1.3.1. Zählstrategien - boehme

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1.3. Kombinatorische
Zählprobleme
1.3.1. Zählstrategien
1.3.1. Zählstrategien
Wie viele Tippreihen muss man beim Lotto 6 aus 49 ausfüllen,
um mit Sicherheit 6 Richtige zu haben?
1.3.1. Zählstrategien
Dazu stellen wir uns ein Baumdiagramm vor.
2.
.
.
1
.
.
.
49
1.
49
.
.
48
Es gibt also
•für die erste Kugel
49 Möglichkeiten,
•für die zweite
Kugel 48
Möglichkeiten,
….
•für die sechste
Kugel 44
Möglichkeiten.
1.3.1. Zählstrategien
Die Anzahl aller Möglichkeiten erhalten wir durch Multiplikation
der Anzahl der Verzweigungen aus den einzelnen Stufen
(Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik).
Es gibt also 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10.068.347.520
verschiedene Ziehungsfolgen.
1.3.1. Zählstrategien
Hierbei sind aber für den Ausgang der Ziehung Ergebnisse
mehrfach vorhanden, da es bei der Ziehung der Lottozahlen
nicht auf die Reihenfolge ankommt. In den 10.068.347.520
Möglichkeiten sind z.B. die Ziehungsfolgen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 6,
5, 4, 3, 2, 1 enthalten. Beide würden aber zum Gewinn führen.
1.3.1. Zählstrategien
Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Zahlen unterschiedlich
anzuordnen?
•Für den „ersten Platz“ gibt es 6 Möglichkeiten.
•Für den „zweiten Platz“ gibt es 5 Möglichkeiten.
….
•Für den sechsten Platz gibt es eine Möglichkeit.
Man kann also sechs Zahlen auf 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Möglichkeiten anordnen.
1.3.1. Zählstrategien
Jetzt kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn
berechnen.
P("6er " ) 
720
1

 0,00000007  0,000007 %
1006834752 0 13983816
1.3.2. Fakultät und
Binomialkoeffizient
1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient
Zur Abkürzung von n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 schreibt man
n!
DEF: FAKULTÄT
0! = 1, 1! = 1
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1
1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient
Jetzt kann man für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für
einen 6er beim Lotto kürzer schreiben:
P("6er " ) 
6!43!
1

 0,00000007  0,000007 %
49! 13983816
1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient
Allgemein gilt:
n … Anzahl der Kugeln in einer Lostrommel
k … Anzahl der Kugeln, die ohne Zurücklegen gezogen werden
Jetzt gibt der Quotient
n!
die Anzahl der möglichen
k!n  k !
Kombinationen an. Dieser Ausdruck heißt auch Binomialkoeffizient
n
  .
k 
1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient
n
k 
DEF: BINOMIALKOEFFIZIENT  
 n,k  
mit k < n gilt:
n
n!
=
 
 k  k!   n - k  !
1.3.3. Geordnete Stichproben
1.3.3. Geordnete Stichproben
Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen kann man mit vier
Würfeln werfen?
Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 4
Kugeln mit den Nummern 1 bis 4 enthält, 4 mal mit Zurücklegen
eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der
eintretenden Ergebnisse an (geordnete Stichprobe mit
Zurücklegen).
1.3.3. Geordnete Stichproben
DEF: Ist eine Menge von n verschiedenen Elementen
gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen aus
je k Elementen dieser Menge in jeder möglichen Reihenfolge
als GEORDNETE STICHPROBE oder VARIATION.
Variationen mit Zurücklegen
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge
beliebig oft vorkommen, so gibt es nk Variationen.
Es gibt also 44 = 256 Möglichkeiten, mit vier Würfeln eine
vierstellige Zahl zu würfeln.
1.3.3. Geordnete Stichproben
Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt.
Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben.
Wie viele Passwörter sind möglich?
Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 26
Kugeln mit den Nummern 1 bis 26 enthält, 4 mal ohne
Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es auf die
Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (geordnete
Stichprobe ohne Zurücklegen).
Damit gibt es 26 · 25 · 24 · 23 = 358800 Möglichkeiten.
1.3.3. Geordnete Stichproben
Variationen ohne Zurücklegen
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge
n!
nur einmal vorkommen, so gibt es
Variationen.
n - k !
 26 
26!
 358800


 26  4  4! 22!
Hinweis: Variationen ohne Zurücklegen können mit dem
Taschenrechner auch über die Taste „nPr“ berechnet werden. Die
Tastenfolge ist n nPr k (26 nPr 4 = 358800).
1.3.4. Ungeordnete Stichproben
1.3.4. Ungeordnete Stichproben
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 richtige aus 49 Zahlen zu
tippen?
Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 49
Kugeln mit den Nummern 1 bis 49 enthält, 6 mal ohne
Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es nicht auf
die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (ungeordnete
Stichprobe ohne Zurücklegen).
1.3.4. Ungeordnete Stichproben
DEF: Ist eine Menge mit n verschiedenen Elementen
gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen aus
je k Elementen dieser Menge ohne Berücksichtigung ihrer
Reihenfolge als UNGEORDNETE STICHPROBEN oder
KOMBINATIONEN.
Kombinationen ohne Zurücklegen
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge
n
nur einmal vorkommen, so gibt es   Kombinationen.
k 
 n
 49
Für einen „Sechser“ im Lotto ist n = 49 und k = 6:       13983816
k   6 
Hinweis: Kombinationen ohne Zurücklegen
können mit dem Taschenrechner auch über die
Taste „nCr“ berechnet werden. Die
Tastenfolge ist n nCr k (49 nCr 6 = 13983816).
1.3.4. Ungeordnete Stichproben
Bei einem Sonderangebot kann man sich eine Kiste (zwölf
Flaschen) aus drei verschiedenen Getränkesorten beliebig
zusammenstellen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 3
Kugeln mit den Nummern 1 bis 3 enthält, 12 mal mit Zurücklegen
eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge
der eintretenden Ergebnisse an (ungeordnete Stichprobe mit
Zurücklegen).
1.3.4. Ungeordnete Stichproben
Kombinationen mit Zurücklegen
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge
 n + k -1 
beliebig oft vorkommen, so gibt es 
 Kombinationen.
 k 
 3  12  1 14 
Setzt man für n = 3 und k = 12, so erhält man 
     91
 12  12 
Möglichkeiten.
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