Theoretische Physik III (Elektrodynamik)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
10. Mai 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 9 vom 7.5.2013
Beispiel: Randbedingung auf Kugel mit Radius R
• Betrachte Randbedingung der Form
!
φ(r = R, θ) = V (θ) =
∞
X
V` P` (cos θ) ,
`=0
ohne weitere Ladungen innerhalb der Kugel.
• Damit φ regulär bei r → 0 ist, müssen alle B` = 0 sein.
Die Randbedingungen sind dann erfüllt für
Z 1
2` + 1 1
`
A` = V` /R =
d cos θ P` (cos θ) V (θ) .
2 R` −1
(1)
Beispiel: Punktladung bei ~x0
Behauptung:
∞
`
X
r<
1
=
P (cos θ) ,
`+1 `
|~x − ~x0 |
r
>
`=0
(2)
wobei θ den Winkel zwischen ~x und ~x0 bezeichnet, und als Abkürzung die Notation
r< = min(|~x|, |~x0 |) ,
r> = max(|~x|, |~x0 |)
(3)
eingeführt wurde. Beweis:
• O.B.d.A. lege ~x0 in die x3 -Richtung, so dass θ gerade der Polarwinkel ist. Damit gilt
gemäß unserer allgemeinen Überlegungen (Azimuthalsymmetrie)
∞
X
1
`
−(`+1)
=
A
r
+
B
r
P` (cos θ) .
`
`
|~x − ~x0 |
`=0
1
(4)
• Speziell bei θ = 0 gilt P` (1) = 1 und |~x − ~x0 | = |r − r0 |. Je nachdem, welcher der
beiden Beträge größer ist, können wir entwickeln (geometrische Reihe)
∞ `
∞
X
1
1 X r0
0
Falls r > r :
=
=
(r0 )` r−(`+1)
|r − r0 |
r `=0 r
`=0
(d.h. A` = 0 und B` = (r0 )` )
(5)
∞
∞
1 X r ` X ` 0 −(`+1)
1
0
= 0
=
Falls r < r :
r (r )
|r − r0 |
r `=0 r0
`=0
(d.h. A` = (r0 )−(`+1) und B` = 0)
(6)
Das wird gerade durch obige abkürzende Schreibweise reproduziert.
• Entsprechend ergibt Legendre-Entwicklung der dazugehörigen Greenschen Funktion
∞
`
1 X r<
1
P (cos θ)
=
−
G0 (~x, ~x ) = −
`+1 `
4π |~x − ~x0 |
4π `=0 r>
0
(7)
Das singuläre Verhalten bei ~x = ~x0 wird dabei auf der rechten Seite durch die Tatsache
reproduziert, dass die geometrische Reihe für r = r0 nicht konvergiert.
Allgemeiner Fall (keine Azimuthalsymmetrie, m 6= 0)
Für die Lösung der verallgemeinerten Legendre-Gleichung,
m
d
m2
2 dP` (x)
(1 − x )
+ `(` + 1) −
P m (x) = 0 ,
dx
dx
1 − x2 `
(8)
ergeben sich die sog. “assoziierte Legendre-Polynome”, welche sich aus den gewöhnlichen
Legendre-Polynomen konstruieren lassen, gemäß,
m > 0 : P`m (x) = (−1)m (1 − x2 )m/2
−m < 0 : P`−m (x) = (−1)m
dm
P` (x) ,
dxm
(` − m)! m
P (x) .
(` + m)! `
(9)
• Reguläre Lösungen für x ∈ [−1, 1] erhält man nur, falls
m = −`, −` + 1, . . . , 0, 1, . . . , ` − 1, `
d.h. für gegebenes ` gibt es (2` + 1) mögliche Werte von m.
Fasse Winkelabhängigkeit zu sog. “Kugelflächenfunktionen” (“spherical harmonics”)
zusammen,
1/2
2` + 1 (l − m)!
m
(10)
Y` (θ, ϕ) =
P`m (cos θ) eimϕ ,
4π (l + m)!
2
so dass die Y`m “Eigenfunktionen” des Winkelanteils des Laplace-Operators sind,
1
1
m
m
m
2
˜ Y` (θ, ϕ) :=
∆
∂θ (sin θ∂θ ) +
2 ∂ϕ Y` (θ, ϕ) = −`(` + 1) Y` (θ, ϕ) (11)
sin θ
sin θ
Eigenschaften:
• Komplexe Konjugation:
Y`−m (θ, ϕ) = (−1)m (Y`m (θ, ϕ))∗ .
(12)
• Normierung:
Z
2π
Z
1
0
= δ``0 δmm0 .
d cos θ (Y`m (θ, ϕ))∗ Y`m
0 (θ, ϕ)
dϕ
(13)
−1
0
Vollständigkeit:
∞ X
`
X
(Y`m (θ, ϕ))∗ Y`m (θ0 , ϕ0 ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos θ − cos θ0 ) ≡ δ (2) (Ω − Ω0 ) .
`=0 m=−`
(14)
D.h. jede Funktion f (θ, ϕ) kann nach Kugelflächenfunktionen entwickelt werden.
• Explizit:
1
` = 0 : Y00 = √ .
4π
3
3
1
` = 1 : Y1 = − √
sin θ eiϕ , Y10 = √
cos θ , . . .
4πr
r8π
1 15
15
sin2 θ e2iϕ , Y21 = −
sin θ cos θ eiϕ ,
` = 2 : Y22 =
4 2π
8π
r
Y20
=
5
4π
3
1
cos2 θ −
2
2
Somit lautet die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
φ(r, θ, ϕ) =
∞ X
`
X
A`m r` + B`m r−(`+1) Y`m (θ, ϕ) ,
`=0 m=−`
wobei die Koeffizienten A`m und B`m wieder aus den Randbedingungen und Betrachtungen
zur Regularität/Stetigkeit der Lösungen zu bestimmen sind.
• Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen:1
`
X
∗
Y`m
(θ0 , ϕ0 )Y`m (θ, ϕ) =
m=−`
1
Einen Beweis findet man z.B. in [Jackson, Kap. 3.6].
3
2` + 1
P` (cos γ) ,
4π
(15)
,
...
wobei γ der Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren ~er (θ, ϕ) und ~e0r (θ0 , ϕ0 )
ist, d.h. obige Gleichung lässt sich auch lesen als
`
X
0
∗
Y`m
(~er )Y`m (~er ) =
m=−`
2` + 1
0
P` (~er · ~er ) ,
4π
(16)
• Damit lässt sich die Greensche Funktion G0 (~x, ~x0 ) in Kugelkoordinaten für allgemeine
Richtungen von ~x und ~x0 ausdrücken:
∞ X
`
`
X
r<
1
1
=
−
Y ∗ (θ0 , ϕ0 ) Y`m (θ, ϕ) . (17)
G0 (~x, ~x ) = −
`+1 `m
4π |~x − ~x0 |
2`
+
1
r
>
`=0 m=−`
0
Multipolentwicklung
Betrachte (kompakte) Ladungsverteilung ρ(~x0 ) in großem Abstand |~x| |~x0 |.
Ziel: Systematische Klassifizierung der Abweichung von idealer symmetrischer Kugelform.
• Ausgangspunkt:
Z
φ(~x) =
q
1
≈ + O(r0 /r)
d3 x0 ρ(~x0 )
0
|~x − ~x |
r
{z
} | {z }
|
=q
≈ 1/|~x| = 1/r
(18)
• Entwicklung des Coulomb-Terms in kartesischen Koordinaten liefert (vgl. Übung)
φ(~x) =
xi xj
q Pi x i 1
+ 3 + Qij 5 + . . .
r
r
2
r
(19)
mit
Z
Z
Qij =
q = d3 x0 ρ(~x0 )
Z
Pi = d3 x0 x0i ρ(~x0 )
:
Ladung (“Monopol”)
(20)
:
“Dipolmoment” (Vektor)
(21)
d3 x0 3x0i x0j − (r0 )2 δij ρ(~x0 )
:
“Quadrupolmoment” (Tensor) (22)
• Alternativ: Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen (für r = r> > r0 = r< ) liefert
φ(~x) =
∞ X
`
X
1
4π
Y`m (θ, ϕ) q`m ,
`+1
2` + 1 r
`=0 m=−`
Z
mit “sphärischen Multipolen”: q`m =
(entspricht gerade B`m =
4π
2`+1
∗
d3 x0 ρ(~x0 ) (r0 )` Y`m
(θ0 , ϕ0 ) (24)
q`m und A`m = 0 in allgemeiner Zerlegung).
4
(23)