Funktionen als Werte: Funktionen als Werte: cont

Funktionen als Werte:
Funktionen als Werte: cont.
Beispiel: Manipulation beliebiger reeller Funktionen
(vgl. [Pepper 1999, 8.2.2])
mirror :: (Float -> Float) -> (Float -> Float)
mirror f x = f (-x)
Sei f :: Float -> Float beliebig.
stretch :: Float -> (Float -> Float) -> (Float -> Float)
Dann:
stretch r f x = f (x/r)
shift :: Float -> (Float -> Float) -> (Float -> Float)
Fragen:
shift dx f x = f (x - dx)
• Wie wirken sich shift, mirror und stretch aus?
...
• Wie lassen sie sich als Funktionskomposition darstellen?
c Prof. Dr. D. Rösner; erstellt: 23. Oktober 2006
WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 105
Funktionskomposition
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 106
Funktionskomposition: Variante Vorwärtskomposition
Verknüpfung von Funktionen als Kontrollstruktur:
f . g bedeutet: wende zuerst g, dann f an;
m.a.W. Verknüpfung muss von rechts nach links gelesen werden als
‘g, dann f’
Ausgabe einer Funktion wird Eingabe der nachfolgenden
Definition:
Definition eines Operators >.>, der Funktionen in der Reihenfolge von links
nach rechts verknüpft:
(f . g) x = f ( g x )
Typ von ‘.‘:
infixl 9 >.>
(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)
(>.>) :: (a -> b) -> (b -> c) -> (a -> c)
Funktionskomposition ist assoziativ, d.h. für alle f, g und h
g >.> f = f . g
f . (g . h) = (f . g) . h
z.B. bei Pictures.hs: rotate = flipH >.> flipV
in Haskell aus technischen Gründen als rechtsassoziativ behandelt
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 107
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 108
Funktionskomposition: eine Funktion zweimal anwenden
Funktionskomposition
Verallgemeinerung: n-fach wiederholte Funktionsanwendung
twice :: (a -> a) -> (a -> a)
twice f = f . f
iter :: Int -> (a -> a) -> (a -> a)
iter n f
| n > 0
= f . iter (n-1) f
|otherwise = id
Sei
succ :: Int -> Int
succ n = n + 1
Frage: Was ergibt
iter n double 1 ==> ... ?
Was ergibt dann
(twice succ) 7 ==> ... ?
[Bem.: Variante: Mit Faltung definierbar als
iter n f = foldr (.) id (replicate n f)
]
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 109
Partielle Anwendung
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 110
Partielle Anwendung cont.
Beispiel:
zwei partielle Anwendungen:
multiply :: Int -> Int -> Int
multiply x y = x * y
• multiply 2 :: Int -> Int
• map (multiply 2) :: [Int] -> [Int]
Frage: was ergibt
multiply 2 ==> ... ?
Variante ohne partielle Anwendung von map:
doubleAll xs = map (multiply 2) xs
Beispiel:
doubleAll :: [Int] -> [Int]
doubleAll = map (multiply 2)
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 111
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Bestimmung des Typs einer partiellen Anwendung
Assoziativität
Beachte:
Streichungsregel (cancellation rule):
Wenn der Typ einer Funktion f
t1 -> t2 -> ...tn -> t
ist
und diese wird angewendet auf
e1::t1 , e2::t2 , ..., ek ::tk mit (k<=n),
• Funktionsanwendung ist linksassoziativ, d.h.
f x y = (f x) y
f x y /= f (x y)
• -> ist rechtsassoziativ, d.h. a -> b -> c entspricht a -> (b -> c)
dann ergibt sich der Ergebnistyp durch „Streichen“ der Typen t1 bis tk ,
• -> ist nicht assoziativ; Beispiel:
d.h. der Ergebnistyp von f e1 e2 ...ek ist
g :: (Int -> Int) -> Int
g h = (h 0) + (h 1)
tk+1 -> tk+2 -> ...tn -> t
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 113
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), Funktionen in Haskell
Funktionen in Haskell
Beachte: jede Funktion in Haskell nimmt exakt ein Argument
Allgemein:
f e1 e2 ...ek
bzw.
t1 -> t2 -> ...tn -> t
So bedeutet
multiply :: Int -> Int -> Int
wegen der Rechtsassoziativität
multiply :: Int -> (Int -> Int)
Damit
multiply 2 :: Int -> Int
und
(multiply 2) 5 :: Int
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WS 2006/2007, Programmierkonzepte und Modellierung (PKM), 114
sind Abkürzungen für
(...((f e1) e2 ) ...ek )
bzw.
t1 -> (t2 -> (...(tn -> t) ...))
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