„Computeralgebra“

Prof. Dr. T. de Jong
M. Pauly
2. Übung zur Vorlesung
„Computeralgebra“
im Sommersemester 15
Aufgabe 1: (3 Punkte)
Benutzen Sie den Fermat-Test und den Miller-Rabin-Test, jeweils zur Basis 2, um 1729 auf
Primalität zu testen.
Hinweis: Sie dürfen einen Computer zur Berechnung der Potenzen verwenden, z.B. MuPAD
berechnet an mod p z.B. mit dem Befehl powermod(a,n,p) .
Aufgabe 2: (3 + 2 Punkte)
(a) Wie kann man einen nichttrivialen Faktor von n finden, wenn n zur Basis b eine Pseudoprimzahl aber keine starke Pseudoprimzahl ist?
(b) Bestimmen sie auf diese Weise einen Faktor von 1729.
Aufgabe 3: (2 + 4 + 2 Punkte)
(a) Sei n eine quadratfreie Zahl. Zeigen Sie, dass n genau dann eine Carmichael-Zahl ist,
wenn p − 1|n − 1 für jeden Primteiler p von n gilt.
(b) Finden Sie alle Carmichael-Zahlen der Form 3pq für Primzahlen p und q.
(c) Welche der Zahlen 6601 und 9139 ist eine Carmichael-Zahl? Sie dürfen einen Computer
verwenden um die Zahlen zu faktorisieren.
Aufgabe 4: (2 + 2 + 1 Punkte)
Sei n eine zusammengesetzte Zahl. Zeigen Sie:
(a) n ist genau dann eine Pseudoprimzahl zur Basis b, wenn die Ordnung von b in (Z/nZ)∗
die Zahl n − 1 teilt.
(b) Die Menge B := b ∈ {1, . . . , n − 1} n ist Pseudoprimzahl zur Basis b ist eine Untergruppe von (Z/nZ)∗ .
(c) Falls der Fermat-Test zur lBasis b1 die
m Zahl n als zusammengesetzt entlarvt, dann gelingt
|(Z/nZ)∗ |
ihm dies mit mindestens
Basen.
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Aufgabe 5: (3 Punkte)
Sei n eine Pseudoprimzahl zur Basis 2. Zeigen Sie N := 2n − 1 ist eine starke Pseudoprimzahl
zur Basis 2.
Abgabe am Donnerstag, den 7.5. um 12 Uhr.