Anfängerpraktikum 2 SS 2011 Universtität Konstanz

Anfängerpraktikum 2 SS 2011
Universtität Konstanz
Hochfrequenzsignale &
Fresnelsche Formeln
John Schneider & Jörg Herbel
18.04.2011 & 02.05.2011
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Ziele der Versuche
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Die Kirchhoffschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . .
2. Kirchhoffsche Maschenregel . . . . . . . . .
2.2 Elektrische Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Der ohmsche Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Der kapazitive Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Der induktive Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Der komplexe Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Wellenleiter für elektromagnetsiche Wellen . . . . . . . . . . . .
Bandleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lecherleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Koaxial- und Triaxialleitungen . . . . . . . . . . .
2.5 Verhalten elektromagnetsicher Wellen in Wellenleitern . . . . . .
2.5.1 Die Feldverteilung im Koaxialkabel . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Die Wellenleitergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Verhalten elektromagnetischer Wellen an Abschlusswiderständen
2.7 Verhalten elektromagnetischer Wellen an Grenzflächen . . . . .
2.7.1 Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Reflexion und Transmission . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Die Fresnelschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Herleitung der Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Diskussion der Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexionsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transmissionsvermögen . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Spezielle Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Der Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Der Winkel der Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . .
2
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4
4
4
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5
5
6
8
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13
13
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15
15
17
18
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19
20
21
22
24
25
25
25
26
26
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
2.10 Polarisation des Lichtes . . . . .
2.10.1 Polarisatoren . . . . . .
Polarisation durch
Polarisation durch
2.11 Das Oszilloskop . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Reflexion . . . .
Doppelbrechung
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3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
3.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Impulslaufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Abhängigkeit der Reflexion vom Abschlusswiderstand . . . .
3.4 Verzweigung von Koaxialkabeln mittels Powersplitter . . . .
3.4.1 Offene Enden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Geschlossene Enden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Kurzgeschlossene Enden . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Erzeugung kurzer Pulse durch Entladung eines Koaxialkabels
4 Versuchsdurchführung zu
4.1 Aufbau . . . . . . . .
4.2 Ablauf . . . . . . . .
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31
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40
Fresnelsche Formeln“
42
”
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
5.1 Drehung der Schwingungsebene des Lichts .
5.2 Brewster-Winkel und Brechungsindex . .
5.3 Theoretische Drehung der Schwingungsebene
5.4 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . .
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45
45
45
46
49
6 Fragen und Aufgaben zum Versuch Hochfrequenzsignale“
”
51
7 Fragen und Aufgaben zum Versuch Fresnelsche Formeln“
”
52
8 Anhang
56
8.1 Messprotokolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Physikalische Grundlagen
1 Ziele der Versuche
In beiden Versuchen sollen Aspekte elektromagnetischer Wellen untersucht werden. Im
Versuch Hochfrequenzsignale“ soll insbesondere das Verhalten hochfrequenter elektro”
magnetischer Signale auf Wellenleitern untersucht werden. Solche Signale sind beispielsweise für das Fernsehen essentiell, sie ermöglichen die Informationsübertragung durch
das Antennenkabel. Speziell auf Kabel von der Art eines Antennenkabels - sogenannte
Koaxialkabel - wird in diesem Versuch näher eingegangen.
Im Versuch Fresnelsche Formeln“ soll die Gültigkeit selbiger überprüft werden. Die”
se Formeln beschreiben das Verhalten elektromagnetischer Wellen an Grenzflächen. Sie
sind benannt nach dem französischen Physiker und Ingenieur Augustin Jean Fresnel. Auch auf den Brewster-Winkel, ein spezieller Einfallswinkel, wird eingegangen,
welcher nach dem schottischen Physiker Sir David Brewster benannt ist.
2 Physikalische Grundlagen
Hinweis: Nachfolgend sind Vektoren fettgedruckt.
2.1 Die Kirchhoffschen Regeln
Meistens besteht eine elektrische Schaltung aus mehreren Leitern, welche in einem Netzwerk verbunden sind. In einem solchen Netzwerk existieren dann Verzweigungen von
Leitern, an anderen Stellen laufen Leiter in Knotenpunkten wieder zusammen. Um einzelne Leiterströme, Spannungen oder Gesamtwiderstände zu berechnen, sind folgende
von dem deutschen Physiker Gustav Robert Kirchhoff entdeckten Regeln hilfreich:
1. Kirchhoffsche Knotenregel Die Summe aller Ströme an jedem Verzweigungspunkt (Knoten) einer Schaltung ist 0, es muss also ebenso viel Ladung zu- wie abfließen:
PN
k=1 Ik = 0. Dies folgt auch daraus, dass die Ladung eine Erhaltungsgröße ist.
4
2 Physikalische Grundlagen
2. Kirchhoffsche Maschenregel In jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die
Summe aller Spannungen an den einzelnen Elementen gleich der Spannung der Quelle
P
bzw. der Summe der Spannungen der Quellen dieses Stromkreises: U0 = N
k=1 Uk .
2.2 Elektrische Widerstände
Der elektrische Widerstand gibt an, welche Spannung U angelegt werden muss, um einen
Strom einer bestimmen Stärke I durch einen Leiter fließen zu lassen. Hierbei gibt es verschiedene Arten von elektrischen Widerständen, welche von unterschiedlichen Bauteilen
verursacht werden. Außerdem muss bei der Betrachtung des elektrischen Widerstands
zwischen Gleich- und Wechselstrom unterschieden werden.
2.2.1 Der ohmsche Widerstand
Legt man einen elektrischen Leiter eine Spannung an, so fließt durch diesen ein elektrischer Strom. Die experimentelle Erfahrung hat gezeigt, dass dieser Strom I der angelegten Spannung U proportional ist: U ∝ I. Die entsprechende Proportionalitätskonstane
R heißt ohmscher Widerstand (nach dem deutschen Physiker Georg Simon ohm), es
gilt:
R=
U
, [R] = 1 Ohm = 1 Ω
I
(1)
Hierbei macht es für den ohmschen Widerstand keinen Unterschied aus, ob es sich
um einen Gleich- oder um einen Wechselstrom handelt. Für einen homognen Leiter der
Querschnittsfläche A und der Länge l berechnet sich R zu
R=%·
l
A
(2)
wobei % spezifischer Widerstand des Leitermaterials heißt und temperaturabhängig
ist, weshalb sich auch R selbst mit der Temperatur ändert. Für dünne Leiterflächen der
Dicke d und der Breite b, also A = d · b, definiert man außerdem den Flächenwiderstand
5
2 Physikalische Grundlagen
R :
R=
% l
l
· = R ·
d b
b
|{z}
(3)
:=R
Bei dieser Definition ist zu beachten, dass der Strom hierbei entlang der Leiterfläche
und nicht senkrecht zu derselben fließt. Man nennt den ohmschen Widerstand auch
Wirkwiderstand, weil er eine Wirkung im Sinne der Umwandlung von elektrischer Energie
in Wärme hervorruft: Fließt ein Strom durch einen ohmschen Widerstand, so erwärmt
sich dieser.
2.2.2 Der kapazitive Widerstand
Ein kapazitiver Winderstand tritt auf, wenn ein Kondensator in den Stromkreis eingebracht wird. Hierbei muss man im Gegensatz zum ohmschen Widerstand zwischen
Gleich- und Wechselspannung unterscheidung. Liegt eine Gleichspannung an, so kann
der Strom nur solange fließen, bis der Kondensator der Kapazität C vollständig geladen
ist. Danach wirkt derselbe als unendlicher hoher Widerstand im Stromkreis und ein weiterer Stromfluss ist nicht möglich. Liegt jedoch eine Wechselspannung Ue an, so wird der
Kondensator periodisch ge- und entladen. Es gilt, wobei Q die Ladung des Kondensators
sei:
Ue =
dUe
1 dQ
1
Q
⇒
= ·
= ·I
C
dt
C dt
C
(4)
Geht man von einer rein periodischen, maschinellen Wechselspannung der Kreisfrequenz ω aus, so kann man außerdem schreiben:
Ue = Ue (t) = U0 · cos ωt
(5)
(5) in (4) liefert:
1
d(U0 · cos ωt)
= ·I
dt
C
1
−U0 · ω · sin ωt = · I
C
I = −C · U0 · ω · sin ωt
6
(6)
(7)
(8)
2 Physikalische Grundlagen
Benutzt man nun, dass − sin x = cos(x + π2 ) gilt und dass außerdem
C · U0 · ω = konst. =: I0 ist, so erhält man:
π
I = I(t) = I0 · cos ωt +
2
(9)
Vergleicht man (5) und (9), so stellt man fest, dass Spannung und Stromstärke nicht
mehr in Phase sind, sondern um π/2 = 90° phasenverschoben:
Abbildung 1: Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis
bestehend aus einer Spannungsquelle und einem Kondensator
Diese Phasenverschiebung ist genau der Effekt eines kapazitiven Widerstands, der im
Gegensatz zum ohmschen Widerstand keine elektrische Energie in Wärme umwandelt,
sondern die Energie im System erhält. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von
einem Blindwiderstand ZC , welcher den Betrag |ZC | = U0/I0 = 1/C ω hat. Man kann diesen
Widerstand auch als komplexe Zahl interpretieren, deren Argument ϕC dem Winkel
entspricht, um den die Spannung der Stromstärke hinterherhinkt“: ϕC = −90°. Folglich
”
7
2 Physikalische Grundlagen
ist ZC eine rein imaginäre Zahl, für die gilt:
ZC = −i · |ZC | = −i ·
1
Cω
(10)
Man kann ZC auch als Vektor in der komplexen Ebene darstellen:
!(ZC )
!(ZC )
ϕc
ZC = −
i
ωC
(1)
Abbildung 2: Der kapazitive Widerstand und die Phasenverschiebung in der komplexen
Ebene
Aus dieser Darstellung kann man ablesen, das man die Phasenverschiebung auch wie
folgt darstellen kann: tan ϕC = =(ZC )/<(ZC ).
2.2.3 Der induktive Widerstand
Im Fall eines induktiven Widerstands befindet sich eine Spule der Induktivität L im
Stromkreis. Auch hier muss man zwischen Gleich- und Wechselspannung unterscheiden.
In beiden Fällen erfolgt an der Spule eine Selbstinduktion gemäß dem Faradayschen
Induktionsgesetz. Die Spule induziert eine Induktionsspannung Uind in sich selbst, welche
gemäß der Lenzschen Regel ihrer Ursache und damit der ursprünglichen Spannung entgegengesetzt ist. Handelt es sich bei dieser ursprünglichen Spannung nun um eine Gleichspannung, so nähert sich die Stromstärke asymptotisch dem Wert an, den der ohmsche
Widerstand des Stromkreises zulässt, weil die Induktionsspannung duch Hemmung der
ursprünglich angelegten Spannung ihrer eigenen Ursache entgegenwirkt und somit im
Laufe der Zeit verschwindet. Liegt jedoch eine Wechselspannung Ue = Ue (t) = U0 · cos ωt
8
1
2 Physikalische Grundlagen
an, so stellt sich genau wie beim kapazitiven Widerstand ein periodischer Verlauf von
Spannung und Stromstärke ein. Es gilt:
Ue + Uind = 0
und
=⇒ U0 · cos ωt = L ·
Uind = −L ·
dI
dt
dI
dt
U0
· cos ωt dt
L Z
U0
I=
· cos ωt dt
L
U0
· sin ωt
I=
Lω
|{z}
dI =
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
= konst. :=I0
I(t) = I0 · sin ωt
(16)
Damit beträgt die Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung bei einem
induktiven Widerstand ebenfalls 90°:
Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis
bestehend aus einer Spannungsquelle und einer Spule
9
2 Physikalische Grundlagen
Wie auch ein Kondensator wirkt eine Spule demnach als Blindwiderstand, welche
die elektromagnetische Energie im System erhält. Die Spannung liegt dabei um ϕL = 90
vor“ der Stromstärke. Dementsprechend ist der induktive Blindwiderstand ZL ebenfalls
”
eine rein imaginäre Zahl, für die gilt
|ZL | =
156
U0
=L·ω
I0
und
ZL = i · L · ω
(17)
5. Elektrotechnische Anwendungen
und welche als Vektor wie folgt dargestellt wird:
I
Im(Z)
!(ZL )
ZL = iωL
ϕL
ϕC
U, I
U
I(t)
C
Ue
U(t)
LC = i ω L
ϕL = 90°
t
(1)
Abb. 5.24. Wechselstromkreis mit Kapazität C
Re(Z)
ϕC = −90°
L
5.4.3 ϕAllgemeiner
Fall
ZC = −i / ωC
!(Z )
Abb. 5.23. Komplexe Darstellung des induktiven und des
kapazitiven Widerstandes
L in dem ein Ohmscher
An einen Wechselstromkreis,
Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet sind, wird eine äußere
Wechselspannung Ue (t) angelegt (Abb. 5.25). Nach
stand RL durch eine komplexe Zahl Z ausdrücken,
dem Kirchhoffschen Gesetz (Abschn. 2.4) muss die
deren Betrag gleich |RL | ist und deren Winkel ϕ geSumme aus äußerer Spannung Ue (t) und Induktionsgen die reelle Achse die Phasenverschiebung zwischen
spannung
−L · dI/ dt gleich dem Spannungsind =Phasenverschiebung
Abbildung
4: Der
induktive
und Udie
in der komplexen
Strom und Spannung
angibt
(Abb. 5.23). Widerstand
Da tan ϕ =
abfall U1 + U2 = I · R + Q/C an Widerstand R und
Im{Z}/ Re{Z} gilt (siehe
Bd. 1, Abschn. A.3.2), muss
Ebene
Kapazität C sein. Es gilt daher
für ϕ = 90◦ der Realteil von Z null sein.
dI Q
+ +I·R.
(5.20)
Ue = L ·
dt
C
=(ZL )/<(Z ).
Entsprechend
kann
man für den Phasenwinkel
schreiben:
tan
ϕ
=
L
L
5.4.2
Wechselstromkreis
mit Kapazität
Differentiation nach der Zeit ergibt mit dQ/ dt = I
Aus der Gleichung
U = Q/C
2.2.4 Der komplexe Widerstand
dUe
d2 I
dI
1
= L · 2 + I + R·
.
dt
dt
C
dt
Wir wählen den komplexen Lösungsansatz
Ue = U0 · eiωt ,
folgt durch zeitliche Differentiation
(5.21)
I = I0 · ei(ωt − ϕ) .
(5.22)
1 dQAbschnitt
1
dU
Jede physikalisch sinnvolle Lösung muss natürIn diesem
wird der Fall
=
= ·I .
(5.18) diskutiert, in dem die drei vorangehenden Widerlich reell sein. Wir nutzen jedoch hier die folgende
dt
C dt
C
Eigenschaft linearer
aus:
standsarten
hintereinander in Reihe geschaltet
sindDifferentialgleichungen
und eine Wechselspannung
Ue anMit Ue = U0 · cos ωt wird
Sind die Funktionen f(t) und g(t) Lösungen von
liegt,
was folgendes Schaltbild verdeutlicht:
(5.21), so ist auch jede Linearkombination a f(t) +
I = −ωC · U · sin ωt
0
= ωC · U0 · cos(ωt + 90◦ ) .
L
◦
Der Strom eilt der Spannung um 90 voraus. Der
komplexe Widerstand der Kapazität C ergibt sich
daher mit I0 = ωCU0 zu
Ue
T
U(t)
I(t)
C
U0
U
Z = = e−i π/2
I
I0
1
1
=
.
= −i
ωC
iωC
U, I
t
R
∆t = (ϕ / 2π) ⋅ T
(5.19)
Abb. 5.25. Allgemeiner Fall eines Wechselstromkreises mit
Induktivität L, Kapazität C und Ohmschem Widerstand R in
Serie
Abbildung 5: Ein ohmscher, ein kapazitiver und induktiver Widerstand in Reihe geschaltet, auch LCR-Schaltung genannt. Entnommen aus [4], S. 153.
10
1
2 Physikalische Grundlagen
Nach der in Abschnitt 2.1 erläuterten 2. Kirchhoffschen Regel gilt dann, dass die
Summe aus Ue und Uind gleich der Summe der Spannungen am Kondensator und am
ohmschen Widerstand sein muss:
dI
Q
dI Q
= + I · R ⇐⇒ Ue = L ·
+ +I ·R
dt
C
dt C
Ue − L ·
(18)
Differentiation dieser Gleichung nacht t liefert:
dUe
1
dI
d2 I
= ·I +R·
+L· 2
dt
C
dt
dt
(19)
Um diese Differentialgleichung zu lösen, wählt man den komplexen Ansatz
Ue = U0 · eiωt , I = I0 · ei(ωt+ϕ) . Setzt man in (19) entsprechend ein, so erhält man:
d I0 · ei(ωt+ϕ)
d2 I0 · ei(ωt+ϕ)
d U0 · eiωt
1
i(ωt+ϕ)
= · I0 · e
+R·
+L·
dt
C
dt
dt2
1
iω · U0 · eiωt = · I0 · ei(ωt+ϕ) + iω · R · I0 · ei(ωt+ϕ) + i2 ω 2 · L · I0 · ei(ωt+ϕ)
C
1
U0 = −i ·
· I0 · eiϕ + R · I0 · eiϕ + iω · L · I0 · eiϕ
ωC
(20)
(21)
(22)
Damit kann man den komplexen Widerstand Z definieren, für den gilt:
U
U0 iϕ (22)
·e =
Z=
=
I
I0
1
R + i · ωL −
· eiϕ
ωC
(23)
Außerdem führt man den Begriff der Impedanz ein, die als |Z| definiert ist:
1 ·
|Z| = R + i · ωL −
ωC =
s
1
R2 + ωL −
ωC
2
11
iϕ e |{z}
√
=| sin ϕ+i cos ϕ|=
(24)
sin2 ϕ+cos2 ϕ=1
(25)
2 Physikalische Grundlagen
(Z)
lässt sich
Z auch als Vektor in der sogenannten komplexen Widerstandsebene
2 Weiterhin
Physikalische
Grundlagen
2.3 Dielektrika
darstellen:
Z = ZL + ZC + R
�(Z)
1
ωL −
ZL
(1)(1)
Z = ZL + ZC + R �i
� ωC
1
i ωL−
ZL
(1)
ωC
(Z )
ZC
(1)
R ϕ
(1)
�(Z
�(Z))
ZC
(1)
R
(1)
Abbildung 6: Der komplexe Widerstand in der komplexen Widerstandsebene. Der Wirkanteil ist auf der <-,
�-, der Blindanteil auf der =-Achse
�-Achse abgetragen, durch
Vektoraddition ergibt sich daraus Z.
Für den Phasenwinkel ϕ gilt entsprechend:
tan ϕ =
11
ωL − ωC
=Z
�Z
ωC
=
<Z
R
�Z
(26)
Aus dieser Beziehung kann man ablesen, dass es möglich ist, die Schaltung so zu
konstruieren, dass keine Phasenverschiebung auftritt. Dazu muss folgende Bedingung
erfüllt sein: ϕ = 0 ⇔ tan ϕ = 0 ⇔ ωL = 1ωC
/1ωC. .
2.3 Dielektrika
Als Dielektrika bezeichnet man Stoffe,
Stoffe, welche den elektrischen Strom nicht leiten und
damit über einen hohen spezifischen Widerstand (s. Abschnitt 2.2.1) verfügen. Charakteristisch für solche
solche Stoffe
Stoffe ist
istdie
diesogenannte
Dielektrizitätskonstante
oder Permettivität
ε. Dieser
Dielektrizitätskonstante
oder Permettivität
Skalar
gibtSkalar
an, inwiefern
Stoff ein
durchlässig“
für ein elektrisches
Feld ist. Dies
ε. Dieser
gibt an, ein
inwiefern
Stoff durchlässig“
für ein elektrisches
Feldlässt
ist.
”
”
sich
am geladenen
demonstrieren,
indem ein DielektriDiesbesonders
lässt sich gut
besonders
gut amPlattenkondensator
geladenen Plattenkondensator
demonstrieren,
indem
kum
zwischen dessen
Platten
eingebracht
Dadurchwird.
sinktDadurch
die
Feldstärke
ein Dielektrikum
zwischen
dessen
Plattenwird.
eingebracht
sinkt die
elektri1 elektrische
zwischen
den Kondensatorplatten
und mit ihr die
Spannung.
jedoch die
sche Feldstärke
zwischen den Kondensatorplatten
und
mit ihr dieDaSpannung.
DaLadung
jedoch
des
Kondensators
gleich bleibt,gleich
steigtbleibt,
die Kapazität
des Kondensators.
Der Quotidie Ladung
des Kondensators
steigt dieCKapazität
C des Kondensators.
ent
der neuen
Kapazität
und der Kapazität
des Kondensators
im Vakuum
gibt die
Der aus
Quotient
aus der
neuen Kapazität
und der Kapazität
des Kondensators
im Vakuum
Cneuε
Permettivität
des eingebrachten
Stoffes an:
ε = an:
/C=
. neu
Der
Grund
für denfür
Abfall
gibt die Permettivität
des eingebrachten
Stoffes
/CVak
. Der Grund
den
VakC
Abfall der Feldstärke liegt in Ladungsverschiebungen innerhalb des Dielektrikums. Zwar
ist dieser Stoff nichtleitend, jedoch können innerhalb jedes Atoms oder Moleküls die La12
1 11
1
1
1
1
1
1
(1)
(1)
2 Physikalische Grundlagen
der Feldstärke liegt in Ladungsverschiebungen innerhalb des Dielektrikums. Zwar ist
dieser Stoff nichtleitend, jedoch können innerhalb jedes Atoms oder Moleküls die Ladungen durch das elektrische Feld des Kondensators ausgerichtet werden, wodurch diese
zu Dipolen werden. Dadurch entsteht ein dem ursprünglichen Feld entgegengerichtetes,
neues elektrisches Feld und in der Summe bleibt zwischen den Kondensatorplatten ein
resultierendes, schwächeres Feld zurück. Den Vorgang der Dipolbildung nennt man Polarisierung. Wird das Dielektrikum entfernt, kehren Feldstärke und Spannung auf die
Ausgangswerte zurück.
Für unseren Versuch zu Hochfrequenzsignalen wichtig sind Dielektrika deswegen, weil
sie in den weiter unten beschriebenen Ko- und Triaxialkabeln eingesetzt werden, hier
kommen insbesondere Kunststoffe zum Einsatz.
2
4. Versuche zur Elektrizitätslehre
2.4 Wellenleiter
für elektromagnetsiche
Wellen über die
hneller Signale erfordern,
so dass die Messleitungen
nicht mehr quasistationär“
”
ektrostatik als Leiter zu behandeln sind, sondern die volle Elektrodynamik erforderlich
Nachfolgend werden verschiedene Wellenleiter für elektromagnetische Wellen vorgestellt.
t.
Zwar ist grundsätzlich auch ein einfacher leitender Draht in der Lage, elektromagnetiWellenleiter sche Wellen zu transportieren, jedoch ist hierbei der Energieverlust sehr hoch, denn die
abgestrahlte
Leistung ist in diesem Fall der vierten Potenz der Frequenz ω proportio• parallele ideal
leitende Metallplatten:
nal. Daher benötigt
manzwischen
speziellezwei
Leitungen,
welche so
in wird
der Lage
Fällt eine elektromagnetische
Welle
Metallplatten,
sie ansind,
den die elektromagnetsichen Wellen abzuschirmen.
einfachste
hierbei
Vakuum/Metall-Grenzflächen
reflektiert und Der
interferiert
mit Fall
sich sind
selbst,
womitbereits
sich zwei parallele
eine elektromagnetische
zwischen
den
beiden
Platten ausbreiten kann.
Metallplatten,Welle
zwischen
denen
sich
eine elektromagnetische
Wellen ausbreiten kann.
• Bandleitung:
Bandleitungen Band- oder Streifenleitungen bestehen aus zwei Kupferschichten, die
Bandleitungen werden oft auf Platinen verwendet, wenn sehr hochfrequente Signale
Dielektrikum,
getrennt
Solche Wellenleiter
werdendurch
auf Platinen eingeverarbeitet durch
werdeneinsollen.
Dazu bringt
man sind.
zwei Kupferschichten
getrennt
ein Dielektrikum
auf Signale
einer Platine
auf. Frequenzen weiterzugeben.
setzt, um
sehr hoher
7: Verlauf
der elektrischen
(E)oder
und Streifenleitung.
magnetischen (H)
bei einer
bbildung 4.11.1:Abbildung
Aufbau und
Feldverteilung
einer BandEin Feldlinien
MeBandleitung
aus [9]
llstreifen ist durch ein Dielektrikum
von einer
zweiten leitfähigen Schicht getrennt.
• Lecherleitung:
13
Eine Lecherleitung besteht aus zwei in gleichbleibendem Abstand nebeneinander
verlaufenden runden Leitern. Die Abstrahlung ist relativ gering, da sich im Fernfeld
die abgestrahlten Felder nahezu auslöschen. Die Lecherleitung wird häufig zum
Anschluss von Dipolantennen verwendet. Aufgrund der offenen Bauweise ist sie aber
empfindlich gegenüber eingestreuten Signalen.
2 Physikalische Grundlagen
Lecherleitungen Eine Lecherleitung besteht aus zwei parallel nebeneinander laufenden, runden Leitern. Durch diese Bauweise ist die Abstrahlung der Leitung im Fernfeld
recht gering, die emittierten Felder eliminieren sich großteils gegenseitig. Jedoch hat die
offene Bauweise dieser Leitung den Nachteil einer recht hohen Empfindlichkeit gegenüber
4.11 Hochfrequenzsignale
503
einfallenden Signalen, die Übertragung kann also leicht gestört werden.
Abbildung 4.11.2: Aufbau und Feldverteilung in einer Lecherleitung.
Abbildung 8: Verlauf der elektrischen (E) und magnetischen (H) Feldlinien bei einer
Lecherleitung aus [9]
Koaxial- und Triaxialleitungen Ein Koaxialkabel besteht aus einem geraden Leiter,
der von einem weiteren, äußeren Leiter zylindrisch umgeben ist. Beide Leiter laufen
parallel bzw. koaxial. Zwischen ihnen befindet sich ein Dielektrikum.
Abbildung 4.11.3: Aufbau und Feldverteilung in einem Koaxialkabel.
Leitungswellengleichung
Alle Arten von Wellenleitern lassen sich durch Ersatzschaltbilder beschreiben.
Abbildung 9: Schematischer Aufbau eines Koaxialkabels aus [2]:
1. Innerer Leiter
2. Dielektrikum zwischen den Leitern
3. Außenleiter
4. Schutzmantel
14
Abbildung 4.11.4: Ersatzschaltbild für einen Wellenleiter.
2 Physikalische Grundlagen
Aufgrund der Bauform dieser Leitung befindet sich das elektromagnetsiche Feld ausschließlich zwischen den beiden Leitern, wodurch eine gute Abschirmung erreicht wird
sowohl gegen einfallene Störsignale als auch der Umwelt gegen das elektromagnetische
Feld innerhalb des Kabels. Ist dies nicht ausreichend, so gibt es außerdem noch Triaxialkabel, inAbbildung
denen der 4.11.2:
innere Leiter
zwei
zylindrischeninAußenleitern
umgeben ist, was
Aufbauvon
und
Feldverteilung
einer Lecherleitung.
die Abschirmung weiter erhöht.
Abbildung 4.11.3: Aufbau und Feldverteilung in einem Koaxialkabel.
Abbildung 10: Verlauf der Feldlinien bei einem Koaxialkabel; die elektrischen Feldlinien
(E) Verlaufen radial vom inneren zum äußeren Leiter, die magnetischen
Feldlinien (H) verlaufen konzentrisch um den inneren Leiter und es gilt
Leitungswellengleichung
E ⊥ B. Entnommen aus [9].
Alle Arten von Wellenleitern lassen sich durch Ersatzschaltbilder beschreiben.
2.5 Verhalten elektromagnetsicher Wellen in Wellenleitern
2.5.1 Die Feldverteilung im Koaxialkabel
Die elektromagnetischen Wellen im Koaxialkabel sind transversal elektromagnetische
Wellen, abgekürzt TEM-Wellen. Dies bedeutet, dass sie nur transversal, also senkrecht
zu ihrer Ausbreitungsrichtung
schwingen,
welche für
in diesem
Fall entlang des inneren
Abbildung 4.11.4:
Ersatzschaltbild
einen Wellenleiter.
Leiters des Kabels zeigt. Diese Ausbreitungsrichtung sei die z-Achse. Dann gilt, wie
gerade beschrieben: E z = B z = 0. Zunächst zeigt man nun, dass das elektrische und
das magnetische Feld orthogonal zueinander stehen. Aus der Maxwellgleichung erhält
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 54 , Date: 2010-07-07 15:24:59 +0200 (Mi, 07 Jul 2010)
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15
2 Physikalische Grundlagen
man gemäß [6]:
i
ω
B =∇×E
c
= (∇t + ∇z ) × E
∂
= ∇t × E +
(ez × E)
∂z
(27)
(28)
(29)
Dabei zeigt der Index t an, dass es sich um die transversale Richtung handelt, ez ist
der Einheitsvektor in z-Richtung, ω die Frequenz und c die Lichtgeschwindigkeit. Auf
der linken Seite der Gleichung steht ein Vektor, der in der x-y-Ebene liegt, folglich muss
die rechte Seite der Gleichung ebenso einen Vektor in dieser Ebene sein. Da jedoch der
Vektor E bereits in der x-y-Ebene liegt, zeigt der Vektor ∇t × E in z-Richtung. Daraus
folgt ∇t × E = 0 und deshalb:
B=
∂
c
·
(ez × E)
i ω ∂z
(30)
Geht man weiterhin davon aus, dass man E audrücken kann als zeitabhängig gemäß
√
E = E 0 · ei(kz−ωt) , wobei k = µε · ωc die z-Komponente des Wellenzahlvektors ist, dann
kann man schreiben:
c
ik (ez × E)
iω
√
= µε (ez × E)
B=
(31)
(32)
An dieser Gleichung kann man ablesen, dass B ⊥ E gilt. Desweiteren kann man die
Gleichung für das elektrische Feld nach [6] aus einem Potential φ ableiten. Mit diesem
Ansatz erhält man E = (∇t φ) · e−i(ωt−kz) . Löst man die Wellengleichung für ∆t φ = 0,
so erhält schließlich die Gleichung für das elektrische und das magnetische Feld. In
Zylinderkoordinaten mit dem Polarwinkel ϕ, dem Radius r und der oben definierten
z-Richtung lauten diese:
A
· er · e−i(ωt−kz)
r
A
√
B(r, ϕ, z, t) = µ ε · · eϕ · e−i(ωt−kz)
r
E(r, ϕ, z, t) =
(33)
(34)
Diese Gleichungen bestätigen den Verlauf der Feldlinien in Abb. 10, wobei A ∈ R ein
konstanter Faktor ist, der von der Bauweise des Kabels sowie von φ abhängt. Das elektrische Feld verläuft radial von der z-Achse aus entlang des Einheitsvektors in r-Richtung,
16
2 Physikalische Grundlagen
das magnetische Feld entlang des Einheitsvektors in ϕ-Richtung, also konzentrisch um
die z-Achse.
2.5.2 Die Wellenleitergleichung
Um eineAbbildung
Leitergleichung
einen und
Wellenleiter
aufzustellen,
benötigt
man ein Ersatz4.11.3:für
Aufbau
Feldverteilung
in einem
Koaxialkabel.
schaltbild des Wellenleiters. Ein solches aufzustellen ist möglich, weil man in der Regel
die charakteristischen Werte des Wellenleiters wie ohmscher Widerstand der Leiter, InLeitungswellengleichung
duktivität der Leiter, Kapazität zwischen den Leitern sowie die Bauweise kennt. Ein
Ersatzschaltbild
eines Wellenleiterstücks
∆x sieht
folgendermaßen
aus:
Alle
Arten von Wellenleitern
lassen sich durch
Ersatzschaltbilder
beschreiben.
Abbildung 4.11.4: Ersatzschaltbild für einen Wellenleiter.
Abbildung 11: Ersatzschaltbild eines Wellenleiters aus [9]
Die zugehörige Leitergleichung lautet ([9]):
2
∂ 2U
eGU
e + R
eC
e+G
eL
e ∂U + L
eC
e∂ U
=
R
Physikalisches Anfängerpraktikum
der Universität Konstanz ∂t
— zum internen
∂x2
∂t2 Gebrauch bestimmt
(35)
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mit folgenden Bezeichnungen:
e Ohmscher (Längs-)Widerstand pro Länge
R:
e (Quer-)Kapazität pro Länge
C:
e Ohmscher (Quer-)Leitwert pro Länge
G:
e (Längs-)Induktivität pro Länge
L:
Diese lineare Differentialgleichung kann durch den Ansatz
U = U0 · eiωt · e∓γx
I = I0 · eiωt · e∓γx
17
(36)
(37)
2 Physikalische Grundlagen
gelöst werden mit γ =
r
e
e
e
e
R + iω L · G + iω C . Damit kann man eine Formel für
den allgemeinen Leitungswellenwiderstand aufstellen:
Z=
s
e + iω L
e
R
e + iω C
e
G
(38)
Wie auch der Betrag des komplexen Widerstands wird Z oft als Impedanz bezeichnet.
Der Wellenwiderstand eines Koaxialkabels, bei dem der innere Radius des Außenleiters
ra und der äußere Radius des Innenleiters ri seien, lässt sich nach unter Vernachlässigung
sämtlicher Verluste folgendermaßen berechnen (Spezialfall von Gl. (38)):
Zkoax =
r
µ0 · µr 1
·
ln
ε0 · εr 2π
ra
ri
(39)
2.6 Verhalten elektromagnetischer Wellen an
Abschlusswiderständen
Wenn sich eine elektromagnetische Welle in einem Wellenleiter bewegt und dort auf
einen abschließenden Widerstand trifft, so gibt es verschiedene Möglichkeiten: Die Welle
kann durchgelassen (transmittiert) werden, sie kann gebrochen oder sie kann reflektiert
werden. Was geschieht, hängt von den Wellenwiderständen ZWL des Wellenleiters und
ZAW des Abschlusswiderstands ab. Für unseren Versuch wichtig ist insbesondere die
Reflexion, für die man einen Reflexionsfaktor r finden kann, welcher das Verhätlnis der
reflektierten Wellle zur ursprünglichen Welle angibt. r berechnet sich zu:
r=
ZAW − ZWL
ZAW + ZWL
(40)
Für den Fall r = 0 muss ZZA = ZWL gelten, die Wellenwiderstände von Wellenleitung
und Abschluss müssen also gleich sein. Ist dies der Fall, tritt keinerlei Reflexion auf sondern wie Welle wird komplett transmittiert. Weitere interessante Fälle sind das offene
Ende und der Kurzschluss. Ist das Leitungsende offen, so bildet Luft den Abschlusswiderstand, in diesem Fall kann man von ZAS → ∞ ausgehen. Damit ergibt sich:
ZAW − ZWL
=1
ZA →∞ ZAW + ZWL
r = lim
18
(41)
2 Physikalische Grundlagen
In diesem Fall wird die Welle folglich fast komplett refekletiert, der nicht reflektierte
Anteil geht gegen null. Beim kurzgeschlossenen Ende gilt ZAS → 0 und dementsprechend
für r:
ZAW − ZWL
= −1
ZA →0 ZAW + ZWL
r = lim
(42)
Die Welle wird demnach auch beim Kurzschluss fast vollständig reflektiert, allerdings
ändert die Amplitude das Vorzeichen, es findet also ein Phasensprung um π = 180° statt.
2.7 Verhalten elektromagnetischer Wellen an Grenzflächen
2.7.1 Stetigkeitsbedingungen
In diesem Abschnitt wird darauf eingegangen, inwiefern elektromagnetische Wellen bei
einem Übergang von einem Medium in ein anderes stetig sind, wobei hier davon ausgegangen wird, dass an den Oberflächen der Medien keine Ladungen oder Ströme auftreten. Zunächst zerlegt man die Vektoren E und B in eine Komponente parallel zur
Grenfläche zwischen den Medien und in eine Komponente senkrecht dazu: E = E k +E ⊥ ,
B = B k + B ⊥ . Für das elektrische Feld gilt, dass ich dessen parallele Komponente beim
Übergang nicht ändert. Sei E 0k die parallele Komponente des elektrischen Feldes nach
dem Grenzübertritt. Dann gilt: E k = E 0k . Beim magnetischen Feld hingegen bleibt die
senkrechte Komponente erhalten: B ⊥ = B 0⊥ . Da sich jedoch die elektrische und magnetische Feldstärke bei Übergängen zwischen verschiedenen Medien ändern, muss sich
beim elektrischen Feld die senkrechte, beim magnetischen Feld die parallele Komponente ändern. Diese Änderungen kann man durch die Permettivitäten ε/ε0 bzw. durch die
Permeabilitäten µ/µ0 der Medien ausdrücken. Es gilt:
ε0
E⊥
=
E⊥0
ε
und
Bk
µ
= 0
0
Bk
µ
(43)
Auch bei der dielektrische Verschiebung D und der magnetischen Feldstärke H existieren Komponenten, welche beim Übergang von ein Medium in ein anderes stetig sind:
D ⊥ = D 0⊥ und H k = H 0k .
19
2 Physikalische Grundlagen
2.7.2 Reflexion und Transmission
Im Folgenden wird quantitativ das Auftreffen einer ebenen elektromagnetischen Welle
auf eine ebene, rein dielektrische Grenzfläche erläutert, wo die Wellen gebrochen und
reflektiert wird. Die Welle befinde sich anfangs in Medium 1 mit dem Brechungsindex
n1 und der Phasengeschwindigkeit v1 , der Brechungsindex des 2. Mediums sei n2 und
die dortige Phasengeschwindigkeit v2 . Es wird davon ausgegangen, dass beide Medien
isotrop, linear und homogen sind. Weiterhin werden nachfolgend folgende Indizes verwendet: e für einfallend, r für reflektiert, g für gebrochen. Die elektrischen Feldstärken
der einlaufenden, gebrochenen und reflektierten Wellen der Frequenzen ω mit den Wellenvektoren k am Ort r zur Zeit t seien gegeben durch:
E e = E 0e · ei(ωe t−ke ·r)
(44)
E g = E 0g · ei(ωg t−kg ·r)
(45)
E r = E 0r · ei(ωr t−kr ·r)
(ke )⊥
θe
ke
(ke )�
(46)
kr
(kr )⊥
(kr )�
θr
θe
θr
n1
n2
θg
kg
(kg )�
(kg )⊥
Abbildung 12: Skizze zum Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine Grenzfläche mit obigen Bezeichnungen nach [4], S. 236.
Aufgrund der in Abschnitt 2.7.1 erläuterten Stetigkeitsbedingungen gilt:
20
1
2 Physikalische Grundlagen
(E0e )k + (E0r )k = (E0g )k =⇒ ωe = ωg = ωr = ω,
d.h. sowohl die einfallende, als auch die gebrochene und die reflektierte Welle schwingen
mit der gleichen Frequenz ω. Weiterhin lässt sich aus dieser Stetigkeitsbedingung ableiten, dass die drei Wellen phasengleich schwingen und dass auch die Wellenvektoren kg
und kr in der Einfallsebene liegen. Diese Ebene wird von ke und der Normalen auf die
Grenzfläche aufgespannt, folglich pflanzen sich alle drei Wellen in derselben Ebene fort.
Für die zur Grenzfläche parallen Komponenten der Wellenvektoren kann man schreiben:
(ke )k = ke · sin θe
(47)
(kg )k = kg · sin θg
(48)
(kr )k = kr · sin θr
(49)
Setzt man jetzt die Dispersionsrelation k = ω/vPhase = n · ω/c in die Gleichungen (47) (49) ein, so erhält man die Bedingung
sin θr
sin θg
sin θe
=
=
v1
v1
v2
(50)
Daraus lassen sich folgende Gesetze ableiten:
• Reflexionsgesetz :
θe = θr
−
”
Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel.“
(51)
• Snelliussches Brechungsgesetz:
sin θe
n2
=
sin θg
n1
(52)
2.8 Die Fresnelschen Formeln
Dieser Abschnitt knüpft direkt an den vorangehenden an, es wird weiterhin das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine Grenzfläche unter den gleichen Bedingungen
wie in Abschnitt 2.7.2 untersucht. Alle Bezeichnungen und Indizes werden weitergeführt.
21
2 Physikalische Grundlagen
2.8.1 Herleitung der Formeln
Zunächst zerlegt man die Amplitudem E 0 der elektrischen Felder in Komponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene; dies ist nicht zu verwechseln mir der Zerlegung
aus Abschnitt 2.7.1, wo in Komponenten parallel und senkrecht zur Grenzfläche zerlegt
wurde, weshalb nachfolgend mit den Indizes s und p gearbeitet wird, wenn es sich um Zerlegungen senkrecht und parallel zur Einfallsebene handelt. Es gilt: E 0 = (E 0 )p + (E 0 )s .
Das zugrundeliegende Koordinatensystem sei nun so gewählt, dass (E 0 )s parallel zu
Grenzfläche stehe. Dann folgt aus der Stetigkeitsbedingung für elektrische Felder:
(E 0e )s + (E 0r )s = (E 0g )s
(53)
(E 0e )p
(E 0e )s
ke
kr
θe
θe
n1
n2
(kg )�
θg
k g θg
(kg )⊥
Abbildung 13: Skizze zur Herleitung der Fresnelschen Formeln mit obigen Bezeichnungen nach [4], S. 238. Der Vektor (E 0e )s steht senkrecht auf der
Zeichenebene.
Außerdem lässt sich folgende Bedingung aufstellen, wenn man die Stetigkeitsbedingung für magnetische Felder nutzt und wie oben erwähnt und rein dielektrische und
22
1
2 Physikalische Grundlagen
damit nicht ferromagnetische Medien, also µ ≈ 1, annimmt:
(ke × E e )k + (kr × E r )k = (kg × E g )k
(54)
Man kann damit ableiten, dass
(ke )⊥ · (E0e )s + (kr )⊥ · (E0r )s = (kg )⊥ · (E0g )s
(55)
gilt. Weiterhin liefert die Bedingung (kr )⊥ = −(ke )⊥ folgende Gleichung:
(E0e )s − (E0r )s =
(kg )⊥
· (E0g )s
(ke )⊥
(56)
Gl. (55) und (56) zusammen ergeben:
2
(E0e )s
1+a
1−a
(E0r )s =
(E0e )s
1+a
(E0g )s =
mit a =
(kg )⊥
(ke )⊥
(57)
(58)
Nutzt man nun noch die Identitäten
(ke )⊥
= cos θe ;
ke
(kg )⊥
= cos θg ;
kg
kg =
n2
· ke
n1
(59)
so erhält man:
a=
n2 cos θg
n1 cos θe
(60)
Wendet man auf dieses Ergebnis Gl. (52) an, so erhält man folgende Formeln:
%s =
(E0r )s
n1 cos θe − n2 cos θg
sin (θe − θg )
=
=−
(E0e )s
n1 cos θe + n2 cos θg
sin (θe + θg )
(61)
τs =
(E0g )s
2 n1 cos θe
2 sin θg cos θe
=
=
(E0e )s
n1 cos θe + n2 cos θg
sin (θe + θg )
(62)
23
2 Physikalische Grundlagen
Analog dazu kann man für die Komponenten (E 0 )p Folgendes herleiten:
%p =
(E0r )p
n2 cos θe − n2 cos θg
tan (θe − θg )
=
=
(E0e )p
n2 cos θe + n1 cos θg
tan (θe + θg )
(63)
τp =
(E0g )p
2 n1 cos θe
2 sin θg cos θe
=
=
(E0e )p
n2 cos θe + n1 cos θg
sin (θe + θg ) cos (θe − θg )
(64)
Diese vier Gleichungen ((61) - (64)) sind die Fresnelschen Formeln, welche die
Grundlage aller Berechnungen von Reflexion und Transmission elektromagnetischer Wellen an Grenzflächen bilden.
2.8.2
DiskussionFormeln
der Formeln
3.5
Fresnelsche
305
Die Zahlen % und τ heißen Reflexions- bzw. Transmissionskoeffizent und geben die
Die Gleichungen (3.5.14)–(3.5.21) werden meist als fresnelsche Formeln bezeichnet5.
Verhältnisse der Amplituden bei Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
Die Ergebnisse sind in Abbildung 3.5.3 graphisch dargestellt.
an.
τp
τs
�p
�s
θ
e Amplitudenkoeffizienten für Reflexion
Abbildung 3.5.3: Graphische Darstellung der vier
und Transmission an einer dielektrischen Grenzfläche als Funktion des Einfallswinkels α.
Abbildung 14: Darstellung der Reflexions- und Transmissionskoeffizienten als Funktion
des Einfallswinkels aus [9], selbstständig verändert. Der eingezeichnete
Brewster-Winkel wird in Abschnitt 2.9.1 behandelt.
Polar isat ionsdr ehung dur ch R efl exion
dienen siesoll
dazu,
Werte
zu berechnen:
Im Außerdem
Praktikumsversuch
nunfolgende
aber nicht
der Anteil
an reflektierter oder transmittierter
Intensität einer wie auch immer polarisierten Welle gemessen werden, sondern die Drehung
der Polarisationsebene linear polarisierten Lichtes bei der Reflexion an der Grenzfläche
Luft/Glas. Wie kommt diese Drehung zustande?
24
Ist das einfallende Licht linear polarisiert und steht seine Schwingungsebene unter einem
bestimmten Winkel ϕi gegen die Einfallsebene, so lässt sich die einfallende elektrische
# i in die Komponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene zerlegen:
Feldstärke E
"
!
,
(3.5.22)
E i = E i! , E i⊥
E i! = E i cos ϕi ,
(3.5.23)
2 Physikalische Grundlagen
Reflexionsvermögen Das Reflexionsvermögen R ist das Verhältnis der zeitlichen Mittelwerte der Intensitäten von einfallender und reflektierter Welle. Dieses Verhältnis ist
dem Quadrat der Amplituden proportional. Der zeitliche Mittelwert der Intensität sei
mit I¯ bezeichnet. Dann gilt:
I¯r
E2
R = ¯ = 0r
2
E0e
Ie
(65)
Dieses Verhältnis kann für die zur Einfallsebene senkrechte bzw. parallele Komponente
von E0 unterschiedlich sein, weshalb man auch R entsprechend zerlegt:
Rs =
(E0r )2s
= %2s ;
(E0e )2s
Rp =
(E0r )2p
= %2p
(E0e )2p
(66)
Transmissionsvermögen Analog zum Reflexionsvermögen ist Transmissionsvermögen
T definiert als Verhältnis der Mittelwerte der Intensitäten von einfallender und trasmittierter Welle:
2
n1 cos θg E0g
I¯g cos θg
T = ¯
=
2
n2 cos θe E0e
Ie cos θe
(67)
Der Faktor cos θg/cos θe ist auch in der Formel für das Reflexionsvermögen enthalten
(natürlich mit θr anstatt θg ) und berücksichtigt die Querschnittsfläche des Wellenstrahls,
kürzt sich jedoch wegen θe = θr heraus. Gleiches gilt für n2/n1 . Ebenso wie R kann auch
T in zur Einfallsebene senkrechte und parallele Komponenten zerlegt werden:
Ts =
n2 cos θg (E0g )2s
= τs2 ;
n1 cos θe (E0e )2s
Tp =
n2 cos θg (E0g )2p
= τp2
n1 cos θe (E0e )2p
(68)
Man kann nachrechnen, dass bei vernachlässigter Absorption der Welle durch die
Medien gilt: T +R = Ts +Rs = Tp +Rp = 1. Die Intensität ist also eine Erhaltungsgröße,
was auch aus dem Energieerhaltungssatz folgt.
2.9 Spezielle Einfallswinkel
In diesem Abschnitt werden spezielle Einfallswinkel einer elektromagnetischen Welle auf
eine Grenzfläche erläutert.
25
2 Physikalische Grundlagen
2.9.1 Der Brewster-Winkel
Der Brewster-Winkel θB ist der Einfallswinkel, unter dem die Komponente (E0r )p null
wird, die reflektierte Welle also keine Parallkomponente mehr zur Einfallsebene hat. Eine
solche Welle heißt vollständig polarisiert senkrecht zur Einfallsebene, zur Polarisation
von Wellen siehe Abschnitt 2.10. Der Brewsterwinkel lässt sich aus Gl. (63) herleiten:
tan (θe − θg ) !
(E0r )p
=
=0
(E0e )p
tan (θe + θg )
(69)
Um diese Gleichung zu erfüllen, muss θe + θg = 90° gelten, weil dann der Term
tan (θe + θg ) divergiert und somit der gesamte Ausdruck null wird. Setzt man diese
Bedingung in Gl. (52) ein, so erhält man:
sin θe
n2
=
sin θg
n1
n2
sin θe
=
sin (90° − θe )
n1
n2
sin θe
=
cos θe
n1
n2
tan θe =
n1
θB = arctan
(70)
(71)
(72)
(73)
n2
n1
(74)
2.9.2 Der Winkel der Totalreflexion
Läuft eine elektromagnetische Welle von einem optisch dichteren Medium in ein optisch
dünneres, also n1 > n2 , so kann es zur Totalreflexion kommen. Nach Gl. (52) gilt:
sin θe =
n2
sin θg
n1
(75)
Wegen sin θg ≤ 1 ist folgende Bedingung gültig:
sin θe ≤
n2
n1
(76)
Für Winkel θe mit sin θe ≥ n2/n1 kann die Welle nicht in das optisch dünnere Medium
eintreten und wird total reflektiert. Den Winkel θT , ab dem dies der Fall ist, nennt man
26
2 Physikalische Grundlagen
den Grenzwinkel der Totalreflexion. Er ist gegeben durch
θT = arcsin
n2
n1
(77)
2.10 Polarisation des Lichtes
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Im Allgemeinen sind elektromagnetische Wellen im ladungsfreien Raum Transversalwellen, d.h. sie schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und sind damit polarisierbar. Die Eigenschaft der Polarisierbarkeit
bedeutet, dass die Schwingungsrichtung in gewissem Maße geordnet werden kann. Bei
elektromagnetischen Wellen ist die Polarisation durch die Richtung des elektrischen Vektors E definiert. Es gibt verschiedene Arten polarisierter elektromagnetischer Wellen. Die
einfachste Art ist eine linear polarisierte Welle, bei welcher der elektrische Vektor immer
in die gleiche Richtung zeigt. Geht man von einer ebenen Welle E = E 0 · cos (ωt − kz)
aus, so bedeutet die lineare Polarisation, dass der Vektor E 0 immer in die gleiche Richtung orthogonal zur z-Achse zeigt. Die Komponenten Ex und Ey der Welle schwingen
in diesem Fall in Phase, es gilt:
Ex = E0x · cos (ωt − kz)
(78)
Ey = E0y · cos (ωt − kz)
(79)
Eine zweite Form der Polarisierung ist die zirkulare Polarisierung. Hierbei sind die
Beträge von E0x und E0y gleich, jedoch sind die Komponenten um 90° phasenverschoben:
Ex = E0x · cos (ωt − kz)
(80)
Ey = E0y · sin (ωt − kz)
(81)
Das bedeutet, dass die Spitze des Vektors E einen Kreis um die z-Achse beschreibt,
der Vektor E beschreibt dementsprechend eine Kreisspirale in z-Richtung. Zuletzt gibt
es außerdem noch elliptisch polarisierte Wellen. Diese treten auf, wenn E0x 6= E0y gilt
oder wenn die Phasenverschiebung zwischen Ex und Ey ungleich 90° ist. Dann beschreibt
der elektrische Vektor eine elliptische Spirale um die z-Achse.
27
2 Physikalische Grundlagen
Abbildung 15: Veranschaulichung der linearen, zirkularen und elliptischen Polarisation
in dieser Reihenfolge. Entnommen aus [3].
2.10.1 Polarisatoren
Meistens ist das Licht, welches von üblichen Lichtquellen wie einer Glühbirne ausgesandt
wird, unpolarisiert. Jedoch gibt es Möglichkeiten, unpolarisiertes Licht zu polarisieren.
Diese Möglichkeiten werden in Polarisatoren realisiert, welche Instrumente darstellen,
um elektromagnetische Wellen zu polarisieren. Nachfolgend werden einige dieser Polarisationsmöglichkeiten für linear polarisiertes Licht aufgeführt.
Polarisation durch Reflexion Fällt eine elektromagnetische Welle unter dem BrewsterWinkel auf eine Grenzfläche, so ist der reflektierte Anteil der Welle vollständig linear
polarisiert, vergleiche Abschnitt 2.9.1. Dies lässt sich auch auf atomarer Ebene erklären:
Trifft die Welle auf die Grenzfläche, so werden die Oberflächenatome zu erzwungenen
elektrischen Schwingungen angeregt. Diese schwingenden elektrischen Dipole strahlen
dann wieder einen Wellenzug gleicher Frequenz ab. Die Überlagerung dieser abgestrahlten Wellen ergibt zum einen den reflektierten, zum anderen den transmittierten Anteil
der einfallenden Welle. Da schwingende Dipole keinerlei Intensität in Richtung ihrer
28
2 Physikalische Grundlagen
Schwingung abstrahlen, ist die reflektierte Welle demnach genau dann linear polarisiert,
wenn die Reflexionsrichtung mit einer Schwingungsrichtung der Oberflächenatome zusammenfällt. Dies ist bei Einfall der ursprünglichen Welle unter dem Brewster-Winkel
gegeben.
Polarisation durch Doppelbrechung Es gibt Stoffe, bei denen die Phasengeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen innerhalb derselben abhängig von der Schwingungsrichtung ist. Solche Stoffe heißen anisotrop und weisen aufgrund der Anisotropie unterschiedliche Brechzahlen für elektromagnetische Wellen unterschiedlicher Schwingungsrichtungen auf. Das bedeutet, dass unpolarisierte elektromagnetische Wellen beim Durchgang
durch einen anisotropen Stoff in zwei Teilbündel aufgespalten werden. Eines dieser
Teilbündel folgt dem Snelliusschen Brechungsgesetz und wird ordentlicher Strahl genannt, das andere Teilbündel, der außerordnetliche Strahl, hingegen nicht und wird um
einen anderen Winkel gebrochen als der ordentliche Strahl. Beide Bündel sind linear
polarisiert und die Schwingungsebenen stehen senkrecht zueinander. Um linear polarisiertes Licht auch außerhalb des anisotropen Stoffes zu erhalten, muss eines der beiden
Bündel innerhalb des Stoffes aus dem Strahlengang entfernt werden. Dies gelingt z. B.
mit einem Nicolschen Prisma. Dieser besteht aus einem doppelbrechenden (anisotropen) Rhomboederkristall, der diagonal aufgeschnitten und mit durchsichtigem Klebstoff
wieder zusammengeklebt wird. Aufgrund der Anisotropie wird einfallendes Licht in einen
ordentlichen und einen außerordentlichen Strahl aufgeteilt, die dann unter verschiedenen Winkel auf die Klebeschicht treffen und deshalb dort unterschiedlich gebrochen oder
reflektiert werden. Bei geeigneten Abmessungen überschreitet der Einfallswinkel des ordentlichen Strahls an der Klebeschicht den Grenzwinkel der Totalreflexion (Abschnitt
2.9.2), sodass nur der außerordentliche Strahl das Prisma vollständig durchläuft und auf
der anderen Seite wieder austritt. Weil beim Nicolschen Prisma Ein- und Austrittsfläche schräg zur Einfallsrichtung der Welle stehen, tritt ein Strahlversatz auf. Dieser
Nachteil wird beim Glan-Thompson-Polarisator vermieden, welcher gleich aufgebuat
ist wie das Nicolsche Prisma, bis auf den Unterschied, dass hier Ein- und Austrittsfläche
senkrecht zur Einfallsrichtung stehen. Eine weitere, sehr handliche Form von Polarisatoren sind Polarisationsfolien, auch Polarisationsfilter genannt. Diese bestehen aus einem
doppelbrechenden Material, z.B. durch mechanische Streckung doppelbrechend gemachte und eingefärbte Zellulosehdyratkristalle, die orientiert in eine Gelatineschicht eingebettet sind. Bei diesen Kristallen ist die Rückstellkraft der durch eine einfallende elektromagnetische Welle zu Schwingungen angeregten Atomelektronen richtungsabhängig.
29
2 Physikalische Grundlagen
Deshalb ändert sich die Eigenfrequenz und damit auch der Grad der Absorption dieser
Kristalle mit der Richtung des elektrischen Vektors der einfallenden Lichtwelle. Daher
werden ordentlicher und außerordentlicher Strahl in sehr unterschiedlichem Maße absorbiert, diese Eigenschaft heißt Dichroismus und führt dazu, dass das Licht, welches
die Folie verlässt, linear polarisiert ist. Bei Zellulosehydratfolien beispielsweise wird der
Wellenstrahl, welcher in die durchgelassene Schwingungsrichtung schwingt, zu 25% transmittiert, der Wellenstrahl, welcher senkrecht zu dieser Richtung schwingt, dagegen nur
zu 0,01%. Einziger Nachteil solcher Folien ist die relativ große Abschwächung auch der
gewünschten Polarisationskomponente.
2.11 Das Oszilloskop
Da alle Messungen beim Versuch zu Hochfrequenzsignalen“ mit einem Oszilloskop
”
durchgeführt werden, soll im folgenden kurz dessen Funktionsweise beschrieben werden. Das Oszilloskop ist ein Messgerät, welches Spannungsverläufe grafisch darstellt.
Grundsätzlich kann man zwischen analogen und digitalen Instrumenten unterscheiden.
Bei einem analogen Oszilloskop werden mittels eine Glühkathode freie Elektronen erzeugt, welche durch eine Spannung beschleunigt und mittels eines Wehnelt-Zylinders
zu einem Elektronenstrahl fokussiert werden. Dieser Strahl trifft auf einen Leuchtschirm
und hinterlässt dort einen ablesbaren Punkt. Unterwegs passiert der Strahl noch zwei
weitere Kondensatoren, welche dazu dienen, den Strahl in x- und in y-Richtung abzulenken und dadurch Messungen ermöglichen. Hierbei gibt es 2 Möglichkeiten: Entweder,
beiden Kondensatoren werden mit Eingangssignalen gespeist, dann wird der Signalverlauf y(x) dargestellt. Will man nur eine Spannung im Verlauf der Zeit messen, so wird
diese an den y-Kondensator angelegt während der x-Kondensator dann von einem Kippgenerator mit einer Sägezahnspannungen versorgt wird, die für die nötige horizontale
Ablenkung sorgt, sodass y(t) dargestellt wird.
30
ausgeübt wird. Diese Kraft beschleunigt die Elektronen in Richtung Anode. Nach Durchtritt durch die
durchbohrte Anode treffen die Elektronen auf den Leuchtschirm L, wo sie beim Auftreffen abgebremst
werden
und den Phosphor
desAuswertung
Schirms zur Fluoreszenz
anregen. Dadurch entsteht ein sichtbarer
3 Durchführung
und
zu Hochfrequenzsignale“
”
Leuchtfleck, dessen Größe mit Hilfe der Spannung UF an der Fokussiereinheit F minimiert wird.
Uy
UH ~
K
W
- UW
F
+UF
Ux
A
L
+UA
Abb. 1: Schematischer Aufbau einer Elektronenstrahl-Oszilloskopröhre. Bezeichnungen siehe Text. Die
Abbildung 16:grüne
Schematischer
Aufbau eines
analogen
Oszilloskops
UY = 0 an.
strichpunktierte
Linie gibt schematisch
die Bahn
der Elektronen
im Fallaus
UX =[1]
Mit Hilfe einer negativen Spannung UW am WEHNELT-Zylinder W kann die Intensität des Leuchtpunktes
In werden.
diesem Das
Versuch
wir allerdings
kein
digitales
Spei-und
variiert
durch verwenden
UW hervorgerufene
elektrische
Feldanaloges,
EW ist zumsondern
Feld EA ein
entgegen
gerichtet
bremst
die Elektronen.
Nur
Elektronen
ausreichender
kinetischer
Energie
können die Anode
cheroszilloskop.
Bei
digitalen
Geräten
wird das
analoge
Eingangssignal
(bzw.erreichen.
die Ein-
gangssignale) zunächst in ein digitales Signal gewandelt, dass dann entweder auch mittels
Frage 1:
auf einerdes
Flüssigkristallanzeige
wird.
digitales
Os- Elektronenstrahl
Ließe sich mit UWoder
die Intensität
Leuchtpunktes steuern,visualisiert
wenn alle von
derEin
Kathode
emittierten
Elektronenistdie(aufgrund
gleiche kinetische
Energie hätten?in
Welche
qualitative
Aussage lässt
über
zilloskop
der Digitalisierung)
der Lage,
Datenpunkte
aussich
derdemnach
Messung
die Häufigkeitsverteilung der kinetischen Energien der emittierten Elektronen machen?
zu speichern und später wiederzugeben, so können z.B. wie im Versuch einmalige Pulse
Die
X- undwerden.
Y-Ablenkplatten (blau in Abb. 1) bilden paarweise je einen Plattenkondensator und dienen zur
erfasst
horizontalen und vertikalen Ablenkung des Elektronenstrahls. Wird an die Y-Ablenkplatten die
Ablenkspannung UY angelegt, so entsteht zwischen den Platten bei einem Plattenabstand dY ein
elektrisches Feld EY vom Betrag
(3)
EY
UY
,
dY
durch das auf die Elektronen während ihres Durchflugs eine Kraft FY vom Betrag
3 Durchführung
und Auswertung zu
UY
(4)
FY
e EY
e
dY
Hochfrequenzsignale“
”
Der Versuch ist in fünf größere Unterabschnitte gegliedert, welchen jeweils ein etwas
veränderter Aufbau zu Grunde liegt. Über den gesamten Versuchszeitraum kamen folgende Gerätschaften bzw. Bauteile zum Einsatz:
• Pulsgenerator (Ausgangsimpedanz: 50 Ω)
• Digitales Speicherosziloskop (Bandbreite: 100 MHz, Abtastrate: 1 GS/s, Eingangsimpedanz: 1 MΩ)
31
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
• Funktionsgenerator
• Koaxialkabel mit unterschiedlichen Längen und Impedanzen
• Gleichspannungsnetzgerät
• Hochfrequenztaugliche Widerstandsdekaden (1-999 Ω)
• Schalter
• Koaxialkabeladapter, T-Stücke, Abschlusswiderstände
• Powersplitter
3.1 Vorbereitung
Im ersten Versuchsteil galt es sich hauptsächlich mit dem Pulsgenerator und dem Oszilloskop vertraut zu machen. Hierfür wurden beide Geräte über ein Koaxialkabel verbunden.
Daraufhin wurde der Pulsgenerator so eingestellt, dass er möglichst kurze Pulse erzeugt,
welche jedoch noch in einer wohldefinierten, rechteckigen Pulsform vorliegen. Diese Einstellung wurde im Laufe des Versuchs nun nicht mehr geändert. Die Anbringung einer
50 Ω-Durchführung an der Eingangsbuchse des Oszilloskops hatte eine direkte Änderung der Amplitude zur Folge. Diese nahm fast um die Hälfte ab. Auch der spezielle
Abschlusswiderstand wurde mit Ausnahme von Abschnitt 3.5 in allen Versuchsteilen
beibehalten.
3.2 Impulslaufzeiten
In diesem Versuchsteil sollten die Pulslaufzeiten von verschiedenen Koaxialkabeln bestimmt werden. Dazu wurde der Pulsgenerator über ein T-Stück mit dem Oszilloskop
verbunden. Am offenen Ende des T-Steckers wurde dann ein Koaxialkabel angeschlossen. Auf dem Bildschirm des Oszilloskops war nun nicht nur der Eingangsimpuls zu
sehen, sondern auch der leicht abgeschwächte, am offenen Ende des Kabels reflektierte
Puls (siehe Abbildung 17). Die Pulslaufzeit wurde dann als Differenz der beiden Signale
abgelesen. Wir haben die Pulslaufzeiten für insgesamt vier schwarze Kabel (mit gelber,
32
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
weißer, roter und blauer Kennzeichnung, Signalverzögerung jeweils: d = 5, 03 ns/m) und
ein weißes Kabel (Gesamtlänge: l = 100 m) bestimmt. Die Werte sind in Tabelle 1 aufgeführt.
Aus den Werten lassen sich nun für die schwarzen Kabel unter Einbeziehung der Signalverzögerung (Kehrwert der Gruppengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle auf
dem Kabel) die Gesamtlängen berechnen. Es gilt zu beachten, dass die EM-Welle das
Kabel doppelt durchläuft. Zur Berechnung wird folgende Formel benutzt:
2l = ∆t · v ⇒ l =
∆t
2·d
(82)
Der Fehler der Zeitmessung wurde von uns auf ±25 ns geschätzt. Da die Signalverzögerung vom Hersteller angegeben war, sind wir bei dieser Größe von keinem bzw. einem
vernachlässigbar kleinem Fehler ausgegangen. Zur Berechnung des Fehlers wurde also
folgende Formel angewendet:
∂l
1
· δ∆t =
· δ∆t
δl = ∂∆t
2d
(83)
Die Ergebnisse sind in Tabelle 1 vermerkt.
Beim weißen Kabel hingegen war uns die Gesamtlänge gegeben und es galt über die
Pulslaufzeit die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu berechnen. In diesem Fall haben wir
Gleichung (82) nur umstellen müssen:
v=
2l
∆t
(84)
Für den Fehler gilt:
∂v
· δ∆t =
δv = ∂∆t
∂d
δd = · δ∆t =
∂∆t
2l
· δ∆t
∆t2
1
· δ∆t
2l
(85)
(86)
Die Ergebnisse sind ebenfalls in Tabelle 1 zu finden. Die Werte zeigen, dass die Signalverzögerung im weißen Kabel leicht geringer als bei den schwarzen Kabeln ausfällt.
33
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
Daraus resultiert die größere Ausbreitungsgeschwindigkeit im weißen Kabel.
Kabel
schwarz-gelb
schwarz-weiß
schwarz-rot
schwarz-blau
weiß
d [ns/m]
5,03
5,03
5,03
5,03
4,02±0, 01
v [m/ns]
0,20
0,20
0,20
0,20
0,25±0, 01
∆t [ns]
1020±25
1080±25
252±25
508±25
804
l [m]
101,39±2, 49
107,36±2, 49
25,05±2, 49
50,50±2, 49
100
Tabelle 1: Gemessene Pulslaufzeiten in den Kabeln mitsamt berechneten Längen bzw.
der Gruppengeschwindigkeit
Abbildung 17: Exemplarische Darstellung der Messung der Pulslaufzeit mittels Reflexion
am offenen Ende
3.3 Abhängigkeit der Reflexion vom Abschlusswiderstand
In diesem Versuchsteil sollte die Abhängigkeit des Reflexionssignals von verschiedenen Abschlusswiderständen untersucht werden. Hierfür wurde der vorherige Aufbau
nur leicht verändert. Lediglich die Widerstandsdekade, als variabler Abschlusswiderstand, wurde am Ende des Koaxialkabels eingefügt. Daraufhin haben wir jeweils für
das schwarz-blaue, wie auch für das weiße Kabel eine Auswahl (0,10,...,100,∞ Ω [offenes
Ende]) an Widerständen ausprobiert und die einlaufenden sowie die reflektierten Amplituden abgelesen. Wir erhielten immer zwei Signale mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Hier muss es zu einer zusätzlichen Reflexion gekommen sein. Für die spätere Rechnung
34
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
haben wir deshalb die Summe der beiden Werte gebildet. Die Ergebnisse sind in Tabelle
2 vermerkt.
Die Amplitudenstärke der reflektierten Welle lässt sich auch auf theoretischem Wege berechnen. Hierfür haben wir Formel (40) verwendet. Die erwartete Spannung ergibt sich
dann wie folgt: Utheo = r · Uein . Dabei haben wir den Wert für die Impedanz des jeweiligen Kabels aus unserer Tabelle ausgelesen (Nulldurchgänge). Beim schwarzen Kabel
sind wir von einer Impedanz von 50 Ω, beim weißen Kabel von einer Impedanz von 70 Ω
ausgegangen. Die Ergebnisse sind ebenfalls in Tabelle 2 vermerkt und in Abbildung 18
visualisiert. Die theoretische Verlaufskurve und unsere gemessenen Werte unterscheiden
sich zwar teilweise deutlich, quantitativ ist der Zusammenhang jedoch ersichtlich. Die
Abweichung ist wohl auf die vereinfachte theoretische Berechnung zurückzuführen. Hierbei sind von einem idealen Leiter ausgegangen. Auch muss man stets mit einem kleinen
Spannungsverlust in den Kabeln selbst rechnen.
Abbildung 18: Diagramm zur Reflexion der Eingangsamplitude in Abhängigkeit vom
Abschlusswiderstand sowie die zu erwartenden Werte
35
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
Kabel
schwarz-blau
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
weiß
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Widerstand [Ω]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
offenes Ende
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
offenes Ende
Uein V
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
9,28
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
Uref V
-4,00
-2,96
-2,24
-1,36
-0,72
-0,08
0,56
1,04
1,52
2,08
2,48
7,12
-1,60
-1,36
-1,30
-0,80
-0,55
-0,40
-0,16
0,00
0,16
0,24
0,32
2,4
Utheo V
-9,28
-6,19
-3,98
-2,32
-1,03
0,00
0,84
1,55
2,14
2,65
3,09
9,28
-10,20
-7,65
-5,66
-4,08
-2,78
-1,70
-0,78
0,00
0,68
1,27
1,80
10,2
Tabelle 2: Eingangsspannung, reflektierte Spannung sowie die theoretischen Reflexionen
36
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
Anschließend haben wir die Widerstandsdekade entfernt und das offene Ende des
Kabels an den zweiten Kanal des Oszilloskops angeschlossen (siehe Abbildung 19).
Abbildung 19: Messung des einmal durchgelaufenen (türkis) und des reflektierten (gelb)
Signals. Es wird deutlich, dass durch die Dämpfung die Signalstärke
abnimmt.
3.4 Verzweigung von Koaxialkabeln mittels Powersplitter
In diesem Versuchsteil steht die Untersuchung von T-Stück und Powersplitter im Fokus.
Ein Powersplitter ist eine bestimmte Schaltung aus Widerständen und Leitern, die unter
Einbeziehung der Kirschhoffschen Gesetzte eine verlustfreie Aufteilung eines Signals
auf zwei Kabel gewährleisten soll. Dies geschieht, indem die Widerstände gewählt werden, dass trotz der Parallelschaltung der Kabel keine Widerstansdifferenz auftritt. Diese
Funktionsweise soll u.a. in diesem Versuchsteil gezeigt werden. Hierzu haben wir an das
T-Stück am Oszilloskop ein Koaxialkabel (schwarz-gelb) angeschlossen. An dessen Ende
wurde ein weiteres T-Stück bzw. der Powersplitter mit zwei schwarzen Koaxialkabeln
(schwarz-blau und schwarz-weiß) installiert. Die beiden, noch offenen Enden wurden
daraufhin entweder offen belassen, mit einem 50 Ω Widerstand abgeschlossen oder jeweils kurzgeschlossen. Als letztes wurde noch im Aufbau mit dem Powersplitter eines
der schwarzen Kabel durch ein weißes Kabel mit einer anderen Impedanz ersetzt. Jede
Einstellung wurde visuell festgehalten (siehe Abbildung 20 - 22).
37
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
3.4.1 Offene Enden
Abbildung 20: Messung der Reflexion an offenen Enden. Im linken Bild wurde ein TStück verwendet, im mittleren ein Powersplitter, im rechten Bild wurde
zusätzlich zum Powersplitter ein schwarzes Kabel durch ein weißes Kabel
ersetzt.
Beim Betrachten das linken Bildes sind neben dem Hauptsignal drei weitere positive
Peaks und ein negativer Peak zu erkennen. Beim negativen Ausschlag handelt es sich
um eine Reflexion am T-Stück (Erklärung siehe Abschnitt 3.4.2). Zwei der drei positiven
Peaks sind als Reflexionen an den offenen Kabelenden zu charakterisieren. Aufgrund der
unterschiedlichen Kabellänge kommen diese auch etwas zeitversetzt wieder am Oszilloskop an. Bei dem überbleibenden Peak (der mittlere) handelt es sich wahrscheinlich um
ein Störsignal, da wir keine andere Erklärung finden können.
Bei den beiden Powersplitter-Aufbauten sind jeweils zwei positive und ein negativer
Peak zu verbuchen. Bei den positiven Signalen handelt es sich wieder um die Reflexionen an den Kabelenden. Es fällt auf, dass diese zwar eindeutig erkennbar sind, allerdings
gedämpfter als beim T-Stück. Das negative Signal ist vermutlich wieder ein Störsignal,
da theoretisch keine weiteren Peaks zu erwarten sind und auch eine Reflexion dieses
Ausmaßes am Powersplitter nahezu ausgeschlossen werden kann. Beim Vergleich des
mittleren und des rechten Bildes ist klar eine kleine Zeitverzögerungsdifferenz erkennbar.
Das zeigt, dass sich das Signal schneller durch das weiße Kabel als durch das Schwarze
bewegt, wie bereits oben gemessen.
38
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
3.4.2 Geschlossene Enden
Abbildung 21: Messung der Reflexion an geschlossenen Enden. Im linken Bild wurde
ein T-Stück verwendet, im mittleren ein Powersplitter, im rechten Bild
wurde zusätzlich zum Powersplitter ein schwarzes Kabel durch ein weißes
Kabel ersetzt.
Ein Abschlusswiderstand an beiden Enden sollte jegliche Reflexion unterbinden. Dies
lässt sich auch sehr gut in den beiden Powersplitter-Aufbauten erkennen, hier tritt nur
eine minimale Reflexion auf. Nur das einlaufende Signal ist klar und deutlich sichtbar.
Im Aufbau mit dem T-Stecker ist jedoch trotzdem ein eindeutiger negativer Peak zu
erkennen. Die Ursache hierfür muss also im T-Stück selbst liegen und durch eine Reflexion an diesem hervorgerufen werden. Das Signal wird am T-Stück gedämpft (auf ca.
25%) und reflektiert. Da der Widerstand geringer als die Impedanz des Koaxialkabels
ist, wird vom Oszilloskop eine negative Amplitude angezeigt. Diese Reflexion tritt in
allen Aufbauten mit T-Stück auf.
39
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
3.4.3 Kurzgeschlossene Enden
Abbildung 22: Messung der Reflexion an kurzgeschlossenen Enden. Im linken Bild wurde
ein T-Stück verwendet, im mittleren ein Powersplitter, im rechten Bild
wurde zusätzlich zum Powersplitter ein schwarzes Kabel durch ein weißes
Kabel ersetzt.
Sind die Kabelenden kurzgeschlossen, ist zu erwarten, dass die Signale mit umgekehrter Amplitude reflektiert werden, was in allen 3 Aufbauten der Fall ist, wobei im ersten
Aufbau die erste reflektierte Amplitude wieder durch das T-Stück verursacht wurde. Die
4. Reflexion im 1. Bild jedoch stimmt nicht mit der theoretischen Vorhersage überein. Es
kann sich also nur um ein Problem im Versuchsaufbau im Zusammenhang mit dem TStück handeln, zumal dieser Ausschlag bei Verwendung des Powersplitters nicht auftritt.
Zusammenfassend stellen wir fest, dass der Powersplitter zwar in der Lage ist, die meisten
Reflexionen zu beseitigen, jedoch nimmt man so einen etwas größerem Amplitudenverlust als beim T-Stück in Kauf (durch die im Powersplitter eingebauten Widerstände).
Man kann also nicht sagen, dass der Powersplitter nur Vorteile gegenüber dem T-Stück
besitzt. Je nach Anwendung und Ziel muss das passende Bauteil ausgewählt werden.
3.5 Erzeugung kurzer Pulse durch Entladung eines Koaxialkabels
Für den letzten Versuchsteil muss der Aufbau deutlich geändert werden (siehe Abbildung
23). Die kurzen Impulse lassen sich durch die Entladung eines Koaxialkabels erzeugen.
Das Koaxialkabel verhält sich hierbei ähnlich wie ein Kondensator. Wir haben über die
Widerstandsdekade nacheinander verschiedene Widerstände eingestellt und die resultierenden Bilder über das Oszilloskop gespeichert (siehe Abbildung 24).
40
3 Durchführung und Auswertung zu Hochfrequenzsignale“
”
Abbildung 23: Schaltbild zur Erzeugung kurzer Pulse aus [9].
Abbildung 24: Entladungskurven des Koaxialkabels mit variablem Widerstand R2 . Von
links nach rechts: 25, 50, 100, 200, 400 Ω.
Auf jedem Bild ist die charakteristische Rechtecksform erkennbar, welche in Stufenform abnimmt. Um die Rechteckform der Impulse zu erklären, muss man wissen dass
die Zeit, welche der Kondensator in Form des Kabels benötigt, um sich zu entladen,
deutlich höher ist als die Laufzeit des entstehenden Signals im Kabel. Dadurch wird das
Signal mehrfach reflektiert und überlagert sich selbst, bevor der Kondensator vollständig
entladen ist. Diese Überlagerung führt zu der rechteckigen Form der Signale, nach dem
41
4 Versuchsdurchführung zu Fresnelsche Formeln“
”
gleichen Prinzip arbeitet auch der Pulsgenerator, welcher die Rechteckpulse in den vorangehenden Versuchsteilen erzeugte. Die Abhängigkeit der Rechteckfrom vom Widerstand
R2 ist deshalb gegeben, weil dieser Widerstand den maximalen Strom und damit die
Zeit, in der sich das Kabel entlädt, regelt. Bei größerem R2 dauert Entladungsvorgang
länger, wodurch sich das Signal öfters selbst überlagert. Dies führt zu einer ausgeprägteren Stufenform.
4 Versuchsdurchführung zu Fresnelsche Formeln“
”
3.5
4.1Fresnelsche
Aufbau Formeln
307
Abbildung 3.5.4: Skizze des Aufbaus zur Polarisationsdrehung durch Reflexion.
Abbildung 25: Versuchsaufbau zum Versuch Fresnelsche Formeln“: Optische Bank
”
mit Schwenkarm und mehreren Bauteilen. Entnommen aus [9]
Die Grundlage des Versuchs bildet eine optische Bank mit Drehtisch und Halbwinkelführung einschließlich Winkelskala. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 25 dargestellt. Als Lampe kam eine Quecksilberdampflampe zum Einsatz, welche mittels Kondensor den Spalt möglichst gut ausleuchten sollte. Die folgende Sammellinse wurde im
Abstand ihrer Brennweite positioniert (die Brennweiten der Linsen sind Abbildung 25 zu
42
Abbildung 3.5.5: Skizze zur Definition der Winkel ϕi und ϕr bei der Polarisationsdrehung
durch Reflexion. Die Einfallsebene ist in dieser Abbildung vertikal dargestellt, liegt beim
im Praktikum verwendeten Aufbau allerdings horizontal.
4 Versuchsdurchführung zu Fresnelsche Formeln“
”
entnehmen). Diese diente der Parallelisierung des Strahlenganges, welche anschließend
mit dem Verfahren der Autokollimation überprüft wurde. Hierbei wurde ein Spiegel
hinter der Linse installiert, der das Licht reflektiert und durch die Linse auf den Spalt
zurückwirft. Die Linse wurde nun so verschoben, dass das reflektierte Licht exakt auf
den Spalt zurückgeworfen wurde. Der Spiegel wurde daraufhin wieder entfernt. An dessen Stelle kam ein Interferenzfilter (λ = 546 nm), der über den gesamten Versuch in
Position blieb. Dieser ist von essentieller Bedeutung, da er das Licht auf einen kleinen
Wellenlängenbereich reduziert, was notwendig ist, da das Verhalten von Licht am Prisma
wellenlängenabhängig ist. Auch konnte so die Intensität des Lichts auf ein verträgliches
Maß reduziert werden. Bevor das Glasprisma, sowie Polarisator und Analysator eingesetzt wurden, musste noch die letzte Sammellinse eingestellt werden. Zuerst stellten wir
dazu den Schwenkarm, welcher bis zu 90 ° ausgelenkt werden konnte, gerade und positionierten die Sammellinse so, dass wir durch das Okular den Beleuchtungsspalt gut
und scharf erkennen konnten. Als nächstes wurde das Prisma eingesetzt. Dieses war an
zwei Basisflächen mit schwarzem Klebeband abgedeckt und wurde mit seiner noch offenen Seite so aufgestellt, dass der parallele Lichtstrahl direkt ins Okular reflektiert wurde.
Anschließend galt es noch die Halbwinkelführung zu überprüfen, um sicherzustellen, dass
bei einer Drehung des Schwenkarms das Prisma um den halben Winkel gedreht wurde
und dass in jeder Position des Arms das Bild des Spaltes im Okular erkennbar war. Die
Installation des Polarisators und des Analysators vervollständigten den Aufbau.
4.2 Ablauf
Nachdem der Versuchsaufbau abgeschlossen war, stellten wir mittels des ersten Polarisationsfilters die Schwingungsebene des auf das Prisma einfallenden Lichtstrahls auf
γe = 45 ° zur horizontalen Einfallsebene ein. Daraufhin galt es nun die Drehung der
Schwingungsebene zu messen. Der zu messende Einfallswinkelbereich lag bei:
90 ° ≥ α ≥ 45 °. Umgerechnet auf den Winkel des Schwenkarms ergibt sich aufgrund der
Halbwinkelführung: 90 ° ≥ ϑ ≥ 0 °. Gemessen wurde in 2,5 ° bzw. 5 ° Schritten. Aufgrund
der mechanischen Halbwinkelführung und der guten Einstellbarkeit derselben sehen den
Fehler hierbei als vernachlässigbar an. Die Bestimmung des Drehwinkels erfolgte folgendermaßen: Wir beobachteten den Spalt durch das Okular und justierten den zweiten
Polarisationsfilter dahingehend, dass der Lichtspalt nur noch in minimaler Intensität zu
erkennen war bzw. ganz verschwand. Diesen Winkel γe notierten wir im Messprotokoll.
43
4 Versuchsdurchführung zu Fresnelsche Formeln“
”
Die Addition von γe und γr ergibt den gesuchten Drehwinkel Γexp der Schwingungsebene.
Die Werte sind in Tabelle 3 aufgelistet. Die Messungenauigkeit wurde von uns auf ±2 °
geschätzt. Im zweiten Teil der Messung sollte der Brewster-Winkel bestimmt werden.
Hierzu wurde der Polarisator auf γe = 0 ° eingestellt damit Einfallsebene parallel zur
Schwingungsebene liegt. Der Analysator wurde entfernt. Nun galt es es den Winkel zu
finden, unter dem die Intensität des Lichtstrahls minimal wird. Das Ergebnis findet sich
in der Auswertung (5.2).
α [°]
90,0
87,5
85,0
82,5
80,0
77,5
75,0
72,5
70,0
67,5
65,0
62,5
60,0
57,5
55,0
52,5
50,0
47,5
45,0
ϑ [°]
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
γe [°]
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
45
γr [°]
-45
-47
-50
-53
-57
-61
-66
-68
-70
-75
-80
-80
-85
-89
-92
-94
-97
-103
-104
Γexp [°]
0
-2
-5
-8
-12
-16
-21
-23
-25
-30
-35
-35
-40
-44
-47
-49
-52
-58
-59
Tabelle 3: Messergebnisse und die daraus resultierenden Drehwinkel
44
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
5.1 Drehung der Schwingungsebene des Lichts
Abbildung 26: Grafische Darstellung der gemessenen Drehwinkel Γexp . Diese wurden aufgetragen über dem Einfallswinkel θe = α. Die Messergebnisse deuten auf
einen linearen Zusammenhang hin.
5.2 Brewster-Winkel und Brechungsindex
Die Messung des Brewster-Winkels ergab: θB = 60 °. Unter Anwendung von Gleichung
(70) lässt sich hieraus der Brechungsindex des Prismas berechnen (nP ):
45
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
θB = arctan
n2
= arctan nP
n1
⇒ nP = tan θB
(87)
(88)
Bei der Bestimmung des Brewster-Winkel gehen wir von einer recht hohen Ungenauigkeit aus (δθB = 2 °). Der Fehler des Brechungsindex ergibt sich nun wie folgt:
δnP =
s
∂nP
· δθB
∂θB
2
=
1
cos2 (θB )
· δθB
(89)
Als Ergebnis erhalten wir: nP = 1, 732 ± 8.
5.3 Theoretische Drehung der Schwingungsebene
Mit dem berechneten Brechungsindex nP lassen sich nun Erwartungswerte für den Drehwinkel α bestimmen. Im Versuch gehen wir von linear polarisiertem Licht (γe = 45 °
gegen die Einfallsebene) aus. Die einfallende elektrische Feldstärke Ee lässt sich nun in
ihre Komponenten parallel (Eep ) und senkrecht (Ees ) zur Einfallsebene zerlegen:
Ee =
Eep
Ees
(90)
Eep = Ee · cos γe
(91)
Ees = Ee · sin γe
(92)
Die Reflexion am Prisma erfolgt nach den Fresnelschen Formeln (61)-(64). Nach der
Reflexion kann man die elektrische Feldstärke wieder analog in ihre zwei Komponenten
zerlegen. Zur Veranschaulichung siehe Abbildung 27.
46
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
Er =
Erp
Ers
(93)
Erp = %p · Ee · cos γe
(94)
Ers = %szur
· EPolarisationsdrehung
e · sin γe
Abbildung 3.5.4: Skizze des Aufbaus
durch Reflexion.(95)
Ee
γe
Er
γr
Abbildung 3.5.5: Skizze zur Definition der Winkel ϕi und ϕr bei der Polarisationsdrehung
durch
Reflexion.
Die Einfallsebene der
ist in
dieser Abbildung
dargestellt,
liegt
beim
Abbildung
27: Veranschaulichung
Bezeichnungen
zum vertikal
Drehwinkel.
Es ist zu
beachim Praktikum verwendeten
Aufbau
allerdings
horizontal.
ten, dass wir den Winkel γr nicht wie in der Zeichnung dargestellt, sondern
in die umgekehrte Drehrichtung gemessen haben. γe und γr haben also
unterschiedliche Vorzeichen.
Versuchsdurchführung
In den meisten Fällen werden die Komponenten verschieden stark reflektiert. Daher
Der Aufbau ist in Abbildung 3.5.4 skizziert.
ändert sich zwangsläufig auch die Richtung des E-Vektors. Misst man nun die beiden
1. Leuchten
Siebeide
den mit
Beleuchtungsspalt
Hilfe der Kondensorlinse
= 65 mm)
Winkel
γe und γ
Blick entgegen mit
der Strahlenrichtung,
so erhält (f
man:
r
möglichst gut aus.
2. Machen Sie den Strahlengang mit Hilfe einer Sammellinse (f = 200 mm) parallel,
Ers
%s
indem Sie diese im Abstand
vom Spalt aufstellen. Über= Brennweite
· tan γe
(96)
tan ihrer
γr = eigenen
Erp
%p
Aus (61) und (63) ergibt sich:
sin (θe −θg )
%s
cos (θe − θg )
cos θe · cos θg + sin θe · sin θg
sin (θ +θ )
= tan (θee −θgg ) = −
=
%p
cos der
(θeUniversität
+ θg ) Konstanz
cos θe —
· cos
− sinGebrauch
θe · sinbestimmt
θg
Physikalisches
Anfängerpraktikum
zumθg
internen
(97)
tan NICHT
(θe +θg )den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Diese Anleitung ersetzt
Dieser Abschnitt: Revision: 32 , Date: 2010-05-06 11:55:06 +0200 (Do, 06 Mai 2010)
Gesamtversion: kompiliert am 1. April 2011 um 15:00 Uhr
Durch eine Umstellung des Snelliusschen Brechungsgesetzes (52) erhält man:
47
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
ne
· sin θe
ng
s
n2
cos θg = 1 − e2 · sin2 (θe )
ng
sin θg =
(98)
(99)
Dies eingesetzt in (97) ergibt:
q
2
1 − nn2e · sin2 (θe ) + nnge · sin2 θe
%s
g
q
=−
2
n
%p
cos θe · 1 − ne2 · sin2 (θe ) − nnge · sin2 θe
g
q 2
n
cos θe · ng2 − sin2 (θe ) + sin2 θe
q 2e
=−
n
cos θe · ng2 − sin2 (θe ) − sin2 θe
cos θe ·
(100)
(101)
e
Wenn wir das Ergebnis nun wieder in Gleichung (96) einsetzten und
ersetzen, erhalten wir:
ng/ne
durch np
q
n2p − sin2 (θe ) + sin2 θe
q
tan γr = −
· tan γe
(102)
2
2
2
cos θe · np − sin (θe ) − sin θe
q


cos θe · n2p − sin2 (θe ) + sin2 θe
q
= γe + γr = γe + arctan −
· tan γe  (103)
2
2
cos θe · n2p − sin (θe ) − sin θe
cos θe ·
⇒ Γtheo
Das Resultat ist in Tabelle 4 aufgelistet und in Abbildung 28 graphisch dargestellt. Der
Fehler ließe sich nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung über die partiellen Ableitungen
berechnen. Die ist jedoch mit einem großen Aufwand verbunden, da Gleichung (102)
schwierig zu differenzieren ist. Wir versuchen also den Fehler möglichst gut abzuschätzen.
Γtheo hängt prinzipiell von zwei fehlerbehafteten Größen ab. Zum einen von θe , also α und
zum anderen von np . Da der Fehler für np relativ groß ist, erwarten wir, dass so auch der
Fehler des errechneten Wertes größer sein wird, als die Ungenauigkeit bei der direkten
Messung. Zum Vergleich des berechneten und des gemessenen Drehwinkels haben wir
zusätzlich die Diskrepanz ∆Γ gebildet.
48
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
α [°]
90
87,5
85
82,5
80
77,5
75
72,5
70
67,5
65
62,5
60
57,5
55
52,5
50
47,5
45
Γexp [°]
0
-2
-5
-8
-12
-16
-21
-23
-25
-30
-35
-35
-40
-44
-47
-49
-52
-58
-59
Γtheo [°]
0,00
-3,54
-7,09
-10,68
-14,31
-18,00
-21,74
-25,55
-29,40
-33,30
-37,21
-41,12
-45,00
-48,81
-52,53
-56,12
-59,56
-62,82
-65,90
∆Γ [°]
0,00
1,54
2,09
2,68
2,31
2,00
0,74
2,55
4,40
3,30
2,21
6,12
5,00
4,81
5,53
7,12
7,56
4,82
6,90
Tabelle 4: Vergleich der gemessen und der errechneten Drehwinkel über deren Diskrepanz. Bei dem errechneten Winkel Γtheo muss beachtet werden, dass wir aufgrund unserer Messkonvention in unterschiedliche Richtungen in Gl. (102)
jeweils −90 °+γr einzusetzen hatten.
5.4 Fehlerdiskussion
Die Drehung der Schwingungsebene von Licht konnte in diesem Versuch gut untersucht
werden. Die gemessenen Werte stimmen auch prinzipiell mit den zu Erwartenden überein. Bei der Bestimmung des Brechungsindex kamen wir auf einen sehr hohen Fehler.
Hier hätte es sich wohl angeboten, eine Mehrfachmessung des Winkels von verschieden Personen durchzuführen. So hätte man die Werte mitteln können. Jedoch ist auch
unser einmal gemessener Wert durchaus plausibel. Allgemein kann man alle Messungen, bei denen wir mit unserem Auge ein Minima bzw. Maxima bestimmt haben, als
sehr fehleranfällig betrachten. Das Auge eignet sich in diesem Versuch nur bedingt zur
Unterscheidung der Lichtintensität. Unseren Fehler haben wir auf ±2 ° betitelt, er war
bei manchen Werten allerdings mit Sicherheit höher. An dieser Stelle hätte wohl ein
elektronisches Messgerät einen besseren Dienst geleistet.
49
5 Auswertung zu Fresnelsche Formeln“
”
Abbildung 28: Grafische Darstellung der gemessenen und der erwarteten Drehwinkel
Der Vergleich von unseren berechneten Drehwinkeln mit den gemessenen Drehwinkeln
(siehe Abbildung 28) zeigt, dass die gemessenen Werte stets etwas über den berechneten
liegen. Hier ist wohl von einem systematischen Fehler auszugehen. Wir schätzen, dass
dieser im Versuchsaufbau lag. Beispielsweise war der Lichtstrahl möglicherweise nicht
ganz parallel, die Polarisierung unzureichend oder Bauteile verschmutzt. Jedoch sehen
im Rahmen unserer Messgenauigkeit die Fresnelschen Formeln als bestätigt an.
50
6 Fragen und Aufgaben zum Versuch Hochfrequenzsignale“
”
6 Fragen und Aufgaben zum Versuch
Hochfrequenzsignale“
”
1. Warum genügt in Aufbau 2 ein T-Stück anstatt eines Powersplitters?
Wenn ein Puls vom Pulsgenerator auf das T-Stück trifft, wird er dort teilweise
reflektiert. Am Generator findet allerdings aufgrund der dort herrschenden Dämpfung keine weitere Reflexion statt, ebenso werden die Pulse am Oszilloskopeingang
nicht reflektiert. Es bleibt folglich nur noch die Reflexion im Koaxialkabel. Diese
kann jedoch ebenso vernachlässigt werden, weil die Amplitudenverluste aufgrund
der Dämpfung des Kabels so groß sind, dass Reflexionen im Koaxialkabel die Messung nicht stören.
2. Was bedeutet 50 Ω-Ausgang“ am Impulsgenerator bzw. 1 MΩ Eingangsimpe”
”
danz“ am Oszilloskop?
Die Angabe 50 Ω-Ausgang am Pulsgenerator bedeutet, dass am Ausgang des Generators ein Widerstand von 50 Ω eingebaut, welcher den maximalen Strom, den das
Gerät liefern kann, begrenzt. Wird der Generator kurzgeschlossen, so beschreibt
dieser Widerstand außerdem das Verhältnis von Kurzschlussspannung zu Kurzschlussstrom.
1 MΩ Eingangsimpedanz am Oszilloskop steht für den Wellenwiderstand, welcher
an diesem Eingang des Oszilloskops vorliegt und somit für den Widerstand, mit
dem das eingesteckte Kabel abgeschlossen wird.
3. Erklären Sie, warum jede Art von Wellenleiter durch das in Abb. 11 gezeigte Ersatzschaltbild beschrieben werden kann.
Siehe Abschnitt 2.5.2.
4. Erklären Sie, warum bei der Impulserzeugung mittels Koaxialkabels keine Kondensatorentladekurve, sondern rechteckige Impulse zu sehen sind.
Siehe Abschnitt 3.5.
5. Warum sind die Pulse nur nahezu rechteckig? Warum sind in allen Versuchsteilen
die reflektierten Impulse weniger rechteckig“ als die ursprünglichen Impulse?
”
51
7 Fragen und Aufgaben zum Versuch Fresnelsche Formeln“
”
Der Impulsgenerator überlagert Sinusschwingungen nach dem Prinzip der Fourierreihenentwicklung, um einen möglichst rechteckigen Spannungsverlauf zu erzeugen. Für einen vollständig rechteckigen Verlauf wäre jedoch die Überlagerung
unendlich vieler Schwingungen erforderlich, was natürlich nicht möglich ist, weshalb kein sofortiger Amplitudenanstieg-/abfall stattfindet, sondern dieser immer
übergangsweise, wenn auch sehr schnell geschieht.
Dass die reflektierten Impulse eine geringere Rechteckform aufweisen, hängt damit zusammen, dass Signale unterschiedlicher Frequenzen unterschiedlich stark
gedämpft werden. Beispielsweise ist der Wellenwiderstand des Koaxialkabels gemäß
Gleichung (38) von der Frequenz abhängig. Durch diese unterschiedliche große
Dämpfung verändern sich die Wellen, welche für die Rechteckform überlagert wurden, wodurch selbige gestört wird.
6. Erklären Sie, ausgehend von Abb. 11 für die Bandleitung, unter Zuhilfenahme der
Maxwellgleichungen die Feld- und Stromverteilungen einer TEM-Welle im Koaxialkabel.
Siehe Abschnitt 2.5.1.
7 Fragen und Aufgaben zum Versuch Fresnelsche
”
Formeln“
1. Wie sieht die Strahlungscharakteristik eines Hertzschen Dipols aus?
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Strahlungscharakteristik, dass die reflektierte Intensität gleich null wird, wenn Licht unter dem Brewster-Winkel auf eine
Glasfläche auftrifft und gleichzeitig seine Schwingungsebene parallel zur Einfallsebene ist. Skizzieren Sie!
Ein Hertzscher Dipol strahlt bevorzugt in die Richtung senkrecht zu seiner Schwingungsachse. In Richtung der Dipolachse wird hingegen keinerlei Energie abgestrahlt.
52
%
&
magnetisches Feld an jedem Raumpunkt wechselseitig
1
− p̈(t − r/c) × r × r (6.34c)
E2 (r, t) =
2
3
durch ihre zeitlichen Änderungen. Die so entstehenden
4πε0 c r
Sekundärfelder überlagern sich den primär vom Dipol
&
1 %
erzeugten Feldern. In wachsender Entfernung vom Di=
p̈(t − r/c) − (r̂ · p̈(t − r/c))r̂
2
7
Fragen
und
Aufgaben
zum
Versuch
Fresnelsche
4πε0 c r
pol wird der relative Anteil der Sekundärfelder immer
”
größer, weil ihr Anteil nur mit 1/r abfällt, während der
2
vom Dipol direkt erzeugte Anteil mit 1/r abfällt.
Das elektrische Feld E können wir mithilfe des
→
elektrischen Potentials φel bestimmen, welches mit
Je
t = t0
dem Vektorpotential A durch die Lorentzsche Eichbedingung (4.29)
+
1 ∂φel
→
div A = − 2
(6.31)
t = t 0 + T/4
Je = 0
c ∂t
zusammenhängt. Mit A = {0, 0, A z } wird div A =
–
∂A z /∂z, und wir können völlig analog zur Berechnung von Bx in (6.28) die Differentiation ausführen und
erhalten aus (6.25)
→
!
" # $
Je
t = t 0 + T/2
r · ṗ + rc p̈ (t − r/c)
1
.
(6.32)
∇·A=−
2
3
4πε0 c
r
Mit (6.31) ergibt dies für das elektrische Potential
durch zeitliche Integration:
!
"r # $
1 r · p + c ṗ (t − r/c)
–
φel (r, t) =
,
(6.33)
4πε0
r3
→
t = t 0 + 3/4T
Je = 0
woraus wir schließlich wegen (4.28)
∂A
+
E = −∇φel −
∂t
das elektrische Feld als Summe zweier Anteile erhalten:
E(r, t) = E1 (r, t) + E2 (r, t) .
(6.34)
Der erste Term lässt sich aus (6.33) durch Bildung des
Gradienten ableiten. Man erhält:
"
# $
1 ! ∗
− p + 3 p∗ · r̂ · r̂
(6.34a)
E1 (r, t) =
4πε0r 3
mit
r
p∗ = p(t − r/c) + ṗ(t − r/c)
(6.34b)
c
und r̂ = r/r. Dies ist das Feld eines elektrischen, zeitabhängigen Dipols p∗ , wenn man die Retardierung
berücksichtigt. Das elektrische Feld E1 (r, t) entsteht
durch das elektrische Dipolmoment zur Zeit (t − r/c)
→
Formeln“
t = t0 + T
Je
Abb. 6.24. Elektrisches Feldlinienbild des Hertzschen Dipols zu Zeitpunkten t = t0 + n · T/4. Die Verteilung ist
rotationssymmetrisch um die Dipolachse
Abbildung 29: Verlauf der elektrischen Feldlinien eines Hertzschen Dipols inklusive der
Stromrichtung zu den Zeitpunkten t = 0, t = T/4, t = T/2 und t = 3T/4
aus [4], S. 186.
Trifft eine elektromagnetische Welle auf eine Grenzfläche wie beispielsweise Glas,
so werden die Atomelektronen in dem Medium, in das die Welle eintritt, zu Schwingungen angeregt und emittieren wiederum selbst elektromagnetische Wellen, die
dann den reflektierten und den transmittierten Teil der einfallenden Welle bilden.
Die Schwingungsachse zeigt hierbei in Richtung des elektrischen Vektors der Welle
in dem Medium, in das sie eingetreten ist. Dieser elektrische Vektor liegt in der
gleichen Schwingungsebene wie der elektrische Vektor der Welle vor dem Eintritt,
folglich liegt auch die Schwingungsachse der Elektronen in der Grenzschicht in
dieser Ebene. Außerdem steht die Schwingungsachse senkrecht auf dem Vektor
kg . Das bedeuet, dass die Schwingungsachse der Elektronen in der Grenzschicht
genau dann in die Ausfallsrichtung des reflektierten Teils der einfallenden Welle
53
7 Fragen und Aufgaben zum Versuch Fresnelsche Formeln“
”
zeigt, wenn diese Ausfallsrichtung senkrecht auf kg steht und die Schwingungsebene der Welle parallel zur Einfallsebene liegt. Wenn kg ⊥ kr ist, dann gilt auch
θe + θg = 90, was genau dann er Fall ist, wenn θe = θB ist. Fällt die Welle unter
diesen Umständen ein, so schwingen die Elektronen in der Grenzschicht in Richtung kr . Diese schwingenden Elektronen können als Hertzsche Dipole aufgefasst
werden, welche dann genau in Ausfallsrichtung des reflektierten Teils der Welle
schwingen, wodurch die Intensität in diese Richtung null ist und keine Reflektion
stattfindet, weil ein Hertzscher Dipol keine Wellen in Richtung seiner Schwingungsachse aussendet.
2. Erklären Sie die Funktionsweise der mechanischen Halbwinkelführung.
Die mechanische Halbwinkelführung besteht aus einer unbeweglichen und einer
beweglichen Stange, die über ein Scharnier verbunden sind. Auf der Winkelhalbierenden des Winkel zwischen diesen Stangen befindet sich eine weitere Stange, die
ebenfalls mittels eines Scharniers mit den beiden äußeren verbunden ist. Dadurch
wird bei Verstellen des äußeren Winkels mittels der beiden äußeren Stange der
innere Winkel an der inneren Stange exakt um die Hälfte verstellt. Dies hat den
Vorteil, dass sich der Einstellfehler halbiert.
3. Wie funktioniert eine Polarisationsfilterfolie?
Siehe Abschnit 2.10.1.
4. Ein Lichtstrahl verlaufe in Luft und treffe dann senkrecht auf eine ebene Glasflaäche mit der Brechzahl n=1,5. Welcher Intensitätsanteil des Lichtes wird reflektiert?
Leiten Sie den entsprechenden Spezialfall aus den Fresnelschen Formeln (61)
und (63) ab.
Spielt die Polarisation eine Rolle?
Gegeben: n1 = 1, n2 = 1, 5, θe = 0°. Einsetzen in Gl. (52) liefert:
n2
sin θe
=
⇒ θg = arcsin
sin θg
n1
n1 sin θe
n2
54
= arcsin
1·0
1, 5
= 0°
(104)
7 Fragen und Aufgaben zum Versuch Fresnelsche Formeln“
”
Weiteres Einsetzen aller nun bekannten Werte in die Gl. (61) und (63) liefert:
1 − 1, 5
= −0, 2
1 + 1, 5
1, 5 − 1
%p =
= 0, 2
1, 5 + 1
%s =
(105)
(106)
Damit gilt |%s | = |%p |, beide Reflexionskoeffizienten haben sich also betragsmäßig
auf den gleichen Wert verringert. Deshalb ist die Polarisation der einfallenden
Welle für die Reflexion unerheblich. Da die Intensität der reflektierten Welle vom
Quadrat der Reflexionskoeffizienten abhängt, welches %2s = %2p = 0, 04 ist, wird ein
Anteil von 4% der ursprünglich einfallenden Intensität reflektiert.
5. Zur Aussiebung eines schmalen Wellelängenbereiches aus einem breiten Spektrum
kann ein sog. Christiansen-Filter verwendet werden. Dieses besteht aus vielen
Körnern eines im gewünschten Spektralbereich möglichst nicht absorbierenden Stoffes, die zwischen zwei planparallelen Platten in eine Flüssigkeit eingebettet sind.
Die Flüssigkeit muss für die gewünschte Wellenlänge den gleichen Brechungsindex
wie die Körner haben, für kleinere oder größere Wellenlängen aber einen anderen
Brechungsindex.
Beschreiben Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 4 die Funktionsweise eines solchen Filters.
Die in der Flüssigkeit verteilten Körner dürfen nur für den gewünschten Spektralbereich den gleichen Brechungsindex nK haben wie die umgebende Flüssigkeit mit
dem Brechungsindex nF selbst, für andere Spektralbereiche müssen sich die Brechungsindizes unterscheiden. Geht man von θe = 0° aus, so ergibt sich analog zu
Aufgabe 4 aus Gl. (52):
θg = 0°
(107)
Setzt man nun alle bekannten Werte in die Gleichung (61) - (64) ein, so gilt für
den Spektralbereich, in dem nK = nF ist, wenn eine sich eine elektromagnetische
55
Abbildungsverzeichnis
Welle in der Flüssigkeit befindet und auf ein Korn trifft:
nF − nK
nF + nK
2nF
τs =
nF + nK
nK − nF
%s =
nK + nF
2nF
τs =
nK + nF
%s =
=0
(108)
=1
(109)
=0
(110)
=1
(111)
Das bedeutet, dass die Welle in diesem Fall bis auf die Absorption komplett transmittiert wird, der reflektierte Anteil ist 0. In anderen Wellenlängenbereichen jedoch, in denen nF 6= nK gilt, ändern sich natürlich die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten, sodass ein geringerer Anteil der Welle transmittiert und ein größerer Anteil reflektiert wird. Dieser Vorgang findet an jedem Korn in der Flüssigkeit
statt, auf das die elektromagnetische Welle trifft, während sie das Filter passiert
und jedesmal wird nur der gewünschte Wellenlängenbereich zu fast 100% transmittiert, andere Bereiche werden jedoch teilweise reflektiert. Auf diese Weise ist
es mit dem Christiansen-Filter möglich, einen bestimmten Wellenlängenbereich
aus einem Spektrum auszusieben.
8 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Phasenverschiebung beim kapazitiven Widerstand
Kapazitiver Widerstand in der komplexen Ebene .
Phasenverschiebung beim induktiven Widerstand
Induktiver Widerstand in der komplexen Ebene .
Schaltbild LCR-Schaltung . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Widerstandsebene . . . . . . . . . . . .
56
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
9
10
10
12
Literatur
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Tabellenverzeichnis
Feldlinienverlauf Bandleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldlinienverlauf Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematischer Aufbau eines Koaxialkabels . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldlinienverlauf Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ersatzschaltbild eines Wellenleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skizze zum Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine Grenzfläche
Skizze zur Herleitung der Fresnelschen Formeln . . . . . . . . . . . . .
Grafische Darstellung von Reflexions- und Transmissionkoeffizienten sowie des Brewster-Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung der linearen, zirkularen und elliptischen Polarisation . . . . .
Schema analoges Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung Pulslaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramm zur Reflexion in Abhängigkeit vom Abschlusswiderstand . . .
Messung des einmal durchgelaufenen und des reflektierten Signals . . . .
Messung der Reflexion an offenen Enden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung der Reflexion an geschlossenen Enden . . . . . . . . . . . . . . .
Messung der Reflexion an kurzgeschlossenen Enden . . . . . . . . . . . .
Schaltbild zur Erzeugung kurzer Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entladungskurven des Koaxialkabels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau Fresnelsche Formeln“ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
Auswertung der gemessen Drehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranschaulichung der Bezeichnungen zum Drehwinkel . . . . . . . . . .
Gemesse und erwartete Drehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlungscharakteristik eines Hertzschen Dipols . . . . . . . . . . . . .
13
14
14
15
17
20
22
24
28
31
34
35
37
38
39
40
41
41
42
45
47
50
53
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
Tabelle Pulslaufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabelle Eingangs- und reflektierte Spannung . . . . . .
Gemesser Drehwinkel der Polarisationsebene . . . . . .
Vergleich der gemessen und der errechneten Drehwinkel
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Literatur
[1] Elektronenstrahl-Oszilloskop, Digital-Speicher-Oszilloskop und Funktionsgenerator.
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Literatur
Literatur
http://physikpraktika.uni-oldenburg.de/download/gpr/pdf/Oszilloskop.
pdf. Wurde ausschließlich als Bildquelle verwendet. Entnommen am 17.04.2011.
[2] Koaxialkabel. http://de.wikipedia.org/wiki/Koaxialkabel. Wurde ausschließlich als Bildquelle verwendet. Entnommen am 17.04.2011.
[3] Polarisation. http://de.wikipedia.org/wiki/Polarisation. Wurde ausschließlich als Bildquelle verwendet. Entnommen am 24.04.2011.
[4] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 5. Auflage, 2009.
[5] Eichler, Hans J., Heinz-Detlef Kronfeldt und Jürgen Sahm: Das neue
physikalische Grundpraktikum. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1. Auflage, 2001.
[6] Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik, Band 1. Wissenschaftlicher Verlag
Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 6. Auflage, 2002.
[7] Meschede, Dieter: Gerthsen Physik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, 23. Auflage, 2005.
[8] Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 8. Auflage, 2007.
[9] Runge, Bernd-Uwe: Hochfrequenzsignale.
Anleitung zum physikalischen
Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 16.04.2011.
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