L m µ m µ - bio-physics-wiki

Quanten, Atome, Kerne
1) Wiederholung Wellenoptik
1.1 Maxwell-Gleichungen, Wellenausbreitung
Zusammenfassung von experimentellen Beobachtungen führt zu fundamentalen Gesetzen: z.B.:
Coloumbgesetz: Kraftwirkung auf elektrische Ladungen:
F
1
4 0

q1  q2 r

r2 r
Die Ladung erzeugt ein elektrisches Feld, das im ganzen Raum wirkt und auf die zweite Ladung eine
Kraft ausübt.
Ausmessung der Kraftwirkung einer Ladung q im ganzen Raum mit einer kleinen Probeladung q0:
E (r )  lim
q0 0
 Ed f

A
E 
F (r )
1
q r

 2
q0
4 0 r r
Qinnen
0

0
Coloumbgesetz umgeschrieben)
 Gauß’sches Gesetz, bzw.:
 1.Maxwellsches Gesetz
Elektrische Ladungen erzeugen ein E-Feld, deshalb sind Ladungen Quellen des elektrischen Feldes.
Erfahrungstatsache: Es existieren KEINE magnetischen Ladungen, es existieren keine magnetischen
Monopole:
 Bd f  0 bzw.:  B  0
 2.Maxwellsches Gesetz
A
Es existieren keine magnetischen Ladungen die magnetische Felder erzeugen.
Experimentelle Tatsache: Lorentz-Kraft auf elektrische Ladungen im Magnetfeld:
FB  q(v  B)
Umgeschrieben ins Faraday-Induktionsgesetz:
d
 E dl   dt  B d f , bzw.:
C
 E  
B
t
A
 3.Maxwellsches Gesetz
Änderung des magnetischen Feldes bewirkt ein elektrisches, quellfreies Wirbelfeld
Wann wird ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt?
Wenn
 Edl  0

 E  Feld konservativ : E  
B statisch
C
 konservatives Coloumbfeld
Ist das B-Feld zeitlich veränderlich, also B ungleich 0, dann wird ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt.
Experimenteller Befund:
bewegte elektrische Ladung erzeugt ein magnetisches Feld
Beschleunigte elektrische Ladung strahlt
Bewegte Ladung = Strom
Biot-Savatre’sches Gesetz:
 Bdl  0 j   0 0
C
r
I

(
dl

)
0
r
dB 

4
r2
d
Ed f
dt A
bzw.:   B  0 j   0 0
E
 4.Maxwellsches Gesetz
t
Ursache magnetischer Felder sind: stationäre Ströme und sich ändernde elektrische Felder
(Abb. Seite 2)
Erzeugte Magnetfelder sind quellenfreie Wirbelfelder
Weitere Grundgleichungen:
Materialgleichungen:
D  
D E
B  0
wobei :    0 r
( r  relativeDielektrizitätskonstante)
B  H
wobei :   0 r
( r  relative Permeabilität )
B
t
D
 H  j 
t
j   E  Ohm ' sches Gesetz
 E  
Wellengleichung des elektrischen und magnetischen Feldes im Vakuum:
E 
1  2E
c2  t 2
B 
1 2B
c2  t 2
Lösungen für ebene Wellen:
Ey  E0  ei (t kx )  E0 cos t  kx 
Bz  B0  ei (t kx )  B0 cos t  kx 
Zusammenhang mit der Lichtgeschwindigkeit: Weber-Kohlrausch-Versuch
1 2E
1
E  2
  0 0  2
2
c t
c
Wellengleichung elektromagnetischer Wellen: Wenn die Wellen linear in E sind, dann gilt das
Superpositionsprinzip, und somit addieren sich die Amplituden ( E0 ) der Einzelwellen am gleichen
Ort und zur selben Zeit und somit auch die Lichtintensität.
(Abb. Seite 2-6)
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
 1
1
1
B2 E  B
wEM    0 E 2  B 2    0 E 2  c 2 B 2  

2
0  2
0 0  c
Energie-Dichte wird von der elektromagnetischen Welle mit der Geschwindigkeit c in
Ausbreitungsrichtung transportiert.
Momentane Energiestromdichte = Poynting Vektor: S 
1
0
 E  B
Ist messbar: Intensität = Bestrahlungsstärke
Intensität einer linearpolarisierten elektromagnetischen Welle:
I  wEM  c  S 
I  E2
1 E0 B0
1

 c 2 0 E0 B0  c 0 E0 2
2 0
2
Kohärenz von elektromagnetischen Wellen: feste Phasenbeziehung (in bestimmten Raum- und
Zeitbereichen)
Interferenz: Abweichung von der Additivität von der Intensität:
2 lineare polarisierte Wellen:
E1  E01 cos t  1 
B  1  2
E2  E02 cos t  2 
I  E 2   E01  E02   E012  E02 2  2 E01 E02 cos 
2
(2 E01E02 cos   Interferenzterm)
Die Intensität variiert räumlich, abhängig von den Amplituden und Phasen
Wir übernehmen die obigen Formeln mit der einzigen Abkürzung: A1  E01
Kohärente Überlagerung: I  c 0
Inkohärente Streuung: I  c 0
A2  E02
1 2
 A1  A22  2 A1 A2 cos  
2
1 2
A1  A2 2 

2
 keine Interferenz
Betrachtung der Überlagerung in einem festen Punkt:
( A1  A2 ) 2
1 2
2
A

A

2
A
A

c

 1 2
1 2
0
2
2
Denn die Intensität ist maximal bei cos   1   2m (m  0, 1, 2,...)
Interferenzmaximum: I  c 0
c 0 ( A1  A2 ) 2
für A1  A2 sogar I  0
Intensitätsminimum: (destruktive Interferenz): I 
2
Denn die Intensität ist minimal bei cos   1   (2m  1) (m  0, 1, 2,...)
Die Intensität variiert räumlich, abhängig von der Phasendifferenz 
Bsp.: 2 eben Wellen in gleicher Richtung, gleiche Amplitude, gleiche Frequenz #
E1  E0 cos(t  kx)
E2  E0 cos(t  kx   )
 2t  2kx   
 
E  E1  E2  2 E  cos 
  cos   
2


2


 


2 E cos    cos  t  kx    A( ) cos  t  kx  
2
2
2


Es entsteht wieder eine ebene Welle in x-Richtung mit Mittelwert der Phasen
cos

2
 0 für    ,3 ,...
 x 
also für f  (2m  1)
 


  (2m  1)
k
2
2
Das heißt: Die Intensität im gesamten Überlagerungsbereich = 0
Die Quelle kann keine Energie abgeben
1.2 Vielstrahleninterferenz, Beugung, Fouriertransformation
Huygens-Prinzip: 1680 formuliert, 1690 veröffentlicht
Betrachten N Punktquellen, senden kohärente Wellen, alle in Phase
Es entsteht dann eine Überlagerungswelle in sehr weit entferntem Punkt P
Superpositionsprinzip: E ( x ) 
N
a e
n 1
i   t  krn )
n
Alle Amplituden sind gleich groß: an (rn )  a
Für die Berechnung sollte man bei dem Buch: „Optics“ nachschauen, das Ergebnis ist:
Ergebnis: E ( x)  A( )ei (t kR )
N

sin    
2

A( )  a  
1

cos    
2

1
I  c 0 E0 2
2
Somit ist die Intensität in Richtung Alpha:
N

sin 2    
2

I ( )  I 0 
1

sin 2    
2

   k s  k  ( sin( ))  k
2


2

 sin( )
Und somit, nach weiterem Umformen:



sin 2  N   sin( ) 



I  I0 
 

sin 2   sin( ) 
 

 Vielstrahleninterferenz
Wenn N groß ist dann fluktuiert der Zähler schnell, somit entstehen dann scharfe Hauptmaxima,
getrennt durch kleine Nebenmaxima, die immer unbedeutender werden, je größer das N wird.
Dabei müssen zwei Grenzfälle betrachtet werden:
1)    : nur ein scharfes Maximum bei   0 , wenn N   , nur Ausbreitung in
Vorwärtsrichtung möglich
2)    : Maxima zu beiden Seiten   0
Frauenhofer- und Fresnell-Beugung:
(Abb. Seite 10)
1) Frauenhofer-Beugung:
Die Wellen zum Hindernis sind eben und die Wellen zum Beobachtungs-Schirm ebenfalls.
Bem.: (Linse macht aus Kugelwellen eben Wellen)
Einfallende und auslaufende Wellenfronten sind eben
Realisierbar: kleines beugendes Objekt: Lichtquelle und Schirm müssen dabei jedoch im unendlichen
sein.
2) Fresnell-Beugung:
(Abb. Seite 15)
Die Lichtquelle und/oder der Schirm so nahe dem Objekt, dass gekrümmte Wellenfronten auftreten
Frauenhoferbeugung: wenn
d2

R (wobei R der kleiner Abstand zwischen Quelle-Objekt, oder
Objekt-Schirm ist)
- Beugung am Spalt:
(Abb. Seite 17)
Betrachtung: lineare Lichtquelle: sehr viele engbenachbarte Punktquellen die Kugelwellen aussenden
und sehr große Anzahl N mit sehr kleinem Abstand 
2
 sin  
d
d
Aus großer Entfernung: I ( )  I (0) 
 wobei:   k sin    sin 
2

  
2 Grenzfälle:
1) Gesamtlänge sehr viel größer als   sendet hauptsächlich (bei   0 ) kreisförmige
Wellen in der Ebene (x,z) aus
2) 
d :  ist klein  sin(  )  
 I ( )  I (0) , emittiert Kugelwellen wie eine
Punktquelle
(Abb. Seite 18)
Beugung am Spalt:
Spalt: zerlegen in Linsenquellen  Linsenwelle die in der (x,z)-Ebene strahlt:
2
 sin  
I ( )  I (0)  
 
  
b
2
  k sin   
b

sin 
wobei b die Spaltbreite ist
11.10.2011
Die Vielstrahleninterferenz ist der Beweise für das Huygens’sche Prinzip
Die Lösung der Vielstrahleninterferenz erfolgt anhand der Satzes von L’Hospital (man muss diesen
zweimal anwenden, damit man zu einer Lösung kommt)



sin 2  N sin  



I ( )  I 0



sin 2   sin  
 

 Vielstrahleninterferenz
Lineare Lichtquelle: ist eine Anordnung von Atomen in einer Linie
Hat man einen Spalt so wird dieser „sozusagen“ aufgefüllt mit linearen Lichtquellen, also mit
Atomlinien, somit hängt der Spalt nicht davon ab wie lang er ist, sondern nur davon wie breit er ist
Beugung am Spalt:
 sin  
I ()  I (0) 

  
2
b
b
wobei   k sin    sin  wobei  der Beugungswinkel ist
2

Frage: Abhängigkeit der Intensität von
b
?

Grenzfälle: b=Spaltbreite
1) b  : zentrales Maximum bei   0 , sehr schmal, Licht geht gerade aus durch den Spalt
2) b   : teil der Wellen in Richtung   0 abgelenkt: Beugung („Licht greift ums Eck“)
3) b   : I () hat kein Minimum mehr, zentrales Beugungsmaximum ist weit ausgebreitet, es
entsteht keine Interferenzstruktur mehr
(Abb. S.17-21)
Prüfungsfrage: Wie sieht die Beugung am Spalt aus (erkläre auch anhand der Grenzfälle)
Doppelspalt:
(Abb. S.24-27)
2
 sin  
2
I ()  4 I 0 
 cos 
  
wobei :   
b

sin  und   
a

sin 
Es entstehen viel mehr kleine Minima, (a, b = Spaltbreiten)
Vielspalt (=Gitter):
2
 sin    sin( N ) 
I ( )  I 0 
  ,  wiebei Doppelspalt
 
    sin  
2
Je mehr Öffnungen, umso mehr Minima, das ist eine Folge der Fouriertransformation
(Abb. 10.31, 10.32 S.21)
Fouriertransformation:
Fourierzerlegung:
Wellen sind überlagerbar, aber periodische Funktionen können auch zerlegt werden
Gegeben sei eine periodische Funktion:
f (t )  f (t  T )
T ...Periode
Fourier-Theorem: f (t ) 

 cnein1t
n
T
1
Fourierzerlegung: cm   f (t )eim1t dt
T0
1...Grundfrequenz
Aber die Zerlegung kann auch auf nicht periodische Funktionen erweitert werden. (FourierschesIntegraltheorem)
Wie? Wir lassen die Periodendauer gegen Unendlich gehen   wird kontinuierlich, Wobei  die
Frequenz ist, in die wir zerlegen wollen
Man geht von einer endlichen Periode aus:  1 
Frequenzabstand:   (n  1)1  n(1 )  1
Jetzt: T 
2
1

also
1  0
1 1

T 2
1    d (d.h.: das Omega wird differentiell)
Die Frequenzen liegen jetzt unendlich dicht
1 
1
 d  1  n1  1
T
kontinuierlich
Fourier-Integraltheorem:

Nicht periodische Funktion:
f (t ) 
 F ( )e

F ( ) 


f (t )e it dt
i 2 t

1
d 
F ( )eit d 

2 
 Fouriertransformierte von f (t )

F ()  F f (t ) das zweite F soll ein „schön F“ sein und steht für: Fouriertransformierte
f (t )  F F (t ) das zweite F ist wieder ein schön F  inverse Fouriertransformierte von F ( )
f (t ), F ( )  Fouriertransformationspaar
(Abb. S.31-34)
Später werden wir die Fouriertransformation auch für Materiewellen benötigen und diese sind
Funktionen nach dem Ort und nicht mehr nach der Zeit
Die Beugung wird dadurch in Abhängigkeit von (x,y) sein und deshalb ist es dann eine 2DFouriertransformation die benötigt wird.
Feldverteilung im Frauenhoferbeugungsbild ist die Fouriertransformierte der Feldverteilung im Spalt
(in der Apertur: Spalt, Doppelspalt, usw.) Apertur=Beugendes Hindernis (siehe dazu Folien)
Bei Licht gilt, dass die Intensität nicht negativ werden kann.
12.10.2011
Die linearen Lichtquellen im Spalt sind normal zu dessen Länge.
1.3 Dispersion
-
1.3.1. Brechungsindex
1) Phasengeschwindigkeit im Medium im Allgemeinen kleiner als im Vakuum
c ph 
1
cn
n
ph...Phase im Allgemeinen n  1 Brechungsindex (Brechzahl)
2) Brechungsindex hängt vom Medium und der Wellenlänge  ab
n  n( )
c ph  c ph ( )  Dispersion
c ph     

k
und im Vakuum: c0    0 
Medium mit Brechungszahl n: c ph     

k0
1
c0
n
 
0
n
Das heißt, dass die Wellenlänge im Medium kürzer ist als im Vakuum: n 
k0 

c ph

v nk0

 kn  nk0
c0

Einsetzen: c ph   n n
n 
1
0
n
cn / n c0


n / n 0
Die Frequenz bleibt unverändert, Die Frequenz wird durch die emittierten Atome bestimmt.
-
Maxwell-Relation:
Im Vakuum gilt: c0 
1
 0 0
 Kohlrausch-Weber-Versuch
Im Medium gilt:
 0     0 r
0    0  r
 c ph 
Brechungsindex: n 
1
 0 0 r r
  
c0
 0 0 r r   r r
c ph
 0 0
 Maxwell-Relation
In nicht ferromagnetischem Medium gilt:  r  1 und dadurch gilt in guter Näherung: n   r
-
1.3.2. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Im Vakuum breiten sich alle Wellenlängen mit der gleichen Geschwindigkeit aus c  c0
Im Medium gilt: c ph  c ph ( ) also in Abhängigkeit von der Wellenlänge
Harmonische Schwingungen: sind ja zum Beispiel Cosinus und Sinus, jedoch sind Wellen nur dann
harmonisch wenn sie von  bis   gehen. (so etwas gibt es in der Natur nicht)
Alle Wellen sind daher zeitlich beschränkt, man muss sie anhand von Wellenpaketen beschreiben
Im Allgemeinen sind diese Schwingungen nicht darstellbar durch cos und sin Funktionen.
Betrachtung: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Amplitude des Wellenpakets:
v ph     

k
und vgr 
Keine Dispersion bei
dv ph
d
dv ph
dv ph
d
 v ph  
wobei 
die Dispersion
dk
d
d
0
 vgr  v ph
-
1.3.3. Normale und anormale Dispersion
Prüfungsfrage: Zeichnung können: Dispersionskurve, Brechungsindex skalieren! Und anormale
Dispersion einzeichnen können (Abb. Seite 41,42)
Im Bereich der Absorptionsstelle ist die Brechzahl auf der kurzwelligen Seite erniedrigt und auf der
langwelligen Seite erhöht, dies gilt aufgrund der Absorption, Energie wird aus dem Wellenfeld
aufgenommen
Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist immer kleiner als im Vakuum:
n 1

c ph 
1
c0  c0
n
2) Thermische Strahlung
-
2.1. Grundbegriffe, Grundgrößen, Strahlungsübertragung
Optischer Bereich: 100nm  1mm
Bereich: 10
7
m  103 m
Flächenelemente in Kugelkoordinaten:
d   sin  d d
d 
cos 
R2
dA 
R2
sin  d d
cos 
dA  Unabhängig vom Koordinatensystem
(Abb. 5.1, S.2)
17.10.2011
Wiederholung: Fourierzerlegung:
f (t ) 


a0 
  an cos(n1t )   bn sin(n1t )   cnein1t
2 n1
n1

T
cn 
1
f (t )ein1t dt

T0
Beispiel Rechteckszerlegung: a0 / 2 ist eigentlich nur die Höhe des Rechtecks
a0 A
 , an0  0
2 2
bn gerade  0
2A
m  1, 2,3,....
(2m  1)  
2A
2A
2A
b1 
, b3 
, b5 
, usw.

3
3
bnungerade 
Also:
f (t ) 
A 2A
2A

sin(1t ) 
sin(31t )  ....
2 
3
d 
Raumwinkel:
cos 
R2
1m2 
dA Einheit  d    2   1sr ( steradiant )
1m 
(Abb. S.3)
Der volle Raum umfasst also: d   4 sr
Für ausgedehnte Flächen:  

A
cos 
R2
i. A.:     A), R  R( A)
dA
Punktförmige Quelle mit der Ausdehnung dA1 strahlt in Richtung einer Fläche dA2
d 1 
d 2 
cos  2
R2
cos 1
R2
dA2
 Abstrahlung
dA1
 Zustrahlung
Radiometrische Grundgrößen:
Strahlungsquelle strahlt in dt Strahlungsenergie dW ab.
Strahlungsleistung (=Strahlungsfluss (=radiant flux):
Strahlungsquelle mit geschlossener Oberfläche:
dW
dt
   Sd A

[W ]
S .....Poynting  Vektor
A
Strahlungsleistung im Raumwinkelelement d 1  d 1
d  Jd 1
J 
d
[W / sr ]  Strahlungsstärke
d 1
Umgerechnet auf die Strahlungsleistung die auf das Flächenelement dA2 des Empfängers auftritt:
d  Jd 1  J
cos  2
dA2  I  dA2
R2
Bestrahlungsstärke:= Intensität (irradiance) I 
cos  2
d
J
dA2
R2
[W / m 2 ]
Zeitintegral der Bestrahlungsstärke:
=Bestrahlung H 
t2
 I (t )dt
t1
Ws / m2  Joule / m2 


Abgestrahlte Strahlungsleistung auf Flächenelement dA1 der Quelle bezogen:
Spezifische Ausstrahlung: M 
d
dA1
d  MdA1
[W / m 2 ]
18.10.2011
Strahlenstärke J 
d
im Allgemeinen von Abstrahlungsrichtung abhängig  beziehen J auf
d 1
Flächeneinheit  Ausstrahlungsrichtung
dA12  dA1  cos 1
Strahldichte: (radiance) L 
dJ
[W / m2 sr ]
dA1 cos 1
Strahldichte: Energie, die pro Zeiteinheit durch Flächeneinheit senkrecht zum Strahl in
Raumwinkeleinheit ausgestrahlt wird
L  fundamentale Größe zur Beschreibung des Strahlenfeldes
L  const
 Lambert ' sches Kosi nusgesetz
Diffuse Strahler: dJ  LA1 cos 1
dJ
 L cos 1
dA1
dJ
 L  const
dA1 cos 1
„Flächenhelligkeit“:
Flächenelement eines diffusen Strahlers (Lambert-Strahler) scheint aus allen Richtungen gleich hell.
(Abb. 6.2, S.4)
Zusammenhang: Lund S
1
d
cos  2
1
 c    E02  I 
J

J

 A2  S
2
dA2
R2
R2
Allgemein L nicht konstant: dJ  LdA1 cos 1, L  const
S  wEM  c 
dJ  L cos 1dA1  J 

S 
L
cos 1
A1
-
R2
 L cos 1dA1
A1
dA1 
 Ld 2
2
2.2. Emissionsvermögen und Absorptionsvermögen der schwarzen
Körper
Bringen Körper auf
Wärmestrahlung
T  0K  sendet thermische Strahlung aus  kontinuierliches Spektrum 
4 Erfahrungstatsachen:
1) Gegenseitige Anstrahlung, Abkühlung des heißen und Erwärmung des kalten Körpers
2) Strahldichte L steigt stark mit wachsender Temperatur (Boltzmanngesetz T^4)
3) Unterschiedliche Temperatur  andere spektrale Verteilung (Wien’sches
Verschiebungsgesetz)
4) Bei gleicher Temperatur: gut absorbierender Körper strahlt besser als lichtdurchlässiger
Wie hängt die Strahlendichte L in einzelnen
 -Bereich des Spektrums von T ab?
Emissions- und Absorptionsgrad:
Mit T sich ändernde spektrale Verteilung  brauchen Größen (E-Dichte, Reflexionsgrad,
Transmissions-, Absorptionsgrad)  in kleinen Wellenlängen
Bilden spektrale Dichte der Größe X
X 
dX
d
X 
dX
d
d
c
c
  2 , d    2 d

d


dw
dw
, w ( ) 
Spektrale Energiedichte: w ( ) 
d
d
dX  X d  X  d 

c


 Gesamte Energie-Dichte: W 

w ( )d
 0
 ,r
Spektraler Reflexionsgrad: R( ) 
, r...reflektieret , e...ein fallend
 ,e
 ,t
Spektraler Transmissionsgrad: T ( ) 
 ,e
 ,a
Spektraler Absorptionsgrad: A( ) 
 ,e
R,T,A dimensionslose Materialkonstanten, zwischen 0 und 1
Energieerhaltung: R( )  T ( )  A( )  1
Charakterisierung des Emissionsverhaltens von Strahlungsquellen (Temperaturstrahler)
Spektraler Emissionsgrad: E ( ) 
Der „schwarze“ Körper
AS ( , T )  1 
L
L ,S
TS  0, RS  0
Schwarzer Körper = schwarzer Strahler, absorbiert alle Strahlung
G. Kirchhoff 1861: der schwarze Körper ist ein Raum der von Körpern gleicher Temperatur
umschlossen ist, durch die keine Strahlung dringt, die Strahlung im Inneren ist dann völlig
unabhängig von Gestalt und Beschaffenheit der umgebenen Körper und hängt nur von T ab.
(Abb. Seite 8)
19.10.2011
In der von einem Hohlraum austretenden Strahlung (schwarze Strahlung) ist keine Struktur des
Inneren erkennbar,  die aus dem schwarzen Körper austretende Strahlung entspricht völlig der
Temperatur T des schwarzen Körpers (alle Wände auf gleichem T im Gleichgewicht)
 Spektrale Strahldichte: L ,S ist gleich der Wärmestrahlung
-
2.3. Das Kirchhoff’sche Gesetz
Im Gleichgewicht: Wärmestrahlung wird durch Wechselwirkung mit Materie aufrecht erhalten
Im thermischen Gleichgewicht  Emissions-, Reflexions-, und Absorptionsprozesse können nicht
unabhängig voneinander sein.
Energiebilanz der Strahlung des schwarzen Körpers mit L ,S und Absorptionsgrad A( , T ) ergibt:
L ( , T )
 L ,S ( , T )  Kirchhoff’sches Gesetz
A( , T )
L ( , T )
L
A( , T )  
Emissionsgrad : E ( )  
L ,S ( , T )
L ,S
 E ( , T )  A( , T )  Kirchhoff-Gesetz
Bei gegebenem  ist der spektrale Emissionsgrad eines bel. Strahlers gleich seinem spektralen
Absorptionsgrad
A( , T )max  AS ( , T )  1
E ( , T ) max  ES ( , T )  1
Der schwarze Körper hat unter allen Wärmestrahlern den größten Emissionsgrad mit ES ( , T )  1
A( , T ) ist leicht messbar, wenn LS , bekannt ist
-
2.4. Das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz
Messungen von Dulong und Petit wurden korrigiert, dabei erkannte man dass die
Abstrahlung  T
4
Ludwig Boltzmann: Energiedichte im Hohlraum gefüllt mit Wärmestrahlung: wS  aT
wS 
4
LS
c

M S   LS 
LS 
4
ca 4
T
4
ca 4
T  T 4
4
2 5 k4
 3 2  5,67051 108W / m2k 4
Quantenmechanik der Hohlraumstrahlung:  
15 h c
-
2.5. Spektrale Energieverteilung der Wärmestrahlung
2.5.1. Wien’sches Verschiebungsgesetz
(Wien verglich Hohlraumstrahlung mit Thermodynamik heißer Gase und erfand das Gesetz:
(Abb. Seite 9)
L ,S ( , T )   5 F ( , T ) (allgemeines Wien’sches Verschiebungsgesetz)
dL ,S ( , T )
d
max  T 
)  5 6 F ( , T )   5  T  F '( , T )   5 (T  F '
5  F (max  T )
 const
F '(max  T )
5F

max  T  b 
speziellesWien ' schesVerschiebungsgesetz
hc
1
b

 2,897756 103 m  K



T
5  k 1  e max
24.10.2011
Isothermen des schwarzen Körpers (Abb. Seite 8, unten)
)0
-
2.5.2. Das Gesetz von Rayleigl-Jeans
Berechnung der Schwingungsmoden im Hohlraum
Man nehme ideal leitende Wände, quaderförmiger schwarzer Körper
Aus E2 wissen wir: die Tangentialkomponenten der E-Feldstärke müssen auf die leitfähigen Wände
verschwinden

E  Ex , E y , Ez

Man nehme einen Quader mit Seitenlänge a, Tiefe b und Höhe c: dann gilt für die obige Bedingung
für leitfähige Wände:
Ex  0
für z  0, z  c, y  0, y  b ( Bodenund Decke des Quaders )
Ey  0
für x  0, x  a, z  0, z  c
Ez  0
für x  0, x  a, y  0, y  b
Die Wellen im Hohlraum werden durch Reflexion am Hohlraum zu stehenden Wellen mit Knoten an
den Wänden
Durch Randbedingungen kommt es zu eingeschränkten Wellenlängen
 Quantisierung durch räumliche Einschränkung (Abb. Seite 11, unten)
x 
2a
n
y 
2b
m
z 
2c
q
Betrag des Wellenvektors:
k  k  kx2  k y 2  kz 2
„Dispersionsrelation“:
  c  k  c  
n2
a2

m2
b2

q2
c2
Frage: Wieviele Eigenschwingungen (=“Moden“) liegen in einem gewissen Frequenzintervall
(Abb. Seite 12)
Betrachten vereinfachend einen Würfel:

c
 2a 2
 n2  m2  q 2  n2  m2  q 2  2 2
a
c
 k2 
2
c
2

2
a
2
n
2
 m2  q 2

Betrachten k -Raum – wird von Koordinatenachsen kx , k y , kz aufgespannt  „Fourierraum“ oder
„reziproker Raum“
Jeder Eigenschwingungen entspricht ein k
k -Vektoren enden in Punkten P
 n m q 
Pnmq 
,
,

 a b c 
Die Punkte bilden ein Gitter, Gitterkonstante – minimaler Punktabstand 

a
 

a
3
Jeder Punkt hat ein Zellvolumen 
Abzählung der Punkte: k 

a
 n2  m2  q 2 

c
 R...Radius einer Kugel
Es gibt jedoch bei diesem Gitter „angeschnittene“ Zellen. Rechnen wir diese dazu? Diese können
dann außer Acht gelassen werden, wenn unsere Kugel groß gegen die Gitterkonstante
für n2  m2  q 2
2

k


a

wird:
a
1
2a
3
 
 = Zahl der Gitterpunkte, unabhängig von der Form des
a
 Zahl der Einheitszellen 
Hohlraums
Und es gilt weiter: m, n, q  1
Volumen vom Kugeloktan: (wir betrachten hier nur ein Achtel der Gesamtkugel (siehe Abbildung)):
1 4 3

k
1  3 a3   3 a3
8
3
VK 

k  3   3  3 N
3
23
6 c 

 
 
a
Strahlung im Hohlraum unpolarisiert, darstellbar durch 2 zueinander normale Wellenzüge:
 N ( ) 
1
3

2
 3a 3
N ( ) 
c3
Moden pro Volumen = Modendichte: n 
n 
Spektrale Modendichte:
d  
c

d
2
d  
2
c
N


8 3 3a3
3 2c3

8  3a3

 Zahl der Schwingungs mod en
3 c3
8  3
3 c3
dn 3  8  2 8 3

 3
d
3c3
c
d
 n  
wächst
    d   so nimmt die Modendichte um:
Wächst
    d   so nimmt die Modendichte um:
dn 8

d  4
8 3
c2
8
4
d zu.
d  ab.
Wie groß ist die Energie-Dichte?
Der klassische Weg führt zum Gleichwertigkeitssatz:
1
k  T proFreiheitsgrad
2
Doch wie wir bald sehen werden, führt die klassische Methode zu keiner für uns richtigen Lösung.
Mittlere Energie:
W pro Schwingungsmode : W  k  T
Spektrale Energiedichte:
wk ,S  
dn
8
W   4 kT
d

S  wEM  c   Ld   4 L ( für den ganzen Raum)

c
wEM
4
L
L ,S ( , T ) 
 Rayleigl-Jeans:
L ,S ( , T ) 
2c
kT
4
2 2
c2
kT
Bei diesem klassischen Ansatz würde die Temperatur (oder war das die Wellenlänge? Siehe Abb.)
gegen Unendlich gehen  FALSCH
25.10.2011
2 Fehler:
1)


0
0
d
 L ,S (,T )d   2ckT   4  
2) Es existiert Maximum in der spektralen Verteilung
für   0
L ,S  
 "UV  Katastrophe "
- 2.5.3. Wiensches Strahlungsgesetz
(Abb. Seite 14)
L ,S ( , T ) 
a1

5
ea1/T
im langwelligen Bereich falsch
(Abb. Seite 15, 16)
(Im langwelligen Bereich ist Raleigh-Jeans besser als WIen
- 2.5.4. Plancksches Strahlungsgesetz
L ,S ( , T ) 
c1

5

1
e
c2 / T
1
Annahme von Planck: Atome in den Wänden d. Hohlraums des schwarzen Strahlers absorbieren und
emittieren d. Energie d. elektromagnetischen Feldes nicht stetig sondern in endlichen, kleinen
Portionen (den Energiequanten  )
Plancksche Quantenhypothese
1) Atome als harmonische Oszillatoren  kein kontinuierliches Spektrum sondern
0,  ,2 ,...,m
1 3
 ,  ,...
2 2
  h
2) Die Energieportionen proportional zur Frequenz 
jedoch hat sich in der Quantenmechanik erwiesen:
Energie der Eigenschwingung eines harmonischen Oszillators: Em  Wm  m  h 
Plancksches Wirkungsquantum: h  6,6256 10
34
m  0,1,...
Js
Vorgriff auf statistische Physik:
Wahrscheinlichkeit P ( ) , dass eine Eigenschwingung der atomaren Oszillatoren Energie
Wm  m  h  hat:
e mh / kT
P(Wm )  P(m  h  ) 

 emh / kT
m 0
Planck-Funktion: Mittlere Energie pro Eigenschwingung (klassisch kT)

W


 Wm P(Wm )   mh P(mh ) 
m 0
m 0
 mh  emh / kT
0

 emh / kT
0
Zähler :


0
0
 mh  emh / kT   mh  emh  
    mh 
e
 
  0


 emh ...geometrische R eihe :
Nebenbemerkung :
 1  e h  e2h  ... 
0
    mh 
 
1

  e
  

  0
  1  e h

1
1  e h
h e h


 (1  e  h ) 2
Nenner :

1
 emh  1  eh
0
W
h e h
1 e
 h
h

e
1

h
Spektrale Energie-Dichte:

1
h
e
h
1

h
e
h / kT
1


hc

 ehc/kT  1
 Planck  Funktion
w ,S  n W 
8
W
4
8
hc
w ,S ( , T )  4
  ehc / kT  1

L

c
wEM
4
L ,S ( , T ) 
2hc 2
1
 Plancksches Strahlungsgesetz
 5 ehc /  kT  1
2h 2
1
L ,S ( , T )  2  h / kT
c
e
1
S  wEM  c   Ld   4 L

07.11.2011
3) Quantenoptik
-
3.1. Photoeffekt:
(Abb. Seite 2)
„Haltepotential“: Gegenpotential V0  Photostrom I phot  0
Aus E2: W 
P2
P2
P1
P1
 Fd r  q0   Ed r  q0  ( (P1)   (P2))  q0U12
1
2
me  vmax
 eV0
2
 Lenard
Photostrom  Lichtintensität, aber: Haltepotential davon unabhängig, hängt nur von
Kathodenpotential und Frequenz des Lichtes ab
Zusammenfassung der experimentellen Beobachtungen:
1) Die ausgelösten Photoelektronen sind unabhängig von Bestrahlungsstärke (I), hängt nur von
der Frequenz des Lichtes ab.
2) Es existiert eine materialabhängige Grenzfrequenz,  0 für    0 verschwindet der
Photoeffekt
3) Zahl der Photoelektronen (Absorption)   Lichtintensität
4) Photoeffekt ist trägheitslos
-
3.2. Comptoneffekt
Untersuchte Durchlässigkeit von Röntgenlicht durch Filter. War das Röntgenlicht schon vorher
gestreut, ist weniger durch den Filter durchgegangen. Grund: Die Streuung hat die Wellelänge
verlängert.
(Abb Seite 2, unten)
-
3.3 Versagen der Wellentheorie des Lichts:
Einsteins korpuskulare Lichttheorie:
Klassische Vorstellung zum Photoeffekt
e  in Kathode durch E zu Schwingungen erregt, ausgelöst wenn entsprechend große Amplitude

1) E kin d. Photo e steigt mit Bestrahlungsstärke (I)  falsch
2) Zeit bis zur Auslösung  falsch

3) Mit größerer Frequenz kleinere aufgenommene Energie  f.    0 keine Photo e mehr 
ganz falsch
Voraussetzung für die falschen Erklärungen: Energie gleichmäßig über Wellenfront verteilt
Energie des Strahlungsfeldes kurzzeitig auf kleine Bereiche atomarer Abmessung konzentriert 
Korpuskel-Theorie des Lichts: (Korpuskel = Photon),
Planck: Atomare Oszillatoren haben diskrete Energiewerte
Einstein: Strahlungsfeld muss quantisiert werden, seine Energie nur in Quanten (kleinste Portionen)
absorbiert.
Einsteins Annahmen 1905:
1) Monochromatisches Licht der Frequenz  besteht aus einzelnen Lichtquanten (=Photonen)
v ph  c , E phot  h
2) Stoß: getroffenes Elektron erhält Energie unmittelbar, Mindestenergie für die Auslösearbeit =
Austrittsarbeit WA
Auslösearbeit WA  e   A
 A ... Austrittspotential
2
me  vmax
 WA
 Energiebilanz: h 
2
h  6, 625 10 34 Js
Beim Haltepotential ist Ekin  0
W
h  WA
0  A
h
2
me  vmax
 h  h 0
2
 Einstein-Gleichung
(Abb. Seite 4)
Erklärung des Comptoneffekts:
Einfallendes Röntgenquant ionisiert das Grafit-Atom (löst das Elektron aus) Ionisationsenergie ist viel

kleiner als E phot  betrachten Streuung vom freien e
08.11.2011
Einsteingleichung:
2
mevmax
max
h 
 WA  Ekin
 Austrittsarbeit
2
max
Ekin
 h  h 0
Emax -Messung anhand einer Anode (Abb. 7.39, Seite 3, Seite 5)
Klassische Berechnung des Compton-Effekts:
h Röntgen
Ionisationsenergie
Das einfallende Photon überträgt seine Energie an das Elektron. Dadurch kommt es also zu einem
Stoß, weshalb man das Photon in diesem Fall als Teilchen ansehen muss. Es hat also einen gewissen
Impuls, den es auf das Elektron überträgt. Das vor dem Stoß stehende Elektron hat nach dem Stoß
eine Ausbreitungsrichtung, die um den Winkel  anders ist als die Einfallsrichtung vom Photon ist.
Das Photon selbst bewegt sich mit einem Winkel  anders als zuvor.
p phot 
h 0
c
h 0
,
c
h
 ,
c
Vor dem Stoß:
phot
Ekin
 h 0 , p phot 
Nach dem Stoß:
phot
Ekin
Energiebilanz:
h 0  h 
Impulsbilanz:
(Impulserhaltung)
 h ,
p phot
e
Ekin
0
e
Ekin
meve2

, pe  mev
2
mev 2
2
h 0 h

cos   mev cos 
c
c
h
0
sin   mev sin 
c
Komponente in Richtung des Primärstrahls:
Komponente  zur Richtung des Primärstrahls:
h 0 h
 cos   quadrieren
c
c
h
mev sin   sin 
 quadrieren
c
mev cos  
(1)
(2)
me2v 2 cos 2 

me2v 2 sin 2  
(1)  (2)
me2v 2 
h 2 02
c
2
h
2 2
2
c
h2
c

2
2h 2 0
c
2
cos 2  
  02 2  2 0 cos 
Einsetzen in die Energiebilanz:
h 2 2
c
2
cos 2 
sin 2 

pe  meve  0

 Kosinussatz
h 0  h 
h2
2mec
2
 
2 2
0
 2 0 cos

Näherung: beobachtete Frequenzverschiebung:  0 

 Dort wo  0 vorkommt:  0 statt  :
2
2 02  2 02 cos   2 02  1  cos  
h 0  h 
h 2 02
mec 2
    0  
Bem.: sin 2  
Umrechnung auf
  
c
2
 (a  cos  )
2h 02
mec
2
sin 2 ( / 2)
1
 (1  cos 2 )
2
 : (wobei  
c

):

 Compton-Verschiebung
 
2h
 
sin 2  
mec
2
h
 c ...Comptonwellenlänge des e
mec
Zur Abb.: unverschobene Linie: Streuung am ganzen Atom me  M A (Atommasse statt
Elektronenmasse: M A  M C  21890me und
-
 wird unmessbar)
3.4. Das Photon
3.4.1. Eigenschaften
Quanten-Elektrodynamik (QED)
Strahlungsfeld als Teilchenstrom (Photonenstrom)
Photonen sind die kleinsten Energieeinheiten des Strahlungsfeldes bei vorgegebener Frequenz
h  
Die Photonen besitzen Teilchen- und Welleneigenschaften (Welle-Teilchen-Dualismus)
Energie des Photons: E phot  h 
Ruhemasse: m phot  0


wobei :
v phot  c

h
2
Impuls eines Photons kann ja kein Linearimpuls sein ( p  m  v geht also nicht) weil das Photon
keine Masse hat.
Definition des Impulses:
Raumanteil : pRphot 
E h



 k
c
c
c
(k ...Wellenvektor )
Für die Ausbreitung in x-Richtung:
Viererimpuls :(Energie-Impuls-Vektor)
E
  h h

p   , pR    , ,0,0
c
 c c

Eigendrehimpuls = Spin
S phot  
k
k
Spinquantenzahl : s  1
(Abb. 7.5, Seite 5,6,7,8): hängt mit dem Periodensystem zusammen
09.11.2011
-
3.4.2. Linearer Impuls des Photons
Impulsübertragung beim Photoeffekt
e
Ekin der ausgelösten e  : Ekin

pe  2hme  (  0 )
pe2
1
2
meve  h(  0 ) 
2
2me
h h
p ph  
 c
 2mec 2    0 
pe
2hme  (  0 )  c 2



  1  
p ph
h

h2 2

   
Realistisches Zahlenbeispiel:
me c 2
h
pe
 250
p phot
  2 1015
0 1
0
 0,5

Nachweis d. Impulsübertrags durch Photonen: R. Frisch 1933
Na-Atom absorbiert Photon  Impuls
pNa  mNa  v p  p ph  k 
h 2 h


2  
Geschwindigkeit d. Na-Atoms durch Absorption?
vp 
h
mNa  
 2,94 102 m / s
D 2  589,9nm
D1  589, 6nm
T  300C
 v ph  9 102 m / s
Strahllänge: 50cm, kleine Ablenkwinkel tan   
Ablenkwinkel  
2,94 102
 6, 7"
9 102
  l  16 m
Strahlungsdruck: laufender Impulsübertragung
Gepulster Laser: 108W ,108 s  E / Impuls=1Ws=1J
Photonen pro Puls: N 
Impuls: ph  p ph 
E
h
Ekin h

c
c
(Abb. Seite 9) Frisch-Versuch mit Wolfram-Draht als verschiebbarem Auffänger)
Reflexion am Spiegel  elastischer Stoß  Spiegel nimmt doppelten Impuls auf
ps  ms  vs  2  N  p ph  2 
Ekin, s 
ms  vs2
p2
2
 s 
2
2ms ms
E h
E

 2
h c
c
E
 
c
2
E pot , s  ms  l
cos  
l  l
, l  l  (1  cos  )
l
Entwicklung: cos   1 
 l  l 

2
2
1  cos  
2
2
2
2  E 
2
l 
 
 l
ms  g g  ms  c 
2
Ekin ,s

s 2 E
1


l
ms c lg
Zahlenbeispiel:
E / Im puls  1J
ms  2 102 g
l  100cm
  1,1104 rad  3,1"
s    l  1,1101  m  911mm
Corkesches Radiometer „Lichtmühle“ (Abb. Seite 9)
2
2
-
3.4.3. Photonendrehimpuls
1. Eigendrehimpuls = Spin
Versuch von R.A. Beth (1936): Nachweis des Phototnenspins
Bewegl: L   ( )  2
Rückweg nach Reflexion: l  2
Bilanz: L  4
pro Photon
2. Bahndrehimpuls (Orbital ang. Mom)
1992 L.Allen
Unterschied: Eigendrehimpuls liegt auch in Ruhe vor, also immer. Bahndrehimpuls nur in Bewegung,
aber auch auf linearer Bahn.
14.11.2011
Strahl linear polarisiert S (Eigendrehimpulsvektor)
JZ  l 
(l  0, 1, 2,...)
zirk . pol.
J Z  (l  s ) 
(l  0, 1...; s  1)
l...Bahndrehimpuls (Quantenzahl )
s...Spin  Quantenzahl
Anwendungen
1. Quanteninfo
Spin: 2 Werte möglich  single quantum bit  2-dim. Info-Raum
OAM: Unbegrenzte Zahl (orthogonaler) OAM-Zustände
N-dim. Info-Raum  qnNit’s
2. Astronomie
Abweichung der Lichtstrahlen bei schwarzen Löchern zum Beispiel
3. Optische Pinzette
(optische Leviation)
-
3.4.4. Gedankenexperiment zur quantenhaften Aussendung einer Lichtwelle
Abstand R von Lichtquelle  Detektoren im Kreis
Kugelwellen: E 
A i (t kr )
e
r
Jeder Detektor  gleiche Strahlungsleistung :
dW
A2
 c 0  2  F
d
R
dW h
Kleine Intensität:

dt


F ...Empfängerfläche
 ...zeitl. Auflösungsvermögen der Detektoren
Klassische Beschreibung = Grenzfall f große Photonenzahlen
 Bohrsches Korrepotenzprinzip
Jede neue Theorie muss mit den Ergebnissen der klassischen Theorie im Grenzfall größer Q.Z.
übereinstimmen
3.5. Materie als Welle
-
1924: de Broglie: Materieteilchen sind mit Materiewellen verknüpft
Photon: p 
h

, Materieteilchen  
Relativistisch:  
h
p
h
p
Newton-Nährung:  
h
h

p
2mEkin
Bsp.:
1) Steinchen von 1g, v=1cm/s
   6, 6 10 29 m
10 22 mal kürzer als rotes Licht

2) Welche Spannung verleiht einem e eine Wellenlänge 1Angström= 10 10  0,1mm ?
e U 
mv 2
h h
,p
  mev,
2
c 
v
h
h2
, v2  2 2
me  
me  
h2
u
 150V
2me  e 2
100keV    3,8 pm
Exp. Beweis: Davisson & Germer (1928)

Beugung von e am Kristallgitter

54 eV e -Strahl auf Ni-E Kristall (Ni: kfz) kfz…kubisch-flächen-zentriert
Ergebnis: Starke Reflexion unter 50° gegen Normale
Erklärung mit Beugung von Wellen am Gitter möglich?
15.11.2011
Davisson & Germer
54 eV auf Ni-Einkristall (kfz)

h
p
Ekin 
p2
 54eV
2m
p  2  9,11031  54 1, 6 10 19  3,97 10 24 Jsm
  1, 67 1010  1, 67 A  167 pm
Strichgitter:
n  d sin 
1.Ordnung :
 Beugungswinkel
n  1:   d sin   215,8  sin(50)  165 pm
Gitterkonstante: 2,158 Angström  215,8 pm
Schlussfolgerung:
Teilchen und Wellen sind makroskopische Konzepte (Modelle), die einander ausschließen. Im
atomaren Bereich  ergänzen sich die beiden Konzepte
Bohr’sches Komplementaritätsprinzip:
Jedes Objekt atomarer oder subatomarer Größenordnung hat stets sowohl Wellen- als auch
Teilcheneigenschaften, welche sich aber nie gleichzeitig beobachten lassen.
Quantenoptik: Schwarzer Körper, Photoeffekt, Compton-Effekt, Elektronenbeugung,…
Wellenoptik: Snellius, Frenel’sche Formeln, Dopplereffekt, Interferenz und Beugung,
-
3.6. Quantenoptik oder Wellenoptik?
Doppelspalt: Interferenzmuster am Schirm, mit Detektor Absorption von Photonen: zum Beispiel
Photoeffekt, Signal nachgewiesen
Wir wissen nicht wo bestimmtes Photon auf Detektor auffällt, aber wir kennen die
Wahrscheinlichkeit mit der an einer gewissen Stelle Photonen nachgewiesen werden.
Strahlungsenergie die auf dA (Flächenelement des Detektors) in der Zeit dt auftritt:
dW  I  dA  dt
I ...Betrahlungsstärke
I  dA  dt
Daraus folgt die Zahl der Photonen die auf den Detektor auftrifft: N D 
h
E ph  h
In jedem Zeitintervall dt treffen insgesamt N Photonen auf Gesamtbereich auf  Wahrscheinlichkeit
W, dass Photon auf Detektor auftrifft:
P
N D I  dA  dt

I
N
N  h 
 Klassisch berechnete Bestrahlungsstärke I entspricht der Wahrscheinlichkeit ein Photon an
einer bestimmten Stelle nachzuweisen
I  E02
Wahrscheinlichkeit ein Photon in einem Zeitintervall in kleinen Volumen um bestimmten Raumpunkt
in Lichtwellen nachzuweisen, ist proportional zum Quadrat der Amplitude des elektrischen
Feldvektors der elektromagnetischen Welle in diesen Punkt.
 Elektromagnetische Strahlung ist nicht nur elektromagnetische Welle, sondern wird auch als
Wahrscheinlichkeitswelle interpretiert.
Formal für Materieteilchen:
Wir ordnen allen Teilchen eine Wahrscheinlichkeitswelle zu, def. Komplexe
Wahrscheinlichkeitsamplitude 
P
2
  *
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude  schwingt und wandert als Welle, die die Interferenzeffekte
beschreibt.
 ( x, t )  cei (t  kx )
Teilchen von A nach B:
Wenn viele Wege möglich sind, dann tragen alle möglichen Wege zur Gesamtamplitude in B bei.
Doppelspalt:
 B   1  2
1, 2...Spalte
PB   B   1  2
2
 Erst summieren, dann quadrieren
2
 Quantenmechanische Teilchen interferieren!
16.11.2011
Photon von Quelle emittiert, breite sich als Wahrscheinlichkeits-Welle aus, an beiden Spalten
gebeugt, vom Detektor nachgewiesen.
Weg eines Teilchens:
1) Teilchen von Quelle emittiert
2) Teilchen von Detektor absorbiert  nachgewiesen
3) Dazwischen als W-Welle
Grundprinzipien der Quantenmechanik:
1) Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zur Zeit t am Ort
P   (r , t )
2
r
in dV nachzuweisen:
 (r, t )....komplexe Wahrscheinlichkeits  Amplitude
2) Es existierten mehrere realisierbare Wege, Wahrscheinlichkeit ist Summe der
Einzelwahrscheinlichkeiten  Interferenz
Zuerst Summieren und dann Quadrieren!
3) Gibt es experimentell nur einen vorgegebenen Weg, dann gibt es keine Interferenz.
P  P1  P2  1   2
2
2
-
3.7. Materiewellen
-
3.7.1. Wellenfunktion und Phasengeschwindigkeit
De Broglie Wellen = Materiewellen
Anwendung der Materiewellen auf das Elektron im Atom führt zur Quantenmechanik
Analogie zu dem elektromagnetischen Wellen, z.B.:
i (t k r )
 (r, t )  ce
.....Materiewelle
 ( x, t )  cei (t  kx )
Planck-Einstein:
De Broglie:
 (r , t )  ce
E  h  
h
P
 h

i ( t  k r )
Deshalb:
 ( x, t )  ce
i (t  kx )
i
( E t  pr )
i
( E t  p x x )
 ce
 ce
Phasengeschwindigkeit: v ph   

k
Im Vakuum v ph  c  keine Dispersion:
dv ph
d
0
Bei Materiewellen:

h
h

p  mvT

k


1
1  2
....Lorentz  Faktor
E
p
p k k 

2
v
1 2
c
E    
v ph 
1
E  mc 2 (...rel. Gesamtenergie) c 2


p
 mvT
vT
v ph  vT  c 2
Konsequenzen:
1) Spezielle Relativitätstheorie: vT  c  v ph  c
2) v ph 
-
E E
    f ( ) :
p h
Materiewellen zeigen immer Dispersion
3.7.2 Dispersionsrelation von Materiewellen
Elektromagnetische Wellen:
Wellengleichung: u 
Wellenansatz:
u…Komponente der elektrischen Feldstärke
1  u
c2  t 2
i ( t  k r )
2
u  Ae

 k x 2  u,
2
x
2
…Ebene Welle in k -Richtung
 u
 u
 2u
2
2


k
u
,


k
u
,
  2u
y
z
2
2
2
y
z
t
2
2
2
2
2
Eingesetzt in die Wellengleichung: u (k x  k y  k z )  u
  ck
Ekin 
1 2 p2
mv 
2
2m
 c2 
2
k2
lin. Dispersionsrelation
Einschub:
Newton’sche Nährung (klassische Relativität)
p  mv
1 2

c2
Einstein: (spezielle Relativitätstheorie)
pR  m v
Ekin  m  (  1)  c 2  m c 2  mc 2
m c 2 ....Gesamtenergie
mc 2 ....Ruheenergie
E  m(  1)c 2  mc 2  mc 2 (  1  1)   mc 2
 Relativistischer Energiesatz: E  ( pc )  ( mc )
2
2
2 2
Dispersionsrelation von Materiewellen:
2
E2
 m 2c 2  pR  m 2c 2  ( px2  p y2  pz2 )
2
c
Für ein Teilchen gilt:
E   , px  k x , p y  k y , pz  k z
Einsetzen :
2
c2
m2c 2

2
1/2
 (k x2
 k y2
 k z2 )
 m2c 2

   c 2  k2 


mc 2
 0 …Frequenz der Ruheenergie: Eo  mc2  0
 
m2c 4
2
0

2
c
2

2

02
c
2
m2c 2
2

02
c2
 (k x2  k y2  k z2 )
Photon  Ruhemasse m=0  c 

k
Newton’sche Nährung: E  Ekin 
 
2m
(k x2  k y2  k z2 ) 
2
2
mv 2 p 2


k2 
(k x2  k y2  k z2 )  
2
2m 2m
2m
2m
k2  k c
21.11.2011
-
3.7.3. Das Wellenpaket
Einfache harmonische Wellen sind für die Teilchenbeschreibung ungeeignet (Im ganzen Raum
ausgebreitet, können die die Dispersion nicht widergeben). Versuch mit Wellenpaketen.
Überlagern ebene harmonische Wellen in x-Richtung mit benachbarten Frequenzen.
Superposition: ( x, t ) 
c je
i (t k j x )
j
Wenn nur 2 eng benachbarte Frequenzen: 1 , 2 Schwebung = Wellenberge, maximal mit
vG 

k
Nehmen unendlich viele Wellen in Frequenzintervall 2
 ( x, t ) 
k0 k

2k
c(k )  ei (t kx ) dk
k0 k
Taylorentwicklung
 (k )
um
0   ( k 0 )
1  d 2 
 d 
2
k  0  
 (k  k0 )   2  (k  k0 )  ...
2  dk k
 dk k0
0
0  k  k0  k
k0
Forderung: k
Wir beschränken uns zwar auf den ersten Term der Taylorentwicklung, behalten aber das
Bewusstsein, dass es zu einem „Zerfließen“ kommt, aufgrund der anderen Terme.
Aufgrund der Forderung setzen wir: c ( k )  c (k0 )  const
Neue Variable
 : k  k0  
k  k0  ( k  k 0 )  k 0  

Eingesetzt in die Taylorentwicklung:
mit 
k0
 d 
    0   '
 dk k0
 (k )  0  
 Wellenfunktion:
 ( x, t )  c(k )
k

e
i (t  ' x )t
e
i ( k0  ) x
d  c(k0 )e
i (t k0 x )
k
k
Integration: 2 
e

i ( ' t  x )
d
k
sin  ' t  x  k 
( ' t  x)
A( x, t )  ei (t k0x)
sin  ' t  x  k 
 Wellenpaket:  ( x, t ) 
mit A( x, t )  2c(k0 )
( ' t  x)
,
 d 

 dk k0
'  
fortschreitende Wellen, Amplitude ist Funktion des Ortes und der Zeit.
Erweiterung von A mit k :
 A( x, t )  2c(k0 )k
lim
sin 
 0
sin 


1 
sin 
  ( ' t  x)k ,

f .   0  Maximum des Wellenpaketes
 0 erfüllt für   n
Die Welle hat ein Maximum bei
n...ganz
sin 

...sin c  Funktion
  ( ' t  x)  k  0
 d 
 xmax   ' t  
 t
 dk k0
dxmax  d 

  vGr
dt
 dk k0
Das Signal wird also mit der Gruppengeschwindigkeit transportiert (=Signalgeschwindigkeit)
vGr 
dv ph
d
 v ph  
dk
d
Teilchengeschwindigkeit in Newtonnährung:
p2
E 1 p2 1 2k 2
k2
E 
  


2m
2m
2m
2m
d
k p mvT
vGr 

 
 vT
dk
m m
m
c : Teilchengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit des
Newton- Nährung: vT
Wellenpaketes.
22.11.2011
-
3.7.4. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion
Teilchen selbst nicht durch Wellenpakete reeller Funktionen beschreibbar.
Wieso?
1) Wellenpaket zerfließt bei Dispersion (Materiewellen zeigen immer Dispersion)
Bsp.: - Steinchen mit einer Masse m=1g Durchmesser: 2mm, Ausdehnung verdoppelt sich
in 6  10 a
17
31
- Elektron mit der Masse 9,110
kg , Halbwertsbreite vom Wellenpaket: 1014 m
20
 Verdopplung in 1,6 10 s
2) Die Wellenfunktion ist komplex  nicht unmittelbar mit Messergebnissen verknüpfbar
Wellenfunkton selbst keine unmittelbare anschauliche Bedeutung, aber
   * gibt Auskunft
2
über Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit im Raum

Normierung der Wellenfunktion:
   d  1 ist eindeutig und differenzierbar
*

 Für die Wahrscheinlichkeit gilt:
Die Wahrscheinlichkeit
2
dP(r, t ) ein Teilchen zur Zeit t in dV im r zu finden, ist proportional zu
2
 (r , t ) : d P(r , t )   (r , t ) dV
Bohr‘sche Wahrscheinlichkeits-Interpretation

2
2
dP(r , t )   * d   (r , t ) dV
 (r , t )  Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Statistische Deutung: Wellenpaket brauchbar, Zerfließen bedeutet zunehmender Infoverlust über
Aufenthaltsort des Teilchens.
Nicht realistische Theorie, aber determinierte Wahrscheinlichkeitsaussagen
Realistische Theorie: jeder physikalischen Größe entspricht ein Element der realen Welt.
Eigenschaften physikalischer Objekte sind schon vor ihrer Messung bekannt.
Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik ist nicht die allein mögliche Interpretation.
1927 hat schon de Broglie eine Theorie entwickelt, 1952 von Bohm neu entwickelt
Wellenfunktion  Führungswellen des Teilchens
Das Einstein-Pakolsky-Rosen-Experiment:
Quantenmechanik unvollständig: es existieren „versteckte“ Parameter
Kopenhagen: bei Teilchennachweis  plötzlich Teilchen lokalisiert  sonst im Raum   0 
„Kollaps“ der Wellenfunktion  Quantenmechanik entweder nicht lokal oder unvollständig
SKIZZE
Wenn A gewissen Spinzustand (z.B.  ) nachweist: B muss kompl. Zustand nachweisen (also  )


Kopenhagen: A zwingt e in Zustand  e muss im anderen sein  „Fernwirkung“
Quantenmechanik nicht lokal!
Realistische Position: Teilchen haben schon immer einen gewissen Spin-Zustand, der durch
verborgene Parameter gegeben ist
1964: J. Bell: jede lokale Theorie mit versteckten Parametern widerspricht der Quantenmechanik
 Quantenmechanik nicht lokal realistisch
 Quantenmechanik nicht lokal, oder nicht realistisch, oder beides (Kopenhagen)
Einsteinlokalität: betrifft Signalübertragung
Nichtlokalität: Eigenschaft der Wellenfunktion widerspricht nicht
c = maximale Signalgeschwindigkeit
23.11.2011
Zur Prüfung kommt nur die Kopenhagener Interpretation, man muss nur wissen, dass es nicht die
einzig mögliche Interpretation ist.
-
3.7.5. Ort und Impuls von Mikroteilchen: Die Unbestimmtheitsrelation
Klassisch: Teilchen hat definierten Ort und Impuls, die gleichzeitige Bestimmung ist jedenfalls möglich
Betrachten ein Mikroteilchen auf x-Achse zwischen x0 und x0  x
Die Amplitude der Wellenfunktion nur dort ungleich Null  keine harmonische Welle mit  und k ,
sondern Wellenpakete
 ( x, t )  2C (k0 )k 
Zeitpunkt t=0
sin ( ' t  x)  k 
sin 
 2C (k0 )k 
( ' t  x)  k

sin( xk ) sin 0

xk
0
Bestimmender Faktor:
Für
sin 0
0  0 
0
 1,
für Werte
0  xk
0  
sin 0

0
0
Legen Koordinatenursprung in das Hauptmaximum:  die ersten Nulldurchgänge haben
x / 2 ,  x / 2 
x
k  
2

x  k  2
Mit Hinzunahme höherer Nulldurchgänge: k x  x  2
k x  px
Analog:

ypy  h,
Unschärfe von Ort
x und Impuls p x

x  px  h
zpz  h
x 2  px 2 
Strenge Rechnung der Quantenmechanik:
2
 Wellenfeld kann nicht zugleich begrenzte Ausdehnung besitzen und als Welle bestimmter
Wellenlänge  bzw. Wellenzahl k dargestellt werden
Betrachten das Wellenpaket am Ort
Bestimmender Faktor:
sin( ' t )
 't
x0
d
d
,  
k   ' k
dk
dk
sin( ' t k ) sin(t  ) sin ˆ0


t ' k
t 
ˆ0
' 
t
  
2
Analog zu x, k jetzt t ,  :
 t   t E  2  h
mit höheren Nullstellen

t   2
t  E  h
je kürzer das Zeitintervall (z.B.: Emissionszeit eines Photons bei Strahlungsübergang), umso
unschärfer wird zugehöriges Energieintervall E (z.B.: Energie des Photons)

Beispiel: Bewegung einer e -Welle am Spalt
e  in y-Richtung durch Lochblende mit Durchmesser d
p x ?
 Ortunschärfe ist vorgegeben: x  d
px  p  sin 
Das erste Beugungsminimum ist bei sin  

d
p
h
px  p sin  

p px 
,

d
p
d
px   

h
k

xpx  h
x  d ,

xpx  h ( wegen zusätzlicher Minima )
?Unschärfe mikroskopischer Teilchen?
x  px  h, px  mv
 v 
h ( 6,6 1036 Js)
mx
Beispiele:
1) Teilchen m=1g, Ortsunschärfe:
v 

x  1010 m  1µm
6,6 1034
 6,6 1025 m / s
6
3
10 10
me  9 1030 g ,
x  1010 m
2) e ,
,6 1034
v  30
 7 106 m / s
10
10 10

e
Ekin
 10eV
(1eV  1,6 1015 J )
2,16 1019
v
2 106 m / s
30
10
-
Heisenberg’sche Unschärferelation
3.8. Absorption, spontane und induzierte Emission (Laser)
3.8.1. Atome im Strahlungsfeld
Abbildungen
-
3.8.2. Die Einsteinkoeffizienten der Strahlungsübergänge
Atom im stationären Zustand im Energie-Niveau Em im Strahlungsfeld
Spektrale Energiedichte: w ( ) 
wEM
dwEM
d
Js 

 w  1 m2 
S
1
B2 E  B I
2
2 2
2
  0 (E  c B )   0E 

 
2
0 0 c c
c
28.11.2011
Einsteinkoeffizeiten der Strahlungsübergänge:
1) Absorption:
En  Em  h
Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:
Wmn  Bmn  W ( )  Bmn  Z ph ( )  h
Bmn ...Einsteinkoeffizeitn der Absorption
Z ph ...Spektrale Photonendichte
N m Atome im Zustand Em , Abnahme durch Absorption
dN
 m  N m  Bmn  W
dt
Jeder Absorptionsvorgang: Verminderung der Zahl der Protonen mit E  h um 1
2) Induzierte Emission (stimulated emission)
Wahrscheinlichkeit für Übergang pro Zeiteinheit: Wnm
 Bmn W ( )  Bnm  Z ph ( )h
Änderung der Zahl N n der Atome im Zustand En :

dN n
 N n  Bmn  W
dt
Jeder Emissionsvorgang erfüllt Zahl der Photonen mit E  h
3) Spontane Emission:
Bei Anwesenheit eines am. Strahlungsfeldes: Übergang erfolgt unabhängig davon
Wahrscheinlichkeit für Übergang pro Zeiteinheit: Wnm  Anm …Einsteinkoeffizient der spontanen
Emission
 Bnm    Bmn   1m3 J 1s 2
 Anm   1s 1
Für „Lebensdauer“  sp Eines Zustandes, der nur durch spontane Emission verändert wird:
1
 Anm
 sp
-
3.8.3. Besetzungsinversion, LASER:
Betr. ein System mit 2 korrespondierenden Zuständen, Em , En
Im Gleichgewicht:
N n Anm
 N n BnmW ( )  N m  BnmW ( )
spontane Emission +induzierte Emission
Kleines System (Atom) im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung (Wärmebad – großes
System): W  Pi dass kl. System im Zustand i mit Energie Ei ist:
Pi 
i
 gi e Ei / kT
Z
Z   gi e Ei / kT ....Zustandssumme
i
Angewendet auf die Besetzungszahlen der Zustände m,n:
N n g n ( En  Em )/ kT

e
Nm gm
g n , g m ...statistische Gebiete entsprechend der Entartung (Multiplizität der Zustände)
f. En  Em im GG. N n  N m
Wenn umgekehrt mehr Atome in N n als N m mit Em  En  Nicht-Gleichgewichtszustand,
„Besetzungsinversion“
Für Lichtverstärkung  Besetzungsinversion nötig
Bedingung für Einsetzen von Photonenvervielfachung
N 2  N1 8 2   sp
 2 
V
t0
c
 sp …mittlere Lebensdauer durch spontane Übergange
t0 …mittlere Lebensdauer der Photonen im Lasermedium
N 2  ( E2  E1 )/ kT
 E2  E1
e
T 
N1
N 
k  ln  1 
 N2 

T 0
f. E2  E1 : N1  N 2
aber N 2  1: T  0  Nicht-Gleichgewicht: T nicht definiert
I definiert für Gleichgewicht
Induzierte Emission: Lichtwellen haben gleiche Energie, gleiche Phase, gleicher Polarisationszustand,
alle Photonen im gleichen Quantenzustand
29.11.2011
Laserbedingung = Schwellwertbedingung
N 2  N1 8 2  sp
 3 
V
t0
c
4) Atomphysik
-
4.1. Klass. Atomvorstellungen und offene Fragen
4.2. Atomspektren und Stoßanregung
Linienspektren: Emissions Gasentladungen, Absorption 
Atome können nur Licht ganz bestimmter Wellenlänge emittieren und absorbieren
Balmer (1885): Beschreibung gew. Spektrallinien durch Formel mit gewissen („magischen“) Zahlen.
H-Atom: Linien H 2 , H 3
m2
m  3, 4,5,...
B...Boltzmannkonst ante : B  3645,6 1010 m
2
m 4
1 1 m2  4 4  1 1 
1 
 1
  




R

m  3, 4,5,...
y



2
2 
 B m2
B  4 m2 
2 m 
4
Ry ...Rydbergkosta nte   1,0972 107 m1
B
  B
1
m 
1)


Ry
4
 const  Seriengrenze
Abstände der Linien nehmen mit m ständig ab.
Alle Serien:
1
Lymann:

1
Balmer:

1
Paschen:

1
Bracket:

1 
1
 Ry   2  2 
1 m 
1 
 1
 Ry   2  2 
2 m 
1 
1
 Ry   2  2 
3 m 
1 
 1
 Ry   2  2 
4 m 
m  2,3,...
m  3, 4,...
m  4,5,...
m  5,6,...
Verallgemeinerung der Balmer-Formel:
1 
 1
 Ry   2  2 

m 
n
1
n  m  1, m  2,...charakteristische Serie m...Laufzahl
- 4.2.2. Franck-Hertz-Versuch
?Quantelungen Strahlungsfeld geknüpft oder allgemein?
J. Franck und G. Hertz (1914)

Energie-Übertragung e an die Gasatome
Ekin )n  E A
E A ... Anregungsenergie
EAHg  4,9eV …Anregungsenergie des Hg-Atoms
Planck-Einstein:
E phot  h
hc 6,66 1024  2,99 108

 253,3nm

eU
1,6 1015  4,9
 Nur eine UV-Linie bei   253,3nm
h  h
-
c
 e U

4.2.3. Bohr’sche Postulate, Bohrsches Atommodell
Stabile Atome (Rutherford) klassisch nicht erklärbar
Bohrpostulate (1912):
1) Für alle Atome gibt es stationäre Zustände, in denen das Atom nicht strahlt
Absorption und Emissionen: Übergänge zwischen stabilen Zuständen, E-Werte der Zustände
bilden eine diskrete Folge: E1 , E2 ,..., En
2) Übergänge fordern: Strahlung an bestimmte Frequenzen gebunden:
h  Em  En
Em  En
n, m  1, 2,3,....
(Bohrsche Frequenzbedingung)
Konsequenz des 1. Postulates: Es existiert eine ausgewählte Folge von Quantenbahnen
(klassisch jede Bahn möglich)
Planck: E  nh
3) Bohr: nur bestimmte Drehimpulse möglich

L  m r v

L  rm2  n  n 
h
2
n  1, 2,...
v  r 
30.11.2011
- Das Bohrsche Atommodell
Zentripetalkraft = Coloumbkraft
Elektron auf Kreisbahn um den Kern:
rn  m2
h 2 0
 n 2  a0
2
 mee
n  1, 2,3,...Quantenzahl ( Hauptquantenzahl )
n  1 a0  rB  5,2917 1011 m  52,917 pm
GES
Energie: En
 1. Bohrscher Radius
 Enkin  Enpot
me4 1
En   2 2  2
8 0 h n
E1  13,6eV
 Energie ist gequantet
 13,6eV ist Ionisationsenergie
Frequenz der Spektrallinien:

 nm
1
 Em  En 
h
m e4  1
1 
 e2 3  2  2 
8 0 h  n
m 
 nm 
c
nm

1
nm
 Bohrsche Frequenzbedingung
mee4  1
1 
1 
 1
 2 3   2  2   Ry  2  2 
8 0 h c  n
m 
m 
n
Erweiterte Balmer-Formel = Rydberg-Formel
Ry  1,0973 107 m1
-
4.3. Die Schrödingergleichung
Materiewellen:
p  k , Ekin  
 
 r , t  A  e i ( t  k r )  A  e i /
( Ekin t  pr )
In der Newton-Närhung:
2

Ekin
p
1


px2  p 2y  pz2
2m 2m
Ekin
 
k
2m
2
x
 k y2  k z2

px  k x

...Dispersionsrelation
Basteln Wellengleichung die dieser Dispersionsrelation genügt!
  Aeit  eik r
Bilden:


 2
 i ,
 ik x ,
 k x2
2
t
x
x
 2
 2
2


k

 k z2
y
2
2
y
z
Und damit erhalten wir die (zeitabhängige) Schrödingergleichung:


1 
1  2
, k x2    2 ,
i  t
 x
1 
1



i  t
2m 
2
2m
 
 r , t  i
k y2 ,..., k z2 ,...
  2  2  2 
 2  2  2 
y
z 
x
|
 (r , t )
t
Jetzt Annahme: stationäres Problem: p, E ...zeitunabhängig
 Separationsansatz:
ik r
Ortsabhängigkeit:  (r )  A  e
aber zeitabhängig
 Monochromer Phasenfaktor:
it
 (r , t )   (r )  e
  (r )e
e i t
i
Ekin t
 i
 Ekin ( r , t )
t
i

  Ekin   Ekin (r )eit
t
in dieGleichung einsetzen :
2
2m
 (r )eit   Ekin (r )eit
  (r ) 
2m
2
Ekin (r )  0
Das ist nun die stationäre Schrödingergleichung für bestimmte Teilchen
Jetzt: Teilchen in zeitunabhängigem Potentialfeld
Freies Teilchen ( E pot  0 ) Eges  Ekin
Eges  E  Ekin  E pot
Ekin  E  E pot
  ( r ) 
2m
2
 E  E pot  (r )  0
Stationäre Schrödingergleichung für Teilchen in zeitunabhängigem Potentialfeld
Umgeschrieben:
 (r ) 
2m
2
E pot  (r ) 
2m
2
E  (r )
2


  E pot (r )  (r )  E  (r )

 2m

2



  E pot (r )  ...Hamilton  Operator

 2m

 Hˆ  (r )  E  (r )
Analog:

2
2m
  Ekin
Jetzt wieder zeitabhängige Schrödingergleichung für Teilchen in einem zeitunabhängigen
Potentialfeld
Wir müssen:
2
  Energieoperator der Gesamtenergie wählen :
2m
 2

 (r , t )

  E pot (r )  (r , t )  i
t
 2m

Das ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung für Teilchen im Kraftfeld mit zeitunabhängigem
E pot
Diese Gleichung kann durch Separationsansatz gelöst werden:
 (r , t )   (r ) (t )
mit  (t 9  A  eit  Aei / Et ...Phasenfaktor
E...Gesamtenergie
Raumanteil : Hˆ (r )  E (r )
Allgemein nicht stationäres Problem:
E  E (t ),

p  p (t )
E (t )
  (t )

 i
t

Schrödinger postuliert 1926:
2
 (r , t )  E pot (r , t ) (r , t )  i 
 (r , t )
t
2m
 2

 (r , t )
  E pot (r , t )  (r , t )  i

t
 2m

Allgemeine zeitabhängige Schrödingergleichung  Grundgleichung der Quantenmechanik
5.12.2011
Wesentlich:
1) Die Schrödingergleichung ist nicht ableitbar  postuliert
2) Lineare, homogene Differentialgleichung  es gibt das Superpositionsprinzip:
Lösungen, dann auch:  i  z  1  k  2
3) Quadratische Dispersionsrelation
 1 , 2
4) Die zeitabhängige Gleichung ist komplex  homogene Wellenfunktion komplex, aber: 
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Schrödingergleichung ist nicht Lorentz-invariant.
Relative Dispersionsrelation:
 
2

 2c 4
2
2


 k x2  k y2  k z2 c 2
 2
  2c 2   m2c 2
2
t

*
Differentialgleichung 2. Ordnung  kleine „Gordon-Gleichung“
Wichtige Gleichung der Quantenfeldtheorie
DIRAC: i
 



  c  1
 2
 3
t i   x
y
z

2
   mc 

 Lorentzinvariante Dirac-Gleichung
 i   Matrizen
  Spinor mit 4 Komponenten
E.W. Schpolski: Atomphysik I+II
-
4.4. Anwendungen der Schrödingergleichung: Kastenpotential, Tunneleffekt, harmonischer
Oszillator
Beidseitig eingespanntes Seil (Seite):
Größte Wellenlänge die man aufspannen kann ist eine halbe Schwingung zwischen den beiden
Enden:
n
2l
2
n
n
 ...Spannkraft
n  
2l  ...Masse pro Längeneinheit
l  n
 n 
Auch für immaterielle Materiewellen: räumliche Einschränkung  Quantenbedingungen (Prinzip der
räumlichen Einschränkung)
-
4.4.1. Unendlich hoher Potentialtopf (infinite square well potential)
Raumbereich
Elektrisches Potential U
x0
0 xl
lx


0
0


?Wellenfunktion?  Schrödingergleichung aufstellen
Stationäres Problem:
d 2 2m
 2 E  E pot   0
dx 2


   ( x)
Wellenfunktion: Konten bei x=0 und x=l
 (0)  0 und auch  (l )  0
 ( x ) verschwindet außerhalb dem Intervall [0, l]

Im Inneren des Topfes: e ist frei
d 2 2m
 2 E  0
dx 2
Einschub: Differentialgleichung eines beidseitig eingespannten Seils:
Pot. E
E pot  e U
u ( x, t )  w( x)   (t )
d 2 w( x)
 k 2 w( x)  0
2
dx
k 


d 2
1
Hier:
 k 2  0
k
2mE
2
dx
Allgemeine Lösung:  ( x)  A sin(kx)  B cos(kx)
A und B aus den Randbedingungen:
 (0)  0  A  sin(0)  B cos(0)
  ( x)  A sin kx
 (l )  0  A sin(kl )
 B=0
 kn  l  n
mit n  1, 2,3,...
n
 Forderung: k n 
l
 Daraus
folgt
die
Wellenfunktion:
 n
 l
 n ( x)  A  sin 

x

n  1, 2,3,...
Eingenfunktion
kn 
En 

2mEn 
2
n
l
2
2ml 2
n
2
 diskrete Energieeigenwerte, n…Energiequantenzahl
n  1, 2,3,...
2 2
h2

E1 

2
Grundzustandsenergie:
2nl
8nl
 En  n2 E1
A aus Normierung:



2
 n x 
dx   A2 sin 2 
dx  1
l


0
l
Substitution :  
n x
l
 A
2
l
Normierte Wellenfunktion im Potentialtopf:
2
 n x 
sin 
 n  1, 2,3,...
l
 l 
n 
 1 ( x) 
2
x
sin 
,
l
 l 
 n ( x )   n ( x )e
i
( Ent )
 1 ( x) 
2
 2 x 
sin 

l
 l 
2
 n x 

sin 
e
l
 l 
i
( Ent )

i 2 2
 2 mt 2 n t
e
2
 n x
sin 

l
 l 

2
2
2
 n
  n ( x, t )    n* ( x, t )  n ( x, t )   n2 ( x)  sin 2 
l
l
 l

x

06.12.2011
Wenn der Potentialtopf nicht unendlich ist, haben die Teilchen auch außerhalb der Wand eine
Aufenthaltswahrscheinlichkeit!
-
4.4.2. Der Tunneleffekt

Potentialbarriere, e mit E<U läuft dagegen.
Klassisch: 1  2E / m stehende Welle durch Reflexion
Quantenmechanik:
x  0 : stehende Welle durch Reflexion
0  x  l : exponentieller Abfall der W-Dichte
x  l : durchgehende Welle - Teilchenstrahl wenn viele Teilchen
Ist die Potentialbarriere nicht sehr groß, dann ist durch den exponentiellen Abstieg der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch eine Wahrscheinlichkeit des Aufenthaltes eines Teilchens
außerhalb der Barriere nicht verschwindend existent.
Praktische Anwendung:
Raster-Tunnel-Mikroskop: (STM scanning tunneling microscope) (Abbildung)
-
4.4.3. Der quantenmechanische harmonische Oszillator (linear)
Klassisch:
F  kx
x
k
x0
m
Kraft  Federkos tan te  Auslenkung
k
 02
m
0 ...Eigenfrequenz
x
1
 E pot   Fdx   k  x 2   0 einsetzen
2
0
1
E pot  m02 x 2
2
Teilchen oszilliert zwischen +A und –A (Amplituden) oder ruht im Potentialminimum.
In der Ruhelage keine kinetische Energie,
bei Oszillation gilt:
Ekin 
1 2 1
mx  m02 A2 sin 2 (0t )
2
2
x  A cos(0t )
T
Ekin
1 1
1
  mx 2 dt  mA202
T 02
4
E pot
1 1
1
  m02 A2 cos 2 (0t )dt  m02 A2
T 02
4
T
Gesamtenergie : E  Ekin  E pot 
1
m02 A2
2
Teilchen kann jeden Energiewert annehmen
Quantenmechanisch:
d 2 ( x) 2m

( E  E pot ) ( x)  0
dx 2
Wir wissen: Potential ist symmetrisch bzgl. Ursprung.

 ( x) W-Dichte ist auch symmetrisch bzgl. Dem Ursprung
2
 (  x)   ( x)
2
2
Symmetrische Wellenfunktion:  ( x)   ( x)
Antisymmetrische Wellenfunktionen:  ( x)   ( x)
Beide Typen von Wellenfunktionen kommen hier in Frage
Ergebnis der Rechnung die hier nicht weiter aufgeführt wurde:
Die Energie ist geqauntelt.
En  (n  1 / 2) 0
(n  0,1, 2,...)
1
0  Grundzustandsenergie
Es gibt ein E0 
2
 Energiewerte sind äquidistant
Kein Prüfungsstoff (aber dennoch der Vollständigkeit halber)
Wellenfunktion des harmonischen Oszillators:  n ( x)  Cn e
 m0 x 2 /2
 f n ( x)
Wobei f n ( x ) hermitesche Polynome
Für gerade Quantenzahlen n: symmetrisch und Ungerade Quantenzahlen n: antisymmetrisch
-
4.4.4. Quantum Dots, Quantum corral
Mit dem Raster-Kraft-Mikroskop (AFM atomic force microscope)
Mit diesem Mikroskop kann man einfache Atome sichtbar machen und einzelne Atome auf andere
Flächen sogar verschieben
07.12.2011
- 4.5. Das H-Atom
- 4.5.1. Quantenzahlen und E-Niveau
me
1

m p 1.836
Kern = Photon ruht

1e  Ekin
p2

2m
E pot
e2


4 0 r
1
Stat. Schrödinger- Gleichung:

 r 
2me
2

( E  E pot )  r  0
 2  2  2 2me


 2 ( E  E pot )  0
 x2  y 2  z 2
1   2  
1
 

   2  2

r 
 2
 sin 
 r  r sin   

r r 
1
 2



 2 2
2
 r sin  
Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten:
 2 2  1  1
 


 2
  sin  
2
r  r r  sin   

r
1
 2  2me 
1 e2 




E

   0

2
2 
2 
4 0 r 
 sin   

E pot  kugelsymmetrisch  Trennung de Variablen möglich
Produktensatz:  (r , , )  R(r )  ( )   ( )


d 2 R 2 dR 1  R d 
d 
R d 2 





sin







r
dr r 2  sin  d 
d  sin 2  d 2 
dr 2
2me 
1 e2 
E

  R  0
2 
4

r 
0

Separationsansatz  3 gewöhnliche Differentialgleichungen für R(r ), ( ), ( )
E pot (r ) tritt nur in Radialgleichung für R(r ) auf.
3 Differentialgleichungen liefern 3 voneinander abhängige Quantenzahlen
1. Hauptquantenzahl = Energie-Quantenzahl
n…Wertevorrat: n=1,2,…

quantelt Energie, ist verknüpft mit W , e in gew. Abstand von p zu finden
me e 4 1
En 

(4 0 ) 2 2 2 n 2
1
2. Bahndrehimpuls Quantenzahl
l..Wertevorrat: l=0,1,…,n-1
L  L  l  (l  1)
 Bohr : L  n

n  1,2,3,...
3. Magnetische Quantenzahl ml
Atom: keine Richtung vorgegeben
Wenn von außen Richtung vorgegeben z.B.: durch
vorgegebene Richtung.
z.B.: Magnetfeld in z-Richtung
 LZ  ml 
Wertevorrat:
B, E dann quantelt ml die Projektion auf
ml  l , l  1, l  2,..., l
Beispiel: l  2 L 
l  ml  l
6
2l  1 Werte für ml L hier 5 Möglichkeiten für LZ  auch die Richtung ist in diesem Fall (=Richtung
von außen vorgegeben) gequantelt!
Energien der statistischen Zustände:
Radialgleichung: R(r ) mit E pot  
 En  
1
4 0

1 e2
4 0 r
mee4 1
1
 2  13,6eV  2
2
2
n
n
n=1,2,…
13,6eV Ionisationsenergie des H-Atoms
E1  13,6eV
?nicht relat. Rechnung zulässig?
EI  13,6eV , Ruheenergie des e  : E0  mec2
mec2  9,11031(3 108 )2  6,24 1018  5,11105 eV
 EI  mec  relative Gesamtenergie: E  EI  mec  mec  gerechtfertigt
2
En  „Grobstruktur“ des H-Atoms
Energie En des Zustandes ( n, l , ml ) : durch n geg.
 „Entartung“ liegt vor
l : l  ml  l gleiche Zustände
Außerdem: l  n  1
2
2
 Zu jeder Hauptquantenzahl n: k 
n 1
 (2l  1)  n2
l 0
Zustände ( n, l , ml ) sind k-fach entartet, k  n Entartungsgrad
2
Termschema des H-Atoms: Grobstruktur
l  0 (s…sharp), l=1 (p…principal), l=2 (d—difuse), l=3 (f…fundamental, l=4 (g…Alphabet)
Strahlungsübergänge: Bohrsche Frequenzbedingung:
h   
hc

 c  c  Em  En
Aber: Photon hat Eigendrehimpuls
Ab.s.  gibt ab, Emission: nimmt mit
 „Auswahlregeln“ wegen Drehimpulserhaltung:
l  1
ml  0 oder ml  1
s  0, ms  0
12.12.2011
1. Topf:
En 
2
2
2
 n2
2ml
2
 n 
n 
sin 
 x
l
 2 
(n  1, 2,3...)
2. Harmonischer Oszillator
1
En  ( n  )  0
n  0,1, 2,...
2
n gerade:  ( x)   ( x) sym.
antisym
n ungerade:  ( x)   ( x)
3. H-Atom
 (r , , )  R(r )  ( )   ( )
 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen
 3 Quantezahlen
-
4.5.2. Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten
 ( r , ,  )

1
 e r / a0
A-Atom in Grundzustand (1s):  100 (r ) 
3/2
 a0
hängen ab von n, l , ml  auch
2
4 2 0
a0 
 52,9 pm  rB
me2
 1.Bohrscher Radius
Alle Zustände mit l=0, also s-Zustände: kugelsymmetrische Aufenthalts-W-Dichte
 dV  Wahrscheinlichkeit e  inklusive Volumselement dV zu finden
2

f r
  f (r )
2

 Nehmen als dV  Volumen zwischen 2 Kugelschalen mit r und r+dr  dV  4 r dr
2
 100 (r ) 
2
1 2r / a0
4 2 r / a0 2
2
e

4

r
dr

e
r dr  P(r )dr =radiale
 a02
a03
Wahrscheinlichkeitsdichte P(r)
P100 (r )dr   100 (r ) dVr   100 2 4 r 2 dr
2
Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des H-Atoms im Grundzustand
P100 (r ) 
4 2 2 r / a0
r e
 4 r 2 
3
a0
2

Normierung:
 P(r )dr 1 …Wahrscheinlicher Aufenthalt bei a0

Angezeigte Zustände des H-Atoms:
n=2
n
l
ml
1.
2
0
0
2.
2
1
0
3.
2
1
+1
4.
2
1
-1
Innerhalb gleichem n  über gleiches l summiert  kugelsymmetrische Subschale mit
kugelsymmetrischer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Über alle l summiert  Elektronen-Schale mit kugelsymmetrischer
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Summiert man die W-Dichten
 nlm (r , , ) über alle erlaubten Werte l und ml 
2
Elektronenschale mit kugelsymmetrischer Aufenthalts-W-Dichte
-
4.5.3. Bahndrehimpuls und magnetisches Modell  normaler Zeemann-Effekt

Halbklassisches Modell: e auf Kreisbahn mit Quantenbedingung: L  l (l  1)
2 r
v
 Frequenz 
2 r
T
q
v
Strom: I   e  e
T
2 r
Kreisbahn: v 
 Magnetisches Dipolmoment: pm  I A  Ir n  ev 
2
13.12.2011
r
n
2
Radiale Aufenthalts-W-Dichte (s für l=0,    ( r ) )
P100 (r )dr   100 (r ) 4 r 2dr
2
P100 (r ) 
4 2 2 r / a0
r e
a03
Für l  0     (r , ,  )
Volumenelement in Kugelkoordinaten:
Integration über  und   Pnl ( r )
dV  r 2dr sin dd
v
I  e
2 r
pm  I A  I  r 2 n 2
L  m(r  v) hier :  me r  v  n
pm  
evrn
2
 pm  
e
 L  µeL magnetische Moment durch Bahndrehimpuls
2me
L  L  l (l  1)
2
e
L
l (l  1)   µB l (l  1)
2me
2me
e
µB  
 9, 27 1024 Am2  5,79 105 eV / T
2me
µeL  
Bohrsches Magneton = elekmentare Einheit des magnetischen Moments
Bringt H-Atom in äußeres Magnetfeld:
Potentielle Energie eines magnetische Dipols mit pm im Feld B
Hier: E pot  µe  B  
L
e
LB
2me
Annahme: B -Feld in z-Richtung:
Wir brauchen den Bahndrehimpuls in z-Richtung: LZ  ml
z-Komponente des magnetischen Moments:
µeL, z  

e
e
 LZ  
 ml   ml  µB
2me
2me
e
...Bohrsches Magneton
2me
L
von L und µe kann jeweils mit Projektion auf vorgegebene Richtung gemessen werden  ist
gequantelt
LZ  ml
µeL, z  ml µB
E pot 
e
 ml B  ml µB B
2me
l  ml  l
 Zusätzliche Energie: das bedeutet eine Aufspaltung der Energieniveaus im äußeren B -Feld
En,l ,ml  E pot (n, l )  ml µB B
Ohne Feld: (2l  1) ml -Zustände sind entartet
Mit Feld: Aufspaltung in (2l  1) Niveaus (Zeemann-Komponenten)
Ohne Feld: B=0, E  En,l ,m  Enl ( m 1)  B B
l
l
Magnetisches Dipol im Magnetfeld:  Drehmoment
D  µeL  B  Bahndrehimpuls ist nicht Konstante
Für B  0,0, Bt   nur LZ zeitl. Konstant
L präzediert um z-Achse mit Öffnungswinkel 2
ml
ml
L
cos   Z 

l  (l  1)
l  (l  1)
L
24
Beispiel: Aufspaltung E  µB B  9,274 10
B[ J ]  5,796 105 B[eV ]
E
 9, 274 10 24 J / T
B
Starkes Feld: 2T
E
1,855 1023
 

 2,798 1010 Hz
34
2
2 1,955 10
 
c

c
 0
  500nm

c0  c
0

c
0
  

0
c
 Relative Wellenlängenverschiebung:


2,789 1010

0 
 500 109  4,66 105
8

c
3 10
11
  2,33 10  0,0233 109  das ist der 20.000ste Teil einer Wellenlänge
 Auflösung besser

 20000

Lummer-Gehrcke-Platte (Planparallele Platte):
-


100.00

4.5.4. Der Eigendrehimpuls (=Spin) des e , Stern-Gerlach-Versuch, Einstein-de Haas-Effekt,
Spin-Bahn-Kopplung
Na( D1 ) : 589,5924nm
Genaue Beobachtung gelbe Na-Linie
Na( D2 ) : 588,9950nm
14.12.2011
L
Magnetischer Dipolmoment: µe  µB
µB 
e
Bohr Magneton
2me
Mit von außen vorgegebener Richtung:
L
e
e

 LZ  
 ml  .ml µB
µe,Z
2ml
2me
Aufspaltung im Magnetfeld
E pot   pm B  µeL  B  µB 
L
B  µB 
LZ
B  µB 
ml
B  ml µB B
Pauli 1925  neue Quantenzahl
S. Gaudsmit und G. Uhlenleck  Eigendrehimpuls des e

e  besitzt Spin (Eigendrehimpuls) S
Führt zu magnetischem Moment pm  µe
S
S
Spin-Quantenzahl s gequantelt: S  S 
S ( S  1)h
Wenn Richtung von außen vorgegeben, dann Komp. Von S in dieser Richtung gequantelt
S Z  ms Wertevorrat: s  L  s (2S+1 Werte)
2S+1=2 
s
1
2
1 1
1
ms   s,  s   ,   
2 2
2
 S S
S ( S  1) 
1
3  0,866
2
Spin in z-Richtung: S Z  
1
2
Symbol :  oder 
Stern-Gerlach-Versuch
Otto Stern und Walter Gerlach 1921
Ag-Atome
3 vollbesetzte „Schalen“: K,L,M s,l=0
3 vollbesetzte Subschalen: N
s,l=0

1 e O-Schale
Phillips und Taylor 1927  Stern Gerlach mit H-Atomen
Einstein-de Haas –Experiment
1915 (de Haas)
Mit Bahndrehimpuls des Elektrons verknüpftes magnetisches Moment
µeL  µB
L 
µeL
L

µB

L
e
gyromagnetisches Verhältnis
2me
Experiment Einstein-de Haas:
 
2µ

Beobachtete magnetische Momente sind nicht an Bahndrehimpuls der Atome (gebundene e )
verknüpft!

 Beob. Magn. Moment an Eigendrehimpuls des freien Metall- e geknüpft
S 
µeS  pmS  
µeS
 2
µB
S
e
S
 S  2µB
me
Verh. Von magn. Moment zu mech. Eigendrehimpuls ist doppelt so groß wie bei entsprechenden
Bahndrehimpuls
Magnetomechanische Anomalie:
Beim Bahndrehimpuls µe   µB
L
mit g L  1 und
L 1
L
 gL
µB
L   L  L
µB
 L …gyromagnetische Verhältnis, g L …Laude-Faktor
Spin: µe  2µB
S
S
  gS
µB
S   S S
g S  2,  S  2µB /
Kann nicht vom Bahndrehimpuls des Elektrons stammen.
Ursache: Spin der freien Elektronen im Eisen.
Gewesen: g S  2,0023193043622
Ew. Dirac – Theorie:  2,0023193048
Wenn wir die z-Richtung vorgeben:
S Z  mS
Damit ist ein magnetisches Moment verknüpft
µeS  
(nicht
e
e
e
SZ   mS  
 µB
me
me
2me
1
µB µeLZ  ml / µB )
2
Spin-Bahn-Kopplung ( L  S -Kopplung)
Spin ist ein relativistischer Effekt

Nehmen als Ruhesystem  e „sieht“ das Magnetfeld durch das Proton
Dadurch ergeben sich zwei Einstellmöglichkeiten des Spins
09.01.2012
siehe letzte Vorlesungen, heute nur Wiederholung
Spin-Bahn-Kopplung
Feinstruktur: Aufspaltung des äußeren Magnetfeldes, kommt vom Spin des Elektrons
Spin ist eine relativistische Eigenschaft. Wieso? Weil wir den Spin aus der Schrödingergleichung nicht
herausbekommen.
Wie geht man vor wenn es ein relativistischer Effekt ist: man muss ein geeignetes Ruhesystem
suchen.
Was ist das geeignete Ruhesystem bei dem gesuchten Atom: das Elektron
Geladenes Proton bewegt sich und erzeugt damit ein Magnetfeld
Das Elektron hat einen Eigendrehimpuls und muss sich in dem Magnetfeld des Protons einstellen, hat
dabei aber nur 2 Möglichkeiten: S Z  
1
2
 2 Niveaus für die Feinstrukturaufspaltung
Addition vom Drehimpuls: L und S
L und S addieren sich quantenmechanisch vektoriell zu einem Gesamtdrehimpuls J  L  S mit
folgenden Annahmen:
1) Es muss gewährleistet sein, dass:
J J 
j ( j  1)
L, S müssen sich so anordnen, sodass:
j…Gesamtdrehimpulsquantenzahl…quantelt das J
j l s
aber so, dass gilt:
js
1
2
für l `0
1
2
für l  0
L und S weder parallel noch antiparallel
J Z  m jt
2)
3)
Beispiel:
1
2
2 Möglichkeiten für J :
l  2, s 
J 
j ( j  1)  2,96
J 
j ( j  1)  2,94
j 
5
2
j 
3
2
L  2.3  2, 45
S  0,87
10.01.2012
J 
Spin-Bahn-Kopplung: J  L  S
j ls l
js
1
2
1
2
j ( j  1)
l0
l 0
Wenn Richtung von außen vorgegeben ist:
JZ  mj
 S-Zustände (l=0) bleiben unaufgespalten
l0
n  1, l  0
Spalten auf
unaufgespalten :
n, l , j
1s1/2
n  2, l  0
unaufgespalten :
2 s1/2
n  2, l  1
j l
1 3

2 2
1 1
j l 
2 2
2 p3/2
2 p1/2
4.5.5. VollständeBeschreibung des H-Atoms
m j   j,...,  j
n 2 verschiedene Zustände  n 2 unterschiedliche Wellenfunktionen
 ( x, y, t )   nlml (r,,)  Rn (r)ml ()lml ()

Aber´: jedes e  2 Einstellmöglichkeiten bei vorgegebener Richtung (z.B.: B -Feld)
 Faktor m (SZ )
s
Gesamtwellenfunktion:  ( x, y, t , SZ )   n m
l l
(r,, )ms (SZ )
Zu jedem Zustand n, l , ml , ms  genau eine Wellenfunktion
-
4.6. Vielelektronensysteme und periodisches System
4.6.1. Kopplung der Drehimpulse
Näherung nötig,
1) Für leichte Atome
z  50 (Russel-Saunders-Kopplung = L-S-Kopplung = normale Kopplung)

Anm.: gesamte elektrostatische WW zwischen allen e groß gegen Spin-Bahn-WW der einzelnen e
L   Li

S   Si
i
i
J  L  S   Li   Si
i
i
2) F. schwere Atome: J J -Kopplung

e bewegen sich im Zentralen Feld unabhängig voneinander, jedes e  erfährt „eigene“ Spin-BahnWW
J i  Li  Si
J   Ji
i
l  2, s 
1
2

Nährungsweise Lösung von Viel e -Systemen: 1.Hartee-Fock-Verfahren, 2. Dichtefunktionaltheorie
-
4.6.2. Das periodische System
1. Atome stabil (praktisch seit Beginn des Universums)
2. WW-untereinander systematisch
Erklärung mit Hilfe der Quantenzahlen: n, l , ml , ms

2
Alle Zustände mit gleichem n  e -Schale (Orbital) ( 2n -Zustände)
Alle Zustände mit gleichem n und l  Subschale (2(2l+1)-Zustände
Pauli-Prinzip:
Gesamtwellenfunktion mehrerer (identischer) Teilchen mit halbzahligem Spin ist antisymmetrisch.
 Fermi-Dirac-Statistik
(gesamtzahliger Spin genügt der Bose-Einstein-Statistik)
 Pauli-Verbot: in einem System (z.B.: Atom) dürfen zwei Fermionen niemals den selben
Quantenzustand einnehmen.

Atom: keine zweie e im Atom gleiche Werte n, l , ml , ms
Auffüllung unter Beachtung der E-Prinzips und des Pauli-Verbotes
H-Atom
Helium
n  1, l  0, ml  
1
1
oder 
2
2
13,6eV
1
1
l  0, ml  0, ein e  ms   , anderes ms  
2
2
z  2 : 2e 
1s1
1s 2
L-Schale
Lithium
( z  3) :3e
1s 2 2s1
Be
( z  4) : 4e
1s 2 2 s 2
15.1.2012
5) Subatomare Physik
-
5.1. Kernphysik
5.1.1. Entwicklung und Terminologie
Entdeckung der Radioaktivität durch Henri Becquerel 1896:
Elkter und Gleite 1898: Radioaktivität ist Folge von Kernumwandlung
Einteilung durch Rutherford:
Alpha: geringstes Eindringungsvermügen, größer Ionisationseffekt, Ablenkung im B-Feld  positiv
geladen
Beta: großes Druchdringungevermögen, geringer Ionisationseffekt, Ablenkung im B-Feld, negativ
geladen, später auch positiv
Gamma: größtes Durchdringungsvermögen, geringste Ionisation, ungeladen, hochenergetische,
emittierte Strahlung: Photonen
Rutherford, Geiger, Marsden: Alpha-Strahlung auf Au-Folie
15
Kern: 1-10fm ( 1 fm  10
m)
e  -Wolke im Abstand von 100000fm=0,1nm
45 3
30 3
15
 VK  10 m ,VAtom  10 m , Vu  10 ...kleiner als VAtom
Chodwick (1932): Beschuss von Be mit Alpha-Strahlung  Entdeckung des Neutrons.
9
4 Be  (2 p,2n)
*
12
13
6 C 6 C  n
Neutronenquelle: Radium – Beryllium-Quelle
16.01.2012
Cockcroft und Waltion (1932): Beschleunigung von p im Kaskadengenerator
7
3 Li(3 p,4n) 
p 84 Be*  (2 p,2n)  (2 p,2n)  Q (Coloumb Feld)
1=17,26MeV
1.Überprüfung der speziellen Relativitätstheorie: E0  mc
Massendifferenz im geschlossenen System:
7
3 Li 
2
p  2  m 17,3 MeV
Ergebnis: Kern besteht aus Nukleonen: Protonen p (+e), Neutronen n (ungeladen)
Heutige Sicht: ein Teilchen in 2 Quantenzuständen
1
2
Isotopen I, I 3 -Komponenten des Isospins:
1
I 3 ( n)  
2
S ...Spin
1
1
S z ...  , 
2
2
I3 ( p)  

Z…Protonenzahl = Kernladungszahl = Ordnungszahl = e -Zahl
A…Massenzahl A=Z+N
N…Neutronenzahl N=A-Z
Nuklid = durch Zahl der Nukleonen eindeutig bestimmter Atomkern
A
Z X
Bsp: 79 Au
N  A  Z  118
Isotope: gleiches Z, unterschiedliches N, gleiche chemische Eigenschaften
Bsp: Au: 37 Isotope (A=169-A=205) nur A=197 = stabil
197
235
238
12
12
92 U ,92 U ,6 C,6 C
Isobare: gleiches A, verschiedenes Z
14
14
Bsp: 6 C ,7 N
Isotone = gleiches N, verschiedenes Z
Spiegelkerne = vertauschte Werte von Z und N
Isomere Kerne: unterschiedliche E-Zustände (unterschiedliche angeregte Zustände, gleiche Werte
von Z und N, gleiche A)
Bekannte Atomkerne in Nuklidkarte zusammengefasst (Z=Z(N)))
Stabile Nuklide bis Z=83 (Bi) (es gibt 284 stabile Nuklide), Z>83  instabil
- 5.2. Kerneigenschaften
- 5.2.1. Kernradius, Kernmasse
Obere Grenze für Kernradius:
Rückstreuung von Alpha-Teilchen
Ekin  E pot

min
0
2Ze2

4 0  0min
2  Z  e2



4 0
Ekin
1
Z  10 : R  
min
0
2 10(1,6 1019 )
 9 10
 6 1015 m  6 fm
6
19
5 10 1,6 10
9
E  5MeV
R Hofstädter: hochenergetische e

17.01.2012
Bsp: 500 MeV
De Broglie:
h
, relat. E  Satz E 2  ( pc) 2  (mc 2 ) 2
p
1
 p
E 2  (mc 2 )2
c
E  Ekin  mc 2

hc
 
2
Ekin
 2 Ekin mc
2
 2,5 1015 m
Wellenlänge  Kernausdehnung  Beugungserscheinungen
1) Ladungsverteilung lässt sich ab A>16 mit Fermi-Verteilung annähern
2) Ladungen über Raumbereich verteilt, auch n Ladungsstruktur nach außen neutral
R0  1, 2 fm
R= R0  A
1/3

 R  A weitgehend unabhängig von Z und N
3
Raumbereich der Nukleonen: VNukl
Abstand  R0  1, 2 fm
4 R3 1 4 R03

 
 7 fm3
3
A
3
mnukl  A mnukl  A

 2,3 1017 kg / m3
3
VKERN
4 R0
A
3
 11,3 103 kg / m3
 KERN 
 Pb
Kernmassen werden in atomaren Maßeinheiten (AME) angegeben: 1u
1u  1,6611027 kg 1/12 Atommasse 12
6C
Massenzahl: zur nächsten ganzen Zahl gerundete AME
Bsp:
197
Au 196,966569u
E0  mc 2 , In Kernreaktionen: Q  mc2
Q in Rekation verbrauchte oder frei werdende Energie, wenn sich die Masse im geschlossenen
System ändert
Energieäquivalent einer AME
(1u)  c2  931,5MeV
-
5.2.2. Kernbindungsenergie
Brauche E um Kern in Bestandteile (Protonen, Neutronen) zu zerlegen
 Bindungsenergie EB
Nullpunkt der
E pot : Zustand völlig getrennter Nukleonen
 E des Kerns aus gebundenen Nukleonen  negativ
 E0  mc
2
EB entspricht Massenabnahme
EB
c2
2
Bindungsenergie: EB  M  c
Massendefekt: M 
Kernmasse: M k 
 mp   mn  M  Zmp  ( A  Z )mn  M
Bindungsenergie pro Nukleon: Eb 
-
EB
A
5.2.3. Nukleonen und Kernniveaus, Fermigasmodell, Kernspin, Kernkraft
P,n im Kern durch Kernkraft gebunden, wechselwirken als Fermionen, jedes E-Niveau durch 2 gleiche
Teilchen besetzbar
Kernspin, Kernmagnetismus:
n, p  Spin-Quantenzahlen i  
Bohr Magneton:
B 
1
1
 mi  
2
2
e
 9, 27 1024 Am2
2me
Kernmagneton:
N 
e
 5,05 1027 Am2  3,15 108 eV / T
2m p
mp  2,7928µN
me
1

m p 1836
e :
L  
B
p
 S  2
B
2,7928 N

 5,586 N
1
Ip
2

1,9135 N

N  N  
 3,827 N
1
IN
2
p 

Kerngesamtdrehimpuls („Kernspin“) ergibt sich aus den Spins und Bahndrehimpulsen der Nukleonen
Bahndrehimpulse + Spin der Nukleonen = „Kernspin“ I
Wenn von außen Richtung vorgegeben: I ist Maximalwert der Projektion von I auf diese Richtung in
Einheiten
e  im Atom: Bahndrehimpuls LZ  ml
1
Spin s 
2
Kern:

ml  l ,..., l
l  0,1,..., n  1
Bahndrehimpuls der Nukleonen  nur ganzzahlig möglich
 Gerade Massenzahl (gg, uu)
 Gerade Nukleonenzahl  ganzzahliger Spin
 Boson
gg Kerne praktisch immer I=0
n und p ordnen sich mit antiparallelem Spin an
 Ungerade Massenzahl (ug, gu)
 Halbzahliger Kernspin
 Fermionen
Es bleibt ein ungepaartes Nukleon über, ev. Vermehrt um ganzzahligen Bahndrehimpuls
I
1
 Abweichung von Kugelsym. Zu Rotationselement
2
Mit Spin der Nukleonen  magnetisches Moment verbunden
p
2,8 N
 N  1,9µN µN 
eh
 5 1027 Am2
2mp
Die Kernkraft
Keine fundamentale Kraft, nur „Überschuss“ der starken Wechselwirkung, die „Quarks“ bindet
Eb praktisch konstant unabhängig von A, Kernkraft sättigt (nimmt nicht zu)
-
5.3. Kernmodelle
5.3.1. Das Tröpfchenmodell
Analogie: Atomkern mit Flüssigkeitstropfen
1) WW nur mit NN
2) Bindungsenergie/Nukleon konstant  gesamt Bindungsenergie 2A
3) Nukleonen an Oberfläche fehlen Nachbarn  Oberflächenspannung
 Bethe-Weizsäcker-Massenformel:
M ( Z , A)  Z  m p  ( A  Z )mn  EB / c 2 
 Z  m p  ( A  Z )mn  Volumsterm  Oberflächenterm 
Coloumbterm  Asymmetrieterm  Paraterm
-
5.3.2. Fermigas-Modell
5.3.3. Einzelteilchen-Schalenmodell

Viele e -Atom: magische Zahlen: 2,8,8,1818,32
Kern: magische Zahlen: 2,8,20,28,50,82,126
Z oder N aus dieser Reihe  besonders stabiles Nuklid
Schrödingergleichung im Potentialtopf: 2,8,18,20,34,40,58,…
1950: Maria Göppert-Mayer + Haxel, Jensen, Süss
 Sehr starke Spin-Bahn-Kopplung im Kern
Aufspaltungsweite E-Differenz d. Niveaus
Modell gibt richtige Gesamtdrehimpulse, nicht magnetischen Moment
-
Kollektives Modell
Verbindung von Schalen- und Tröpfchenmodell
Oberste Nukleonen außerhalb vollständig gefüllter Schalen bewegen sich unabhängig voneinander
im Potential der Nukleonen in abgeschlossenen Schalen
 Gesamtes Potential  nicht mehr spährisch symmetrisch und nicht mehr zeitlich konstant 
wichtig für Kernspaltung
Kernspaltung: Halen und Straßmann (1939):
238
239
92
n 92
U 92
U * 144
56 Ba 36 Kr  3n
235
236
92
später : n 92
U 92
U * 141
56 Ba 36 Kr  3n  Q (Q 180MeV )
-
5.4. Der radioaktive Zerfall
5.4.1. Das radioaktive Zerfallsgesetz
Radioaktiver Zerfall  statistischer Prozess
Bsp: 1mg metall. Uran
238
92 U
N A  6 1023 / Mol , 1Mol
U  238 g
238
6 1023
1mg 
 2,5 1018 Atome
3
238 10
Halbwertszeit : t1/2  4,5 109 a
238
U -Kerne sind älter als unser Sonnensystem
Wahrscheinlichkeit für Zerfall/s  gegeben durch Zerfallskonstante

ln 2
t1/2
 Zerfälle/s:
ln 2
 2,5 1018  12, 21
9
3600  24  365  4  5 10
Es kann in keiner Weise vorausgesagte werden, ob geg. Kern in nächster Sekunde zerfällt oder nicht!
Geg. N radioakt. Kerne zur Zeit t
Anzahl der Kerne, die in dt zerfallen: muss zu N und dr proportional sein
 Abnahme: dN   Ndt 
dN
 N
dt
 ..Zerfallskonstante, gibt Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall/s an [ ]  [s1]
dN
  dt
ln N  t  C
Lösung der Differentialgleichung: N
N  e  t C  e c  e  t  N 0  e  t
Für t=0: N  e  N0
c
N  N0et …radioaktives Zerfallsgesetz
N…Anzahl der verbleibenden Kerne zu jeder Zeit t
Zerfallsrate – Aktivität:
R
dN
  N    N 0  e  t  R0  e  t
dt
R0   N 0  Zerfallsrate bei t=0, wenn  bekannt ist 
1
Mittlere Lebensdauer:  

Halbwertszeit t1/2 : Zahl der Kerne auf Hälfte gesunken:
t  t1/2 , N 
N0
N
 0  N 0  e  t1/2
2
2
1
ln 2
 e  t1/2  ln1  ln 2  t1/2  t1/2 
  ln 2
2

t1/2 radioaktive Kerne zwischen: 103 s  106 Jahre
Einheit des radioaktiven Zerfalls = Aktivität: 1 Becquerel = 1Bq = 1 Zerfall/s
Historische Einheit 1 Curie: 1 Ci = 3,7 10 Zerfälle / s  3,7 10 Bq
10
-
10
5.4.2. Der Alpha-Zerfall
Für z  83  Nuklide instabil gegen Alpha-Zerfall (Kernmasse > Masse neuer Kerne +Alpha)
Bsp:
238
U 234 Th  4 He
238
U : 238,050783u
234
Th : 234,043601u
4
He : 4,002602u
m  0,00458u  Q  mc 2  0,00458  (931,5MeV / u )
Q  4, 266MeV

Ekin
 4,194MeV
He-Kern ist also sehr stabil
Bindungsenergie = 28,3MeV > EB (2 p )  EB (2n)
24.01.2012

dN
 N
dt
N  N 0e  t

Zerfallsrate = Aktivität: R  
Mittlere Zerfallsdauer T 
1

t1/2 
Halbwertszeit
dN
 R0et
dt

ln 2

N  N0
1
l
 T ln 2
ln 2
t1/2
v ??

v 
v  c
2E
M
2 E
 0,16c
M c2
Kernradius: 6  10
15
E  50MeV
m
0,16  3 108
 4 1021 / s
15
2  6 10
21
Das Alpha-Teilchen „klopft“ 10 mal gegen Barriere
v
2R
Uran-Atom:
U  t1/2  4,5 109  1,4 1014 s
1 t
T   1/2  2  617 s
 ln 2
268
Uran-Atom klopft10
38
mal gegen Barriere!
-
5.1.4.3. Der Beta-Zerfall

Spontane Emission von e oder e

   keine e, zu viele n
   keine e, zu wenige n

Konkurrenz zu  -Zerfall: „K-Einfang“: e aus innerster Schale der Hülle (k-Schale) eingefangen
A bleibt unverändert
Z:

+1 für
-1 für

Statistischer Prozess, Zerfallsenergie
Aber: keine feste Energie da Beta-Teilchen  Energie verteilt E-Spektrum
W. Pauli: neues Teilchen beieilt, geringe WW mit Materie, aber mit E-Rest nicht  Neutrino
1956: experimenteller Nachweis durch irgendwen
Beispiele:

32
15 P

32
16
S  e   e (t1/2  14,5h)
64
29 Cu

64
28 Ni  e   e (t1/2  12,7h)
…fast messbares, neutrales Teilchen
2eV
bzw.  1,8 1035 kg
2
c
 e ...Elektron  Neutrino
m 
 e ...Elektron  Antineutrino ( Antiteilchen zu  e )
Ladung und Nukleonenanzahl erhalten
32
15 P
32
16
S  e   e
15e : 16e  e  0
32 : 32  0  0
 alles bleibt erhalten


Außerdem ist die Leptonenanzahl erhalten ( e , e ,  e ,  e )
e , e ,  e ,  e  entstehen erst beim Zerfall (  …Nü und nicht Gamma)
  : n  p  e   e
  : p  n  e   e
 Das sind die
 -Prozesse
k  Einfang: p  e  n   e
me 0,02% schwerer als m p
Freie n  p
Freie p  n
m
2,5me
t1/2  15min  900s
gilt nicht, nur zu Kern, wenn n auf tiefen E-Niveau
Die am häufigsten vorkommenden Teilchen im Universum: Neutrinos (sind noch vom Urknall übrig)
89
Man glaubt10
 , ca 10 9 mal mehr als (p+n)
Halbwertszeit freier n  sehr lang (900 Sekunden)
Sehr viel länger als die Lebensdauer bei Kernreaktionen ( 10
elektromagnetische Wechselwirkungen

16
(10
23
s starke Wechselwirkung), oder
)
 -Zerfall ist nicht verknüpft mit der starken Wechselwirkung und der elektromagnetischen
Wechselwirkung
Fermi postuliert neue fundamentale WW-Kraft:
18
Sehr kurze Reichweite, ungefähr 10 m , „schwache“ Kraft, daher die langen Lebensdauern, und
man nennt sie: Schwache Wechselwirkungskraft


 e , e ,  e ,  e verlassen ungehindert den Kern beim Beta-Zerfall
 Kernkraft  starke Wechselwirkung wirkt auf diese Teilchen (Leptonen) NICHT
-
5.1.4.4. Gamma-Zerfall
Spontane Emission eines Photons
Kern geht von einem angeregten Zustand auf eine niederere Energie über.
E  1MeV


h  e 1,242 106 eV  m

 1,24 1012 m  1,24 pm
E
1MeV
Manche Kerne zerfallen sehr rasch, doch hier gibt es auch sehr lange Lebensdauern angeregter
Kerne, sodass die Kerne metastabil sind (Stunden bis mehrere Tage lange Stabilität  isomere Kerne)
Folge der sehr langen Lebensdauer: sehr scharfe Strahlung (Die Energieverteilung ist sehr klein, geht
auf die Heisenbergsche Unschärferelation zurück)
-
5.1.5. Radioaktive Strahlung in Materie
5.1.5.1. Wechselwirkung radioaktiver Strahlung mit Materie
WW mit Hüllen-Elektronen (elektromagnetische Wechselwirkung), oder mit dem Kern (starke
Wechselwirkung)
Unterscheiden zwischen geladenen Teilchen: Protonen,
Photonen, Neutronen, Gamma-Strahl
e ,   , und ungeladenen Teilchen:
Geladene Teilchen:
Streuprozesse (elastisch und inelastisch) mit den Hüll-Elektronen (das heißt: Ionisation), die ist für
den Schaden verantwortlich bei Wechselwirkungen
25.01.2012
Bsp: geladenes Teilchen habe Energieverlust von 1 MeV
In O2 (hat Ionisationsenergie von 13.6 eV)

Dann werden 70000 e frei!
n: WW (Stöße) mit dem Kern
Schnelle n erzeugen in H schnelle p  Ionisation

:
1) Photoeffekt für
E phot  100keV
2) Comptoneffekt für
Ephot  1MeV
3) Paarbildung E phot  2mec  1.02MeV
2


Paarbildung: Photon erzeugt e  e im Coloumbfeld eines Kerns
 ( E  1.02MeV )  e  e (Impulserhaltung)
- 5.1.5.2. Dosimetrie
Erzeugung freier Radikale, die durch heftige Reaktion zu Krebszellen führen können. Auch Schädigung
der DANN, durch Erzeugung von Brüchen in der DNA, bei Doppelbruch irreperabel
Ausschlaggebend: die vom Körper aufgenommene Strahlungsenergie:
Energiedosis D: =
dE
= mittlere Energie die durch Strahlung auf Volumselement dV mit Masse
dm
dm   dV übertragen wird
Einheit 1Gray = 1Gy= 1 J/kg = 100rad
Kurzzeitige Bestrahlung (min) 3 Gy  Tod von 50% der exponierten Bevölkerung
Durchschnittliche Dosis (natürlich + künstlich (Flugzeug, Zahnarzt,..)): 2-3mGr/a
Dosisleistung:
dD
[1Gy / s ]
dt
Berücksichtigung der biologischen Wirkung:
E-Dosis wird mit Qualitätsfaktor wR (Strahlungswichtungsfaktor RWF = relative biologische
Wirksamkeit (RBW))
Äquivalentdosis H:= wR D
Einheit: 1 Sievert = 1 sv = 1J/kg = 100 rem
Effektive D: E 
 wT  wR DR
T
R
wT Gewebewichtungsfaktor berücksichtigt Empfindlichkeit der Organe
-
5.2. Physik der kleinsten Teilchen
5.2.1. Klassifikation
Alle Teilchen haben Spin S
Bei vorgegebener Richtung S Z ist S Z  ms
ms   s,..., s s...Spin  QZ

Unterscheidung Teilchen mit Spin-QZ-s halbzahlig:  Fermionen, Fermistatistik, Pauliverbot (n,p, e ,
e  ,…)
Mit ganzzahliger Spin-QZ: Boson, Bose-Einstein-Statstik, kein Pauliverbot
„Zoo“ der Elekmentarteilchen: S5/172-174
Leptonen gelten heute als Fundamentalteilchen
Hadronen sind aus Quarks aufgebaut
Wichtige Regel: Zu jedem Teilchen existiert ein Antiteilchen
Manche Teilchen sind ihr eigenes Antiteilen (zB:
Bsp:
Substruktur der Größenordnung x  0.1 fm
 , 0 , Z 0 )
Heisenberg  px 
h
hc

 1240MeVfm / ((0.1 fm) x)  12400 MeV / c  große
x xc
Beschleuniger benötigt
-
5.2.2. Erhaltungssätze:

e  e       tritt auf!
Nicht beobachtet:
e  e      
   e  
   e  e  e
Wohl aber beobachtet:
   e  ve  v
Leptonenzahl muss erhalten werden
Jeder Leptonenfamilie ordnet man neue Quantenzahlen zu
Li  1 wenn Teilchen der Leptonenfamilie angehört
=0 kein Lepton der Familie
-1 Antiteilchen der Leptonfamilie
i  e, e , ve
i   ,   , v
i   ,  , v
Die Leptonenzahl jeder Familie bleibt in allen Teilchenprozessen erhalten.
Damit lässt sich erklären, was beobachtet wird und was nicht.
Erhaltung der Baryonenzahl B (neue QZ):
B=
+1 wenn Baryon
0 wenn kein Baryon
-1 wenn Antibaryon
In allen WW-Prozessen bleibt die Baryonenzahl erhalten
P leichtestes Baryon: Die Regel verhindert den Zerfall freier Protonen, Das ermöglicht unsere
Existenz
Erhaltung der Seltsamkeit (Strangness):
Manche Teilchen (zB.: K-Meson,  ,  Baryon)
Entstehen durch starke WW, zerfallen durch schwache WW
Mache werden immer nur in Paaren erzeugt: z.B.: K mit  oder  0
   p  K    tritt auf



Aber nicht:   p    
 Es existieren „seltsame“ Teilchen
Neue Quantenzahl: S (Strangness)
1K 0 , K 
0 für p,n, 
0


-1 für 0 ,  ,  , 
0 ,  

-3 für 
-2 für
In Prozessen der starken WW bleibt S erhalten, bei schwacher WW S  1
Isospin-QZ:
Nukleon: I 
 : I 1
1
1
1
, I 3 ( p )  , I 3 ( n)   (3=Komponente des Isospin)
2
2
2
1
2
: I 1
0 : I  0
k:I 
Bei Prozessen der starken WW bleibt Isospin erhalten
-
5.2.3. Das Quarkmodell
Murrey Gell-Mann 1960:
Die bis dann bekannten 8 S=1/2 Baryonen lassen sich in einem Oktett anordnen, wenn man die
Seltsamkeit S gegen die Ladungszahl Q aufträgt.
 8-facher Weg
Analog 9 s=0 Mesonen, 9 s=(3/2)-Baryonen
Auch die Mesonen lassen sich in so einem Schema anordnen (Dekuplett)

Da fehlte noch ein Teilchen, das wurde dann später gefunden (  )
Wurde noch im selben Jahr (1964) nachgewiesen.
1964: Gell-Mann und Zweig:
Anordnungen können verstanden werden, wenn Hadronen aus weiteren Teilchen aufgebaut sind
(Make-Up)
Zweig nannte die Teilchen Asse, Gell-Mann Quarks

Experimente in Stanford: tief-inelastische Streuung von e an p und n mit E > GeV (
<Durchmesser von p,n)

Henry W. Kendall, Jeroma I. Friedmann/Richard E Taylor, am Stanford linear Accelerator (SLAC):
Weist auf die punktförmige Streuzentren im Inneren der Protonen hin.
Alle Quarks haben Spin=1/2 und keine volle Elementarladung (2/3 bzw -1/3)
Hadronen sind aus Quarks aufgebaut, Baryonen haben 3 Quarks, Mesonen sind Quark/AntiquarkPaare)
Quark hat s=1/2
 S=1/2 Baryonen  oder 3/2 
Das widerspräche dem Pauliverbot, daher neue Quantenzahl: „Farbladung“
Jedes Quark kann rot/grün/blau auftreten.
Antiquarks als antirot/antigrün/antiblau
Theorie der starken WW (=: Quantenchromodynamik QCD)
Quarks sind „färbig“, kommen nicht frei vor, müssen im gebundenen Zustand (Baryonen, Mesonen)
farbneutral sein.
Baryonen: rot+grün+blau=farbneutral
Mesonen: Farbe+Antifarbe=farbneutral
Makeups:
Proton: uud
Neutron: ddu
d, u sind die wesentlichen Bestandteile der Natur, alle anderen schweren nur künstlich herstellbar,
zerfallen in leichtere. Auf die Quarks wirken alle fundamentalen Kräfte
Quarkmodell erklärt die innere Struktur aller Hadronen und aller ihrer WW-Prozesse
  Zerfall : d  u  e  ve
1/ 3  2 / 3  3 / 3
-
5.2.4. Fundamentale Wechselwirkungen und das Standardmodell der Elementarteilchenphysik
Quantenfeldtheorie (QFT) kombiniert die Feldtheorie mit der QM.
Die Kraftwirkung wird durch sogenannte Austauschteilchen vermittelt
Bei der EM-WW ist das das Photon.
Die Quantenelektrodynamik (QED) sagt: es gibt fortwährenden Austausch zwischen vituellen
Photonen, so wird die Kraftwirkung vermittelt
Bei schwacher WW: (verantwortlich zB der Beta-Zerfall):
Die Austauschteilchen sind W

,W  mit Massen: 80,4GeV/c² , s=1 (sehr schwere Teilchen) und Z 0
mit Masse 91,2GeV/c², s=1 ( mp nur 0,938GeV/c²)
Carlo Rubblie + Team 1983: experimenteller Nachweis
Woher kommt punktförmiges Teilchen einer Masse=
Higgsmechanismus:
Erklärt die große Masse der W- und Z-Bosonen und aller anderer Teilchen, braucht aber ein
0
zusätzliches neues Teilchen: ein Boson H , s=0 mit 117-153GeV/c² /zuletzt nur noch 117-130)
Starke WW:
Es existieren 8 masselose WW-Teilchen, die Gluonen. Diese tragen selbst Farbe und Antifarbe, wirken
zwischen färbigen Quarks
Die Farbkraft (starke WW) wird durch den Austausch der Gluonen vermittelt.
(Farbe+andere Antifarbe)
Quarks kommen nur gebunden vor („Confinement“: Baryonen und Mesonen)
Farbkraft nimmt mit dem Abstand zu. Und geht für kleine Abstände gegen 0!
(Asymptotic freedom)
Wichtig: Änderung der Quark Falvours (Umwandlung der Quarks ineinander) wird nur durch schwace
WW verursacht, während die Änderung der Quarkfarbe nur durch die starke WW verursacht wird.
Standardmodell:

Die normale Materie besteht aus e (m Atom) verantwortlich für die chemischen Eigenschaften u, dQuarks, in n, p des Atomkerns und die Neutrinos  für die radioaktiven Prozesse
Probleme des Standardmodells:
Existiert das Higgsteilchen? Warum 3 Familien von fundamentalen Fermionen…