Zeit-Weg Funktion

Weg-Zeit Funktion
Anwendung der Differenzialrechnung
Laura Katzensteiner
Definition
• Man geht davon aus, dass die Geschwindigkeit v
konstant bleibt. Wenn man diese mit der Zeit t
multipliziert so ergibt dies den Weg s.
• Das Zeit-Weg-Gesetz besagt also s = v*t
Variablen
• v = Geschwindigkeit in m/s
• s = Weg in m
• t = Zeit in s
• a = Beschleunigung in m/s²
• g = Gravitation (ca. 10 m/s²)
Formeln
• Freier Fall:
• s:t -> g/2*t2 oder s(t)= g/2*t²
• 10 für g substituieren
• s(t) = 5*t2
• Geschwindigkeit
• v(t) = s‘(t)
• Beschleunigung
• A = s‘‘(t)
Beispiel Football
Angabe
• Ein Football wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von
7m/s geworfen. ( v0=7m/s)
a) Wie ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während
der 0,6. Sekunde?
b) Wie ist die Geschwindigkeit bei t = 0,3s?
c) Zu welcher Zeit t erreicht der Ball den höchsten Punkt?
d) Wann landet der Ball wieder auf dem Boden?
Lösung
•
Formel für den Weg (mit Beachtung des Freien Falls): s(t)=vo*t-5*t2
a)
Wie ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der 0,6.
Sekunde, d.h. im Intervall [0;0,6]?
t
s(t)
0
0,6
0
?
Tipp: Eine Tabelle macht es anschaulicher ->
Differenzenquotient: ∆s/∆t
(2,4-0)/(0,6-0)= 4 m/s
Antwort: Die mittlere Geschwindigkeit während
der 0,6. Sekunde beträgt 4 m/s.
Geschwindigkeit zu t=0,6s:
7*0,6-5*0,62 =
4,2 – 1,8 = 2,4 m/s
Lösung
b) Wie ist die Geschwindigkeit bei t=0,3s?
s(t)= 7t-5t²
s‘(t) = 7 - 10*t
s‘(0,3) = 7 – 10*0,3
s‘(0,3) = 4 m/s
Antwort:
Der Ball hat in der 0,3. Sekunde eine Geschwindigkeit von 4m/s.
Lösung
c) Zu welcher Zeit t erreicht der Ball den höchsten Punkt?
-> Beachte: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit 0
Also: Extremwert s‘(t) = 0
0 = 7 – 10*t
10t = 7
t = 0,7s s
Antwort:
Nach 0,7 Sekunden erreicht der Football den höchsten Punkt.
Lösung
d) Wann landet der Ball wieder auf dem Boden?
-> Nullstellen s(t) = 0
0 = 7*t – 5*t2
0 = t(7-5t) 0 = 7-5t 5t = 7
t = 1,4s
( n1= 0 ) n2= 1,4
Antwort: Der Ball landet nach 1,4 Sekunden wieder auf dem
Boden.