Technische Mechanik I - Institut für Mechanik

Institut für Mechanik
Prüfung aus
Technische Mechanik I
6. Juni 2016
Familienname:
Vorname:
Matrikelnummer:
Studienrichtung:
Erreichbare Punkte Erreichte Punkte Sig.
Aufgabe 1
10
Aufgabe 2
10
E-Exam
20
Gesamt
40
Mündliche Prüfung erforderlich:
JA
Beurteilung der mündlichen Prüfung:
Note:
NEIN
Beispiel 1 (Schwingung)
Die dargestellte Schaukel besteht aus drei schlanken Stäben jeweils mit Masse m und
Länge l, die durch ideale Lager verbunden und gelagert sind. Die Stäbe (1) und (2) sind
parallel und Stab (3) bleibt somit stets horizontal. Die beiden identischen Torsionsfedern
sind in der Winkellage ϕ = 0 entspannt, besitzen eine Federkonstante c (Dimension [Kraft
× Länge / rad]) und gehorchen einem linearen Federgesetz. Das System befindet sich im
vertikalen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g.
(a) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aS des Punktes S durch die Größen ϕ, ϕ̇
und ϕ̈ aus, z.B. mithilfe analytischer Prinzipien.
(b) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aC des Punktes C durch die Größen ϕ, ϕ̇
und ϕ̈ aus.
(c) Zeichnen Sie die zur Bestimmung der Dynamik notwendigen Freikörperbilder in
einer allgemeinen Winkellage ϕ und stellen Sie die dazugehörigen Schwerpunktund Drallsätze auf. Nutzen Sie die vorliegende Symmetrie. Berechnen Sie die
Winkelbeschleunigung (Bewegungsgleichung) ϕ̈(ϕ, ϕ̇) für beliebig große Auslenkungen ϕ um die Lage ϕ = 0.
(d) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen ϕ um die stabile Gleichgewichtslage ϕ = 0 und bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω der
Schwingung.
Beispiel 2 (Statik und Reibung)
Ein Fahrzeug besteht aus zwei gleichartigen, homogenen Walzen (Radius r, Masse m),
die gelenkig an einem homogenen Block (Abmessungen l, h, d, Masse M ) befestigt sind.
Das Fahrzeug ruht auf einer gegen die Horizontale um den Winkel α geneigten Ebene,
die Auflage der Walzen auf der Ebene erfolgt haftend. Das Abrollen des Fahrzeugs wird
durch einen masselosen Keil (Abmessungen a, b) verhindert. Der Keil liegt reibungsbehaftet (Haftreibungszahl µH ) auf der Ebene auf, der Kontakt zwischen Keil und Walze
ist reibungsfrei. Untersuchen Sie den Fall des statischen Gleichgewichts.
Gegeben: m, M , r, l, d, h, a, b, α.
(a) Zeichnen Sie die relevanten Freikörperbilder.
(b) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingungen auf und bestimmen Sie sämtliche Gelenksund Kontaktkräfte.
(c) Welchen Wert muss µH mindestens haben, sodass keine Gleitbewegung einsetzt?
g
M
l
h
m
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
m11111111111
r
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
α
00000000000
11111111111
a
b
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
µ
r
H
d
6.6.2016 Lösungen:
1)
a)
( ̇ sin
=
− ̈ cos )
− ( ̇ cos
+ ̈ sin )
0
b)
( ̇ sin − ̈ cos )
= − ( ̇ cos + ̈ sin )
0
c)
:
̈ = −2
:
̈ = −2
+
:
∗ ̈ =−
+
̈ =−
∗
+
cos
+
sin
+
cos
∗ + sin
2
sin
∗ sin
d)
sin
≈
̈+
−
=0
( −
=
)
2)
b)
=0
=
=0
∗
cos
+
cos
−
∗ (2 − ℎ )
−
(
+ 2 ) sin
tan
=
∗
2
∗ ( cos
=
cos
∗
2
=
cos
=(
=−
=
2
+
−
+ sin ∗ (2 − ℎ )) +
sin
+ sin ∗
) sin
sin
sin ∗
∗
+2
sin
=(
+ 2 ) sin
=(
+2 )
sin
tan
=
= tan
=
c)
ℎ
−2
−
ℎ
2
cos