Mathematik für Elektrotechniker grosse Übung 2

Mathematik für Elektrotechniker
grosse Übung 2
Prof. Dr. Volker Bach, Dr. Sébastien Breteaux,
Institut für Analysis und Algebra.
Wiederholung der grafischen Interpretation der komplexen Zahlen.
Aufgabe 2.1 Rechnen mit komplexen Zahlen in der Form a + i b
Gebe in dieser Übung das Ergebnis in der Form a + i b an, wobei a und b reelle Zahlen sind.
1. Berechne
(a) (5 + 3i) + (−6 − 2i), (7 + 56i) + (6 + 2i),
(b) (3 + 5i) · (−4 + 12i), (7 − i) · (9 + 3i ),
4 + 2i 7 + 6i
,
,
(c)
−2 + i 1 + 4i
(d) (8 − 10i)−1 , (8 − 10i)−2 .
2. Berechne exp(iπ), 3 · exp( 2π
3 i),
1
2
· exp(i π4 ).
Aufgabe 2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der Form ρ · exp(iθ)
Gebe in dieser Übung das Ergebnis in der Form ρ · exp(iθ) an, wobei ρ und θ reellen Zahlen
sind, ρ ∈ [0, ∞) und θ ∈ [0, 2π).
1. Berechne
(a) exp(5πi), exp(− 94 πi),
(b) 3 · exp(5πi) ·
· exp( 67 πi),
2
3
8 · exp( 57 πi) 7 · exp( 34 πi)
,
,
2 · exp( 73 πi) 10 · exp( 45 πi)
5
−1
−2
(d) 3 · exp( 56 πi) , 3 · exp( 56 πi)
, 3 · exp( 65 πi)
,
(c)
2. Schreibe die folgenden Zahlen in der Form ρ · exp(iθ), wobei ρ ∈ [0, ∞) und θ ∈ [0, 2π).
√
(a) 1, 1 + i, i,
3
2
− 2i . (Hinweise: tan π4 = 1, tan π6 =
Aufgabe 2.3 Betrag von komplexen Zahlen
1. Berechne
6 · exp( 37 πi) ,
(a) 2 · exp( 47 πi) 1
8π
(b) |i|, | exp( 27
13 πi)|, | 4 · exp( 7 i)|,
(c) |3 + 7i |, | 14 + i|, | 14 − i|.
1
√1 ,
3
tan π3 =
√
3.)
2. Berechne
(a) |(−6 − 7i) · (−3 − i)|,
3 − i 4i + 2 .
(b) ,
3 + i i − 1 Aufgabe 2.4 Limes berechnen
∞
∞
∞
∞
1. Entscheide ob folgende Folgen (an )∞
n=1 , (bn )n=1 , (cn )n=1 , (dn )n=1 , (en )n=1 konvergieren
und berechne ggf. den Limes.
(a) an := (−1)n ,
(−1)n
,
(b) bn :=
n2
n2 + 1
(c) cn :=
,
n
3
n + 5n + (−1)n
(d) dn :=
,
2n3 + 7
k2
(e) en :=
.
k!
Aufgabe 2.5 Körper (Wenn es genug Zeit gibt.)
Wir wollen beweisen, dass der Ring Z4 der Restklassen modulo 4 kein Körper ist.
Wir nehmen jetzt an, dass [2]mod 4 ein inverse Element x (bezüglich der Multiplikation) in
dem Ring Z4 hat.
1. Berechne ([2]mod 4 · [2]mod 4 ) · x und [2]mod 4 · ([2]mod 4 · x), und finde einen Widerspruch
zur Annahme.
2. Zeige, dass der Ring Z4 der Restklassen modulo 4 kein Körper ist.
Laut Vorlesung gilt, wenn p eine Primzahl ist, dann ist Zp ein Körper. Wir werden es prüfen für
die Primzahl p = 5. (Gebe die Ergebnisse in der Form [k]mod 5 an, wobei 0 ≤ k ≤ 4.)
3. Fülle die folgenden Tabellen
+
[0]mod 5
[1]mod 5
[2]mod 5
[3]mod 5
[4]mod 5
[0]mod 5
[1]mod 5
[2]mod 5
[3]mod 5
[4]mod 5
[0]mod 5
[1]mod 5
[2]mod 5
[3]mod 5
[4]mod 5
·
[0]mod 5
[1]mod 5
[2]mod 5
[3]mod 5
[4]mod 5
In dem Feld, das in der Spalte von [n]mod 5 und in der Zeile von [m]mod 5 liegt, berechne
man [n]mod 5 + [m]mod 5 in der ersten Tabelle, und [n]mod 5 · [m]mod 5 in der zweiten
Tabelle.
4. Gebe die inversen Elemente bezüglich der Multiplikation [1]−1 , [2]−1 , [3]−1 , [4]−1
mod 5
mod 5
mod 5
mod 5
an. (Hinweis: Die zweite Tabelle benutzen.)
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