41. Sei ˜p ∈ N ungerade und ˜p− 1=2 uv (v ungerade). Dann heißt

41. Sei p̃ ∈ N ungerade und p̃ − 1 = 2u v (v ungerade). Dann heißt p̃ starke Pseudoprimzahl
r
zur Basis b, wenn bv ≡ 1 mod p̃ oder bv2 ≡ −1 mod p̃ für ein r mit 0 ≤ r < u. Man zeige,
dass jede Primzahl p starke Pseudoprimzahl zur Basis b für jedes b ∈ {1, 2, . . . , p − 1}
ist.
42. Für mindestens drei Viertel aller Auswahlen von n und b, wobei n ∈ N ungerade, n
keine Primzahl und b ∈ {2, . . . , n − 1}, ist n keine starke Pseudoprimzahl zur Basis b.
Um zu prüfen, ob eine ungerade Zahl n ∈ N Primzahl ist, wählt man zufällig k Zahlen
aus {2, 3, . . . , n − 2} und prüft für jede der ausgewählten Zahlen, ob n eine starke
Pseudoprimzahl bzgl. dieser Zahl ist. Ist dies nicht der Fall, so ist n sicher zerlegbar.
Wenn ja, so ist n eine Primzahl mit der Fehlerwahrscheinlichkeit < 4−k (Rabin-Test).
Mit Hilfe des Rabin-Tests prüfe man nach, ob mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit < 1/100
(i) die Zahl 13, (ii) die Zahl 29 eine Primzahl ist.
43. Man beweise den Chinesischen Restsatz: Sind m1 , m2 , . . . , mn paarweise teilerfremde
natürliche Zahlen, dann ist das System der Kongruenzen
x = a1 mod m1 ,
x = a2 mod m2 ,
...,
x = an mod mn
für beliebige ganze Zahlen a1 , a2 , . . . , an lösbar und es gilt: Ist u eine beliebige Lösung,
so ist die Gesamtheit aller Lösungen gegeben durch die Zahlen x mit x = u mod (m1 ·
m2 · . . . · mn ).
44. Man beweise: Eine rein quadratische Kongruenz x2 = a mod m mit ggT(a, m) = d =
e2 f , wo f quadratfrei ist, ist genau dann lösbar, wenn ggT(f, m/d) = 1 und f · a/d ein
quadratischer Rest mod(m/d) ist.
45. Man überprüfe, ob 138 ein quadratischer Rest mod 493 ist.
46. Man zeige, dass für jede ungerade Zahl a gilt:
(a) x2 = a mod 2 hat mod 2 genau eine Lösung.
(b) x2 = a mod 4 ist genau dann lösbar, wenn a = 1 mod 4, und die Kongruenz besitzt
in diesem Fall genau zwei mod 4 inkongruente Lösungen.
(c) x2 = a mod 8 ist genau dann lösbar, wenn a = 1 mod 8, und die Kongruenz besitzt
in diesem Fall genau vier mod 8 inkongruente Lösungen.
47. Sei p eine ungerade Primzahl, und seien a, b ∈ Z zu p teilerfremd. Man zeige, dass dann
gilt:
(a) Aus a ≡ b mod p folgt ap = pb .
= ap · pb
(b) ab
p
2 (c) ap b = pb
p−1
(d) −1
= (−1) 2
p
48. Man bestimme sämtliche Lösungen der Kongruenz x2 = 81 mod 247.
49. Desgleichen verfahre man für die Kongruenz x2 = 82 mod 143.
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