Mathematical Finance - Mathematisches Seminar

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Mathematisches Seminar
Prof. Dr. Jan Kallsen
Stephan Denkl
WS 2010/11
Quantitative Finance
Blatt 1
Mathematical Finance
Aufgabe 1 (Partitionen und bedingte Wahrscheinlichkeiten als Bäume)
(4 Punkte)
Es sei (Ω, P(Ω), P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω1 , . . . , ω5 }. In unten stehenden
Bäumen sind die Knoten Teilmengen von Ω, also Ereignisse. Auf den Kanten wird die
bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses am rechten Knoten gegeben das Ereignis am
linken Knoten notiert. Zusätzlich vermerken wir in jedem Knoten die Wahrscheinlichkeit
für das zum Knoten gehörige Ereignis.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Knoten-Ereignisse sowie die bedingten
Wahrscheinlichkeiten auf den Kanten in folgendem Baum für
P ({ω1 }) = 0.2, P ({ω2 }) = 0.1, P ({ω3 }) = 0.4, P ({ω4 }) = 0.2, P ({ω5 }) = 0.1.
{ω1 }
{ω1 , ω2 }
{ω2 }
{ω1 , . . . , ω5 }
{ω3 }
{ω3 , ω4 , ω5 }
{ω4 }
{ω5 }
b) Bestimmen Sie P ({ω1 }), . . . , P ({ω5 }) sowie die Wahrscheinlichkeiten der KnotenEreignisse für folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten. Begründen Sie Ihr Vorgehen
mathematisch.
1
3
{ω1 , ω2 }
3
4
{ω1 }
2
3
{ω2 }
{ω1 , . . . , ω5 }
{ω3 }
2
5
1
4
2
5
{ω3 , ω4 , ω5 }
{ω4 }
1
5
{ω5 }
Aufgabe 2 (Martingal)
Es sei (Ω, P(Ω), P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {1, . . . , 6} und
(6 Punkte)
P ({1}) = 0.3, P ({2}) = 0.1, P ({3}) = 0.1, P ({4}) = 0.2, P ({5}) = 0.2, P ({6}) = 0.1.
Außerdem betrachten wir die σ-Algebra F = σ(F1 , F2 , F3 ) mit
F1 = {1, 2},
F2 = {3, 4},
F3 = {5, 6}
sowie die Zufallsgröße X : Ω → R mit X(ω) = ω. Gemäß Aufgabe 1 können wir die
Filtrierung F0 := {∅, Ω}, F1 := F und F2 := P(Ω) in folgendem Baum darstellen.
{1}
{1, 2}
{2}
{3}
{1, . . . , 6}
{3, 4}
{4}
{5}
{5, 6}
{6}
Bestimmen Sie das von X erzeugte Martingal M , indem Sie für n = 0, 1, 2 bei jedem
Knoten auf Ebene n den Wert von Mn auf dem jeweiligen Knoten-Ereignis eintragen.
(Der Baum ist von links nach rechts zu lesen und beginnt bei Ebene 0.)
Aufgabe 3 (Erzeugte Filtrierung)
(8 Punkte)
Es sei (Ω, P(Ω), P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω1 , . . . , ω7 }. Wir betrachten
einen stochastischen Prozess X = (X0 , . . . , X4 ) auf der Zeitmenge {0, . . . , 4}, der durch
folgende Tabelle gegeben sei.
ω
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
X0 (ω) X1 (ω)
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
0.5
1
0.5
X2 (ω) X3 (ω)
2
2
0.5
2
0.5
1
2
3
2
1
0.5
0.5
0.5
0.5
X4 (ω)
3
3
1
3.5
1
3
0.5
Stellen Sie die von X erzeugte Filtrierung F0 , . . . , F4 in einem Baum wie in den Aufgaben 1
und 2 dar. Tragen Sie für n = 0, . . . , 4 in jedem Knoten auf Ebene n den Wert von
Xn , Xn− und ∆Xn auf dem jeweiligen Knoten-Ereignis ein. Das Wahrscheinlichkeitsmaß
P sei durch folgende Tabelle gegeben.
ω
P ({ω})
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
1
8
1
12
1
24
1
4
1
4
1
12
1
6
Ist der Prozess X ein Martingal, ein Submartingal, ein Supermartingal, oder weist er keine
dieser Eigenschaften auf?