäre Signatur, d.h. ar(P ) = 1 für alle P ∈ R. Für jede τ -Struktur A
definieren wir eine Abbildung cA : kAk → 2R durch
cA (a) = P ∈ R a ∈ P A
und für S ⊆ R setzen wir
#(A, S) = c−1
A (S) .
(a) Es seien A und B τ -Strukturen und m ∈ N, so dass für alle S ⊆ R gilt: #(A, S) = #(B, S)
oder #(A, S), #(B, S) > m. Zeigen Sie: A ≡m B.
(b) Beweisen Sie, dass die folgenden vier Probleme allesamt entscheidbar sind, wobei die Eingabe
jeweils ein FO[τ ]-Satz Φ ist.
(1) Ist Φ erfüllbar?
(2) Ist Φ endlich erfüllbar?
(3) Ist Φ eine Tautologie?
(4) Ist Φ eine endliche Tautlogie?
Bemerkung: Alle vier Probleme sind über beliebigen, d.h. nicht notwendigerweise unären,
Signaturen unentscheidbar.
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Weiterhin betrachten wir für jede Teilmenge S ⊆ R die FO[τ ]-Formel
^
^
¬P (x) .
ϕS (x) =
P (x) ∧
P ∈S
P ∈R\S
(c) Zeigen Sie, dass es zu jedem FO[τ ]-Satz Φ eine boolesche Kombination Ψ von Formeln der
Gestalt ∃≥n x : ϕS (x) mit n ∈ N und S ⊆ R gibt, so dass für alle τ -Strukturen A gilt:
A |= Φ
⇐⇒
A |= Ψ .
Geben Sie außerdem einen Algorithmus an, der ψ aus φ konstruiert.
(d) Gegeben sei nun ein fester FO[τ ]-Satz Φ. Geben Sie einen Linearzeit-Algorithmus an, der als
Eingabe eine endliche τ -Struktur A erhält und entscheidet, ob A |= Φ gilt.
Aufgabe 2
Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Hanf erneut, dass sich die Grapheigenschaften „Kreis zu sein“
bzw. „Pfad zu sein“ nicht in der Logik 1. Stufe ausdrücken lassen. Beweisen Sie also:
(a) Es gibt keinen FO-Satz Φ, so dass für alle (endlichen) ungerichteten Graphen G gilt: G |= Φ
genau dann, wenn G ein Kreis ist, d.h. wenn es ein n ≥ 3 mit G ∼
= Cn gibt, wobei Cn der
ungerichtete Kreis auf n Knoten ist.
(b) Es gibt keinen FO-Satz Ψ, so dass für alle (endlichen) ungerichteten Graphen G gilt: G |= Ψ
genau dann, wenn G ein Pfad ist, d.h. wenn es ein n ≥ 1 mit G ∼
= Pn gibt, wobei Pn der
ungerichtete Pfad auf n Knoten ist.
Hinweis: Versuchen Sie in Teilaufgabe (a) mithilfe des Satzes von Hanf zunächst zu zeigen, dass
es für jedes m ≥ 1 ein n ≥ 3 mit Cn ∼
=m Cn ] Cn gibt. Verfahren Sie in Teilaufgabe (b) ähnlich.
Aufgabe 3
Wir betrachten die Graphen N = (N, EN ) und Z = (Z, EZ ) mit
(i, j) ∈ EN
⇐⇒
|i − j| = 1
und
(i, j) ∈ EZ
⇐⇒
|i − j| = 1
für alle i, j ∈ N bzw. alle i, j ∈ Z.
(a) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Hanf, dass die folgenden Aussagen für jeden FO-Satz Φ
äquivalent sind:
(1) Für unendlich viele n ≥ 3 gilt Cn |= Φ.
(2) Für fast alle n ≥ 3 gilt Cn |= Φ.
(3) Es gilt Z |= Φ.
Bemerkung: Man kann diese Aussage folgendermaßen auffassen: Die Menge { Cn | n ≥ 3 }
der Kreise lässt sich vom beidseitig unendlichen Pfad Z in der FO-Logik nicht unterscheiden.
(b) Schlussfolgern Sie mithilfe der Vorbemerkung, dass die folgenden Aussagen für jeden FO-Satz
Ψ äquivalent sind:
(1) Für unendlich viele n ≥ 3 gilt N Cn |= Ψ.
(2) Für fast alle n ≥ 3 gilt N Cn |= Ψ.
(3) Es gilt N Z |= Ψ.
(c) Geben Sie einen SO-Satz Ω mit N Cn |= Ω für alle n ≥ 3 und N Z 6|= Ω an.
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Aufgabe 4
Es seien N und Z die Graphen aus Aufgabe 3.
(a) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Hanf und ohne Verwendung der Aussage aus der Vorbemerkung, dass die folgenden Aussagen für jeden FO-Satz Φ äquivalent sind:
(1) Für unendlich viele n ≥ 3 gilt Cn Cn |= Φ.
(2) Für fast alle n ≥ 3 gilt Cn Cn |= Φ.
(3) Es gilt Z Z |= Φ.
Bemerkung: Diese Äquivalenzen besagen: Die Menge { Cn Cn | n ≥ 3 } der torusartigen
Gitter lässt sich vom allseitig unendlichen Gitter Z Z in der FO-Logik nicht unterscheiden.
(b) Geben Sie einen SO-Satz Ψ mit Cn Cn |= Ψ für alle n ≥ 3 und Z Z 6|= Ψ an.
(c) Geben Sie einen FO-Satz Ω mit Cn Cn |= Ω für alle n ≥ 3 und N N 6|= Ω an.
(d) Finden Sie einen unendlichen Graphen G mit folgenden Eigenschaften:
(1) Für alle FO-Sätze Γ gilt N N |= Γ genau dann, wenn G |= Γ gilt.
(2) Es gibt einen SO-Satz ∆ mit N N |= ∆ und G 6|= ∆.
Hinweis: Graphen der Gestalt Cn Cn lassen sich besser auf Donuts zeichnen als auf Papier.
Aufgabe 5
Es sei τ eine Signatur bestehend aus einem binären Relationssymbol < und einem unären Relationssymbol P . Wir betrachten eine τ -Struktur A = (A, <A , P A ) mit folgenden Eigenschaften:
(1) <A ist eine strikte lineare Ordnung auf A.
(2) Für alle u, v ∈ A mit u <A v existieren x, y, z ∈ P A mit x <A u <A y <A v <A z.
(3) Für alle u, v ∈ A mit u <A v existieren x̄, ȳ, z̄ ∈ A \ P A mit x̄ <A u <A ȳ <A v <A z̄.
Zeigen Sie mithilfe eines Back-and-Forth-Arguments, dass A durch (1) bis (3) bis auf Isomorphie
eindeutig festgelegt ist, sprich: jede weitere τ -Struktur die (1) bis (3) genügt, ist isomorph zu A.
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