∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

-4-
Kinetik des Massenpunktes
Das Grundgesetz von Newton
r
r
F = m⋅a
- in Vektorform:
∑ Fix = m ⋅ &&x = m ⋅ a x ;
∑ Fiy = m ⋅ &&y = m ⋅ a y ; ∑ Fiz = m ⋅ &&z = m ⋅ a z ;
∑ Fit = m ⋅ a t ;
∑ Fin = m ⋅ a n ;
- in Komponentenform:
(karthesische Koordinaten)
- in Komponentenform:
(Polarkoordinaten)
Das Prinzip von D`Alembert
Trägkeitskraft entgegen positiver Beschleunigungsrichtung ansetzen und Gleichgewichtsbedingungen der Statik aufstellen:
Translation:
x,v,a
r
r
F + m ⋅ (− a ) = 0
- in Vektorform:
m∗a
- in Komponentenform:
m
(kart. Koordinaten)
x = ∑ Fix + m ⋅ (−a x ) = 0 ;
∑ Fix + m ⋅ (−&&)
y = ∑ Fiy + m ⋅ (−a y ) = 0 ;
∑ Fiy + m ⋅ (−&&)
z = ∑ Fiy + m ⋅ (−a z ) = 0
∑ Fiz + m ⋅ (−&&)
Rotation (Kreisbewegung):
- in Komponentenform (Polarkoordinaten):
- normal:
∑ Fin + m ⋅ ( −a n ) = 0 ;
a n = r ⋅ ω2 =
- tangential:
∑ Fit + m ⋅ ( −a t ) = 0 ;
at = r ⋅α
Das Grundgesetz der Drehbewegung für den starren Körper
∑ M iZ = J Z ⋅α
Massenträgheitsmoment Jz:
J z = ∫ r 2 ⋅ dm
Satz von Steiner:
J z = J s + m ⋅ rs2
Js: Massenträgheitsmoment des Körpers um den Schwerpunkt;
rS: Abstand zwischen dem Drehpunkt und dem Schwerpunkt
v2
r
-5Massenträgheitsmomente
Js =
Kreisscheibe, Kreiszylinder (Masse m, Radius R):
m ⋅ R2
2
m⋅ 2
2
Hohlzylinder (Masse m, Außenradius R, Innenradius r): J s = 2 ( R + r )
m ⋅l2
J
=
s
Stab (Masse m, Länge l):
12
Das Prinzip von D`Alembert für die Drehbewegung:
Moment der Trägkeitskräfte entgegen positiver Winkelbeschleunigungsrichtung ansetzen und Gleichgewichtsbedingungen
der Statik aufstellen
∑ MiA
&& ) =
+ J Z ( −ϕ
∑ MiA
+ J Z ( −α ) = 0
Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen
Differentialgleichung der harmonischen Schwingung
(Der Koordinatenursprung befindet sich in der statischen Ruhelage des Systems):
Geradlinige Bewegung:
&&x + ω0 2 ⋅ x = 0
Drehbewegung:
ϕ&&+ ω02 ⋅ ϕ = 0
Die Lösung der Differentialgleichung der harmonischen Schwingungen:
x(t ) = x0 ⋅ cos(ω0 ⋅ t ) +
v0
ω0
sin(ω0 ⋅ t )
x( t ) = x m ⋅ cos(ω0 ⋅ t + ϕ0 );
x( t ) = x m ⋅ sin(ω0 ⋅ t + ϕ0 );
oder
v 20
xm =
x 20
+
xm =
x20
v 20
+ 2,
ω0
ω20
,
tan ϕ0 = −
tan ϕ0 =
v0
,
x 0 ⋅ ω0
oder
x 0 ⋅ ω0
,
v0
x0 :
Anfangsverschiebung,
v0 : Anfangsgeschwindigkeit
xm : Amplitude der Schwingung
ϕ0 : Nullphasenwinkel
ω0: Kreisfrequenz
2π
Schwingungsdauer: T = ω ;
0
c
m
ω0
1
Eigenfrequenz: f[Hz] = 2π = T
c
m
Ahtung - Drehbewegung: gleiche Formeln anwenden, dabei x durch ϕ und v durch ω ersetzen
Ein-Massen-Schwinger:
ω0 =
-6Arbeit
Die zwischen der Lage 0(t0) und der Lage 1(t1) geleistete Arbeit einer Kraft:
s1
s1
x1
y1
z1
t1
s0
s0
x0
y0
z0
t0
W0,1 = ∫ Ft ⋅ ds = ∫ F ⋅ cos β ⋅ ds = ∫ Fx ⋅ dx + ∫ Fy ⋅dy + ∫ Fz ⋅dz = ∫ P(t ) ⋅ dt
Ft: Kraftkomponente tangential zur Bewegungsrichtung
Die zwischen der Lage 0(t0) und der Lage 1(t1) geleistete Arbeit eines Momentes:
ϕ1
t1
ϕ0
t0
W0,1 = ∫ M (t ) ⋅ dϕ = ∫ P(t ) ⋅ dt
Hubarbeit:
W0,1 = m ⋅ g ⋅ ( h1 − h 0 ) = m ⋅ g ⋅ ∆h
Federspannarbeit:
W0 ,1 = c
Drehfederspannarbeit:
W0 ,1 = cD
Beschleunigungsarbeit:
W0 ,1 =
m 2
( v − v 20 )
2 1
(Translation)
W0 ,1 =
Jz 2
( ω − ω20 )
2 1
(Drehbewegung)
s12 − s 20
;
2
ϕ12 − ϕ20
;
2
c: Federkonstante [N/m]
cD: Drehfederkonst. [Nm/rad]
Energie
Die Energie ist im Körper gespeicherte Arbeitsfähigkeit
(Energie beschreibt einen Zustand, Arbeit einen Vorgang!!!)
Potentiele Energie der Lage:
E ph = m ⋅ g ⋅ ( h1 − h 0 ) = m ⋅ g ⋅ ∆h
(h0: Nullniveau)
s2
2
Potentiele Energie der Feder:
E pf = c
Potentiele Energie der Drehfeder:
ϕ2
E pf = c D
2
Kinetische Energie der Masse:
m ⋅ v2
Ek =
2
Kinetische Energie der Drehbewegung:
Ek =
Jz 2
ω
2
-7(1)
( 0)
Energieerhaltungssatz:
E k + E (p1) = E k + E (p0) - ohne Verluste (ohne Reibung)
Energieerhaltungssatz:
Ek( 0) + E p( 0) = Ek(1) + E p(1) + W0,1
Ek:
Summe der kinetischen Energieen
Ep:
Summe der potentiellen Energieen
W0 ,1: Arbeit der Kräfte ohne Potential (z.B. Reibungsarbeit)
Leistung
Leistung einer Kraft:
P (t ) =
r r
dW
= Ft (t )⋅υ (t ) = F ⋅υ
dt
Ft: Kraftkomponente tangential zur Bewegungsrichtung
Die Leistung eines Momentes:
Nutzen
η=
Aufwand
P (t ) =
dW
= M (t )⋅ ω (t )
dt
Wirkungsgrad
Mittlerer Wirkungsgrad (in einem Zeitintervall):
W
W
η = N = 1− V
Wz
Wz
WN: Nutzarbeit
Wz: zugeführte Arbeit
WV: Verlustarbeit
Momentaner Wirkungsgrad:
PN
PV
η=
= 1−
Pz
Pz
PN: Nutzleistung
Pz: zugeführte Leistung
PV: Verlustleistung