Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und

Vorkurs Mathematik
für Wirtschaftsingenieure
und Wirtschaftsinformatiker
Übungsblatt 0
Musterlösung
Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften
Wintersemester 2017/18
Aufgabe 1 (Aussagenlogik)
Seien M1 := {1, 2, 3, 4} und M2 := (1, 4) ⊂ R zwei Mengen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind
falsch? Begründe deine Antwort.
a) (∀ y ∈ R)(∃x ∈ R) x > y
b) (∃x ∈ R)(∀ y ∈ R) x > y
c) (∀ y ∈ M1 )(∃x ∈ M1 ) x > y
d) (∃x ∈ M1 )(∀ y ∈ M1 ) x > y
e) (∀ y ∈ M2 )(∃x ∈ M2 ) x > y
f) (∃x ∈ M2 )(∀ y ∈ M2 ) x > y
Lösungsvorschlag:
a) wahr: In Worten bedeutet diese Aussage: Für jede beliebige reelle Zahl y lässt sich eine Zahl x finden, die größer
als dieses y ist. Die Aussage ist wahr, da man ja z.B. die Zahl x := y + 1 nehmen könnte. Die Aussage aus der
Aufgabenstellung sagt nicht, dass es eine Zahl x gibt, die zu allen Zahlen y gleichzeitig größer ist! Die Aussage
ist so zu verstehen: Egal welches y in vorgebe, dann finde ich ein x , dass größer ist. Das x ist also vom zuvor
gewählten y abhängig! Dass es eine Zahl x gibt, die zu allen Zahlen y gleichzeitig größer ist, wird in Aussage „b)“
behauptet.
b) falsch: In Worten bedeutet diese Aussage: Es gibt eine reelle Zahl x , die so gewählt werden kann, dass sie größer
als jede beliebige andere reelle Zahl y ist. Das ist falsch, denn R besitzt kein Maximum, deshalb kann man zu jeder
gewählten Zahl x eine Zahl y finden, die eben größer ist, z.B. y := x + 1.
c) falsch: Diese Aussage ist nun falsch, da die Menge M1 ein Maximum besitzt (nämlich die Zahl 4), gilt die Bedingung nicht für alle y aus M1 , nämlich für die Zahl 4 nicht: 4 > 4 ist ein Widerspruch.
d) falsch: Diese Aussage ist ebenfalls falsch, denn auch hier käme höchstens das Maximum für die Zahl x in Frage
und auch dieses erfüllt die Bedingung für y = 4 nicht: 4 > 4 ist ein Widerspruch.
e) wahr: Diese Aussage ist wieder richtig, ähnlich zu Aussage „a)“. Entscheidend ist auch hier, dass die Menge kein
Maximum besitzt. Dass die Menge M2 – im Gegensatz zu R – beschränkt ist spielt keine Rolle. Die Beschränkung
ist nur entscheidend, wenn man ein Beispiel angeben möchte: Das ist nun nicht mehr so leicht wie in der „a)“ denn
„+1“ bei x := y + 1 kann dazu führen, dass man nicht mehr in der beschränkten Menge ist.
f) falsch: Diese Aussage ist falsch, denn hier existiert kein Maximum. Auch hier gilt wieder: Egal welches x ich aus
der Menge M2 wähle, mag es noch so nahe an der 4 liegen, es gibt stets unendlich viele Zahlen die kleiner als 4
sind und trotzdem größer als das gewählte x .
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Aufgabe 2 (Aussagenlogische Formeln entwickeln)
Finde die Teilaussagen der folgenden Sätze und stelle davon ausgehend äquivalente aussagenlogische Formeln auf.
a) Wenn die Sonne scheint und die Temperatur nicht zu niedrig ist, dann geht Kevin ins Schwimmbad.
b) Wenn Studenten nicht fleißig sind und Prüfungen schwerer werden, dann erhöht sich die durchschnittliche Studienzeit und die Unzufriedenheit der Studenten.
c) Genau dann, wenn das Wetter nicht gut ist und Felix gleichzeitig langeweile hat, oder der neue Star Wars Film
anläuft, geht er ins Kino.
Lösungsvorschlag:
a) S: „Die Sonne scheint.“
T: „Die Temperatur ist zu niedrig.“
K: „Kevin geht ins Schwimmbad.“
(S ∧ ¬T ) ⇒ K
b) F: „Studenten sind fleißig.“
P: „Prüfungen werden schwerer.“
Z: „Studienzeit nimmt zu.“
U: „Unzufriedenheit nimmt zu.“
(¬F ∧ P) ⇒ (Z ∧ U)
c) W: „Das Wetter ist gut.“
L: „Felix hat langeweile.“
S: „Star Wars läuft an.“
K: „Felix geht ins Kino.“
((¬W ∧ L) ∨ S) ⇔ K
Aufgabe 3 (Mengen)
Betrachte folgende Mengen: E := {1, 2, 3}, F := {3, 4}. Beantworte die folgenden Aussagen mit wahr oder falsch.
a) E ⊆ F
b) F ⊆ E
c) E = F
d) E 6= F
e) {1, 3} ⊆ E
f) 3 ⊆ F
g) 1 ∈ E
h) {{1, 2}, 3} ⊆ E
Lösungsvorschlag:
a) falsch
b) falsch
c) falsch
d) wahr
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e) wahr
f) falsch
g) wahr
h) falsch
Aufgabe 4 (Mengen-Operationen)
Gegeben seien folgende Mengen: A := {1, 3, 6, 8}, B := {3, 8, 12}, C := {1, 2}, D := {;}.
a) Bestimme A ∪ B .
b) Bestimme A ∩ B .
c) Bestimme A ∩ C .
d) Bestimme B ∩ C .
e) Bestimme A ∪ B ∪ C .
f) Bestimme A \ C .
g) Bestimme B \ C .
h) Gib die Kardinalität der Mengen aus a) bis c) an.
i) Stelle Überlegungen zur Kardinalität der Menge D gegenüber derer der leeren Menge ; auf.
Lösungsvorschlag:
a) {1, 3, 6, 8, 12}
b) {3, 8}
c) {1}
d) {;}
e) {1, 2, 3, 6, 8, 12}
f) {3, 6, 8}
g) {3, 8, 12}
h) 5, 2, 1
i) Die leere Menge enthält keine Elemente. Sie ist allerdings nicht „nichts“, sondern ein existentes Objekt, nämlich
diejenige Menge, die nichts enthält. Die Kardinalität der Menge D ist somit 1, da sie genau ein Element enthält.
Die Kardinalität der leeren Menge ; selbst ist allerdings 0.
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Aufgabe 5 (Aussagenlogische Umformung∗ )
a) Stelle die Äquivalenz "⇔" durch eine Kombination der Verknüpfungen "⇒" , "∧" dar.
b) Stelle die Implikation "⇒" durch eine Kombination der Verknüpfungen "¬" , "∨" dar.
c) Zeige, dass sich die Verknüpfung "∧" durch eine Kombination der Verknüpfungen "¬" , "∨" darstellen lässt, dass
also Disjunktion und Negation ausreichen, um die komplette Semantik der Aussagenlogik abzubilden.
d) Zeige, dass sich die Verknüpfung "∨" durch eine Kombination der Verknüpfungen "¬" , "∧" darstellen lässt, dass
also Konjunktion und Negation ausreichen, um die komplette Semantik der Aussagenlogik abzubilden.
Hinweis: Stelle stets zunächst die Ausgangsverknüpfung durch zwei Aussagen A und B dar.
Lösungsvorschlag:
a) „A ⇔ B “ ist äquivalent zu „(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)“
b) „A ⇒ B “ ist äquivalent zu „(¬A ∨ B)“
c) „A ∧ B “ ist äquivalent zu „¬(¬A ∨ ¬B)“
d) „A ∨ B “ ist äquivalent zu „¬(¬A ∧ ¬B)“
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