Folie 1 Nun etwas zur Bildung des kleinsten gemeinsamen

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Folie 1
Nun etwas zur Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten
gemeinsamen Teilers. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist hilfreich für
das Ordnen und Vergleichen von Brüchen und die Addition und Subtraktion von
Brüchen. In unserem Beispiel bilde ich das kgV von 15 und 18. Als erstes bilde
ich Vielfachenmengen. Dies erfolgt durch Multiplizieren der gewünschten Zahl
mit 1, 2, 3 und so weiter. Ich mache dies für 15 und erhalte als erste Vielfache
15, 30, 45, 60, 75, 90 und 105 und bei der 18 erhalte ich die Vielfachemenge,
deren erste Elemente die 18, 36, 54, 72, 90, 108 und 126 sind. Jetzt schaue
ich, welche kleinste Zahl in beiden Vielfachenmengen gleich sind. Dies ist die
90. Somit ist das kgV von 15 und 18 90.
Als nächstes ermittle ich das kgV durch eine kombinierte Multiplikation und
Division. Ich vervielfache die größere Zahl so lange, bis die kleinere Zahl ganz
hineinpasst. 18 mal 1 sind 18. Ich dividiere 18 durch 15, das Ergebnis ist 1
Rest 3. Dann multipliziere ich 18 mit 2, das Ergebnis ist 36. 36 geteilt durch 15
ist 2 Rest 6. Als nächstes nehme ich 18 mit 3 mal. Das Ergebnis ist 54. Bei der
Division durch 15 kommt 3 Rest 9 heraus. 18 mit 4 mal genommen ergibt 72,
die Division durch 15 ergibt 4 Rest 12 und 18 mal 5 sind 90. 90 geteilt durch
15 sind 6. Es bleibt kein Rest. Somit habe ich das kgV ermittelt, es ist 90.
Als dritte Möglichkeit zeige ich dir die Primfaktorenzerlegung. Eine Primzahl ist
eine natürliche Zahl, die nur 1 und sich selbst als Teiler hat. Die Primzahlen
unter 20 sind die 2, das ist die einzige gerade Primzahl, dann die 3, die 5, die
7, die 11, die 13, die 17 und die 19. Alle anderen Zahlen unter 20 haben mehr
als 2 Teiler. Ich zerlege die 15 in 3 mal 5 und habe bereits jetzt eine
vollständige Primfaktorenzerlegung durchgeführt. Die Lücken habe ich
gelassen, damit nachher gleiche Primzahlen untereinander stehen.
Aufgrund der Teilbarkeitsregeln dividiere ich die 18 erst einmal durch 2. 18
geteilt durch 2 ist 9. Ich zerlege die 9 noch einmal in 3 mal 3. Um das kgV zu
ermitteln, benötige ich alle Faktoren, die durch die Primfaktorenzerlegung
entstanden sind, das heißt, da die 3 zweimal auftritt, muss sie auch zweimal
im kgV enthalten sein, aber nicht mehr als das. Der Primfaktor 3, der in der 15
enthalten ist, wird nicht noch einmal aufgeschrieben. Somit sind die
notwendigen Primfaktoren für das kgV die 2, zweimal die 3 und die 5. Das
Ergebnis ist 90.
Jetzt zur Bildung des größten gemeinsamen Teilers. Das ist hilfreich für das
schnelle und vollständige Kürzen von Brüchen und die Ermittlung des
Basiswertes beim Dreisatz - das ist ein Thema, das meistens in der siebten
Klasse behandelt wird. Im Beispiel möchte ich den ggT von 36 und 48
bestimmen. Zunächst einmal bilde ich Teilermengen. Die Teiler von 36 sind 1,
2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36, die Teiler von 48 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24
und 48. Die größte Zahl, die in beidenTeilermengen vorhanden ist, ist die 12.
Somit ist der ggT von 36 und 48 die 12.
Als 2. Möglichkeit kann ich beide Zahlen jeweils durch die gleiche Zahl
dividieren und zwar solange, bis die Ergebnisse teilerfremd sind. Teilerfremd
bedeutet, dass die Ergebnisse nur noch den gemeinsamen Teiler 1 haben und
keinen weiteren gemeinsamen Teiler. Aufgrund der Teilbarkeitsregeln ermittle
ich, durch welche Zahlen ich beide Zahlen teilen kann. Ich teile 36 durch 2, das
ergibt 18. 48 durch 2 gleich 24.
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Ich kann beide Zahlen auch durch 3 dividieren, die Ergebnisse sind 12 und 16,
ebenso durch 4. 36 durch 4 ist 9, 48 durch 4 ist 12 und auch durch 6, 36 durch
6 ist 6 und 48 durch 6 ist 8 sowie durch 12. 36 durch 12 ist 3 und 48 durch 12
ist 4. Die beiden Ergebnisse 3 und 4 sind teilerfremd. Der gemeinsame Teile
beider Zahlen ist nur noch die 1. Somit habe ich den ggT ermittelt. Der ggT
von 36 und 48 ist 12.
Zum Schluss auch hier die Primfaktorzerlegung. Ich zerlege 36 in 2 mal 18,
dann die 18 in 2 mal 9 und die 9 in 3 mal 3 Die 48 ist 2 mal 24, die 24 ist 2
mal 12, die 12 2 mal 6 und die 6 2 mal 3. Hier wähle ich nur die gemeinsamen
Faktoren aus. Ich habe die gleichen Faktoren untereinander geschrieben, so
dass ich es bei der Auswahl leichter habe. Die gleichen Primfaktoren, die bei
beiden Zahlen vorkommen, sind zweimal die 2 und einmal die 3. So ergibt sich
das Primfaktorenprodukt für den ggT von 36 und 48 von 2 mal 2 mal 3 und
das ist 12.
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