Vorbemerkung - Martin Ueding

Vorbemerkung
Dies ist ein abgegebener Übungszettel aus dem Modul physik311.
Dieser Übungszettel wurde nicht korrigiert. Es handelt sich lediglich um meine Abgabe und
keine Musterlösung.
Alle Übungszettel zu diesem Modul können auf http://martin-ueding.de/de/university/bsc_physics/physik311/
gefunden werden.
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physik311 – Übung 1
Gruppe 3
Martin Ueding
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2014-07-07
1
Lichtdruck
1a
Druck auf schwarze Fläche
Bei einer Wellenlänge λ hat jedes Photon die Frequenz f := λc und somit Energie W := h f . Bei einer
Intensität I := P/A gibt es pro Fläche A eine Leistung P, was ṅ := P/W Photonen entspricht. Jedes
hf
Photon hat den Impuls p := c , der bei der Absorption komplett übertragen wird. Generell gilt ṗ = F .
Somit gilt für den Druck:
ṅh f
Ph f
F
P
I
=
=
=
=
A
Ac
AW c
Ac
c
Bei einer Intensität von I = 1 mW/cm2 ist der Druck: 3.33 · 10−8 Pa
1b
Beschleunigung auf Rubidiumatom
Die Fläche, auf die das Licht wirkt, ist:
σ=
λ2
= 9.6 · 10−14 m2
2π
Somit ist die Beschleunigung auf die Masse von m := 87 · 1.6 · 10−27 kg:
a=
2
F
σI
=
= 2.32 · 104 m/s2
m
cm
fermatsches Prinzip
Es soll das Brechungsgesetz hergeleitet werden:
sin θ1
sin θ2
=
n2
n1
Das Licht breitet sich innerhalb des Mediums um n langsamer aus, als im Vakuum.
Angenommen, das Licht beginnt im Punkt P1 (0, 1) und bewegt sich zum Punkt P2 (1, −1). Das Medium wird im Punkt (A, 0) gewechselt. (Siehe Abbildung 1.) Somit ist die Strecke, die das Licht
zurücklegen muss:
p
Æ
1 + A2 + (1 − A)2 + 12
1
physik311 – Übung 1
3
ZUR ELEKTRODYNAMIK AN GRENZFLÄCHEN
A
optische Achse
P1 θ1
1
Mediumsgrenze
1
P2
θ2
(1 − A)
1
Abbildung 1: Skizze zur Lichtbrechung
Interessant ist allerdings die Zeit, die das Licht braucht:
t :=
1 p
1 Æ
1 + A2 +
(1 − A)2 + 1
n1 c
n2 c
Ich kann A und (1 − A) auch durch den Sinus ausdrücken:
A
,
sin θ1 = p
1 + A2
1−A
sin θ2 = p
1 + (1 − A)2
Da eine extremale Zeit gefunden werden soll, leite ich nach A ab und setze gleich 0:
∂t
=0
∂A
2A
2(1 − A)
−
=0
p
p
2n1 c 1 + A2 2n2 c (1 − A2 ) + 1
A
(1 − A)
= p
p
n1 1 + A2
n2 (1 − A2 ) + 1
n1
=
n2
p (1−A)
2
(1−A )+1
p A
1+A2
Nun kann ich die Winkel einsetzen.
sin θ2
n1
=
n2
sin θ1
Es ist anschaulich klar, dass dieses Extremum ein Minimum ist. Somit ist die letzte Zeile die gesuchte
Relation.
3
zur Elektrodynamik an Grenzflächen
Es gilt, dass die Tangentialkomponenten von E und H, und die Normalkomponenten von B und D
stetig sind.
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Gruppe 3
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physik311 – Übung 1
4
FRESNELSCHE GLEICHUNGEN
Es soll wahrscheinlich gezeigt werden,
Feldstärke verloren geht. In der nächsten Aufgabe
dass keine
benötige ich die Relation n1 Ee2 − E r2 cos θi = n2 E g2 cos θ t , die ich hier wahrscheinlich herleiten
soll.
p
p
Die Energie W einer Welle ist proportional zu εE 2 , wobei n = ε gilt. Da an der Grenzfläche keine
freien Ladungen sind, die Energie aufnehmen könnten, muss die Energie erhalten sein. Und zwar
die Energie des einfallenden Strahls abzüglich des reflektierten Strahls muss die Energie sein, die in
das Medium eintritt. Somit muss gelten:
We − Wr = Wd
Nun betrachte ich hier nur die Normalkomponente,
so dass ich nur einen Anteil der Energie betrach
ten muss. Diesen Anteil liefert mir cos θi und cos θ t . Somit kann ich die Energien für die Wellen
einsetzen:
p
p
ε1 Ee2 − E r2 cos θi = ε2 E g2 cos θ t
4
fresnelsche Gleichungen
Es geht keine Energie an der Grenzfläche verloren. Also muss die Energie, die in dem einfallenden
(e), dem reflektierten (r) und gebrochene (d) Strahl steckt, erhalten bleiben. Die Energie einer Welle
p
ist proportional zu εE 2 = nE 2 . Die Normalkomponente hängt von den Ein- und Ausfallswinkeln θi
beziehungsweise θ t wie cos(θi ) und cos(θ t ) ab. Also gilt:
n1 Ee2 − E r2 cos θi = n2 E g2 cos θ t
Die Parallelkomponente des elektrischen Feldes ist (in der Summe) erhalten, es muss gelten: Ee +
E r = E g . Nun teile ich die Gleichung durch die neue Relation und erhalte:
n1 Ee − E r cos θi = n2 E g cos θ t
Das Brechungsgesetz besagt n2 /n1 = sin(α)/ sin(β). Dies kann ich umformen zu: sin(β)n2 = n1 sin(α).
Ich teile die Gleichung durch die neue Relation und vertausche dann Sinus und Kosinus, um sie aus
dem Nenner zu entfernen.
Ee − E r sin θ t cos θi = E g sin θi cos θ t
Ich setze für E g die Summe Ee + E r ein.
Ee − E r sin θ t cos θi = Ee + E r sin θi cos θ t
Das ganze forme ich jetzt nach E r um. Dabei benutze ich auch noch das Additionstheorem des
Sinus.
sin θi − θ t
E r = −Ee
sin θi + θ t
Dieses Ergebnis kann ich etwas früher einsetzen um E r zu eliminieren und erhalte eine Gleichung
mit Ee und E g für die Welle, die in das Medium eindringt:
2 sin θ t cos θi
E g = Ee
sin θi + θ t
Diese Herleitung stammt, bis hier, größtenteils aus [?, Abschnitt 11.2.4].
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physik311 – Übung 1
4
FRESNELSCHE GLEICHUNGEN
Nun kann ich die beiden erhaltenen Formeln noch durch Ee teilen und erhalte die gesuchten Faktoren:
2 sin θ t cos θi
sin θi − θ t
, t⊥ =
r⊥ = −
sin θi + θ t
sin θi + θ t
1
1
1
t⊥
0
t⊥
θi
θi
0
t⊥
0
r⊥
−1
r⊥
1 rad
Abbildung 2: θ t = 0.02 rad
−1
1 rad
Abbildung 3: θ t = 0.10 rad
θi
r⊥
−1
1 rad
Abbildung 4: θ t = 0.50 rad
Der Brewsterwinkel ist erreicht, wenn r⊥ = 0 ist. Dies ist der Schnitt der r⊥ Kurve mit der θi -Achse.
Der Grenzwinkel der Totalreflexion ist erreicht, wenn t ⊥ = 1 ist. Der Winkel ist in allen Fällen θ t
und ist mit einer gestrichelten Linie eingezeichnet.
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