07_ttest(2)

Der t-Test
Gliederung
• t-Test für unabhängige Stichproben
– Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter
– Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“
– SPSS
• t-Tests für abhängige Stichproben
–
–
–
–
Was sind abhängige Stichproben?
Berechnung des t-Werts
Beispielrechnung: Veränderung der Einstellung zur Psychologie
SPSS
• Eingruppen t-Test
– Berechnung des t-Werts
– Beispielrechnung: IQ-Test
– SPSS
07_ttest(2)
1
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
Beispielrechnung 1
• Fragestellung:
– Sind ältere Menschen optimistischer als jüngere Menschen?
• Methode:
– Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben
– Zwei kleine Stichproben:5 junge Erwachsene und 5 ältere Erwachsene
07_ttest(2)
2
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Hypothesen
• gerichtet oder ungerichtet?
– Bisherige Studien geben Hinweise auf „positives
Denken“ bei älteren Erwachsen
– Also: Gerichtete Hypothese!
• Inhaltliche Formulierung:
– „Ältere Erwachsene sind optimistischer als jüngere
Erwachsene.“
• Formale Schreibweise:
– H0: μalt ≤ μjung
– H1: μalt > μjung
3
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Operationalisierung
• Das gemessene Merkmal wird als abhängige
Variable (AV) bezeichnet
– In diesem Fall wird der Life Orientation Test (LOT) als
AV verwendet.
– Wertebereich 6 (pessimistisch) bis 30 (optimistisch)
– Die AV muss intervallskaliert und normalverteilt sein.
• Die Gruppenvariable wird als unabhängige
Variable (UV) bezeichnet.
– Die UV gibt die Gruppenzugehörigkeit an:
• „jung“: 20-25 Jahre
• „alt“: 60-65 Jahre
– Die UV ist nominalskaliert
• Es wird nun überprüft, ob die AV von der UV
abhängt.
4
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
Erfassung des Merkmals
alt
13
20
15
14
14
17
11
18
17
16
Mittelwerte
x jung 
xalt 
07_ttest(2)
jung
13  15  14  11  17 70

 14
5
5
20  14  17  18  16 85

 17
5
5
5
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Populationsvarianzen
jung
(x-14)²
alt
(x-17)²
13
1
20
9
15
1
14
9
14
0
17
0
11
9
18
1
17
9
16
1
ˆ 2jung 
2
ˆ alt

1  1  0  9  9 20

5
4
4
9  9  0  1  1 20

5
4
4
6
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Standardfehler der Mittelwertsdifferenz
ˆ x  x
1
2
2
2
ˆ
ˆ
1  2


N1 N 2
5 5

  2  1.41
5 5
• Was gibt der Standardfehler an?
– Die Standardabweichung der resultirenden
Mittelwertsdifferenzen, wenn immer wieder neue
Stichproben gezogen würden.
7
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Der empirische t-Wert
x1  x2
t df  
, mit df  N1  N 2  2
ˆ x1  x2
3
t 8 
 2.13
1.41
• Hinweise
– Bei einer gerichteten Hypothese sollte die Differenz
immer so gebildet werden, dass der als kleiner
erwartete Wert von größeren Wert subtrahiert wird.
– Wenn die Hypothese zutrifft, muss der empirische tWert dann positiv sein.
– Bei einer ungerichteten Hypothese spielt die Richtung
der Subtraktion keine Rolle.
8
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Der kritische t-Wert
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
1000
p=.800
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,860
0,854
0,851
0,849
0,848
0,847
0,846
0,846
0,845
0,843
0,842
p=.900 p=.950
3,078
6,314
2,920
2,920
2,353
2,353
2,132
2,132
2,015
2,015
1,943
1,943
1,895
1,895
1,860
1,860
1,833
1,833
1,812
1,812
1,725
1,725
1,697
1,697
1,684
1,684
1,676
1,676
1,671
1,671
1,667
1,667
1,664
1,664
1,662
1,662
1,660
1,660
1,653
1,653
1,646
1,646
p=.975
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,086
2,042
2,021
2,009
2,000
1,994
1,990
1,987
1,984
1,972
1,962
p=.990 p=.995
31,821 63,657
6,965 9,925
4,541 5,841
3,747 4,604
3,365 4,032
3,143 3,707
2,998 3,499
2,896 3,355
2,821 3,250
2,764 3,169
2,528 2,845
2,457 2,750
2,423 2,704
2,403 2,678
2,390 2,660
2,381 2,648
2,374 2,639
2,368 2,632
2,364 2,626
2,345 2,601
2,330 2,581
9
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Der kritische t-Wert
• Auswahl der Spalte:
– Einseitige Testung: p=.95
– Zweiseitige Testung: p=.975
• Was tun, wenn die Zeile für die erforderten
Freiheitsgrade in der Tabelle fehlt?
– 1. Möglichkeit: Zeile oberhalb nehmen. Das ist ein
konservatives Vorgehen; der Test wird im Zweifel wird
der Test weniger schnell signifikant.
– 2. Möglichkeit: Interpolieren
df  dflow
tkrit df   tkrit dfhigh  
 tkrit dflow   tkrit dfhigh 
dfhigh  dflow
24  20
t krit 24  t krit 30 
 t krit 20  t krit 30
30  20
 1.70  0.4  1.73  1.70  1.71
10
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
• Ergebnisse:
– temp(8)=2.13
– tkrit(8)=1.86
• Fazit:
– Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1
angenommen.
– Es wurde also gezeigt, dass ältere Menschen
optimistischer sind als jüngere.
• Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine
ungerichtete Hypothese formuliert worden
wäre?
11
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
Beispielrechnung 2
• Fragestellung:
– Beeinflusst die Verarbeitungstiefe (strukturell vs. semantisch) die
Erinnerungsleistung?
• Methode:
– Stichprobe: Ihr Semester
– Anzahl korrekt erinnerter Wörter im Free Recall Test.
– Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben
07_ttest(2)
12
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Hypothesen
• gerichtet oder ungerichtet?
– Gerichtete Hypothese: Besserer Erinnerung bei
semantischer Verarbeitung
• Formale Schreibweise:
– H0: μsem ≤ μstruk
– H1: μsem > μstruk
13
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Operationalisierung
• Abhängige Variable (AV)
– Anzahl korrekt erinnerter Wörter minus Anzahl falsch
erinnerter Wörter
• Unabhängige Variable (UV)
– semantische Verarbeitung: Bildhaftigkeit beurteilen
– strukturelle Verarbeitung: Vokale zählen
14
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Erfassung des Merkmals
sem.
9
13
12
8
…
struk
1
9
11
2
…
Bedingung
emotionaler Gehalt mem
Gültige Werte
(Listenweise)
mentales Bild
mem
Gültige Werte
(Listenweise)
Vokale
mem
Gültige Werte
(Listenweise)
N
28
Mittelwert Varianz
9,8214 29,115
28
26
11,9615 24,438
26
23
5,2609 16,202
23
15
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Standardfehler der Mittelwertsdifferenz
ˆ x  x
1
2
2
2
ˆ
ˆ
1  2


N1 N 2
24.44 16.20


26
23
 1.64
 1.28
16
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Der empirische t-Wert
x1  x2
t df  
, mit df  N1  N 2  2
ˆ x1  x2
6.70
t 47  
 5.22
1.28
17
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
Der kritische t-Wert
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
1000
p=.800
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,860
0,854
0,851
0,849
0,848
0,847
0,846
0,846
0,845
0,843
0,842
p=.900 p=.950
3,078
6,314
2,920
2,920
2,353
2,353
2,132
2,132
2,015
2,015
1,943
1,943
1,895
1,895
1,860
1,860
1,833
1,833
1,812
1,812
1,725
1,725
1,697
1,697
1,684
1,684
1,676
1,676
1,671
1,671
1,667
1,667
1,664
1,664
1,662
1,662
1,660
1,660
1,653
1,653
1,646
1,646
p=.975
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,086
2,042
2,021
2,009
2,000
1,994
1,990
1,987
1,984
1,972
1,962
p=.990 p=.995
31,821 63,657
6,965 9,925
4,541 5,841
3,747 4,604
3,365 4,032
3,143 3,707
2,998 3,499
2,896 3,355
2,821 3,250
2,764 3,169
2,528 2,845
2,457 2,750
2,423 2,704
2,403 2,678
2,390 2,660
2,381 2,648
2,374 2,639
2,368 2,632
2,364 2,626
2,345 2,601
2,330 2,581
18
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
(1) Formulierung der
Hypothesen
(2) Operationalisierung
(3) Erfassung des
Merkmal in zwei
unabhängigen
Stichproben
(4) Berechnung der Mittelwerte
(5) Schätzung der
Populationsvarianzen
(6) Berechnung des
Standardfehlers der
Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des
empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des
kritischen t-Werts
(9) Entscheidung über
H0 und H1
07_ttest(2)
• Ergebnisse:
– temp(47) = 5.22
– tkrit(47) = 1.68
• Fazit:
– Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1
angenommen.
– Es wurde also gezeigt, dass die semantische
Verarbeitung die Erinnerungsleistung steigert
• Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine
ungerichtete Hypothese formuliert worden
wäre?
19
SPSS Datensatz
Der t-Test für unabhängige Stichproben in SPSS
07_ttest(2)
20
SPSS Befehl
Menu-Befehl:
> Analysieren
> Mittelwerte vergleichen
> T-Test bei unabhängigen
Stichproben
07_ttest(2)
21
SPSS Befehl
Menu-Befehl:
> Testvariable (AV) auswählen
> Gruppenvariable (UV)
auswählen
> Gruppen definieren
> OK
07_ttest(2)
22
SPSS Befehl
Syntax-Befehl:
test groups Gruppe (1,2) /var lot.
• Befehl: test groups
• UV: Gruppe
• AV: lot
07_ttest(2)
23
SPSS Ausgabe
• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für
beide Gruppen ausgegeben.
Gruppenstatistiken
Alter
Optimismus Jung
Alt
07_ttest(2)
N
5
5
Standardfehler
des
Standardabwe
Mittelwert
Mittelwertes
ichung
14,0000
2,23607
1,00000
17,0000
2,23607
1,00000
24
SPSS Ausgabe
• Es wird immer die Voraussetzung der Varianzhomogenität
überprüft (Levene-Test)
–
–
–
–
H0: Varianzen sind gleich
H1: Varianzen sind unterschiedlich
Bei Signifikanz wird die errechnete Wahrscheinlichkeit angezeigt
Es gilt: bei p<.05 wird die H0 verworfen
Test bei unabhängigen Stichproben
Levene-Test der
Varianzgleichheit
F
Optimismus
07_ttest(2)
Varianzen sind
gleich
Varianzen sind
nicht gleich
,000
Signifika
nz
T-Test für die Mittelwertgleichheit
T
95%
Standard Konfidenzintervall
der Differenz
fehler
der
Sig. (2- Mittlere
seitig) Differenz Differenz Untere Obere
df
1,000 -2,121
8
,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118
-2,121
8,000
,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118
25
SPSS Ausgabe
• Wenn der Levene Test nicht signifikant ist (p≥.05), wird das
Ergebnis des t-Tests aus der obere Zeile abgelesen.
• Bei einem signifikanten Ergebnis (p<.05) wird die untere Zeile
verwendet.
• Hier wird der Test „korrigiert“
Test bei unabhängigen Stichproben
Levene-Test der
Varianzgleichheit
F
Optimismus
07_ttest(2)
Varianzen sind
gleich
Varianzen sind
nicht gleich
,000
Signifika
nz
T-Test für die Mittelwertgleichheit
T
95%
Standard Konfidenzintervall
der Differenz
fehler
der
Sig. (2- Mittlere
seitig) Differenz Differenz Untere Obere
df
1,000 -2,121
8
,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118
-2,121
8,000
,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118
26
SPSS Ausgabe
• Die Spalte „T“ zeigt den empirischen t-Wert
• Ein kritischer t-Wert wird nicht angezeigt.
• Stattdessen wird (bei Sig. (2-seitig)) exakt angegeben, wie viel
Prozent der t-Verteilung außerhalb des empirischen t-Werts
liegen.
0,5
0,4
0,3
0,2
p/2
0,1
1-p
p/2
0
-3
07_ttest(2)
-2,5
-2
-temp
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
temp
2,5
3
27
SPSS Ausgabe
• Beim 2-seitigen Test (ungerichtete H1) gilt:
– Wenn p≤.05 (bzw. p<α), ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen
– Wenn p>.05 (bzw. p>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird
beibehalten.
• Beim 1-seitigen Test (gerichtete H1) muss p umgerechnet werden:
– Da nur noch die rechte Fläche interessiert, die Ergebnis-Wahrscheinlichkeit
nun p/2
0,5
0,4
0,3
0,2
p/2
0,1
1-p
p/2
0
-3
07_ttest(2)
-2,5
-2
-temp
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
temp
2,5
3
28
SPSS Ausgabe
• Daher gilt beim 1-seitigen Test:
– Wenn p≤.10 (bzw. p/2 < α) und die Mittelwertsdifferenz in die erwartete
Richtung weist, ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen
– Wenn p>.10 (bzw. p/2>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird
beibehalten.
• Weil wir eine gerichtete Hypothese hatten, ist das vorliegende
Ergebnis also signifikant.
• Bei zweiseitiger Testung wäre es nicht signifikant.
07_ttest(2)
29
SPSS Ausgabe
Beispiel: Gedächtnisleistung bei semantischer vs. struktureller
Verarbeitung
Gruppenstatistiken
mem
Bedingung
mentales Bild
Vokale
N
26
23
Standardfehler
des
Standardabwe
Mittelwert
Mittelwertes
ichung
11,9615
4,94353
,96951
5,2609
4,02512
,83930
Levene-Test der
Varianzgleichheit
F
mem
07_ttest(2)
Varianzen sind
gleich
Varianzen sind
nicht gleich
,915
Signifika
nz
T-Test für die Mittelwertgleichheit
T
,344 5,160
95%
Standard
fehler Konfidenzintervall
der Differenz
der
Sig. (2- Mittlere
seitig) Differenz Differenz Untere Obere
df
47
,000 6,70067 1,29868 4,08807 9,31327
5,225 46,704
,000 6,70067 1,28232 4,12053 9,28081
30
SPSS Ausgabe
Beispiel: Gedächtnisleistung bei bildhafter vs. emotionaler
Verarbeitung
Gruppenstatistiken
Bedingung
emotionaler Gehalt
mentales Bild
mem
N
28
26
Standardfehler
des
Standardab
Mittelwert
Mittelwertes
weichung
9,8214
5,39584
1,01972
11,9615
4,94353
,96951
Test bei unabhängigen Stichproben
Levene-Test der
T-Test für die Mittelwertgleichheit
Varianzgleichheit
F
mem
Varianzen sind
gleich
Varianzen sind
nicht gleich
07_ttest(2)
,029
Signifika
nz
,866
T
-1,516
95%
Standard
fehler Konfidenzintervall
der Differenz
der
Sig. (2- Mittlere
seitig) Differenz Differenz Untere Obere
df
52
,136 -2,14011 1,41169 -4,97287
,69265
-1,521 51,993
,134 -2,14011 1,40704 -4,96355
,68333
31
Abhängige Stichproben
Der t-Test für abhängige Stichproben
• Stichproben werden als abhängig bezeichnet, wenn die Ziehung
eines Merkmalsträgers in die erste Stichprobe die Zugehörigkeit
eines Merkmalsträgers zur zweiten Stichprobe beeinflusst.
• Bei abhängigen Stichproben sind die Werte zweier Stichproben
sich einander paarweise zugeordnet.
– Bei abhängigen Stichproben sind beide Teilstichproben immer gleich groß!
• Abhängige Stichproben ergeben sich durch Messwiederholung
oder Parallelisierung bzw. Matching.
07_ttest(2)
32
Abhängige Stichproben
• Messwiederholung liegt dann vor, wenn das gleiche Merkmal
zweimal (oder mehrmals) bei den gleichen Personen erhoben
wird.
• Beispiele
– Vergleich der Gedächtnisleistung in zwei Lernbedingungen
– Bestimmung der psychischen Gesundheit vor und nach einer Therapie
– Bestimmung der Kommunikationsfähigkeit vor und nach einem Training.
07_ttest(2)
33
Abhängige Stichproben
• Beim Matching wird jeder Person der Stichprobe 1 einer Person
der Stichprobe 2 zugeordnet.
• Beispiele
– Vergleich der Persönlichkeit von Ehepartnern
– Vergleich der Schulleistung von älteren vs. jüngeren Geschwistern.
– Vergleich der Arbeitszufriedenheit zwischen zwei Abteilungen
• Bei der Parallelisierung werden Jeweils 2 Personen, die sich
ähnlich sind einander zugeordnet.
• Warum parallelisiert man Stichproben?
– Ein Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Power (Teststärke), d.h.
es ist wahrscheinlicher, dass ein bestehender Unterschied nachgewiesen
werden kann!
– Dies gilt aber nur, wenn die Paare wirklich jeweils ähnliche Werte aufweisen
07_ttest(2)
34
Abhängige Stichproben
• Beispielrechnung: Verändert sich die Einstellung zum Studienfach
Psychologie innerhalb der ersten 6 Wochen des Studiums?
• AV: Einstellung zum Studium Psychologie (Wertebereich 5 bis 25)
• UV: Messzeitpunkt (1. Woche vs. 6. Woche)
Vp
1. Woche
6. Woche
1
16
20
2
18
19
3
23
23
4
14
16
…
…
19.67
18.98
mean
07_ttest(2)
35
Abhängige Stichproben
• Für jede Person kann die Differenz der Messwerte berechnet
werden (Einstellungsänderung)
Vp
1. Woche
6. Woche
D=x2-x1
1
16
20
4
2
18
19
1
3
23
23
0
4
16
14
-2
…
…
…
19.67
18.98
.68
mean
07_ttest(2)
36
Hypothesen
• Die statistischen Hypothesen des t-Test für abhängige Stichproben
beziehen sich auf den Mittelwert der Differenzen aller Personen
– Vorteil: Es ist nun unerheblich, ob innerhalb der Messzeitpunkte große
Varianz gegeben ist.
• Ungerichtete Hypothese:
– H0: μd = 0
– H1: μd ≠ 0
• Gerichtet Hypothese (1):
– H0: μd ≤ 0
– H1: μd > 0
• Gerichtet Hypothese (2):
– H0: μd ≥ 0
– H1: μd < 0
07_ttest(2)
37
Standardfehler und t-Wert
• Um die empirisch gefundene Differenz beurteilen zu können, wird
der Standardfehler benötigt
N
ˆ x 
d
ˆ x
d
N
m it ˆ xd 
2
(
x

x
)
 di d
i 1
N 1
• Mit dem Standardfehler kann nun ein empirischer t-Wert
berechnet werden:
xd
t df  
mit df  N  1
ˆ xd
07_ttest(2)
38
Standardfehler und t-Wert
Im Beispieldatensatz:
xd  0.68
ˆ xd  2.78
N  60
• Es ergibt sich :
2.78
ˆ xd 
 0.36
60
0.68
t 59  
 1.89
0.36
07_ttest(2)
39
Kritischer t-Wert & Interpretation
• temp(59) = 1.89
• tkrit(59) = ?
– Offene Fragestellung
 zweiseitiger Test
– α = .05
• Interpretation:
– temp< tkrit
– Also: Kein bedeutsamer
Unterschied!
07_ttest(2)
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
1000
p=.800
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,860
0,854
0,851
0,849
0,848
0,847
0,846
0,846
0,845
0,843
0,842
p=.900 p=.950
3,078
6,314
2,920
2,920
2,353
2,353
2,132
2,132
2,015
2,015
1,943
1,943
1,895
1,895
1,860
1,860
1,833
1,833
1,812
1,812
1,725
1,725
1,697
1,697
1,684
1,684
1,676
1,676
1,671
1,671
1,667
1,667
1,664
1,664
1,662
1,662
1,660
1,660
1,653
1,653
1,646
1,646
p=.975
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,086
2,042
2,021
2,009
2,000
1,994
1,990
1,987
1,984
1,972
1,962
p=.990 p=.995
31,821 63,657
6,965 9,925
4,541 5,841
3,747 4,604
3,365 4,032
3,143 3,707
2,998 3,499
2,896 3,355
2,821 3,250
2,764 3,169
2,528 2,845
2,457 2,750
2,423 2,704
2,403 2,678
2,390 2,660
2,381 2,648
2,374 2,639
2,368 2,632
2,364 2,626
2,345 2,601
2,330 2,581
40
SPSS Datensatz
• Beim t-Test für abhängige Stichproben gibt es 2 abhängige
Variablen (psycho1 und psycho2).
• In jeder Zeile MÜSSEN die Werte
der selben VP stehen!
• Dafür habe ich den Code auf den
Fragebögen verwendet
07_ttest(2)
41
SPSS Befehl
Menu-Befehl:
> Analysieren
> Mittelwerte vergleichen
> T-Test bei verbundenen
Stichproben
07_ttest(2)
42
SPSS Befehl
Menu-Befehl:
> Beide AVs auswählen
> Als Variablenpaar
anwählen
> OK
07_ttest(2)
43
SPSS Befehl
Syntax-Befehl:
test paired psycho1 with psycho2.
• Befehl: test paired
• AVs: psycho1 und psycho2
07_ttest(2)
44
SPSS Ausgabe
• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken für
beide Variablen ausgegeben.
Statistik bei gepaarten Stichproben
Mittelwert
Paaren 1
N
Standardabweichung
Standardfehler des
Mittelwertes
psycho1
19,6667
60
2,99529
,38669
psycho2
18,9833
60
3,24425
,41883
• Die Tabelle zu den Korrelationen können Sie zunächst ignorieren
N
Paaren 1
07_ttest(2)
psycho1 & psycho2
Korrelation
60
,606
Signifikanz
,000
45
SPSS Ausgabe
• Die dritte Tabelle enthält das Testergebnis:
• Bei 2-seitigen Tests gilt:
– Wenn p≤α wird die H0 verworfen
– Wenn p>α wird die H0 beibehalten
• Bei 1-seitigen Tests gilt:
– Wenn p/2 ≤ α wird die H0 verworfen
– Wenn p/2 >α wird die H0 beibehalten
Test bei gepaarten Stichproben
Gepaarte Differenzen
95% Konfidenzintervall
Standardfeh
der Differenz
Mittelw Standardab ler des
Obere
ert
weichung Mittelwertes Untere
Paaren 1 psycho1 psycho2
07_ttest(2)
,68333
2,77697
,35851
-,03403
1,40070
T
1,906
Sig. (2seitig)
df
59
,062
46
Eingruppen t-Test
Der Eingruppe t-Test
• Ziel: Vergleich des Mittelwerts einer Stichprobe mit einem
vorgegebenen (konstanten) Wert.
• Beispiele:
-
Es wir überprüft, ob eine bestimmte Personengruppe sich in ihrer
Intelligenz vom Populationsmittelwert (100) unterscheidet.
-
Es wird überprüft, ob sich die tatsächliche Studiendauer von der
Regelstudienzeit unterscheidet.
-
Es wird überprüft, ob sich die Differenz von Reaktionszeiten in zwei
Bedingungen von Null unterscheidet.
07_ttest(2)
47
Eingruppen t-Test
Voraussetzungen
• Normalverteilung des Merkmals
•
Intervalskalenniveau des Merkmals
•
Es handelt sich um eine Zufallsstichprobe
07_ttest(2)
48
Eingruppen t-Test
Statistische Hypothesen
• Ungerichtete Hypothese:
– H0: μ = c
– H1: μ ≠ c
• Gerichtet Hypothese (1):
– H0: μ ≤ c
– H1: μ > c
• Gerichtet Hypothese (2):
– H0: μ ≥ c
– H1: μ < c
07_ttest(2)
49
Standardfehler und t-Wert
• Berechnung des Standardfehlers
ˆ x 
ˆ x
N
• Berechnung des t-Werts
x c
t df  N  1 
ˆ x
07_ttest(2)
50
Beispiel
• Liegt der IQ der Kinder, die als hochbegabten klassifiziert werden,
wirklich über dem Populationsmittelwert (100)?
• Hypothesen:
– H0: μ ≤ 100
– H1: μ > 100
• Stichprobenkennwerte bei N=10:
– Mittelwert: 108.50
– Standardabweichung: 14.35
14.35
ˆ x 
 4.54
10
07_ttest(2)
108 .5  100
t 9 
 1.87
4.54
51
Beispiel
• temp(9) = 1.87
• tkrit(9) = ?
– Gerichtete Fragestellung
 einseitiger Test
– α = .05
• Interpretation:
– temp> tkrit
– Die H0 wird verworfen
07_ttest(2)
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
1000
p=.800
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,860
0,854
0,851
0,849
0,848
0,847
0,846
0,846
0,845
0,843
0,842
p=.900 p=.950
3,078
6,314
2,920
2,920
2,353
2,353
2,132
2,132
2,015
2,015
1,943
1,943
1,895
1,895
1,860
1,860
1,833
1,833
1,812
1,812
1,725
1,725
1,697
1,697
1,684
1,684
1,676
1,676
1,671
1,671
1,667
1,667
1,664
1,664
1,662
1,662
1,660
1,660
1,653
1,653
1,646
1,646
p=.975
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,086
2,042
2,021
2,009
2,000
1,994
1,990
1,987
1,984
1,972
1,962
p=.990 p=.995
31,821 63,657
6,965 9,925
4,541 5,841
3,747 4,604
3,365 4,032
3,143 3,707
2,998 3,499
2,896 3,355
2,821 3,250
2,764 3,169
2,528 2,845
2,457 2,750
2,423 2,704
2,403 2,678
2,390 2,660
2,381 2,648
2,374 2,639
2,368 2,632
2,364 2,626
2,345 2,601
2,330 2,581
52
SPSS Datensatz
Der Eingruppen t-Test in SPSS
07_ttest(2)
53
SPSS Befehl
Menu-Befehl:
> Analysieren
> Mittelwerte vergleichen
> T-Test bei einer Stichprobe
07_ttest(2)
54
SPSS Befehl
Menu-Befehl:
> Testvariable (AV) auswählen
> Vergleichswert (Testwert) eingeben.
> OK
07_ttest(2)
55
SPSS Befehl
Syntax-Befehl:
test testvalue = 1000 /var IQ.
• Befehl: test testvalue
• Testwert: 100
• AV: IQ
07_ttest(2)
56
SPSS Ausgabe
• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken
ausgegeben.
Statistik bei einer Stichprobe
N
IQ
Mittelwert
Standardabweichung
108,5000
14,34689
10
Standardfehler des
Mittelwertes
4,53689
• Die zweite Tabelle enthält das Testergebnis:
– Bei gerichteten Hypothesen darf der p-Wert wie immer halbiert werden
– Also p/2<α  Die H0 wird verworfen.
Test bei einer Sichprobe
Testwert = 100
95% Konfidenzintervall der Differenz
T
IQ
df
1,874
07_ttest(2)
9
Sig. (2-seitig)
Mittlere Differenz
,094
8,50000
Untere
-1,7631
Obere
18,7631
57
Zusammenfassung
• Der t-Test für unabhängige Stichproben dient dazu, die mittlere
Ausprägung eines intervallskalierten Merkmals zwischen zwei
Gruppen zu vergleichen.
• Aus dem Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wird ein
empirischer t-Wert bestimmt.
• empirische Dieser t-Wert wird entweder mit einem kritischen
t-Wert verglichen…
• … oder es wird direkt eine zugehörige Wahrscheinlichkeit
errechnet (SPSS).
• Die Wahrscheinlichkeit des t-Wertes (SPSS) darf halbiert werden,
wenn eine gerichtete Hypothese formuliert wurde (einseitiges
Testen).
07_ttest(2)
58
Zusammenfassung
• Voraussetzungen für den t-Wert für unabhängige Stichproben
sind die Normalverteilung des Merkmals, die
Varianzhomogenität und die Unabhängigkeit der Stichproben.
• Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist, und kleine
oder ungleiche Stichproben verwendet werden, sollte ein nichtparametrisches Verfahren verwendet werden.
• Wenn die Varianzhomogenität verletzt ist, müssen die
Freiheitsgrade korrigiert werden.
• Wenn die Stichproben nicht unabhängig sind, wird der t-Test für
abhängige Stichproben verwendet.
07_ttest(2)
59
Zusammenfassung
• Bei abhängigen Stichproben sind die Messwerte jeweils
paarweise einander zugeordnet.
• Abhängige Stichproben entstehen durch Messwiederholung oder
eine Parallelisierung der Stichproben.
• Der t-Test für abhängige Stichproben beruht auf der Verteilung
der Mittelwerte der Differenzen (x1-x2).
• Der t-Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Teststärke
als der t-Test für unabhängige Stichproben.
• Der t-Test für eine Stichprobe vergleicht einen
Stichprobenmittelwert mit einem vorgegebenen Testwert.
07_ttest(2)
60