Technische Universit ¨at M ¨unchen Zentrum Mathematik Prop

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik - WS 11/12
Prof. Dr. A. Taraz, Dr. O. Cooley,
Klausurvorbereitung
Die Klausur zum Propädeutikum Diskrete Mathematik findet am Samstag, den 18.2.2012 von
12:00 Uhr bis 13:30 Uhr im Audimax und Carl von Linde Hörsaal am Stammgelände statt.
Zur Klausur sind keine Hilfsmittel außer Schreibzeug (insbesondere keinerlei Taschenrechner, Smartphone o.ä.) zugelassen. Bitte erscheinen Sie rechtzeitig und bringen Sie Ihren Studentenausweis mit.
Auf diesem Blatt finden Sie Aufgaben, deren Schwierigkeitsgrad in etwa den in der Klausur gestellten Aufgaben entspricht.
Am 13.2.2012 findet ein eintägiger Wiederholungskurs statt. Ort und genaue Zeit finden Sie auf
der Vorlesungshomepage. Im Rahmen dieses Wiederholungskurses werden wir wichtige Inhalte der
Vorlesung wiederholen und eine Auswahl der Aufgaben dieses Blattes besprechen. Diese Auswahl
können Sie durch Feedback in Ihre Tutorübung beeinflussen. Darüber hinaus wird es keine weiteren
Musterlösungen zum Download geben.
Aufgabe K.1
Betrachten Sie die Rekursion an+1 = 3an + 4 · 2n für alle n ≥ 0 mit a0 = 0.
P
a) Zeigen Sie, dass für A(x) := n≥0 an xn gilt
A(x) =
4x
.
(1 − 3x)(1 − 2x)
b) Bestimmen Sie α, β ∈ R mit
4x
α
β
=
−
.
(1 − 3x)(1 − 2x)
1 − 3x 1 − 2x
c) Leiten Sie daraus eine explizite Formel für an ab.
Aufgabe K.2
a) Bei einer Wahl geben 101 Personen jeweils eine Stimme für einen von vier Kandidaten ab. Wieviele
mögliche Wahlausgänge gibt es?
b) Bei einer Wahl geben 101 Personen jeweils eine Stimme für einen von drei Kandidaten ab. Wieviele
mögliche Wahlausgänge gibt es, bei denen keiner der Kandidaten mehr als 50 Stimmen erhält?
Hinweis: Hierbei ist die Lösung von a) nicht von Nutzen. Betrachten Sie stattdessen, wieviele
Stimmen der zweite Kandidat bekommen kann, falls der erste i Stimmen erhält.
Aufgabe K.3
In einem Graphen G habe eine größte stabile Menge genau l Knoten. Außerdem besitze jeder Knoten
von G höchstens k Nachbarn. Beweisen Sie, dass G höchstens l(k + 1) Knoten hat.
Bitte wenden!
Aufgabe K.4
Für n ∈ N sei X := [n]. Im Folgenden betrachten wir das Poset P = (P(X), ) mit A B genau
dann wenn A ⊂ B für A, B ∈ P(X).
a) Stellen Sie für n = 3 das Hassediagramm für P dar.
b) Sei A = [k]. Wieviele längste Ketten gibt es in P , die A enthalten?
Aufgabe K.5
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit n Knoten.
a) Sei S ⊂ V mit S 6= V beliebig, sodass G[S] zusammenhängend ist. Zeigen Sie, dass es dann ein
x ∈ V \ S gibt, sodass G[S ∪ {x}] zusammenhängend ist.
b) Folgern Sie aus a), dass es eine Reihenfolge v1 , v2 , . . . , vn der Knoten gibt, sodass für alle Vi :=
{v1 , . . . , vi } mit i ∈ [n] der Graph G[Vi ] zusammenhängend ist.
Aufgabe K.6
Füllen Sie die folgenden Lücken ohne Angabe einer Begründung.
a) Die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge ist
b) Der vollständige Graph auf 2n Knoten K2n hat
c) Es gibt
.
viele perfekte Matchings.
Zahlen in [1000], die durch 2 oder 5 teilbar sind.
Hinweis: Inklusion-Exklusion.
d) Es gibt
viele Möglichkeiten, 60 Punkte so auf 5 Aufgaben zu verteilen, dass Aufgabe
i mindestens i Punkte erhält.
Aufgabe K.7
Gegeben sei die Rekursionsvorschrift an+1P
= 2an + 12 (n + 2)(n + 1) mit Startwert a0 = 0. Zeigen Sie,
dass für die erzeugende Funktion A(x) = n≥0 an xn gilt
A(x) =
Verwenden Sie dafür, dass
1
(1−x)k+1
=
P
n≥0
x
.
(1 − 2x)(1 − x)3
n+k n
k x für k ∈ N gilt.
Aufgabe K.8
Zeigen Sie:
a) Sei A eine endliche, nichtleere Menge. Dann gibt es keine surjektive Abbildung von A nach P(A).
b) Es gibt zusammenhängende Graphen mit Minimalgrad 2, die weder eine Eulertour, noch einen
Hamiltonkreis besitzen.
c) Es gibt 7! 85 5! Möglichkeiten, sieben (unterscheidbare) Frauen und fünf (unterscheidbare) Männer
so in eine Reihe zu stellen, dass keine zwei Männer nebeneinander stehen.
Aufgabe K.9
Sei G = (V, E) ein Graph und v ∈ V ein Blatt in G, d.h. deg(v) = 1. Sei G0 der Graph, der aus G
entsteht, wenn das Blatt v und die zugehörige Kante entfernt werden.
Beweisen Sie: G ist Baum, genau dann wenn G0 ein Baum ist.
Aufgabe K.10
Geben Sie ohne Begründungen an:
a) Seien M1 , M2 , M3 beliebige endliche Mengen. Laut Inklusion-Exklusion-Formel gilt für |M1 ∪
M2 ∪ M3 |:
b) Die partielle Ordnung R besteht aus der Menge [2012] mit der Teilbarkeitsrelation, das heißt,
a 4 b genau dann, wenn b durch a teilbar ist. Dann ist die Kardinalität einer längsten Kette in R
gleich
Aufgabe K.11
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bei dieser Aufgabe müssen die Antworten nicht
begründet werden.
Pro Teilaufgabe erhalten Sie bei richtiger Antwort 1, bei fehlender Antwort 0 und bei falscher
Antwort −1 Punkte. Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
(i) Es gibt n5 Möglichkeiten, eine Tüte mit n Gummibären von 5 Farben zu füllen, sodass alle
Farben in der Tüte vorkommen.
(ii) Zu füllen ist wiederum eine Tüte mit n Gummibären von 5 Farben. Sei x die Anzahl der
Möglichkeiten, dies so zu tun, dass die Tüte höchstens 2 Farben enthält und y die Anzahl der
Möglichkeiten, dies so zu tun, dass die Tüte mindestens 2 Farben enthält. Dann ist x + y gleich
der Anzahl aller Möglichkeiten, die Tüte mit n Gummibären zu füllen.
8
(iii) Es gibt 13
10 5 Möglichkeiten, 10 rote und 5 grüne Gummibären (evtl. ungerecht) auf Lisa,
Knut, Theo und Mandy aufzuteilen.
(iv) Ein Graph, der keinen induzierten Kreis ungerader Länge enthält, ist stets 2-färbbar.
Aufgabe K.12
Es sei G ein Graph. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:
i) G ist bipartit.
ii) Für jeden Subgraphen H ⊂ G gilt: H hat eine stabile Menge, die mindestens die Hälfte der
Knoten von H enthält.
Bitte wenden!
Aufgabe K.13
Es sei G = (V, E) ein Graph mit |V | = n. Es gebe k ∈ [n] und eine Nummerierung v1 , . . . , vn der
Knoten, sodass für alle i ∈ [n] gilt: Der Knoten vi hat im Graphen G[{v1 , . . . , vi }] Grad höchstens k.
Zeigen Sie, dass χ(G) ≤ k + 1.
Aufgabe K.14
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bei dieser Aufgabe müssen die Antworten nicht
begründet werden.
Pro Teilaufgabe erhalten Sie bei richtiger Antwort 1, bei fehlender Antwort 0 und bei falscher
Antwort −1 Punkte. Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
(i) Jeder bipartite Graph G = (V, E) mit |E| ≥ 1 hat chromatische Zahl 2.
(ii) Eine asymmetrische Relation (eine Relation, die nicht symmetrisch ist) ist auch antisymmetrisch.
(iii) Es gibt für das Nobelrestaurant Combinatorial Oasis 7!Sn,7 Möglichkeiten, n Menüs so auf eine
Woche zu verteilen, dass jeden Tag mindestens ein Menü angeboten wird.
(iv) Es gibt nn−1 bijektive Abbildungen von [n] nach [n].
Aufgabe K.15
Geben Sie ohne Begründungen an:
a) Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass in einem bipartiten Graphen G = (A ∪
B, E), ein Matching existiert, welches alle Knoten aus A überdeckt.
b) Die maximale Kardinalität einer Antikette in der partiellen Ordnung (P([n]), ⊂).
Aufgabe K.16
Sei G ein Graph mit n Knoten und m Kanten, der keine 3-Clique K3 als Subgraphen enthält. Zeigen
Sie, dass dann m ≤ 41 n2 . Hinweis: Führen Sie dazu eine Induktion über n aus. Entfernen Sie im
Induktionsschritt zwei benachbarte Knoten x und y aus G, und überlegen Sie dann, ob einer der
verbleibenden Knoten sowohl zu x als auch zu y benachbart gewesen sein kann.
Aufgabe K.17
Füllen Sie die folgenden Lücken ohne Angabe einer Begründung.
(i) Beim Würfeln mit zwei roten und einem blauen Würfel gibt es
liche Würfelausgänge.
unterschied-
Möglichkeiten, 32 Karten auf 3 Spieler so aufzuteilen, dass jeder
(ii) Es gibt
Spieler 10 Karten erhält und 2 Karten übrigbleiben.
(iii) Die Anzahl der Graphen mit Knotenmenge [n] ist
.
Aufgabe K.18
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bei dieser Aufgabe müssen die Antworten nicht begründet werden.
Pro Teilaufgabe erhalten Sie bei richtiger Antwort 1, bei fehlender Antwort 0 und bei falscher
Antwort −1 Punkte. Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
(i) Sei G ein Graph, M ein Matching in G und P ein M -augmentierender Pfad. Sei M 0 das
Matching, das aus M durch augmentieren entlang P entsteht und P 0 ein M 0 -augmentierender
Pfad. Dann gilt stets P 6⊂ P 0 .
(ii) Sei G ein Graph, der aus dem Graphen Kn durch Entfernen der Kanten eines beliebigen Kreises
entsteht. Falls n ≥ 6, so besitzt G einen Hamilton Kreis.
(iii) Es gibt weniger geordnete 7-Partitionen der Zahl 10 als Teilmengen der Größe 7 von [10].
(iv) Der dargestellte Graph hat chromatische Zahl 3.
Aufgabe K.19
Sei G ein Graph der aus dem K42 durch Löschen eines beliebigen perfekten Matchings entsteht. Hat
G eine Eulertour? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe K.20
Sei G = (V, E) ein planarer Graph mit n Knoten, m Kanten und g Gebieten, der aus k Zusammenhangskomponenten G1 , . . . , Gk besteht. Beweisen Sie mittels Induktion über k, dass n−m+g = k +1
gilt.
Aufgabe K.21
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bei dieser Aufgabe müssen die Antworten nicht
begründet werden.
Pro Teilaufgabe erhalten Sie
bei richtiger Antwort
bei fehlender Antwort
und bei falscher Antwort
1
0
−1
Punkt,
Punkte
Punkt.
Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
(i) Kein Graph mit n Knoten und n2 /3 Kanten ist bipartit.
(ii) Es gibt 83 Möglichkeiten, mit vier unterscheidbaren Würfeln eine Summe der Augenzahl genau
9 zu würfeln.
(iii) Sei (ai )i∈N0 eine Folge mit erzeugender Funktion A(x) und (bi )i∈N0 eine Folge mit erzeugender
Funktion B(x). Dann ist A(x) + B(x) die erzeugende Funktion der Folge (ai + bi )i∈N0 .
Bitte wenden!
Aufgabe K.22
Die Folge (an )n∈N0 habe die erzeugende Funktion
A(x) =
1
.
(1 − 2x)2
Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N0 gilt:
Sie dürfen verwenden, dass
1
(1−x)k+1
an = (n + 1)2n .
n
P
= n≥0 n+k
k x k ∈ N gilt.
Aufgabe K.23
Für n ∈ N sei mn die Anzahl Möglichkeiten, eine Mauer der Länge n und Höhe (überall) 2 aus Dominosteinen (von denen jeder Länge 2 und Höhe 1 hat), die senkrecht oder waagerecht gelegt werden
können, zu bauen. Dann sind zum Beispiel m1 = 1 und m2 = 2. Stellen Sie eine Rekursionsbeziehung
für mn auf und Begründen Sie diese.
Aufgabe K.24
Gegeben sei ein Schachbrett B der Größe 2n × 2n (n ∈ N), aus dem die obere rechte Ecke ausgeschnitten wird, und außerdem ein Dominostein L, der genau die Felder a1, a2, b1 des Schachbrettes
überdecken kann. Zeigen Sie, dass B vollständig mit nichtüberlappenden Kopien von L bedeckt
werden kann.
Aufgabe K.25
Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?
Begründungen müssen nicht angegeben werden. Richtige Antworten ergeben +2 Punkte, falsche
Antworten -2 Punkte, keine Antwort 0 Punkte. Eine negative Gesamtpunktzahl bei dieser Aufgabe
ist nicht möglich.
a) Ist G bipartit, so ist G planar.
wahr falsch
b) Es sei G = (V, E) kreisfrei und k ∈ N die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von G. Dann gilt |E| = |V | − k.
wahr falsch
c) 800 Zahlen in [3000] sind nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar.
wahr falsch
d) Wenn M1 und M2 zwei Matchings in einem Graphen G sind mit |M2 | > |M1 |,
dann ist jeder Weg in M1 ∆M2 mit einer ungeraden Anzahl von Kanten ein
M1 -augmentierender Weg.
wahr falsch
Aufgabe K.26
Es sei G = (V, E) ein Graph auf n Knoten und σ : [n] → V eine bijektive Funktion, die eine
Reihenfolge der Knoten definiert. Dann ist Greedy(G, σ) die Anzahl der Farben, die eine GreedyFärbung des Graphen, bei der die Knoten in Reihenfolge σ gefärbt werden, benötigt.
a) Zeigen Sie, dass es für jeden Graphen G eine Reihenfolge σ gibt mit Greedy(G, σ) = χ(G).
b) Konstruieren Sie (rekursiv) für jedes k ∈ N einen Baum Tk und eine Reihenfolge σk , so dass
Greedy(Tk , σk ) = k ist.