¨Ubungsblatt 4

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2015
Übungsblatt 4
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 23.11.-27.11.
Aufgabe 1
Beweise in Fitch
(Präsenzaufgabe)
Beweisen Sie folgende aussagenlogische Formeln im Fitch-Kalkül:
1. ¬A → (A → B);
2. (A → (B ∧ C)) → (A → B);
3. (A ∧ (B → ¬A)) → (A ∧ ¬B).
Aufgabe 2
Beweise in Coq
(Präsenzaufgabe)
Coq ist ein halbautomatischer Beweiser [1], der unter anderem verwendet werden kann, um
aussagenlogische Formeln zu beweisen. Die Beweise können dabei in gleicher Weise organisiert
werden wie Fitch-Beweise. Als Beispiel betrachten wir den folgenden Beweis von (q → p) →
(¬p → ¬q).
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Require Import Classical_Prop .
(* * Lemmas f ü r klassische Logik *)
Parameters p q : Prop .
(* * Deklaration aussa genlog ischer
Variablen p und q *)
(* * T1 ist der Name des Theorems *)
(* * Anfang des Beweises * *)
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Theorem T1 : (q - > p ) - >( ~p - > ~ q ).
Proof .
intro A .
intro B .
intro C .
assert p as D .
apply A ; exact C .
apply B ; exact D .
Qed .
(* * Ende des Beweises * *)
Hier werden die Namen A, B und C als Bezeichnungen für die Zwischenschritte verwendet;
intro, apply, assert und exact sind sogenannte Taktiken, die, grob gesagt, ähnlich wie die
Regeln des Fitch-Kalküls wirken.
• Lesen Sie das Coq-Cheat-Sheet von Andrej Bauer [2], und identifizieren Sie die Einführungsund Eliminations-Regeln des Fitch-Kalküls als Coq-Taktiken (bzw. einfache Kombinationen davon) wie im Kapitel “Basic Tactics” beschrieben.
• Formalisieren Sie die Beweise aus Aufgabe 1 in Coq.
Hinweis: Die folgende Tabelle kann dabei helfen, zu einer Fitch-Regel jeweils die entsprechende
Taktik zu finden.
GLoIn, WS 2015
Fitch-Regel
Coq-Taktik
∧I
split
∧E1
destruct H as [H0 ]; exact H0.
∧E2
destruct H as [ H0]; exact H0.
∨I1
left; exact H.
∨I2
right; exact H.
∨E
destruct H as [L|R]; apply H0; exact L; apply H1; exact L.
→I
intro
→E
apply H; exact H0.
¬I
intro
¬E
apply NNPP.
⊥I
apply H; exact H0.
⊥E
contradiction.
Aufgabe 3
Kreuz-Kringel-Kalkül
(4 Punkte)
Gegeben sei der Kreuz-Kringel-Kalkül:
◦
◦◦X
×X
(◦I)
(◦E)
X
XX×
(×I)
X×
×Y
XY
(×E)
Dabei beziehen sich X und Y auf nichtleere Zeichenketten, die aus × und ◦ bestehen.
1. Zeigen Sie, dass die folgenden Zeichenketten im Kreuz-Kringel-Kalkül herleitbar sind.
(a) ××
(b) × × ◦ ◦ ××
2. Zeigen Sie, dass die Regeln
Y
◦ ◦X
YYX
×X
◦◦X
im Kreuz-Kringel-Kalkül herleitbar sind.
Aufgabe 4
Lückenhafte Beweislage
(6 Punkte)
Vervollständigen Sie die folgenden Fitch-Beweise, indem Sie die fehlenden Formeln sowie die
dazugehörigen Regelanwendungen angeben.
2
GLoIn, WS 2015
A∨B
¬(A ∧ ¬B)
¬A ∨ C
¬C
¬(¬A ∨ B)
¬(¬A ∨ ((B ∨ C) → A))
B∨C
A
¬A
∨I
¬¬A
¬I
A
¬E
⊥I
¬¬A
B
A
∨E
⇒I
∨I
B
⊥
B∨C
∨E
¬A ∨ ((B ∨ C) → A)
a)
¬¬(¬A ∨ B)
¬I
¬A ∨ B
¬E
b)
c)
Achtung! Annotieren Sie Ihre Beweise zeilenweise mit der jeweils angewendeten Regelinstanz
wie in der Vorlesung.
Aufgabe 5
Äquivalenzen im Fitch
(10 Punkte)
Beweisen Sie im Fitch-Kalkül Äquivalenz der Formeln von Übungsblatt 3, Aufgabe 5. Jede
Äquivalenz lässt sich dadurch beweisen, dass die linke Seite als Prämisse verwendet und daraus
die rechte Seite abgeleitet wird und umgekehrt.
Bonusaufgabe: Maximal konsistente Mengen
(3 Punkte)
Wie Sie sich aus der Vorlesung erinnern, ist der zentrale Schritt im Beweis der Vollständigkeit
des natürlichen Schließens der Beweis des Lindenbaumlemmas, d.h. der Tatsache, dass jede
konsistente Menge zu einer maximal konsistenten Menge erweitert werden kann.
Sei A = {Ai | i ∈ N} die Menge der Atome, und sei Φ die Formelmenge {Ai ↔ Ai+1 | i ∈ N}.
1. Beweisen Sie, dass Φ konsistent ist. Nutzen Sie dafür den Korrektheitsatz aus der Vorlesung.
2. Beweisen Sie, dass es genau zwei maximal konsistente Mengen gibt, die Φ erweitern.
Hinweis: Sie dürfen die Resultate der Vorlesung verwenden, insbesondere das Hintikka-Lemma.
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GLoIn, WS 2015
Links
[1] The Coq Proof Assistant, https://coq.inria.fr/.
[2] Andrej Bauer, Coq cheat sheet, http://andrej.com/coq/cheatsheet.pdf.
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