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Endliche Summen und Produkte
Rechenregeln für Summen
Gegeben eine Folge von reellen Zahlen a1, . . . , an.
Für die Summe der ai von i = 1 bis n schreiben wir:
a1 + a2 + ... + an−1 + an =:
Satz 3.6. Es gilt:
n
∑ ai
a)
i=1
Allgemeiner: Für die Summe von Zahlen ai von einem (Anfangs-)Index n bis zu einem (End-)
Index m schreiben wir:
am + am+1 + ... + an−1 + an =:
n
∑ ai
b)
i=m
n
n
n
i=m
i=m
i=m
∑ ai ± ∑ bi = ∑ (ai ± bi)
k
n
i=m
i=k+1
∑ ai + ∑
ai =
n
∑ ai
(eine Version des Assoziativgesetzes)
(m ≤ k < n) (Aufspaltung einer Summe, auch Assoziativgesetz)
i=m
i ist der Laufindex, der
n
• beginnend vom Anfangsindex (der ’Summationsuntergrenze’) m ∈ Z
c)
• bis zum Endindex (der ’Summationsobergrenze’) n ∈ Z läuft
d.h. die Werte m, m + 1, ..., n − 1, n durchläuft (wobei m ≤ n sein muss).
Anmerkung: Es ist egal, wie man den Laufindex nennt:
∑c =
i=m
d)
n
n
n
i=m
k=m
t=m
∑ ai = ∑ ak = ∑ at
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(n − m + 1) ·c
(c = const.) ( Konstantenregel“)
”
Anz. Summanden
n
n
i=m
i=m
∑ c · ai = c · ∑ ai
(c = const.) (eine Version des Distributivgesetzes)
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Doppelsummen
Zwei Beispiele für endliche Summen
Wir betrachten nun doppelt indizierte Größen ai, j (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n).
Diese können in einer Tabelle (Index i für Zeilen, Index j für Spalten) angeordnet werden:
B EISPIELE :
(1) Es sei ai = 1i , m = 1 und n = 5. Dann ist
n
5
i=m
i=1
a1,1
...
...
...
am,1 . . . am,n
∑ ai = ∑ 1i = 1 + 12 + 13 + 14 + 15 = 2.283̄.
Werden zunächst die Zeilen summiert und dann die Spalten, ergibt sich die Doppelsumme
∑n a1, j + . . . + ∑nj=1 am, j =
j=1
(2) Es sei ai = 2i, m = −2 und n = 2. Dann ist
s1
n
2
i=m
i=−2
∑ ai = ∑ 2i = (−4) + (−2) + 0 + 2 + 4 = 0.
sm
m
∑
i=1
∑n ai, j
j=1
si
=
m
n
∑ ∑ ai, j
i=1 j=1
Satz 3.7. (Fortsetzung)
m
e)
f)
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(Zeilensumme: s1 = ∑nj=1 a1, j )
...
(Zeilensumme: sm = ∑nj=1 am, j )
a1,n
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n
n
m
∑ ∑ ai, j = ∑ ∑ ai, j
i=1 j=1
n m
j=1 i=1
n
i=1 j=1
i=1
∑ ∑ ai · b j =
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(eine Version des Kommutativgesetzes)
m a
i
∑ · ∑ bj
(eine Version des Distributivgesetzes)
j=1
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Beispiel für Doppelsummen
Rechenregeln für Produkte
B EISPIEL :
In einer Tabelle seien die Absatzmengen ai, j der Produkte i = 1, 2 auf den Absatzmärkten
j = 1, 2, 3 angegeben:
i ↓ ,j →
1
2
Für Produkte gelten die folgenden Rechenregeln:
Satz 3.8. Es gilt:
1
20
0
2
10
40
3
0
20
n
a)
i=m
Die Gesamtabsatzmenge ist
b)
2
3
∑ ∑ ai, j = (20 + 10 + 0) + (0 + 40 + 20) = 90.
i=1 j=1
i=m
k
n
i=m
i=k+1
∏ ai · ∏
n
c)
Man erhält das gleiche Ergebnis, wenn man zunächst über die Produkte und dann über die
Absatzmärkte summiert:
3
n
∏ ai · ∏ bi =
∏ c · ai =
i=m
∏ni=m ai
=
∏ni=m bi
n
∏ ai · bi
bzw.
a’)
i=m
n
∏ ai
ai =
n
ai
∏ bi
(bi = 0 ∀ i)
i=m
(m ≤ k < n)
i=m
n
n−m+1
c · ∏ ai
(c = const.)
Anz. Faktoren i=m
Speziell gilt:
2
∑ ∑ ai, j = (20 + 0) + (10 + 40) + (0 + 20) = 90.
n
∏ c = cn
j=1 i=1
∀n ∈ N
.
i=1
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Endliche Produkte
Quiz zu (endlichen) Summen und Produkten
Das Produktzeichen ∏ (griechisch: Pi) dient der verkürzten Schreibweise von Produkten reeller
Zahlen am, am+1, ..., an−1, an:
Gegeben ist eine Zahlentabelle (auch ‘Matrix’ genannt):
Wir betrachten folgende Rechenoperationen innnerhalb der Tabelle:
2
am · am+1 · ... · an−1 · an =:
n
∏ ai
a)
(lies: Produkt der ai von i = m bis i = n).
∑
∑3j=1 ai, j ;
2
b)
i=1
3
i=m
e)
Die Multiplikationsuntergrenze m und die Multiplikationsobergrenze n sind ganzzahlig mit m ≤ n.
∑
∑
∏3j=1 ai, j ;
∑2i=1 ai, j ;
j=1
3
f)
∑
3
∏2i=1 ai, j ;
i=m
i=1
1
=1+5+9=15
3) (0 · 1) + (2 · 3) + (4 · 5) ;
1
Es sei ai = , m = 1 und n = 5. Dann ist
i
=0+6+20=26
5) (0 · 1) · (2 · 3) · (4 · 5) ;
1 1 1 1
1
∏ ai = ∏ i = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 .
∑3j=1 ai, j ;
g)
∏
a1,3
a2,3
=
0
1
2
3
4
5
∏3j=1 ai, j ;
2
d)
∏
i=1
∑2i=1 ai, j ;
j=1
j=1
1) (0 + 1) + (2 + 3) + (4 + 5) ;
5
i=1
i=1
∏
a1,2
a2,2
3
h)
∏
∏2i=1 ai, j .
j=1
Welchen konkreten Rechenschritten innerhalb der Tabelle entsprechen diese Vorschriften?
B EISPIEL :
n
2
c)
a1,1
a2,1
=0·6·20=0
7) (0 + 1) · (2 + 3) · (4 + 5) ;
=1·5·9=45
2) (0 + 2 + 4) + (1 + 3 + 5) ;
=6+9=15
4) (0 · 2 · 4) + (1 · 3 · 5) ;
=0+15=15
6) (0 · 2 · 4) · (1 · 3 · 5) ;
=0·15=0
8) (0 + 2 + 4) · (1 + 3 + 5) ;
=6·9=54
Mit den gegebenen Zahlen ai, j ist das numerische Ergebnis in 1), 2) und 4) jeweils gleich, 15.
Welche dieser Identitäten entsprechen mathematischen Gesetzmäßigkeiten und welche sind zufällig?
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