Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus

Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus
K.-H. Schild
17. April 2012
• Die zwei letzten Folien beziehen sich auf Einflussmaße (‘simultane Änderungsrate von y mit
x’) in lin-lin, log-lin, lin-log und log-log Modellen. Wir behandeln dies in der Vorlesung bereits
an dieser Stelle, im Zusammenhang mit Logarithmen. Im Skript wird dieser Stoff erst nach
der Differentialrechnung, im Kapitel ‘Elastizität’, behandelt.
Die Folien zu diesem Stoff finden Sie auf der Internet-Seite unter “Downloads“
Philipps-Universität Marburg
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 1
Bedeutung der Umkehrfunktion
Gegeben eine bijektive Funktion f : D → W eines Intervalls D auf eine Intervall W .
Bei der Umkehrfunktion sucht man für ein gegebenes y ∈ W dasjenige x mit f (x) = y.
Ergänzen Sie unter Verwendung der Wörter ‘Winkel’, ‘Bogenmaß’, ‘Basis’, ‘Exponent’ usw.:
• Bei
√
a y sucht man den/die/das-jenige(n) . . . . . . . . . x mit . . . . . . . . .
• Bei loga(y) sucht man den/die/das-jenige(n) . . . . . . . . . x mit . . . . . . . . .
−1
• Bei arc cos(y) = cos (y) sucht man den/die/das-jenige(n) . . . . . . . . . x mit . . . . . . . . .
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 2
Was ist der genaueste Wert? (ohne Taschenrechner!)
• log2(30) ≈
1;
2;
3;
4;
5.
1;
2;
3;
4;
5.
1;
2;
3;
4;
5.
1;
2;
3;
4;
5.
• log5(25) ≈
√
• 5 25 ≈
• ln(9) ≈
• log2(3) ≈
1.0;
Philipps-Universität Marburg
1.2;
1.4;
1.6;
2.0 .
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 3
Was ist korrekt ?
•
ln(x) − ln(y) =
ln(x − y);
•
2
ln(x /y );
2
ln(x/y);
2 ln(x) − ln(y) ;
2 ln(x/y);
keines.
2
e
x−y
2e
;
x2 −y2
e
;
x2
e
;
y2 −x2
1−e
;
keines.
ln(x2)/ ln(y2) =
2
2
ln(x /y );
•
keines.
ex − ey =
x2 /y2
•
ln(x) + ln(1/y);
ln(x/y);
ln(x2) − ln(y2) =
2
•
ln(x)/ ln(y);
2
2
2
ln(x − y );
2
logx2 y ;
2
logy2 x ;
keines.
2
ex /ey =
x2 −y2
e
Philipps-Universität Marburg
;
x2 /y2
e
;
x
−y 2
e ·e
;
e(x−y)(x+y);
keines.
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Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 4
Was ist korrekt ?
•
•
exp(e−x − x) =
exp(−ex)/ex ;
exp(e−x) − e−x ;
exp(−ex) ex ;
exp(e−x) e−x ;
exp(e−x) − ex ;
e−x/ exp(−ex) ;
e−x/ exp(−e−x) ;
keines.
−x
ln exp(e ) · e
−x
e
•
•
x
·x;
=
−x
e
+x;
x
−e +x;
ex
;
x
1
e + ;
x
x
1
x+ x ;
e
y = exp(e−x) ⇒ x =
1
ln − ln(y) ; ln ln( y ) ; − ln(ln(y)) ; − ln2(y) ; ln
1
ln(y)
keines.
; keines.
exp(e−x) · exp(−ex) =
exp(e−x − ex) ; exp(−e−2x) ; Philipps-Universität Marburg
1
1
;
; exp(1) ;
2x
x
−x
exp(e )
exp(e − e )
keines.
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 5
Wie lautet die Umkehrfunktion (als Lösung der Gl. f (x) = y)?
Die quadrat. Gleichung x (x − 2) = y ( ⇐⇒ x2 − 2x − y = 0) hat die beiden Lösungen
p
x± = 1 ± 1 + y
Mit diesem Hinweis lassen sich die Umkehrfunktionen folgender Funktionen bestimmen
2x
x
x2 −2x
f1(x) = e − 2e
f2(x) = e
f3(x) = ln2(x) − ln(x2)
f4(x) = ln(x) + ln(x − 2)
und zwar ist die Umkehrfunktion – bei geeigneter Wahl von Def.- und Wertebereich – jeweils eine
der folgenden vier Funktionen:
√
g1(y) = ln(1 + 1 + y)
√
1+ 1+y
g3(y) = e
Welche ist die Umkehrfunktion von
Welche ist die Umkehrfunktion von
Welche ist die Umkehrfunktion von
Welche ist die Umkehrfunktion von
Philipps-Universität Marburg
f1?
f2?
f3?
f4?
√
g2(y) = 1 + 1 + ey
g4(y) = 1 +
g1;
g1;
g1 ;
g1 ;
p
1 + ln(y)
g2;
g2;
g2;
g2;
g3;
g3;
g3;
g3;
g4.
g4.
g4.
g4.
K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 6
Was ist die korrekte Nachfragefunktion?
Für die Nachfrage D(p) als Funktion des Preises p sollen folgende Szenarien modelliert werden:
1. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 0.3 Stück.
2. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
3. Wenn der Preis um 10 Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 30 Prozent.
5. Wenn der Preis um einen Cent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
6. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 0.03 Stück.
Welche der folgenden Nachfragefunktionen1 beschreibt jeweils das Szenario (näherungsweise)?
a) D(p) = −0.3 p + A
b) D(p) = −0.3 ln(p) + B
c) D(p) = C e−0.3 p
d) D(p) = D p−0.3
e) D(p) = −3.0 p + A
f) D(p) = −3.0 ln(p) + B
g) D(p) = C e−3 p
h) D(p) = D p−3
i) D(p) = −30 p + A
j) D(p) = −30 ln(p) + B
k) D(p) = C e−30 p
l) D(p) = D p−30
1 Preis p in Euro, Nachfrage D(p) in Stück des betrachteten Produktes;
A, B,C, D sind Konstanten mit folgender Bedeutung: A,C = Nachfrage beim Preis von 0 Euro, B, D = Nachfrage beim Preis von 1 Euro.
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K.-H. Schild
Quiz zu Exponentialfunktion und Logarithmus, S. 7
pH-Wert und Säuregehalt
In einem (populär-)wissenschaftlichen Artikel zur Versauerung der Ozeane findet sich folgende
Passage (leicht geändert und ergänzt):
Weltweit ist der mittlere pH-Wert der obersten Wasserschichten seit Beginn der industriellen Revolution um 0.12 auf etwa 8.1 gesunken. Das mag geringfügig erscheinen. Die pH-Skala ist jedoch logarithmisch. Einem Rückgang um 0.12 entspricht daher eine Zunahme des Säuregehalts
um satte 32 Prozent. ... Der pH-Wert gibt die Konzentration von Wasserstoffionen an. In neutralem Wasser (mit einem Säuregehalt von 10−7) beträgt er 7.0.
Welche Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen pH-Wert (pH) u. Säuregehalt A?
(β, A0 , A1 , pH0 und pH1 stellen Parameter dar, die sich von Modell zu Modell ändern können.)
A = β · ln(pH) + A1;
A = A0 eβ·pH;
pH = β · ln(A) + pH1;
pH = pH0 eβ·A;
A = β · log10(pH) + A1;
A = A0 10β·pH;
pH = β · log10(A) + pH1;
pH = pH0 10β·A;
A = β · log2(pH) + A1;
A = A0 2β·pH;
pH = β · log2(A) + pH1;
pH = pH0 2β·A;
Bestimmen Sie für eines der korrekten Modelle die numerischen Werte der Parameter.
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K.-H. Schild