Elementare Begriffe

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Elementare Begriffe
In diesem Kapitel werden Mengen, reelle Zahlen und Funktionen eingeführt, die als
Grundlage für die späteren Themen gebraucht werden.
1.1 Mengen
Definition 1.1 Eine Menge ist die Zusammenfassung von gewissen Objekten, Elemente
genannt, zu einer Einheit.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben:
a) aufzählende Form:
M D fa1 ; a2 ; : : : ; an g
(endliche Menge)
M D fa1 ; a2 ; a3 ; : : :g
(unendliche Menge)
b) durch Eigenschaften:
M D fx j x besitzt verschiedene Eigenschafteng „|“ bedeutet „sodass“.
Beispiele
M D f1; 2g;
M D N D f0; 1; 2; 3; : : :g die natürlichen Zahlen,
M D Z D f: : :2; 1; 0; 1; 2 : : :g die ganzen Zahlen;
M D fx j x ist eine natürliche Zahl mit 1 < x 5g
D f2; 3; 4; 5g;
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
M. Chipot, Mathematische Grundlagen der Naturwissenschaften, Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-662-47088-6_1
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1 Elementare Begriffe
M D fx j x ist eine natürliche Zahl mit x 2 C 4 D 0g
D ; die leere Menge.
Falls a ein Element von M ist, schreibt man a 2 M (a gehört zu M ). Falls a kein
Element von M ist, schreibt man a … M (a gehört nicht zu M ).
Beispiele
1 2 fx 2 Z j x 2 D 1g D f1; 1g;
2 … fx 2 Z j x 2 D 1g:
Abkürzungen Die folgenden Abkürzungen werden verwendet, um Aussagen prägnanter
und kürzer aufzuschreiben:
8 W für alle;
9 W es existiert;
9Š W es existiert genau ein:
Beispiele
8 x 2 f1; 1g
gilt
x 2 D 1;
9x 2 N
mit
x2 D 1
.nämlich x D 1/;
mit
x D1
(es existiert ein einziges Element x 2 N, sodass
9Šx 2 N
2
x 2 D 1/:
Definition 1.2 A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A zur Menge B
gehört. Die symbolische Schreibweise lautet A B (A ist in B enthalten):
AB
,
.a 2 A
)
a 2 B/
(, bedeutet „genau dann, wenn“, ) bedeutet „impliziert“).
Man kann die Menge mit einem Diagramm darstellen (siehe Abb. 1.1):
Beispiele A D f1; 2g;
B D f1; 2; 3g;
C D f3; 4g
A B;
C 6 B;
da 4 … B
(C ist nicht in B enthalten):
1.2
Mengenoperationen
3
Abb. 1.1 Euler-VennDiagramm
A
B
Definition 1.3 Zwei Mengen A, B heißen gleich, wenn jedes Element von A ein Element
von B ist und umgekehrt:
ADB
,
A B und B A
(A gleich B):
Beispiele
f1; 1g D fx 2 Z j jxj D 1g
(siehe Paragraf 1.3 für die Definition von j j)
f1; 2; 3g D f3; 2; 1g:
1.2 Mengenoperationen
In diesem Abschnitt beschreiben wir kurz, wie man mit Mengen rechnen kann. Wir führen
Schnittmenge, Vereinigungsmenge und Differenzmenge ein.
Definition 1.4 Die Schnittmenge A \ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller
Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören:
A \ B D fx j x 2 A und x 2 Bg (gelesen: A geschnitten mit B);
A \ B ist der Durchschnitt der Mengen A, B (siehe Abb. 1.2).
Beispiele A D fx 2 N j x > 4g,
B D fx 2 N j x 6g;
A \ B D fx 2 N j 4 < x 6g D f5; 6g:
Definition 1.5 Die A [ B zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die zu A
oder zu B oder zu beiden Mengen gehören:
A [ B D fx j x 2 A oder x 2 Bg (gelesen: A vereinigt zu B):
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Abb. 1.2 Durchschnitt der
Mengen A, B
A
B
A
B
Abb. 1.3 Differenzmenge
AnB
B
A
Beispiele
A D f1g;
B D f0; 2; 3g;
A [ B D f0; 1; 2; 3g;
A D f1g;
B D f1; 2g;
A [ B D f1; 2g;
A D fx 2 Z j jxj 4g;
B D fx 2 Z j jxj < 6g;
A [ B D Z:
Definition 1.6 Die Differenzmenge A n B zweier Mengen A und B ist die Menge aller
Elemente von A, die nicht zu B gehören (siehe Abb. 1.3). (A n B wird A ohne B gelesen.)
Beispiele
A D f1; 1; 2g;
B D f1; 2g;
A n B D f1g;
A D fx 2 Z j x 4g;
B D fx 2 Z j jxj < 7g A n B D fx 2 Z j x 7g;
N D f0; 1; 2; 3 : : :g;
N D f1; 2; 3; : : :g;
N D N n f0g:
1.3
Die Menge der reellen Zahlen
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1.3 Die Menge der reellen Zahlen
In diesem Abschnitt führen wir die Zahlen ein, mit denen wir rechnen. Dies sind die
reellen Zahlen.
Definition 1.7 Eine reelle Zahl ist ein Dezimalbruch
˙a1 a2 a3 : : : ap ; b1 b2 : : :
mit ai ; bi 2 f0; : : : ; 9g:
Beispiele
1
;
10
2
1
2
1
C
D
C 2;
0;12 D
10
100
10
10
10;12 D 1 10 C 1 100 C 1 101 C 2 102 ;
0;1 D
a1 a2 a3 ; b1 b2 b3 b4 D a1 102 C a2 10 C a3 C b1 101 C b2 102 C b3 103
C b4 104
: : : und so weiter:
Es kann sein, dass die Entwicklung unendlich ist:
D 3;14116 : : : ;
1
D 0;333 : : :
3
Bezeichnung: Die Menge der reellen Zahlen ist mit R bezeichnet.
Beispiele N R, Z R,
Q D fp=q j p; q 2 Z; q 6D 0g ist die Menge der rationalen Zahlen;
Q R;
1
D 0;5;
2
1
D 0;33333 : : : ;
3
Man kann R als die Punkte einer Geraden darstellen. Rechts von null sind die positiven
Zahlen, links die negativen Zahlen (siehe Abb. 1.4).
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–0,75
Abb. 1.4 Zahlengerade
–2
–1
0,5
0
1
2
0,75
Auf R sind vier Operationen definiert:
C
:
eine Addition,
eine Subtraktion (Umkehrung der Addition),
eine Multiplikation,
eine Division (Umkehrung der Multiplikation).
Wir nehmen das Beispiel der Addition: 1;14 C 1;17 D 2;31.
1;14 C 1;17 D .1 100 C 1 101 C 4 102 / C .1 100 C 1 101 C 7 102 /
D .1 100 C 1 100 / C .1 101 C 1 101 / C .4 102 C 7 102 /:
Wir bemerken, dass:
4 102 C 7 102 D 11 102 D 10 102 C 1 102 D 1 101 C 1 102
1;14 C 1;17 D 2 100 C 2 101 C 1 101 C 1 102
)
D 2 100 C 3 101 C 1 102 D 2;31:
Deshalb kann man eine Addition für reelle Zahlen mit endlicher Entwicklung definieren.
Bei Zahlen mit einer unendlichen Entwicklung geht das nicht – aber es gilt
a1 a2 : : : ap ; b1 b2 : : : bq bqC1 : : : D a1 a2 : : : ap ; b1 : : : bq C 0;0 : : : 0bqC1 bqC2 : : : ;
und die Zahl
0;0 : : : 0bqC1 bqC2 : : : 1
10q
wird sehr klein für große q. Man kann dann
a1 a2 : : : ap ; b1 b2 : : : bq : : : mit a1 a2 : : : ap ; b1 b2 : : : bq
näherungsweise identifizieren. So geht beispielsweise ein Computer vor.
Eigenschaften dieser Operationen
a C b; a b; a b; a W b 2 R 8 a; b 2 R (b 6D 0 für die Division),
1.3
Die Menge der reellen Zahlen
7
Addition und Multiplikation sind kommutative Operationen:
aCb DbCa
8 a; b 2 R;
ab Dba
8 a; b 2 R:
Addition und Multiplikation sind assoziative Operationen:
a C .b C c/ D .a C b/ C c
8 a; b; c 2 R;
a .b c/ D .a b/ c
8 a; b; c 2 R:
0; 1 sind neutrale Elemente von Additionen und Multiplikationen:
0Ca Da
8 a 2 R;
1a Da
8 a 2 R:
Existenz von inversen Elementen:
a C .a/ D 0 8 a 2 R;
1
a D 1 8 a 6D 0; a 2 R;
a
1
sind die inversen Elemente von a.
a;
a
Distributivität: a .b C c/ D a b C a c.
Eine Menge mit zwei Operationen, bezeichnet mit C, , die diese Eigenschaften erfüllen,
ist ein Körper. Wir werden a b als ab schreiben.
Beispiel Weshalb gilt
1
3
D 0;333. . . ?
3
3
3
C 2 C 3 C ;
10
10
10
3
1
1
D
1C
C 2 C :
10
10
10
0;333 : : : D
Für a < 1 gilt
.1 a/.1 C a C C / D 1 a C a a2 C a2 D 1;
1
1 C a C a2 C D
1a
und dann
0;33 : : : D
3 1 3 10
1
D
:
D :
1
10 1 10
10 9
3
8
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Abb. 1.5 Anordnung der Zahlengeraden
a<b
a
b
a=b
a gleich b
a b
a>b
b
a kleiner b
a
a größer b
Anordnung
Seien a; b 2 R. Dann stehen diese Zahlen in einer der folgenden Relationen:
a b;
,
a kleiner oder gleich b
,
a < b oder a D b;
a b;
,
a größer oder gleich b
,
a > b oder a D b:
Auf der Zahlengeraden (siehe Abb. 1.5).
Rechenregeln der Anordnung
Achtung!
8 a; b; c 2 R
a<b
)
a C c < b C c;
8 a; b; c 2 R
c > 0; a < b
)
ac < bc:
6)
1<2
Absolutbetrag einer Zahl
jaj D
.1/1 < .1/2 d. h. 1 < 2:
8
<a
falls a > 0;
:a
falls a 0:
Beispiel j 1j D .1/ D 1
Satz 1.1
ja C bj jaj C jbj 8 a; b 2 R;
ja bj D jaj jbj
8 a:b 2 R:
Beweis Es gilt a jaj 8 a 2 R. Dann folgt
a C b jaj C jbj
)
.a C b/ D a C b j aj C j bj D jaj C jbj
)
ja C bj jaj C jbj:
1.3
Die Menge der reellen Zahlen
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Teilmengen von R
Hier werden einige wichtige Teilmengen der reellen Zahlen erläutert:
N Z Q R.
Intervalle
– endliche Intervalle .a < b/
Œa; b D fx j a x bg abgeschlossenes Intervall;
Œa; b/ D fx j a x < bg halbabgeschlossenes Intervall;
.a; b D fx j a < x bg halbabgeschlossenes Intervall;
.a; b/ D fx j a < x < bg offenes Intervall.
– unendliche Intervalle
Œa; C1/ D fx j a xg;
.a; C1/ D fx j a < xg;
.1; b/ D fx j x < bg;
.1; b D fx j x bg;
.1; 0/ D R ;
.0; C1/ D RC ;
.1; C1/ D R:
Abb. 1.6 Zahlenebene
(1,3)
3
2
(2,2)
1
0
(3,1)
1
2
(1.5,–1)
3
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Zahlenebene
Die Zahlenebene ist definiert durch:
R R D kartesisches Produkt von R mit R
D f.a; b/ j a; b 2 Rg
D Menge der Paare von Elementen von R:
Darstellung
In Abb. 1.6 werden die Elemente der Zahlenebene grafisch dargestellt (siehe Abb. 1.6).
.1;3/ 6D .3;1/, .a; b/ 6D .b; a/.
1.4 Funktionen
In diesem Abschnitt behandeln wir Funktionen. Dies sind Abbildungen, die sehr wichtig
für die späteren Kapitel sind.
Einführung
Definition 1.8 A, B seien Mengen. Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem a 2 A
ein eindeutiges Element b 2 B zuordnet, das dann mit f .a/ bezeichnet wird.
Schreibweise:
f W
A!B
a 7! f .a/:
Beispiele
1. A D fa1 ; a2 ; a3 g; B D fb1 ; b2 ; b3 ; b4 g.
f .a1 / D b1 ; f .a2 / D b1 ; f .a3 / D b2 , (siehe Abb. 1.7).
2. A D R, B D Œ0; C1/ f .a/ D a2 .
Abb. 1.7 Abstrakte Abbildung
oder Funktion
b1
b2
b3
a1
a2
a3
b4
http://www.springer.com/978-3-662-47087-9