1.3.1. Zählstrategien - boehme
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1.3. Kombinatorische Zählprobleme 1.3.1. Zählstrategien 1.3.1. Zählstrategien Wie viele Tippreihen muss man beim Lotto 6 aus 49 ausfüllen, um mit Sicherheit 6 Richtige zu haben? 1.3.1. Zählstrategien Dazu stellen wir uns ein Baumdiagramm vor. 2. . . 1 . . . 49 1. 49 . . 48 Es gibt also •für die erste Kugel 49 Möglichkeiten, •für die zweite Kugel 48 Möglichkeiten, …. •für die sechste Kugel 44 Möglichkeiten. 1.3.1. Zählstrategien Die Anzahl aller Möglichkeiten erhalten wir durch Multiplikation der Anzahl der Verzweigungen aus den einzelnen Stufen (Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik). Es gibt also 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10.068.347.520 verschiedene Ziehungsfolgen. 1.3.1. Zählstrategien Hierbei sind aber für den Ausgang der Ziehung Ergebnisse mehrfach vorhanden, da es bei der Ziehung der Lottozahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt. In den 10.068.347.520 Möglichkeiten sind z.B. die Ziehungsfolgen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 6, 5, 4, 3, 2, 1 enthalten. Beide würden aber zum Gewinn führen. 1.3.1. Zählstrategien Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Zahlen unterschiedlich anzuordnen? •Für den „ersten Platz“ gibt es 6 Möglichkeiten. •Für den „zweiten Platz“ gibt es 5 Möglichkeiten. …. •Für den sechsten Platz gibt es eine Möglichkeit. Man kann also sechs Zahlen auf 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 Möglichkeiten anordnen. 1.3.1. Zählstrategien Jetzt kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn berechnen. P("6er " ) 720 1 0,00000007 0,000007 % 1006834752 0 13983816 1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient 1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient Zur Abkürzung von n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 schreibt man n! DEF: FAKULTÄT 0! = 1, 1! = 1 n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient Jetzt kann man für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen 6er beim Lotto kürzer schreiben: P("6er " ) 6!43! 1 0,00000007 0,000007 % 49! 13983816 1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient Allgemein gilt: n … Anzahl der Kugeln in einer Lostrommel k … Anzahl der Kugeln, die ohne Zurücklegen gezogen werden Jetzt gibt der Quotient n! die Anzahl der möglichen k!n k ! Kombinationen an. Dieser Ausdruck heißt auch Binomialkoeffizient n . k 1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient n k DEF: BINOMIALKOEFFIZIENT n,k mit k < n gilt: n n! = k k! n - k ! 1.3.3. Geordnete Stichproben 1.3.3. Geordnete Stichproben Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen kann man mit vier Würfeln werfen? Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 4 Kugeln mit den Nummern 1 bis 4 enthält, 4 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (geordnete Stichprobe mit Zurücklegen). 1.3.3. Geordnete Stichproben DEF: Ist eine Menge von n verschiedenen Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen aus je k Elementen dieser Menge in jeder möglichen Reihenfolge als GEORDNETE STICHPROBE oder VARIATION. Variationen mit Zurücklegen Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge beliebig oft vorkommen, so gibt es nk Variationen. Es gibt also 44 = 256 Möglichkeiten, mit vier Würfeln eine vierstellige Zahl zu würfeln. 1.3.3. Geordnete Stichproben Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben. Wie viele Passwörter sind möglich? Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 26 Kugeln mit den Nummern 1 bis 26 enthält, 4 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen). Damit gibt es 26 · 25 · 24 · 23 = 358800 Möglichkeiten. 1.3.3. Geordnete Stichproben Variationen ohne Zurücklegen Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge n! nur einmal vorkommen, so gibt es Variationen. n - k ! 26 26! 358800 26 4 4! 22! Hinweis: Variationen ohne Zurücklegen können mit dem Taschenrechner auch über die Taste „nPr“ berechnet werden. Die Tastenfolge ist n nPr k (26 nPr 4 = 358800). 1.3.4. Ungeordnete Stichproben 1.3.4. Ungeordnete Stichproben Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 richtige aus 49 Zahlen zu tippen? Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 49 Kugeln mit den Nummern 1 bis 49 enthält, 6 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen). 1.3.4. Ungeordnete Stichproben DEF: Ist eine Menge mit n verschiedenen Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen aus je k Elementen dieser Menge ohne Berücksichtigung ihrer Reihenfolge als UNGEORDNETE STICHPROBEN oder KOMBINATIONEN. Kombinationen ohne Zurücklegen Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge n nur einmal vorkommen, so gibt es Kombinationen. k n 49 Für einen „Sechser“ im Lotto ist n = 49 und k = 6: 13983816 k 6 Hinweis: Kombinationen ohne Zurücklegen können mit dem Taschenrechner auch über die Taste „nCr“ berechnet werden. Die Tastenfolge ist n nCr k (49 nCr 6 = 13983816). 1.3.4. Ungeordnete Stichproben Bei einem Sonderangebot kann man sich eine Kiste (zwölf Flaschen) aus drei verschiedenen Getränkesorten beliebig zusammenstellen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 3 Kugeln mit den Nummern 1 bis 3 enthält, 12 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen). 1.3.4. Ungeordnete Stichproben Kombinationen mit Zurücklegen Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge n + k -1 beliebig oft vorkommen, so gibt es Kombinationen. k 3 12 1 14 Setzt man für n = 3 und k = 12, so erhält man 91 12 12 Möglichkeiten.
