Diedergruppe Dn -Sophiane Yahiatene

Diedergruppe Dn
-Sophiane YahiateneDie Diedergruppe Dn beschreibt alle Symmetrietransformationen des regelmäßigen
ebenen n-Ecks. Konkret bedeutet dies, dass sie aus Spiegelabbildungen und Rotationsabbildungen besteht.
Definition & Lemma(1): Bezeichne die Drehungen um den Ursprung um den Winkel
α ∈ [0◦ , 360◦ [ mit Rα . Es gilt Rα (x, y) = (x · cos(α) − y · sin(α), x · sin(α) + y · cos(α)).
Beweis. Die Abbildungen Rα sind linear, d.h. es gilt
Rα (u, v) + Rα (w, x) = Rα (u + w, v + x) ∀(u, v), (w, x) ∈ R2 .
Betrachte nun
Rα (1, 0) = (cos(α), sin(α))
Rα (0, 1) = (cos(90◦ + α), sin(90◦ + α)) = (−sin(α), cos(α)),
wobei die letzte Gleichung aus den Additionstheoremen (Bemerkung 18.6) hervorgeht.
Da die Länge des Vektors invariant unter Drehungen ist, gilt daher
x · Rα (1, 0) = Rα (x, 0) = (x · cos(α), x · sin(α))
y · Rα (0, 1) = Rα (0, y) = (y · cos(90◦ + α), y · sin(90◦ + α)) = (−y · sin(α), y · cos(α)).
Insgesamt gilt dann für eine Rotationsabbildung
Rα (x, y) = Rα (x, 0) + Rα (0, y) = (x · cos(α), x · sin(α)) + (−y · sin(α), y · cos(α))
= (x · cos(α) − y · sin(α), x · sin(α) + y · cos(α)).
◦
Definition(2): Sei β := 180
n und gi die Ursprungsgeraden, die mit der x-Achse den
Winkel i · β einschließen, wobei i ∈ {0, 1, ..., n − 1} gilt. Bezeichne nun Sgi die Spiegelabbildungen, die das reguläre n-Eck in sich selbst überführt, d.h. die Spiegelung an
der Gerade gi .
Lemma(3): Sei Sg0 die Spiegelung an der x-Achse, d.h. Sg0 (x, y) = (x, −y) und g
eine Ursprungsgerade, die mit x-Achse den Winkel α einschließt. Es gilt nun
Sg (x, y) = (Rα ◦ Sg0 ◦ R−α )(x, y)
= (Rα ◦ Sg0 )(x · cos(−α) − y · sin(−α), x · sin(−α) + y · cos(−α))
= Rα (x · cos(α) + y · sin(α), x · sin(α) − y · cos(α))
= (x · sin(2α) + y · sin(2α), x · sin(2α) − y · cos(2α)),
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wobei die letzte Gleichheit durch den Satz des Pythagoras und der Additionstheoreme
zu erklären ist.
Durch eine geignete Wahl des Koordinatensystems, d.h. eine Spiegelachse ist gerade die
x-Achse, gilt für beliebige Spiegelungen Sg und Sh , welche den Winkel α einschließen
(Sg ◦ Sh )(x, y) = Sg (x, −y) = (x · sin(2α) − y · sin(2α), x · sin(2α) + y · cos(2α)).
Diese Verknüpfung ist also eine Drehung um den Ursprung um den Winkel 2α.
Lemma(4): Sei g eine Ursprungsgerade, die den Winkel α mit der x-Achse einschließt
und Sg die dazugehörige Achsenspiegelung. Sei β ein Winkel und R2β die Drehung um
den Ursprung um 2β. Damit gilt
(R2β ◦ Sg )(x, y) = R2β (x · sin(2α) + y · sin(2α), x · sin(2α) − y · cos(2α))
= (x · sin(2α + 2β) + y · sin(2α + 2β), x · sin(2α + 2β) − y · cos(2α + 2β)).
Das heißt, dass R2β ◦ Sg eine Spiegelung an der Urprungsgeraden ist, die den Winnkel
α + β mit der x-Achse einschließt.
Analog beweist man, dass Sg ◦ R2β eine Spiegelung an der Urprungsgeraden ist, die
den Winnkel α − β mit der x-Achse einschließt.
Diedergruppe: Die Diedergruppe Dn ist eine Gruppe, welche die Gestalt
Dn = Rn ∪ {Sg0 , Sg1 , ..., Sgn−1 , }
hat. Die Abgeschlossenheit dieser Menge bzgl. der Komposition wurde in Lemma(3)
und Lemma(4) bewiesen. Die übrigen Gruppenaxioame sind klar.
Für n ≥ 3 ist sie nicht kommutativ.
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