§3 Vektorbündel und das Tangentialbündel

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Montag 16.6
$Id: vektor.tex,v 1.3 2014/06/17 14:22:12 hk Exp hk $
§3
Vektorbündel und das Tangentialbündel
3.1
Faserbündel
In der letzten Sitzung haben wir Faserbündel und als Spezialfall Überlagerungen als die
Faserbündel mit nulldimensionaler Faser eingeführt. Als eine Anwendung des Überlagerungsbegriffs wollen wir zeigen, dass jede einfache zusammenhängende differenzierbare
Mannigfaltigkeit auch orientierbar ist. Unser Beweis dieser Tatsache beruht auf der
ebenfalls bereits konstruierten sogenannten Orientierungsüberlagerung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Zunächst einmal müssen wir definieren was eine einfach
zusammenhängende Mannigfaltigkeit überhaupt istDefinition 3.5 (Homotopie und einfach zusammenhängende Räume)
Sei X ein topologischer Raum. Zwei stetige Abbildungen α, β : [0, 1] → X heißen
homotop relativ {0, 1} wenn es eine stetige Abbildung H : [0, 1] × [0, 1] → X mit
H(t, 0) = α(t), H(t, 1) = β(t), H(0, t) = α(0) und H(1, t) = α(1) für alle t ∈ [0, 1].
Jede solche Abbildung H heißt dann eine Homotopie von α nach β,
Weiter heißt X einfach zusammenhängend wenn für alle x0 ∈ X jede stetige Abbildung α : [0, 1] → X mit α(0) = α(1) = x0 relativ {0, 1} homotop zur konstanten
Abbildung x0 : [0, 1] → X; t 7→ x0 ist.
Sie kennen diese Begriffe wahrscheinlich schon aus der Funktionentheorie, dort kommen sie im Zusammenhang mit dem Cauchyschen Integralsatz vor. Ein entscheidende
Eigenschaft von Überlagerungen ist das sogenannte Liften“ von Wegen und Homoto” f
pien. Angenommen wir haben eine Überlagerung p : M
→ M . Für jedes x ∈ M hat
fx = p−1 (x), deren Elemente man sich als die Punkt oberhalb x“
man dann die Faser M
”
vorstellen kann. Hat man dann eine stetige Abbildung α : [0, 1] → M , also sozusagen
f konstruieren der oberhalb
einen Weg in M , so möchte man zu α einen Weg in M
f mit α
fα(t)”für jedes
von α“ verläuft, gesucht ist also ein Weg α
e : [0, 1] → M
e(t) ∈ M
t ∈ [0, 1]. Etwas kürzer kann man diese Bedingung als p ◦ α
e = α schreiben, und nennt
α
e dann ein Lifting von α. Wir wollen zeigen das sich jeder Weg in M zu einem Weg in
f liften läßt und das man sogar den Startpunkt des gelifteten Weges vorgeben kann.
M
Bei Vorgabe des Startpunkts ist der geliftete Weg dann sogar eindeutig bestimmt.
Eine zweite Tatsache wird von Bedeutung sein. Angenommen wir haben gleich zwei
f liften so, dass
Wege α, β in M mit demselben Startpunkt, die wir beide zu Wegen in M
auch die gelifteten Wege denselben Startpunkt haben. Weiter nehme an das sich α stetig
nach β deformieren läßt, dass also α und β homotop sind. Dann wollen wir zeigen, dass
f homotop sind. Diese Aussagen sind nur spezielle Fälle
auch die gelifteten Wege in M
eines allgemeinen Satzes über Liftings in Faserbündeln, da wir all dies aber nur für
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Überlagerungen brauchen werden, beschränken wir uns auch ganz auf diesen Fall.
Lemma 3.7 (Liften von Wegen und Homotopien in Überlagerungen)
f → M eine ÜberSeien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und p : M
lagerung von M . Dann gelten:
f mit p(e
(a) Sind α : [0, 1] → M eine stetige Abbildung und x
e∈M
x) = α(0) so existiert
f
genau eine stetige Abbildung α
e : [0, 1] → M mit α
e(0) = x
e und p ◦ α
e = α.
f zwei stetige Abbildungen mit α(0) = β(0). Sind dann p ◦ α
(b) Seien α, β : [0, 1] → M
und p ◦ β in M homotop relativ {0, 1}, so sind auch α und β homotop relativ
{0, 1} und insbesondere ist dann α(1) = β(1).
f → M . Für jedes x ∈ M gibt es dann eine
Beweis: Bezeichne F die Faser von p : M
offene Umgebung Ux von x in M und einen Diffeomorphismus ϕx : Ux × F → p−1 (Ux )
mit p ◦ ϕx = pr1 . Sei x ∈ M . Nach §2.Lemma 21.(a.2) ist ϕx dann insbesondere ein
Homöomorphismus. Wir wollen jetzt zwei Hilfsaussagen über ϕx beweisen.
1. Sei X 6= ∅ ein zusammenhängender topologischer Raum und sei f : X →
p−1 (Ux ) eine stetige Abbildung. Dann behaupten wir das genau ein z ∈ F mit
ϕx−1 (f (X)) ⊆ Ux × {z} existiert und das f (y) = ϕx (p(f (y)), z) für jedes y ∈ X
gilt.
Um dies einzusehen beachte zunächst das die Menge ∅ 6= ϕ−1
x (f (X)) ⊆ Ux × F
nach §2.Satz 15.(d) zusammenhänged ist und da F diskret, also {z} für jedes
z ∈ F offen in F , ist, ist
[
ϕ−1
(ϕ−1
x (f (X)) =
x (f (X)) ∩ (Ux × {z}))
z∈F
eine Zerlegung von ϕ−1
x (f (X)) in paarweise disjunkte offene Teilmengen, es gibt
also genau ein z ∈ F mit ϕ−1
x (f (X)) ⊆ Ux × {z}. Für jedes y ∈ X folgt wegen
−1
−1
pr1 (ϕx (f (y))) = p(ϕx (ϕx (f (y)))) = p(f (y)) auch ϕ−1
x (f (y)) = (p(f (y)), z), also
f (y) = ϕx (p(f (y)), z). Damit ist diese Hilfsbehauptung bewiesen.
2. Seien X ist ein zusammenhängender topologischer Raum, ∅ =
6 A ⊆ X eine zusammenhängende Teilmenge und es seien zwei stetige Abbildungen f : X → Ux
und g0 : A → p−1 (Ux ) mit p ◦ g0 = f |A gegeben. Wir behaupten das es dann
genau eine stetige Abbildung g : X → p−1 (Ux ) mit p ◦ g = f und g|A = g0 gibt.
Nach der ersten Hilfaussage gibt es genau ein z ∈ F mit ϕ−1
x (g0 (A)) ⊆ Ux × {z}
und für jedes y ∈ A ist g0 (y) = ϕx (p(g0 (y)), z) = ϕx (f (y), z). Wir erhalten die
stetige Abbildung
g := ϕx ◦ (f, z) : X → p−1 (Ux )
mit g|A = g0 und p ◦ g = p ◦ ϕx ◦ (f, z) = pr1 ◦(f, z) = f . Damit ist die
Existenzaussage bewiesen, und wir kommen zur Eindeutigkeit. Sei h : X →
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p−1 (Ux ) ebenfalls stetig mit h|A = g0 und p ◦ h = f . Dann existiert wieder
0
nach der ersten Hilfsaussage ein z 0 ∈ F mit ϕ−1
x (h(X)) ⊆ Ux × {z } und für
jedes y ∈ X ist h(y) = ϕx (p(h(y)), z 0 ) = ϕx (f (y), z 0 ). Wegen ϕ−1
x (g0 (A)) ⊆
−1
0
0
ϕx (h(X)) ⊆ Ux × {z } ist dann auch z = z und somit h(y) = ϕx (f (y), z) = g(y)
für alle y ∈ X, also h = g und auch die Eindeutigkeit ist beweisen.
Wir kommen jetzt zu den beiden eigentlichen Aussagend des Lemmas.
(a) Die Menge {α−1 (Ux )|x ∈ M } ist eine offene Überdeckung von [0, 1], also gibt es
nach dem Lebesgueschen Überdeckungslemma, siehe etwa Analysis IV.§4.Lemma 26,
eine Zerlegung 0 = t0 < t1 < . . . < tr = 1 von [0, 1] und Punkte x1 , . . . , xr ∈ M mit
f; t 7→ x
α([ti−1 , ti ]) ⊆ Uxi für jedes 1 ≤ i ≤ r. Die Abbildung β0 : {0} → M
e ist stetig.
f mit
Nun sei 1 ≤ i ≤ r und es sei bereits eine stetige Abbildung βi−1 : [0, ti−1 ] → M
βi−1 (0) = x
e und p ◦ βi−1 = α|[0, ti−1 ] konstruiert. Nach der zweiten Hilfsaussage gibt
es dann genau eine stetige Abbildung βi0 : [ti−1 , ti ] → p−1 (Uxi ) mit βi0 (ti−1 ) = βi−1 (ti−1 )
und p ◦ βi0 = α|[ti−1 , ti ]. Mit §2.Lemma 7.(g) erhalten wir die stetige Abbildung
(
f; t 7→ βi−1 (t), 0 ≤ t ≤ ti−1 ,
βi : [0, ti ] → M
βi0 (t),
ti−1 ≤ t ≤ ti .
Es sind βi (0) = βi−1 (0) = x
e, p ◦ βi |[0, ti−1 ] = p ◦ βi−1 = α|[0, ti−1 ] und p ◦ βi |[ti−1 , ti ] =
0
p ◦ βi = α|[ti−1 , ti ], also ist auch p ◦ βi = α|[0, ti ]. Induktiv definiert dies für jedes
f mit βi (0) = x
0 ≤ i ≤ r eine stetige Abbildung βi : [0, ti ] → M
e und p ◦ βi = α|[0, ti−1 ].
f
Wir erhalten die stetige Abbildung α
e := βr : [0, 1] → M mit α
e(0) = x
e und p◦ α
e = α.
Damit ist die Existenzaussage bewiesen und wir kommen zur Eindeutigkeit. Sei also
f eine stetige Abbildung mit γ(0) = x
γ : [0, 1] → M
e und p ◦ γ = α. Wir zeigen durch
Induktion nach i das für alle 0 ≤ i ≤ r stets γ|[0, ti ] = βi gilt. Wegen γ(0) = x
e ist dies
für i = 0 klar. Nun sei 1 ≤ i ≤ r mit γ|[0, ti−1 ] = βi−1 gegeben. Dann ist γ|[ti−1 , ti ] :
f eine stetige Abbildung mit γ(ti−1 ) = βi−1 (ti−1 ) und p ◦ (γ|[ti−1 , ti ]) =
[ti−1 , ti ] → M
α|[ti−1 , ti ], es gilt also γ|[ti−1 , ti ] = βi0 und somit auch γ|[0, ti ] = βi . Per vollständiger
Induktion ist damit γ|[0, ti ] = βi für alle 0 ≤ i ≤ r bewiesen, und insbesondere haben
wir mit i = r auch γ = βr = α
e. Damit ist auch die Eindeutigkeitsaussage gezeigt und
(a) ist vollständig bewiesen.
(b) Nach unserer Annahme gibt es eine stetige Funktion H : [0, 1] × [0, 1] → M mit
H(t, 0) = p(α(t)), H(t, 1) = p(β(t)), H(0, t) = p(α(0)) und H(1, t) = p(α(1)) für
alle t ∈ [0, 1]. Dann ist {H −1 (Ux )|x ∈ M } eine offene Überdeckung von [0, 1] × [0, 1],
also gibt es wieder nach dem Lebesgueschen Überdeckungslemma eine Zerlegung 0 =
t0 < t1 < . . . < tr = 1 von [0, 1] und Punkte xij ∈ M für 1 ≤ i, j ≤ r so, dass
für alle 1 ≤ i, j ≤ r stets H([ti−1 , ti ] × [tj−1 , tj ]) ⊆ Uxij ist. Wir gehen jetzt ähnlich
f; (t, 0) 7→ α(t), und dann ist auch
zu (a) und setzen zunächst G0 : [0, 1] × {0} → M
p ◦ G0 = H|[0, 1] × {0}.
Nun sei 1 ≤ j ≤ r und es sei bereits eine stetige Abbildung Gj−1 : [0, 1] × [0, tj−1 ] →
f
M mit p ◦ Gj−1 = H|[0, 1] × [0, tj−1 ] und G(t, 0) = α(t) für alle t ∈ [0, 1] konstruiert.
Insbesondere ist Gj−1 ([0, t1 ] × {tj−1 }) ⊆ p−1 (H([0, t1 ] × {tj−1 }) ⊆ p−1 (Ux1j ). Nach
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Hilfsaussage 2 existiert damit eine stetige Abbildung F1 : [0, t1 ] × [tj−1 , tj ] → p−1 (Ux1j )
mit F1 |[0, t1 ] × {tj−1 } = Gj−1 |[0, t1 ] × {tj−1 } und p ◦ F1 = H|[0, t1 ] × [tj−1 , tj ]. Nun sei
f mit
1 < i ≤ r und es sei bereits eine stetige Abbildung Fi−1 : [0, ti−1 ] × [tj−1 , tj ] → M
Fi−1 |[0, ti−1 ] × {tj−1 } = Gj−1 |[0, ti−1 ] × {tj−1 } und p ◦ Fi−1 = H|[0, ti−1 ] × [tj−1 , tj ] konstruiert. Betrachte die zusammenhängende Teilmenge A := [ti−1 , ti ] × {tj−1 } ∪ {ti−1 } ×
[tj−1 , tj ] ⊆ [ti−1 , ti ] × [tj−1 , tj ] und wegen Fi−1 (ti−1 , tj−1 ) = Gj−1 (ti−1 , tj−1 ) ist die Abbildung
(
Fi−1 (ti−1 , s), t = ti−1 ,
g : A → p−1 (Uxij ); (t, s) 7→
Gj−1 (t, tj−1 ), s = tj−1
nach §2.Lemma 7.(g) stetig und es gilt p ◦ g = H|A. Nach Hilfsaussage 2 existiert eine
stetige Abbildung Fi0 : [ti−1 , ti ] × [tj−1 , tj ] → p−1 (Uxij ) mit Fi0 |A = g und p ◦ Fi0 =
H|[ti−1 , ti ] × [tj−1 , tj ]. Für alle t ∈ [tj−1 , tj ] ist damit auch Fi0 (ti−1 , t) = g(ti−1 , t) =
Fi−1 (ti−1 , t) und wieder nach §2.Lemma 7.(g) ist auch die Abbildung
(
f; (t, s) 7→ Fi−1 (t, s), 0 ≤ t ≤ ti−1 ,
Fi : [0, ti ] × [tj−1 , tj ] → M
Fi0 (t, s),
ti−1 ≤ t ≤ ti
stetig. Es ist p ◦ Fi = H|[0, ti ] × [tj−1 , tj ] und für 0 ≤ t ≤ ti ist im Fall t ≤ ti−1
sofort Fi (t, tj−1 ) = Fi−1 (t, tj−1 ) = Gj−1 (t, tj−1 ) und im Fall t ≥ ti−1 haben wir ebenfalls Fi (t, tj−1 ) = Fi0 (t, tj−1 ) = g(t, tj−1 ) = Gj−1 (t, tj−1 ), also ist Fi |[0, ti ] × {tj−1 } =
Gj−1 |[0, ti ] × {tj−1 }. Induktiv wird somit für jedes 0 ≤ i ≤ r eine stetige Abbildung
f mit p ◦ Fi = H|[0, ti ] × [tj−1 , tj ] und Fi |[0, ti ] × {tj−1 } =
Fi : [0, ti ] × [tj−1 , tj ] → M
Gj−1 |[0, ti ] × {tj−1 } definiert. Erneut nach §2.Lemma 7.(g) ist damit auch
(
f; (t, s) 7→ Gj−1 (t, s), 0 ≤ s ≤ tj−1 ,
Gj : [0, 1] × [0, tj ] → M
Fr (t, s),
tj−1 ≤ s ≤ tj
stetig und es gelten p ◦ Gj = H|[0, 1] × [0, tj ] und Gj (t, 0) = Gj−1 (t, 0) = α(t) für
alle t ∈ [0, 1]. Induktiv ist damit auch für jedes 0 ≤ j ≤ r eine stetige Abbildung
f mit p ◦ Gj = H|[0, 1] × [0, tj ] und Gj (t, 0) = α(t) für alle
Gj : [0, 1] × [0, tj ] → M
f mit
t ∈ [0, 1] definiert. Wir erhalten die stetige Abbildung G := Gr : [0, 1] × [0, 1] → M
p ◦ G = H und G(t, 0) = α(t) für alle t ∈ [0, 1]. Sei s ∈ {0, 1}. Dann ist die Abbildung
f; t 7→ G(s, t)
γ : [0, 1] → M
stetig mit γ(0) = G(s, 0) = α(s) und p(γ(t)) = p(G(s, t)) = H(s, t) = p(α(s)) für alle
t ∈ [0, 1], also liefert die Eindeutigkeitsaussage in (a) auch γ = α(s) , d.h. für jedes
t ∈ [0, 1] gilt G(s, t) = α(s). Nun betrachte die stetige Abbildung
f; t 7→ G(t, 1).
γ : [0, 1] → M
Dann sind γ(0) = G(0, 1) = α(0) = β(0) und p(γ(t)) = p(G(t, 1)) = H(t, 1) = p(β(t))
für alle t ∈ [0, 1], also liefert die Eindeutigkeitsaussage in (a) auch γ = β, d.h. für alle
f homotop relativ {0, 1}.
t ∈ [0, 1] gilt G(t, 1) = β(t). Somit sind α und β in M
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Damit können wir den angekündigten Satz über die Orientierbarkeit einfach zusammenhängender Mannigfaltigkeiten beweisen. Beachte das hier aus einer rein topologischen Voraussetzung die Existenz eines C+n,∞ -Atlas gefolgert wird, also eine Aussage
über die differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit gemacht wird.
Satz 3.8 (Einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten sind orientierbar)
Ist M eine zusammenhängende, einfach zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit so ist M auch orientierbar.
Beweis: Ist M nulldimensional so ist M auch orientierbar, wir können also annehmen
das M mindestens eindimensional ist. Wir zeigen dann die Kontraposition, nehme
f → M die
also an das M nicht orientierbar ist, also insbesondere M 6= ∅. Sei p : M
f
Orientierungsüberlagerung von M . Nach Satz 6 ist M zusammenhängend. Wähle ein
x ∈ M und schreibe p−1 (x) = {e
x1 , x
e2 }, also insbesondere x
e1 6= x
e2 . Nach §2.Lemma
f
28.(c) ist M auch wegzusammenhängend, also existiert eine stetige Abbildung γ :
f mit γ(0) = x
[0, 1] → M
e1 und γ(1) = x
e2 6= x
e1 . Die Kontraposition von Lemma
7.(b) ergibt das p ◦ γ in M nicht relativ {0, 1} homotop zu x = p ◦ e
x1 ist obwohl
p(γ(1)) = p(e
x2 ) = x = p(γ(0)) gilt, d.h. M ist nicht einfach zusammenhängend.
Wir wollen noch zwei weitere grundlegende Definitionen in allgemeinen Faserbündeln
besprechen, zum einen die sogenannten Schnitte eines Faserbündels und zum anderen
die Bündelmorphismen. Wir beginnen mit ersterem und definieren:
Definition 3.6 (Schnitte von Faserbündeln)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und p : E → M ein Faserbündel über M . Weiter seien q ∈ N∗ und U ⊆ M offen in M . Ein C q -Schnitt von p
über U ist eine Abbildung s ∈ C q (U, E) mit p ◦ s = idU . Die Menge aller C q -Schnitte
von p über U bezeichnen wir als Γq (U ; E). Schließlich sei noch Γq (E) := Γq (M ; E).
Die Bedingung p ◦ s = idU bedeutet ausgeschrieben gerade p(s(x)) = x, also s(x) ∈
p−1 (x) = Ex , für jedes x ∈ U . Ein C q -Schnitt s ∈ Γq (U ; E) wählt also für jedes x ∈ U
ein Element s(x) ∈ Ex der Faser über x aus. In Termen lokaler Trivialisierungen lassen
sich Schnitte als Funktionen mit Werten in der Faser des Bündels interpretieren. Das
entsprechende Lemma formulieren wir hier für global definierte Schnitte, dies ist aber
keine echte Einschränkung. Angenommen wir haben eine berandete differenzierbare
Mannigfaltigkeit M , eine differenzierbare Mannigfaltigkeit F und ein Faserbündel p :
E → M über M mit Faser F . Weiter sei U ⊆ M offen in M . Dann ist auch p−1 (U )
offen in E und nach §2.Lemma 34.(c,d) ist auch die Einschränkung
q := p|p−1 (U ) ∈ C ∞ (p−1 (U ), U ).
Wir behaupten das q : p−1 (U ) → U ein Faserbündel über U wieder mit Faser F ist. Sei
nämlich x ∈ U gegeben. Dann existieren eine offene Umgebung V von x in M und ein
Diffeomorphismus ϕ : V × F → p−1 (V ) mit p ◦ ϕ = pr1 . Damit ist W := U ∩ V eine
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offene Umgebung von x in U und nach §2.Lemma 21.(d) ist auch die Einschränkung
ψ := ϕ|W × F : W × F → p−1 (W ) = q −1 (W )
ein Diffeomorphismus mit q ◦ ψ = p ◦ ϕ|W × F = pr1 , d.h. ψ ist eine lokale Trivialisierung von q. Dies zeigt zum einen das q : p−1 (U ) → U tatsächlich ein Faserbündel
über U mit Faser F ist, und zum anderen das wir lokale Trivialisierungen von p auf
offene Teilmengen einschränken können und wieder lokale Trivialisierungen von E kriegen. Aufgrund dieser Beobachtung reicht es das folgende Lemma für auf M definierte
Schnitte zu formulieren, für Schnitte auf offenen Teilmengen gilt es dann analog.
Lemma 3.9 (Lokale Beschreibung von Schnitten)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, F eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und p : E → M ein Faserbündel über M mit Faser F . Sei s : M → E eine
Abbildung mit p ◦ s = idM .
(a) Sind U ⊆ M offen in M und ϕ : U × F → p−1 (U ) eine lokale Trivialisierung von
E, so existiert genau eine Abbildung sϕ : U → F mit s(x) = ϕ(x, sϕ (x)) für alle
x ∈ U.
(b) Sei q ∈ N∗ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1. Es ist s ∈ Γq (E) := Γq (E; M ).
2. Für jede in M offene Menge U und jede lokale Trivialisierung ϕ : U × F →
p−1 (U ) von E ist sϕ ∈ C q (U, F ).
3. Für jedes x ∈ M existieren eine offene Umgebung U von x in M und eine
lokale Trivialisierung ϕ : U × F → p−1 (U ) von E mit sϕ ∈ C q (U, F ).
Beweis: (a) Da ϕ : U × F → p−1 (U ) insbesondere bijektiv ist, ist die Eindeutigkeit
von sϕ klar. Für jedes x ∈ U ist s(x) ∈ p−1 (x) ⊆ p−1 (U ), also ist s(U ) ⊆ p−1 (U ) und
wir erhalten die Abbildung
sϕ := pr2 ◦ϕ−1 ◦ (s|U ) : U → F.
Ist x ∈ U , so ist pr1 (ϕ−1 (s(x))) = p(ϕ(ϕ−1 (s(x)))) = p(s(x)) = x, also ϕ−1 (s(x)) =
(x, sϕ (x)) und somit s(x) = ϕ(x, sϕ (x)). bewteilzb(1)=⇒(2). Wegen s ∈ C q (M, E) ist
nach §2.Lemma 34.(c,d) auch s|U ∈ C q (U, p−1 (U )) und mit §2.Lemma 34.(e,g,j) folgt
sϕ = pr2 ◦ϕ−1 ◦ (s|U ) ∈ C q (U, F ).
(2)=⇒(3). Klar.
(3)=⇒(1). Sei x ∈ M . Dann existieren eine offene Umgebung U von x in M und eine
lokale Trivialisierung ϕ : U × F → p−1 (U ) von E mit sϕ ∈ C q (U, F ). Nach §2.Lemma
34.(d,e,f,h,j) ist dann auch
s|U = ϕ ◦ (idU , sϕ ) ∈ C q (U, E)
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und nach §2.Lemma 34.(b) ist schließlich s ∈ C q (M, E), d.h. s ∈ Γq (E).
Schließlich definieren wir noch die Bündelmorphismen, dies sind die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Faserbündeln über einer fixierten Mannigfaltigkeit. Man
kann noch allgemeiner Morphismen zwischen Bündeln über verschiedenen Mannigfaltigkeiten einführen, für diese haben wir aber keine Verwendung.
Definition 3.7 (Morphismen von Faserbündeln)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und F, F 0 zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Weiter seien p : E → M ein Vektorbündel über M mit Faser
F und q : E 0 → M ein Faserbündel über M mit Faser F 0 . Ein Bündelmorphismus
f : E → E 0 ist eine Abbildung f ∈ C ∞ (E, E 0 ) mit q ◦ f = p. Ist f dabei ein Diffeomorphismus so heißt f ein Isomorphismus, oder eine Äquivalenz, von Faserbündeln über
M.
Werden auch Morphismen zwischen Bündeln über verschiedenen Basen betrachtet, so
meint man mit Isomorphismen in der Regel solche allgemeineren Morphismen, da dies
bei uns aber nicht vorkommt können wir die Begriffe Isomorphismus und Äquivalenz
synonym verwenden. Auch Bündelmorphismen lassen sich bezüglich gemeinsamer Trivialisierungen beider Bündel als Abbildungen F → F 0 interpretieren. Angenommen
wir sind in der obigen Situation. Da wir schon gesehen haben, dass sich lokale Trivialisierungen auf offene Teilmengen einschränken lassen gibt es stets gemeinsame lokale
Trivialisierungen beider Bündel, d.h. für jeden Punkt x ∈ M gibt es stets eine offene
Umgebung U von x in M und lokale Trivialisierungen ϕ : U × F → p−1 (U ) von E und
ϕ0 : U × F 0 → q −1 (U ) von E 0 . Nach §2.Lemma 34.(e,j) ist auch
F := ϕ0
−1
◦ f ◦ ϕ : U × F → U × F0
eine C ∞ -Abbildung und es gilt
pr1 ◦F = q ◦ ϕ0 ◦ ϕ0
−1
◦ f ◦ ϕ = q ◦ f ◦ ϕ = p ◦ ϕ = pr1 .
Setzen wir also F := pr2 ◦F , so ist nach §2.Lemma 34.(h) auch F ∈ C ∞ (U × F, F 0 )
und für alle y ∈ U , z ∈ F gilt
F (y, z) = (y, F (y, z)), d.h. ϕ0 (y, F (y, z)) = f (ϕ(y, z)).
Fixieren wir y ∈ U , so erhalten wir nach §2.Lemma 34.(e,f,h) die Abbildung
Fy := F ◦ (y, idF ) : F → F 0 ,
wir können die lokale Beschreibung F von f also auch als eine Abbildung von U in die
Menge aller C ∞ -Abbildungen zwischen den Fasern denken. Ist f sogar eine Äquivalenz
von Faserbündeln, also ein Diffeomorphismus f : E → E 0 , so ist nach §2.Lemma 34.(j)
auch f −1 ∈ C ∞ (E 0 , E) und wegen p ◦ f −1 = q ◦ f ◦ f −1 = q ist auch f −1 : E 0 → E
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ein Bündelmorphismus. Verwenden wir wieder dieselben lokalen Trivialisierungen, so
gehört zu f −1 die Abbildung
ϕ−1 ◦ f −1 ◦ ϕ0 = (ϕ0
−1
◦ f ◦ ϕ)−1 = F
−1
und die Koordinatenbeschreiben wird zu
−1
Fe := pr2 ◦F .
−1
Ist dann wieder y ∈ U , so ist für jedes z ∈ F 0 auch Fey (z) = Fe(y, z) = pr2 (F (y, z)),
also ist auch
−1
−1
−1
Fy (Fey (z)) = F (y, pr2 (F (y, z))) = pr2 (F (pr1 (F (y, z)), pr2 (F (y, z))))
= pr2 (F (F
−1
(y, z))) = z,
d.h. es gilt Fy ◦ Fey = idF 0 . Analog folgt auch Fey ◦ Fy = idF , d.h. Fy ist bijektiv
mit Fy−1 = Fey . Nach §2.Lemma 34.(j) ist Fy : F → F 0 damit ein Diffeomorphismus.
Insbesondere haben äquivalente Faserbündel damit stets diffeomorphe Fasern.
3.2
Vektorbündel
Nun können wir auch den Begriff eines Vektorbündels über einer Mannigfaltigkeiten,
diese sind spezielle Faserbündel versehen mit einer zusätzlichen Vektorraumstruktur
auf jeder Faser.
Definition 3.8 (Vektorbündel über Mannigfaltigkeiten)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, K ∈ {R, C} und r ∈ N. Ein
K-Vektorbündel über M von Rang r ist ein Faserbündel p : E → M mit Faser K r
über M mit den folgenden beiden Eigenschaften.
1. Für jedes x ∈ M ist die Faser Ex mit der Struktur eines r-dimensionalen KVektorraums versehen.
2. Für jedes x ∈ M gibt es eine offene Umgebung U von x in M und eine lokale
Trivialisierung ϕ : U × K r → p−1 (U ) von E so, dass die Abbildung ϕ(y, ) :
K r → Ey für jedes y ∈ U ein Vektorraumisomorphismus ist.
Jede solche Abbildung ϕ nennt man dann auch eine lokale Trivialisierung des Vektorbündels E. Sind auch s ∈ N und q : E 0 → M ein weiteres K-Vektorbündel über
M von Rang s, so heißt ein Morphismus f : E → E 0 von Faserbündeln über M ein
Morphismus von Vektorbündeln über M wenn fx := f |Ex : Ex → Ex0 für jedes x ∈ M
eine K-lineare Abbildung ist. Weiter heißt f ein Isomorphismus oder eine Äquivalenz
von Vektorbündeln über M wenn es ein Isomorphismus von Faserbündeln über M ist.
Streng genommen ist ein Vektorbündel also ein Tupel
(E, p, (+x )x∈M , (·x )x∈M )
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bei dem (Ex , +x , ·x ) für jedes x ∈ M ein K-Vektorraum ist, die Vektorraumstruktur der
einzelnen Fasern gehört also zur Struktur eines Vektorbündels. Sprechen wir neutral
von einem Vektorbündel ohne zu sagen ob es sich um ein reelles oder ein komplexes
Vektorbündel handelt, so ist immer ein reelles Vektorbündel gemeint. Ist p : E → M ein
K-Vektorbündel über M , so ist E insbesondere ein Faserbündel über M und wir könnrn
die Begriffe des vorigen Abschnitts verwenden. Sind also U ⊆ M eine in M offene Menge
und q ∈ N+ , so haben wir die Menge Γq (U ; E) aller Schnitte von E über U und ist
(Ui , ϕi )i∈I eine trivialisierende Überdeckung von M durch lokale Trivialisierungen des
Vektorbündels E, so haben wir für alle i, j ∈ I die Übergangsabbildung
ψij : Ui ∩ Uj → Aut(K r )
wobei r der Rang des Vektorbündels E ist. Ist x ∈ Ui ∩ Uj , so war ψij (x) : K r → K r
r
definiert durch ψij (x)u = pr2 (ϕ−1
j (ϕi (x, u))) für alle u ∈ K , und dies können wir als
eine Hintereinanderausführung
ψij (x) = ϕj (x, )−1 ◦ ϕi (x, )
schreiben. Da ϕi , ϕj lokale Trivialisierungen eines Vektorbündels sind, sind die Abbildungen ϕi (x, ), ϕj (x, ) : K r → Ex aber zwei Vektorraumisomorphismen, d.h. auch
ψij (x) : K r → K r ist ein Vektorraumisomorphismus. Damit können wir die Übergangsabbildung ψij als eine Abbildung
ψij : Ui ∩ Uj → GLr (K)
in die Menge aller invertierbaren r × r-Matrizen über K interpretieren. Die Menge GLr (K) ist dabei eine offene Teilmenge des K r×r kann also als differenzierbare Mannigfaltigkeit aufgefasst werden. Weiter ist ψij : Ui ∩ Uj → Aut(K r ) genau
dann eine C ∞ -Abbildung, wenn ψij ∈ C ∞ (Ui ∩ Uj , GLr (K)) ist. In der Tat, ist ψij ∈
C ∞ (Ui ∩ Uj , Aut(K r )), so ist für jedes 1 ≤ k ≤ r und jedes x ∈ Ui ∩ Uj die k-te
Spalte der Matrix ψij (x) gegeben als ψij (x)ek , also ist die k-te Spalte nach §2.Lemma
34.(e,f,h,i) in C ∞ (Ui ∩ Uj , K r ) und damit ist auch ψij ∈ C ∞ (Ui ∩ Uj , GLr (K)). Ist dies
umgekehrt vorausgesetzt, so können wir die Abbildung
Ψ : (Ui ∩ Uj ) × K r → K r ; (x, u) 7→ ψij (x)u
als Hintereinanderausführung Ψ = µ◦(ψij ×idK r ) mit µ : K r×r ×K r → K r ; (A, u) 7→ Au
schreiben und wegen µ ∈ C ∞ (K r×r × K r , K r ) folgt mit §2.Lemma 34.(e,g,h) auch
Ψ ∈ C ∞ ((Ui ∩ Uj ) × K r , K r ), also ψij ∈ C ∞ (Ui ∩ Uj , Aut(K r )).
Im Fall von Vektorbündeln gibt es eine Umformulierung lokaler Trivialisierungen in Termen von Basen die sich oft bequemer handhaben lassen als die eigentliche Trivialisierung. Angenommen wir haben ein K-Vektorbündel p : E → M von
Rang r ∈ N über einer berandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit M . Weiter seien U ⊆ M offen in M und ϕ : U × K r → p−1 (U ) eine lokale Trivialisierung von
E. Für jedes 1 ≤ j ≤ r haben wir dann die Abbildung Bj := ϕ ◦ (idU , ej ), also
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Bj (x) = ϕ(x, ej ) für jedes x ∈ U , und nach §2.Lemma 34.(d,e,f,h,i,j) ist Bj ∈ C ∞ (U, E).
Wegen p ◦ Bj = p ◦ ϕ ◦ (idU , ej ) = pr1 ◦(idU , ej ) = idU ist Bj eine C ∞ -Schnitt von E
über U , man nennt Bj ∈ Γ∞ (U ; E) das j-te Basisfeld der lokalen Trivialisierung ϕ.
Ist x ∈ U , so ist ϕ(x, ) : K r → Ex ein Vektorraumisomorphismus und da e1 , . . . , er
eine Basis des K r ist, ist auch B1 (x), . . . , Br (x) eine Basis von Ex , was auch die Namensgebung Basisfelder“ erklärt. Durch die Basisfelder B1 , . . . , Br ist ϕ vollständig
”
festgelegt, sind x ∈ U und t ∈ K r , so haben wir nämlich
!
r
r
r
X
X
X
ϕ(x, t) = ϕ x,
tj ej =
tj ϕ(x, ej ) =
tj Bj (x),
j=1
j=1
j=1
d.h. t ∈ K r ist der Koordinatenvektor des Vektors ϕ(x, t) ∈ Ex bezüglich der Basis B1 (x), . . . , Br (x). Wir werden im nächsten Lemma zeigen das Basisfelder genau
dasselbe wie lokale Trivialisierungen sind.
Lemma 3.10 (Basisfelder und lokale Trivialisierungen)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, K ∈ {R, C}, r ∈ N und
p : E → M ein K-Vektorbündel über M von Rang r. Dann gelten:
(a) Seien U ⊆ M in M offen und B1 , . . . , Br ∈ Γ∞ (U ; E) so, dass B1 (x), . . . , Br (x) für
jedes x ∈ U eine Basis von Ex . Dann existiert genau eine lokale Trivialisierung
ϕ : U × K r → p−1 (U ) des Vektorbündels E deren Basisfelder gerade B1 , . . . , Br
sind.
(b) Seien s : M → E eine Abbildung mit p ◦ s = idM und q ∈ N∗ . Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent:
1. Es ist s ∈ Γq (E).
2. Sind U ⊆ M offen in M und ϕ : U ×K r → p−1 (U ) eine lokale Trivialisierung
des
Pr Vektorbündels E mit Basisfeldern B1 , . . . , Br , so sind die durch s(x) =
j=1 aj (x)Bj (x) für x ∈ U definierten Funktion a1 , . . . , ar : U → K in
q
C (U, K).
3. Für jedes x ∈ M existieren eine offene Umgebung U von x in M und eine
lokale Trivialisierung ϕ : U × K r → p−1 (U ) desPVektorbündels E mit Basisfeldern B1 , . . . , Br so, dass die durch s(y) = rj=1 aj (y)Bj (y) für y ∈ U
definierten Funktionen a1 , . . . , ar : U → K in C q (U, K) sind.
Beweis: (a) Da eine lokale Trivialisierung durch ihre Basisfelder festgelegt ist, ist die
Eindeutigkeitsaussage klar. Es verbleibt die Existenz zu zeigen. Für jedes x ∈ U ist
B1 (x), . . . , Br (x) nach unserer Annahme eine Basis von Ex , also ist die Abbildung
r
−1
ϕ : U × K → p (U ); (x, t) 7→
r
X
j=1
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tj Bj (x)
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bijektiv mit p ◦ ϕ = pr1 und für jedes x ∈ U ist ϕ(x, ) : K r → Ex ein Vektorraumisomorphismus. Es bleibt also nur zu zeigen, dass ϕ : U × K r → p−1 (U ) auch
ein Diffeomorphismus ist. Sei x ∈ U . Dann existieren eine in M offene Menge V mit
x ∈ V ⊆ U und eine lokale Trivialisierung ψ : V × K r → p−1 (V ) von E. Bezeichne
C1 , . . . , Cr ∈ Γ∞ (V ; E) die Basisfelder von ψ. (Wir betrachten die Abbildung
θ := ψ −1 ◦ (ϕ|V × K r ) : V × K r → V × K r .
Sei 1 ≤ i ≤ r gegeben. Dann ist Bi |V ∈ Γ∞ (V ; E) ein C ∞ -Schnitt von E über V . Nach
Lemma 9.(b) erhalten wir eine Funktion sψ ∈ C ∞ (U, K r ) mit Bi (y) = ψ(y, sψ (y)) für
alle y ∈ V . Nach §2.Lemma 34.(h) ist für jedes 1 ≤ j ≤ r auch aij := prj ◦sψ ∈
C ∞ (V, K) und für jedes y ∈ V haben wir
!
r
r
X
X
Bi (y) = ψ(y, sψ (y)) = ψ y,
aij (y)ej =
aij (y)Cj (y).
j=1
j=1
Für jedes y ∈ V ist A(y) := (aji (y))1≤i,j≤r damit die Transformationsmatrix von der
Basis B1 (y), . . . , Br (y) von Ey zur Basis C1 (y), . . . , Cr (y) von Ey und insbesondere ist
A(y) ∈ GLr (K) invertierbar. Nach §2.Lemma 34.(d,h) ist auch A ∈ C ∞ (V, GLr (K)).
Für y ∈ V , t ∈ K r ergibt sich weiter
!
r
r
r
X
X
X
aij (y)ti Cj (y) = ψ(y, A(y)t)
ti Bi (y) =
ϕ(y, t) =
i=1
j=1
i=1
also auch
θ(y, t) = ψ −1 (ϕ(y, t)) = (y, A(y)t).
Da die Abbildung µ : K r×r × K r → K r in C ∞ (K r×r × K r , K r ) ist, ist nach §2.Lemma
34.(d,e,g,h) auch θ = (pr1 , µ ◦ (A ◦ pr1 , pr2 )) ∈ C ∞ (V × K r , V × K r ). Weiter ist
das Invertieren von Matrizen ν : GLr (K) → K r×r eine C ∞ -Abbildung, also ist nach
§2.Lemma 34.(d,e,g,h) ebenso θ−1 = (pr1 , µ ◦ (ν ◦ A ◦ pr1 , pr2 )) ∈ C ∞ (V × K r , V × K r )
und nach §2.Lemma 34.(j) ist θ ein Diffeomorphismus. Damit ist nach §2.Lemma 21.(c)
auch ϕ|V × K r = ψ ◦ θ : V × K r → p−1 (V ) ein Diffeomorphismus. Damit ist ϕ nach
§2.Lemma 22.(b) ein lokaler Diffeomorphismus und nach §2.Lemma 22.(c.2) ist ϕ :
U × K r → p−1 (U ) sogar ein Diffeomorphismus. Damit ist ϕ eine lokale Trivialisierung
von E und wegen ϕ(x, ej ) = Bj (x) für alle 1 ≤ j ≤ r, x ∈ U sind B1 , . . . , Br die zu
dieser Trivialisierung gehörenden Basisfelder.
(b) Seien U ⊆ M in M offen und ϕ : U × K r → p−1 (U ) eine lokale Trivialisierung ds
Vektorbündels E. Bezeichne B1 , . . . , Br ∈ Γ∞ (U ; E) diePBasisfelder von ϕ. Definieren
wir dann die Funktion a1 , . . . , ar : U → K durch s(x) = rj=1 aj (x)Bj (x) für alle x ∈ U ,
so haben wir für jedes x ∈ U auch s(x) = ϕ(x, (aj (x))1≤j≤r ), in der Notation des Lemma
9 ist also sϕ (x) = (aj (x))1≤j≤r für jedes x ∈ U , d.h. sϕ = (aj )1≤j≤r . Insbesondere ist
nach §2.Lemma 34.(h) genau dann sϕ ∈ C q (U, K r ) wenn aj ∈ C q (U, K) für jedes
1 ≤ j ≤ r gilt. Mit §2.Lemma 9.(b) folgen damit alle Behauptungen.
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Für auf einer offenen Teilmenge U ⊆ M definierte Schnitte gilt Teil (b) des Lemmas
dann analog, indem wir das Lemma auf das Vektorbündel p|p−1 (U ) : p−1 (U ) → U
anwenden.
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