Mathematik I

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Bernd Marx
WS 2008/09
FZT, MB, MTR, OTR
Mathematik I
(Analysis I / Lineare Algebra)
Übungsserie 2 (27.10. - 30.10.2008)
1. Wahrheitswerttabellen
Man gebe die Wahrheitswerttabellen der folgenden Aussagenverbindungen an:
a) ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p ,
b) (q ∧ (p ⇒ q)) ⇒ p .
2. Ausagenlogische Äquivalenzen
Man weise mithilfe von Wahrheitswerttabellen die folgenden Äquivalenzen nach:
a) (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q) ,
b) (p ⇒ q) ⇔ p ∨ q ,
c) (p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) .
3. Indirekte Beweise: Ü1, 2.4 ac
Man zeige durch indirekten Beweis, dass
√
1+3 2
√ irrationale Zahlen sind,
a) log2 6,
1− 2
2
b) (a2 + b2 ) ≥ 4ab (a − b)2 für beliebige reelle Zahlen a, b gilt.
4. Quantifizierte Aussagen, Negationen
→
→
→
a) Die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren −
a 1, −
a 2 und −
a 3 ist gekennzeichnet
−
→
−
→
−
→
−
→
durch:
∀r1 , r2 , r3 ∈ R : (r1 a 1 + r2 a 2 + r3 a 3 = o ⇒ r1 = r2 = r3 = 0) (1)
Man negiere die Bedingung (1) und gebe eine verbale Beschreibung für die lineare
Abhängigkeit der drei Vektoren.
b) Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine rationale Zahl:
∀a, b ∈ R : (a < b ⇒ ∃r ∈ Q : a < r < b)
(2)
(Man sagt auch : Die Menge der rationalen Zahlen ist dicht in R.)
Man negiere die Aussage (2) .
5. Mengen: Ü1, 5.2
Gegeben sind die folgenden Mengen reeller Zahlen:
A = {x | −7 ≤ x < 5} = [−7; 5) ,
B = [0; 5] ,
C = (−1; ∞) .
Man ermittle die folgenden Mengen:
a) A ∪ B ∪ C, b) A ∩ B, c) B ∪ C, d) A ∩ B, e) B ∩ A, f) C \ B, g) (A ∪ B) ∩ C.
6. Mengen: Ü1, 5.3 a
Gegeben sind die folgenden Mengen reeller Zahlen:
A = {x | |x − 1| < 2} , B = {x | x − 1 < 2x + 7} , C = {x | 4, 5 > |x + 3, 5|} .
a) Man gebe die Mengen A, B, C in Intervallschreibweise an.
b) Man bestimme
A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A, B, A ∪ C, A ∩ C.
1
7. Lösungsbereiche: Ü1, 3.5 abd
Man skizziere in der xy-Ebene folgende Lösungsbereiche:
a) y ≥ 1 − x und 2y < 5x + 1 ,
b) (x − 1)2 (y + 5) < 0 ,
c) y ≥ 2 − x2 und x2 + (y − 2)2 = 4 , d) x2 + y 2 ≤ 2x und y ≤ x2 − 2x
8. Ungleichungen: Ü1, 3.1 a-d, 3.2 ce
Man bestimme alle reellen Zahlen x, für die gilt:
3
x−2
x
< x,
a) x + 2 > 4 − x, b) 3 − 2x > x − 9, c) + 1 ≤ 3 − x, d)
3
2
4 + 2x
x2 − 9
≥ 2.
e) x2 − x − 6 < 2x + 4, f) −6x2 + 13x < 6, g)
x−5
9. Beträge, Gleichungen, Ungleichungen: Ü1, 3.3 dfg
Man löse folgende Gleichung bzw. Ungleichungen:
x+3 > 3,
a) |2x + 1| = |x − 1| + 1,
b) c) |x − 1| + |x + 5| ≤ 4.
2x − 5 10. Beträge, Ungleichungen: Ü1, 3.4 ae
Man ermittle alle reellen Zahlen x, für die
c) exp 1 − x2 −
2
a) exp (x − 3x − 4) > 1,
b) ln |x + 4| > 1,
5 >1
4
gilt und gebe jeweils die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an.
11. Geraden- und Ebenengleichungen, Abstände
a) Man bestimme eine parameterfreie Gleichung und eine Parametergleichung der
durch nachfolgende Angaben jeweils festgelegten Ebene ε :
1. In ε liegen die Punkte P1 (1, 2, 3) und P2 (3, 2, 1) , ε ist senkrecht zur Ebene
4x − y + 2z = 7.
2. In ε liegt der Punkt P0 (2, 1, −1) , die Schnittgerade g der Ebenen 2x + y − z = 3
und
x + 2y + z = 2 ist senkrecht zu ε. (vgl. Ü3, 4.1.10)
b) Gegeben seien die Gerade
→
g: −
x = (0, 0, −2)T + t (6, −3, 2)T , t ∈ R und der Punkt P(0, 3, −1) .
Man bestätige, dass P∈
/ g ist, und gebe für die Ebene ε, die P und g enthält, eine
Parameterdarstellung, eine parameterfreie Gleichung sowie einen Normalenvektor an.
Man bestimme den Abstand des Koordinatenursprungs O von ε.
c) Man bestimme auf der Schnittgeraden der Ebenen
ε1 : x + y + z = 2
und
ε2 : x + 2y − z = 1
denjenigen Punkt P, der von den Ebenen ε3 : x + 2y + z = 3 und ε4 : x + 2y + z = −1
den gleichen Abstand hat (in Ü3, 4.2.10 existiert dazu eine erläuternde Abbildung).
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