4-Hiebeler_Fallgesetze

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Fallgesetze
Zwei Bereiche:
1. Gravitationskraft
(„Die Ursache des Fallens“)
2. Fallende Objekte auf der Erde
1. Gravitationskraft
Allgemein
•
Die Gravitationskraft, die auf einen Körper wirkt, wird
von einem zweiten Körper verursacht, der den ersten
Körper zu sich hin zieht.
•
Sie ist proportional zum (Abstand)^2
•
Es gilt das Superpositionsprinzip
•
Eine homogene materielle Kugelschale zieht ein Teilchen
mit derselben Kraft an, die auch wirken würde, wenn die
gesamte Kraft auf dessen Massenmittelpunkt
konzentriert wäre.
Wieso kann Fgrav überall auf der Erde als
konstant angenommen werden?
Gründe dagegen:
1) Die Erde ist nicht homogen
2) Die Erde ist keine Kugel
3) Die Erde rotiert
Wieso können wir diese drei Gründe vernachlässigen?
Zu 1) Die Erde ist nicht homogen
 Die Dichteunterschiede sind zum Großteil symmetrisch
(schwerer Erdkern, leichterer Mantel) und haben daher
kaum Auswirkungen
 Die Unebenheit der Oberfläche kann gegen Punkt 2)
vernachlässigt werden
Punkt 1) ist vernachlässigbar
Zu 2) Die Erde ist keine Kugel
Der Radius am Äquator ist um rund 20 km größer als der
Abstand der Pole zum Erdmittelpunkt.
Berechnung der Differenz:
ME=5,98 * 1024 kg
G =6,67 * 10-11 Nm2/kg2
Zu 2) Die Erde ist keine Kugel
Mit Rm =6,375*106:
gm =9,814 m/s2
=6,365*106:
gPol =9,845
m/s2
gPol = 9,83 m/s2
gÄqu=9,784
m/s2
gÄqu = 9,78 m/s2
Mit Rpol
Mit
RÄqu=6,385*106:
Die Berechnungen stimmen nur näherungsweise, denn:
 Die Differenz des Pol- und Äquatorradius zum mittleren
Erdradius wurde gemittelt (+/-10 km)
 Die Erde wird nicht als Kugel angenommen (unterschiedliche
Radien) aber g wird aus einer Kugelsymmetrie berechnet
Genaue Werte aus der Literatur
Zu 3) Die Erde rotiert
Es benötigt eine Kraft damit ein Objekt auf einer Kreisbahn
bleibt und nicht geradeaus fliegt. Diese Kraft wird von der
Gravitationskraft aufgebracht.
Gemessen wird jedoch die Normalkraft FN=-m*geff, die
bereits um die „Zentripedalkraft“ reduziert ist.
Berechnung der Differenz:
m*geff=m*g-mω2R
geff=g-ω2R
Δg=g-geff=ω2R=0,034 m/s2
RÄqu=6,385*106 m
Insgesamt: 2) + 3)
ΔgKeineKugel = gPol - gÄqu = 9,83 - 9,78 = 0,05 m/s2
ΔgErderotiert = 0,034 m/s2
Δggesamt = 0,084 m/s2
Max. Abweichung von g ˜ 0,05 m/s2  0,51 %
Der Unterschied ist also meist vernachlässigbar.
Wie sieht das Gravitationsfeld innerhalb
der Erde aus?
F=??
Näherung für das Problem:
Die Erde wird als Kugel mit homogener Dichteverteilung
(ρ=konstant) angenommen.
Idee: Lege eine Kugel in die Erde
F=??
Behauptung:
Eine gleichförmige materielle Kugelschale übt auf ein
Teilchen innerhalb dieser Schale keine
Gesamtgravitationskraft aus.
Gravitationsfeld innerhalb der Erde
Anwendung des Gaußschen Satzes (Vgl. Elektrostatik):
...über geschlossene Fläche
Konstante (analog zu
ε0 aus Elektrostatik)
Integral über
„Gravitationsfeld“
Integration über Kugeloberfläche:
Gravitationsfeld innerhalb der Erde
Berechne M(ein):
Setze ein in:
Die Kraft nimmt also Proportional zum Abstand vom
Erdmittelpunkt zu!
Gravitationsfeld innerhalb der Erde
Wie sieht also der Potenzialverlauf aus?
Innerhalb der Erde:
Außerhalb der Erde:
A:=plot(G*M/x,x=6,37*10^6..12^8):
B:=plot(M/2/R^3*G*x^28.68*10^7,x=0.. 6,37*10^6):
Umlaufbahn eines Satelliten
2 Fragen zum Satelliten:
- Wieso fliegt er nicht weg?
- Wieso fällt er nicht hinunter?
Ohne Fgrav würde der Satellit geradeaus fliegen (irgendwohin
ins Weltall). Durch Fgrav kommt es zu einer Beschleunigung in
Richtung Erdmittelpunkt -> Fgrav bewirkt eine
Richtungsänderung von v in Richtung Erdmittelpunkt.
Ist nun v groß genug, dann reicht diese Richtungsänderung
nicht aus um den Satelliten auf die Erde stürzen zu lassen.
Ist nun v klein genug, dann reicht diese Richtungsänderung
aber aus, um den Satelliten auf einer konstanten Bahn zu
halten.
Umlaufbahn eines Satelliten
Mit anderen Worten:
Der Satellit fällt ja hinunter nur er fällt nicht auf die Erde
sondern „in die Umlaufbahn“
Vergleiche mit Wurfbahn eines Steines -> er fällt auch
hinunter, nur weiter drüben ->beim Satelliten ist die Erde
eben „zu kurz“
Umlaufbahn eines Satelliten
Wie schnell muss ein Satellit sein, damit er in der
Umlaufbahn bleibt?
Der Satellit befindet sich auf einer Kreisbahn, da ihn die
Gravitationskraft nach innen zieht:
Das geht doch
auch anders???
Umlaufbahn eines Satelliten
Berechnung (in Polarkoordinaten):
Ansatz mit Polarkoordinaten (r konstant, ω konstant):
x(t)=r*er(t)
x(t)=r*er(t)=r*ω*eφ (t)
X(t)=r*ω*eφ (t) = -r*ω^2*er(t)=-v^2/r* er(t)
v= ω*r
Die einzig wirkende Kraft ist Fgrav und wir erhalten mit
Masse * Beschleunigung = Summe aller Kräfte (=Fgrav)
dieselbe Lösung.
Umlaufbahn eines Satelliten
Was passiert, wenn wir nun eine kleine Luftreibung
berücksichtigen?
Ist v(t+Δt)<v(t) oder v(t) < v(t+Δt) ???
siehe Physlets
Noch ein kleines Bsp:
Auf welchen Massenpunkt wirkt die größte Kraft?
Massenpunkt
Die 2. Kraft ist also am Größten!
2. Fallen auf der Erde
Allgemein
•
Die Erde wird als Kugel genähert
•
Die Fallhöhen sind sehr klein gegen den Erdradius
•
Die Masse des fallenden Objektes ist viel kleiner als
die Erdmasse
•
Vernachlässigung des Luftwiderstandes
g ist konstant
Latte vs Ball
Was fällt schneller
(bzw. wann fällt was schneller)?
Wir haben hier das Problem eines physikalischen Pendels.
Dieses kann für kleine Auslenkungen von der Ruhelage
analytisch gelöst werden. Dabei wird bei der Berechnung der
rücktreibenden Kraft näherungsweise sin(α) = α gesetzt.
Bei der fallenden Latte befindet sich α jedoch im Bereich 90 180 Grad!
Das macht die Berechnung wesentlich schwieriger (erhalte
Differenzialgleichung, die nur numerisch gelöst werden kann)!
Latte vs Ball
Zuerst ein Spezialfall
Die Latte sei drehbar fixiert und stehe gerade horizontal.
Wer startet schneller los, das Ende der Latte oder die Kugel?
Es gilt allgemein: Trägheitsmoment*Winkelbeschleunigung
= Drehmoment
Wobei J...Trägheitsmoment
L...Länge der Latte
Hier haben wir den Spezialfall: alpha=Pi/2 -> sin(alpha)=1
Latte vs Ball
Trägheitsmoment einer Latte mit
homogen verteilter Masse:
Erhalte wegen:
aufgelöst nach a:
Somit wird das Ende der Latte (r=L) mit 1,5 g beschleunigt.
Wie sieht aber die Fallzeit von Latte und Ball im Allgemeinen
aus?
Latte vs Ball
Fallzeit Ball:
h...Abwurfhöhe
g
Fallzeit Latte:
Löse hierzu die Differenzialgleichung:
g
Wobei J...Trägheitsmoment
L...Länge der Latte
Latte vs Ball
Grafische Darstellung der Lösung:
http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/latte_Boden.htm
Kugelstoßer
Wie wirft ein Kugelstoßer?
Es ist (hoffentlich) bereits bekannt, dass ein Abwurfwinkel
von 45 Grad zur Ebene ideal ist, um möglichst weit zu
werfen.
Ein Kugelstoßer wirft aber wesentlich flacher ab. Wieso?
Antwort:
Der Kugelstoßer wirft nicht vom Boden, sondern höher
ab. Dabei ändert sich der perfekte Abwurfwinkel!
Kugelstoßer
Berechnung vom besten Abwurfwinkel:
Der Kugelstoßer wirft von der Höhe h ab.
y(tfall)=0 -> Auflösen nach tfall:
Einsetzen in x(t) liefert:
Kugelstoßer
Ableiten nach alpha liefert:
Nullsetzen liefert den bzw. die gesuchten Abwurfwinkel:
Besonders interessant:
Die Abhängigkeit des Winkels von v!
Kugelstoßer
Alpha für ein paar Zahlenwerte von v (bei h=2m):
Was fällt hier auf?
Flüchtender Verbrecher
Schafft er den Sprung?
Der selbe Ansatz wie vorher
(nur mit Spezialfall:
alpha=0°; h=4,8 m; v=4,5 m/s)
y=0 setzen liefert:
in x(t) einsetzen:
Der Verbrecher kann also nur noch auf eine weiche
Mülltonne am Boden hoffen!
http://hep2.uibk.ac.at/p1e/ViMPS/ball780.divx
elastischer Ball
Wodurch werden die Bälle mehr gebremst?
Luftreibung
Energieverluste durch elastische Deformation
Bahn des Balles:
Geschwindigkeit
elastischer Ball
Betrag der Geschwindigkeit
kann man hieraus
g ermitteln???
Der Geschwindigkeitssprung am Boden zeigt, dass die elastische
Deformation wesentlich mehr als der Luftwiderstand ausmacht.
elastischer Ball
Experimentelle Bestätigung:
Die Symmetrie der Parabeln zeigt auch, dass der Energieverlust
bei der Reflexion vom Boden wesentlich höher ist als der durch
den Luftwiderstand.
elastischer Ball
Für g einfach noch mal ableiten...
Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung:
Reibung des Balles
proportional zu v:
Reibung des Balles
proportional zu v^2:


F  bv

2
F  bv ?? Brauche Richtung


F  b v v
Komponentenweise Betrachtung:
mx  Fx  bvx
my  Fy  bvy  m g
grundlegender Unterschied:
mx  Fx  b x 2  y 2 x
2
2




my  Fy  b x  y y  mg
Im 2. Fall sind die Differenzialgleichungen gekoppelt.
Zum Schluss noch eine interessante Anmerkung:
Auswirkungen dieses Unterschieds:
Reibung des Balles
proportional zu v:
Reibung des Balles
proportional zu v^2:
Danke für eure Aufmerksamkeit
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