Statistische Physik für Bachelor plus Aufgabenblatt 7

Statistische Physik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 7
Abgabe: 4. Dezember 2014
Aufgabe 1: Maxwell-Relationen (6 Punkte)
Für eine zweimal differenzierbare Funktion f (x, y) kann man die Reihenfolge
der Ableitungen vertauschen, d.h.
∂ ∂f
∂ ∂f
=
.
(1.1)
∂y ∂x
∂x ∂y
James Clark Maxwell hat diese Tatsache auf thermodynamische Zustandsgrößen angewandt, um Beziehungen zwischen ihren partiellen Ableitungen
herzuleiten, die als Maxwell-Relationen bezeichnet werden.
(a) Leiten Sie die Beziehung
∂U
∂p
=T
−p
∂V T
∂T V
(1.2)
her. (Beachtenswert ist, daß die rechte Seite allein durch die thermische Zustandsgleichung bestimmt ist, die p als Funktion der anderen Zustandsgrößen
ausdrückt.) Gehen Sie dazu wie folgt vor: Betrachten Sie die thermodynamische Identität
dU = T dS − pdV
(1.3)
und fassen Sie die Entropie und innere Energie als Funktionen von T und
V auf, S = S(T, V ) und U = U (T, V ). Leiten Sie damit zunächst
∂U
∂S
=T
−p
(1.4)
∂V T
∂V T
her. Benutzen Sie dann eine geeignete Maxwell-Relation, um (1.2) zu zeigen.
(4 Punkte)
(b) Benutzen Sie das Ergebnis aus Teil (a), um zu verifizieren, daß die innere
Energie des idealen Gases vom Volumen unabhängig ist. (2 Punkte)
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Aufgabe 2: Joule-Thomson Effekt (12 Punkte)
Ein Gasstrom werde durch eine poröse Wand gepresst, wie im Bild dargestellt. Das Gasvolumen wird links und rechts durch zwei Stempel abgegrenzt,
die im linken und rechten Teil die Drucke p1 und p2 erzeugen, wobei p1 > p2 .
Der Vorgang erfolgt adiabatisch, d.h. Q = 0 während des gesamten Vorgangs. Im Ausgangszustand nimmt das Gas auf der linken Seite das Volumen V1 ein und besitzt die Energie U1 . Im Endzustand ist das Gas rechts
und besitzt das Volumen V2 und die Energie U2 . Durch den linken Stempel wird am Gas Arbeit geleistet, am rechten Stempel leistet das Gas Arbeit.
(a) Zeigen Sie, daß die Enthalpie H = U + pV dabei konstant bleibt.
(3 Punkte)
(b) Benutzen Sie die Gibbssche Freie Energie, um die folgende Beziehung
zwischen der Druckabhängigkeit der Entropie S und der Temperaturabhängigkeit des Volumens V herzuleiten:
∂S
∂V
=−
.
(2 Punkte)
(2.1)
∂p T
∂T p
(c) Aus der Wärmekapazität Cp und dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten
1 ∂V
α=
(2.2)
V ∂T p
kann man berechnen, ob und wie stark sich die Temperatur des Gases bei
diesem Prozeß ändert. Zeigen Sie dazu mit Hilfe von (2.1)
∂T
V
=
[T α − 1] .
(5 Punkte)
(2.3)
∂p H
Cp
(d) Berechnen Sie ∂T
für das ideale Gas. (2 Punkte)
∂p
H
Hinweis: Für reale Gase kann (T α − 1) je nach Druck und Temperatur
null, negativ oder positiv sein. Zum Abkühlen des Gases durch den JouleThomson Effekt braucht man einen positiven Wert.
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Aufgabe 3: Großkanonische Freie Energie
(7 Punkte)
Indem man µN von U, F, G und H abzieht, kann man vier neue thermodynamische Potentiale bekommen. Das nützlichste davon ist die großkanonische
Freie Energie,
Φ = U − T S − µN .
(3.1)
(a) Leiten Sie die thermodynamische Identität für Φ her und die zugehörigen
Formeln für die partiellen Ableitungen von Φ nach seinen natürlichen Variablen. (2 Punkte)
(b) Zeigen Sie, daß Φ dazu tendiert abzunehmen, wenn das System sich
in thermischem und diffusivem Gleichgewicht mit einem Reservoir befindet,
das sowohl Energie als auch Teilchen mit dem System austauschen kann.
(3 Punkte)
(c) Zeigen Sie
Φ = −pV .
(2 Punkte)
Bei Fragen:
[email protected]
3
(3.2)