2 Hintergrundkosmologie

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Hintergrundkosmologie
Unter Hintergrundkosmologie wird im folgenden die Entwicklung unseres Universums unter
der Voraussetzung einer homogenen und isotropen Massendichte verstanden. Dieser Aspekt
wird in der Regel in Büchern über Allgemeine Relativitätstheorie diskutiert. Standardwerke
über Allgemeine Relativitätstheorie sind im Anhang aufgelistet.
Zur Beschreibung eines homogenen und isotropen Hintergrundes wird die Robertson Walker
Metrik verwendet.
2.1
Die Robertson Walker Metrik
In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Ereignisse in der Raum-Zeit durch die
Angabe von Koordinaten (t,,,) identifiziert. Um Abstände zwischen Ereignissen
berechnen zu können, benötigt man eine Metrik. Die Beschreibung von Abständen in einem
homogenen und isotropen Universum kann mittels der Robertson Walker Metrik erfolgen
 dr 2

2
2
2
2
ds 2  c 2 dt 2  a( t )2 
2  r ( d  sin d  ,
1  kr

dabei kann k die Werte 0, 1, -1 annehmen.
Es gilt ds2 = gik dxi dxk mit dem metrischen Tensor gik
=> g00 = 1 g11 = a(t)2 (1 - kr2)-1 g22 = a(t)2 r2 g33 = a(t)2 r2 sin2 g = 0 sonst
für x = (ct,r, ,)
Die verwendete Zeit t ist die Eigenzeit eines mitbewegten Beobachters, a(t) heißt
Expansionsfaktor.
Für k = 0 ergibt sich ein euklidischer Raum: ds2 = c2 dt2 - a(t)2 (dr2 + r2 (d2 + sin2d2)).
Dieser Raum wird als "flach" bezeichnet. Für k = 1 beschreibt der räumliche Anteil der Metrik
einen dreidimensionalen gekrümmten Raum.
Mit d2 := dr2 + r2 (d2 + sin2d2) erhält man ds2 = c2 dt2 - a(t)2 d2.
Unter Einbeziehung der Einsteinschen Feldgleichungen, in der die Metrik gik explizit
auftritt, ergibt sich (für  = 0) eine dynamische Beschreibung des Universums
Die Einsteinschen Feldgleichungen:
G 
8 G
4  T  g   
c
In der Formulierung der Feldgleichungen ist die Metrik g explizit enthalten. Die
kosmologische Konstante  wurde von Einstein verworfen, wird aber in der heutigen
Kosmologie für modelltheoretische Rechnungen benutzt. c ist die Lichtgeschwindigkeit.
1
Unter folgenden Vereinfachungen lassen sich aus den Feldgleichungen
Bewegungsgleichungen zur Beschreibung der Hintergrundexpansion gewinnen:
(1)
(2)
(3)
das Universum wird als homogen und isotrop betrachtet, zu seiner Beschreibung wird
die Robertson Walker Metrik verwendet.
Es wird angenommen, daß T eine ideale Flüssigkeit beschreibt (Galaxien werden als
Partikel einer idealen Flüssigkeit betrachtet)
Der Druck P wird vernachlässigt
(bis zu einer Zeit ti < t0, die einer Rotverschiebung von etwa zi = 1000 entspricht)
Für eine ideale Flüssigkeit hat der Energie - Impuls - Tensor der Materie folgende
Gestalt:

P

Tmat
    2 u  u  g  P

c 
(kontravariante Darstellung)
c ist die Lichtgeschwindigkeit, P der Druck, u die Vierergeschwindigkeit, g der metrische
Tensor. In mitbewegten Koordinaten gilt ui = (c,0,0,0). Unter der zusätzlichen Annahme
P = 0 reduziert sich T zu T00 = c2 und T = 0 sonst. => T00 = c2 und T = 0 sonst
(vgl. [Fliessbach, S. 332 ff]). Dabei gilt T = Tk gk (unter Beachtung der Einsteinschen
Summationskonvention) und T = Tk gk.
Um zu einer Bewegungsgleichung zu kommen, muß G weiter analysiert werden.
Es gilt
R
G   g   R
2
mit dem Krümmungstensor R und dem Krümmungsskalar R.
Die Berechnung der Komponenten von R benötigt die Christoffelsymbole und ist nicht
so einfach durchzuführen. Rechnungen hierzu werden z.B. in [Fliessbach], [Straumann],
[Wheeler] durchgeführt.
Als Ergebnis dieser Rechnungen erhält man 2 von den 3 Friedmann Lemaitre Gleichungen.
Aus der Bedingung T; = 0 (kovariante Ableitung) ergibt sich die dritte Gleichung
(/Wheeler/)
4
1
a       3P )Ga   a
3
3
8

G

1
a 2 
a 2  a 2  K
3
3
3 
3 
   a   P a   0
(2.1)
(2.2)
a(t) : kosmischer Expansionsfaktor
p(t) : mittlere Massendichte des Univ.
P(t) : Druck
 : kosmologische Konstante
(2.3)
Unter der zusätzlichen Vereinfachung  = 0 und  = 1 lassen sich Beziehungen zwischen
den kosmischen Parametern herleiten, die in dieser Arbeit benötigt werden (siehe Abschnitt
über das Einstein de Sitter Universum).
2
2.1.1 Interpretationen der Metrik
Transformiert man die gewöhnliche Euklidische Metrik ds2 = dx2 + dy2 + dz2 in
Kugelkoordinaten, so erhält man ds2 = dr2 + r2 (d2 + sin2d2). Der Faktor a(t) "verzerrt"
also den gewöhnlichen euklidischen Abstand.
Man kann zeigen, daß ds2 im Falle k = 1 einen Raum konstanter Krümmung 1/a2 beschreibt.
In [Fließbach, Kap. 56] wird dies über Analogieschlüsse zum 2-dimensionalen Fall plausibel
gemacht.
a(t)
a(t)d 
a(t)sin d
a (t)sin

d
Plausibilitätsbetrachtungen zur
Robertson Walker Metrik
d
Das Linienelement auf der Kugeloberfläche berechnet sich zu
ds2 = a(t)2 (d2 + sin2d2)
beschreibt den Relativabstand von Teilchen auf der
Kugeloberfläche für einen lokalen Beobachter
(d.h. für einen Beobachter auf der Kugeloberfläche)
 = const,  = const, sind Strahlen, die radial nach außen gehen.
Falls also die Kugel aufgeblasen wird (radiale Expansion), ist der Geschwindigkeitsvektor
für einen mitbewegten Beobachter tangential zu diesen Strahlen.
Anstelle der Koordinate  kann man die Koordinate r = sin einführen. Die Darstellung für
ds2 ändert sich dann zu:
ds2 = a(t)2 ( dr2 /(1 - r2) + r2 d2 )
das folgt aus: r = sin; dr = cosd; d2 = dr2 / cos2 = dr2 / (1 - sin2) = dr2 / (1 - r2)
Die Koordinate  hat die Periode 2, entsprechendes gilt für die Koordinate r.
In der Kosmologie geht man von der Robertson-Walker-Metrik aus:
ds2 = c2 dt2 - a(t)2 ( dr2 / (1- kr2) + r2 (d2 + sin2 d2) )
die Bedeutung der Koordinate r ist analog wie bei der Kugeloberfläche aufzufassen, nur daß
man jetzt einen gekrümmten Raum vorliegen hat, der durch die Koordinaten
, ,  und R beschrieben wird.
r = sin
r = sinh
r=
für k = 1
für k = -1
für k = 0
dr = cosd
[vgl. Fließbach S.312 ff]
Kapitel: Kosmologisches Prinzip
3
In [Landau-Lifschitz, Bd II, Kap. 14] wird gezeigt, daß a(t) im Falle k = 1 als Radius einer
Hypersphäre x12 + x22 + x32 + x42 = a2 aufgefaßt werden kann. ds2 kann auf die oben
angegebene Gestalt gebracht werden. Der ihr entsprechende 3 dimensionale Raum ist (wie in
[Fliessbach] beschrieben) ein Raum konstanter Krümmung.
In dieser Arbeit werden nur flache Räume betrachtet (k = 0)
2.2
Abstände in der Raum-Zeit
Zwischen Ereignissen der Raum-Zeit lassen sich verschiedene Arten von Abständen
definieren:
 raumartige Abstände erhält man für Ereignisse, die durch Koordinaten mit der gleichen
Eigenzeit beschrieben werden, für solche Ereignisse gilt ds2 < 0
 zeitartige Abstände erhält man z.B. für Ereignisse, die durch konstante Koordinaten
,, und verschiedene Eigenzeiten t1, t2 beschrieben werden, für zeitartige Abstände gilt
ds2 > 0
2
 lichtartige Abstände erhält man im Falle ds = 0
2.2.1 Zeitartige Abstände und Rotverschiebung
Zur Berechnung von Abständen wird im folgenden die Robertson Walker Metrik verwendet.
Betrachtet man die Ereignisse (t,,,) und (t0,0, ,), t0 > t, so gilt für Lichtsignale, die von
(t,,,) nach (t0,0, ,) ausgesandt werden: ds2 = 0 => 0 = c2 dt2 - a(t)2 d2
(d = 0, d = 0)
Der von den Lichtstrahlen zurückgelegte Weg ist ds = c dt
=>
ds = cdt = a(t)d => ds = cdt = a(t)d => ct = a(t)
Die letzte Ableitung setzt die Konstanz von a(t) in dem betrachteten Zeitintervall voraus.
t ist die Lichtlaufzeit eines Signals von (t,,,) nach (t0,0, ,), d = ct kann als
Entfernung zwischen den beiden Ereignissen interpretiert werden.
Beispiel:
(t,,,) beschreibe den Andromedanebel zur Zeit t = t0 - 2.000.000 Jahre, (t0,0, ,) unseren
Beobachtungsstandort zum heutigen Zeitpunkt t0. Dann sind die beiden Ereignisse räumlich
und zeitlich voneinder getrennt. Der Abstand zum Andromeda-Nebel wird durch den
Lichtweg ct beschrieben, den ein zum Zeitpunkt t ausgesandtes Signal brauchte, um zu uns
zu gelangen.
Zeitartige Abstände werden bei der Berechnung der kosmologischen Rotverschiebung
verwendet.
Herleitung der Beziehung
1 z 
a0
ats
z bezeichnet die kosmologische Rotverschiebung, a0 .den Krümmungsradius des Universums
zum Zeitpunkt t = t0, ats den Krümmungsradius des Universums zum Zeitpunkt t = ts.
4
Man betrachte die Ereignisse (ts ,,,) und (t0,0, ,) ,mit t0 > ts , und die Bewegung eines
Lichtsignals von (ts ,,,) nach (t0,0, ,). Für die zugrundeliegende Metrik setzt man
voraus: ds2 = c2dt2 - a(t)2 d2
Es werden zwei aufeinanderfolgende Wellenberge betrachtet.
Für die Ausbreitung von Lichtstrahlen gilt ds2 = 0. Somit erhält man d2 = c2dt2 / a(t)2.
Das Integral über d ergibt den von den Wellenbergen zurückgelegten Weg. Beide
Wellenberge müssen den gleichen Weg zurücklegen. Die Ankunftszeiten sind t0 bzw. t0 + t0.
t0 t0
t0
cdt
cdt
 a( t )   a( t )
t s t s
ts
Damit erhält man zunächst:
t0  t0
t
t0  t0
ts
cdt 0 cdt
cdt
cdt
 a(t )   a(t )  0 und hieraus:  a(t )   a(t )  0
t s  t s
ts
t s  t s
t0
ts
es folgt:

t s  t s
t s  t s
bzw. -

ts
cdt
+
a( t )
t0  t0

ts
ts
cdt
+
a( t )
cdt
cdt
 
+
a( t ) t0 t0 a( t )
t0  t0

t0
t0  t0

t0
t
s
cdt
cdt
 
0
a( t ) t0 t0 a( t )
t
s
cdt
cdt
 
0
a( t ) t0 t0 a( t )
Die Integranden in den übriggebliebenen Integralen können als konstant vorausgesetzt
werden.
Man nimmt also an, daß sich der Krümmungsradius R(ts) bzw. R(t0) im Zeitintervall ts bzw.
t0 nicht (wesentlich) ändert.
ct s
ct o
=>
wegen t  1/ schließt man: 0 a(t0) = s a(ts)

a( t s ) a( t 0 )

a
Wegen  = 2 gilt dann auch die Beziehung. s  0
0 ats
2 c
1
Aus  
folgert man  ~

 0 
=> z 
ts
is

0
s
a

1 
1  0 1
ts
0
ats
=>
1 z 
a0
ats
Bemerkung: die Größe z bezieht sich auf die Rotverschiebung, die die ausgesandten
Photonen zum Zeitpunkt t = ts erleiden. Daher ist auch die Bezeichnungsweise
a
1  zs  0
ats
üblich.
2.2.2 Raumartige Abstände und mitbewegte Koordinaten
Durch (ti ,,,) und (ti ,1, 1,1) seien zwei Ereignisse in der Raumzeit gegeben. Aus der
Robertson Walker Metrik ergibt sich ein Abstand von d(ti) = a(ti)d, dabei hängt d nur von
den Koordinaten ,, und 1, 1,1 ab. Diese Koordinaten seien zeitlich konstant, der
Abstand der durch diese Koordinaten fixierten Punkte im dreidimensionalen Raum wächst
dann mit dem kosmischen Expansionsfaktor a(t). d(t) ist der Abstand, der von einem
mitbewegten Beobachter gemessen wird.
Mitbewegt bezieht sich auf die kosmische Hintergrundexpansion, d.h. der Beobachter wird relativ zu seiner
unmittelbaren Umgebung als ruhend angenommen (sogenannte Eigenbewegung werden vernachlässigt).
5
Ebenso wird eine mögliche Expansion des Beobachters vernachlässigt.
Im konkreten Fall kann die unmittelbare Umgebung einige Megaparsec umfassen.
Mitbewegte Koordinaten
Im oben angegebenen Sinne kann man die Beziehung R(t) = a(t) x interpretieren, die in der
Kosmologie benutzt wird:
R(t) ist der physikalische Radius einer Kugel, der den raumartigen Abstand von
Kugeloberfläche und Beobachter im Zentrum der Kugel zur Eigenzeit t angibt. x sind
konstante mitbewegte Koordinaten ( = d2 ), die zur Identifizierung von Beobachter
und der Kugeloberfläche verwendet werden können. Die Bezeichnung mitbewegt bezieht
sich auf die Hintergrundexpansion des Kosmos. Für den Beobachter ändert sich der Radius
seiner Kugel entsprechend der Beziehung R(t) = a(t) x.
Dabei seien die Dimensionen des Beobachters als klein gegenüber dem Kugelradius angenommen (der
Beobachter expandiert nicht), z.B. ein menschlicher Beobachter zum Zeitpunkt t = t 0. Kugelradien können in
Dimensionen von vielen Megaparsec vorkommen.
2.3
Herleitung der Beziehung R3 = const
In dieser Arbeit wird die Entwicklung von massehaltigen Vollkugeln über die Zeit verfolgt.
Ausgehend von einem initialen Radius Ri wird ein finaler Radius R0 bestimmt. Dabei wird
angenommen, daß die Gesamtmasse M während der Evolution innerhalb der
Vollkugel konstant bleibt. Sei i die mittlere Massendichte innerhalb der Vollkugel und Ri
ihr Radius zum Zeitpunkt ti, 0 die entsprechende mittlere Massendichte der Vollkugel zum
Zeitpunkt t = t0, R0 ihr Radius zum Zeitpunkt t = t0. Bleibt die Masse während der Evolution
konstant, so kann man schließen: iRi3 = 0R03.
R(t) bezeichne den physikalischen Radius der Kugel, im Gegensatz zum
Expansionsfaktor a(t). Daneben ist in der Kosmologie noch die Bezeichnung mitbewegter
Radius gebräuchlich. Die Definition des mitbewegten Radius benötigt einige weitere
Beziehungen, die zunächst bereit gestellt werden müssen.
Bemerkung: in realistischen Szenarien ist anzunehmen, daß die Vollkugel während ihrer
Expansion Materie aus ihrer Umgebung akkreditiert. Dieser Effekt wird durch die
kosmologische Hintergrundexpansion abgeschwächt, wenn man eine geringere mittlere
Massendichte außerhalb der Vollkugel annimmt. Im nachfolgenden Absatz wird gezeigt, daß
die Beziehung R3 = const. auch gültig bleibt, wenn Materie in die Kugel "hineinfließt".
[Sexl Urbantke] gibt als Übungsaufgabe an:
man kann die Beziehung R3 = const. unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung für
eine ideale Flüssigkeit begründen. Kontinuitätsgleichung:

 div(   v )  0
t
"Der Abstand zwischen Galaxien sei durch die Beziehung R(t) = a(t)x gegeben, mit
konstanten mitbewegten Koordinaten x und Expansionsparameter a(t)." Dann gilt
6
v = R´(t) = a´(t)x. Unter Verwendung der Beziehung H(t) = a´(t)/a(t) folgt v = H(t)R(t) und
H(t) = R´(t)/R(t).
Die Beziehung (t)R(t)3 = const ist äquivalent zu ´(t)R(t)3 + 3(t)R(t)2R´(t) = 0
Hieraus folgt ´(t) + 3(t)R´(t)R(t)-1 = ´(t) + 3(t)H(t) = 0.
Ersetzt man R durch den Ortsvektor R = ReR und v durch R´, so erhält man die
Kontinuitätsgleichung in der Form ´(t) + div((t)H(t)R(t)). Nimmt man an, daß (t)
räumlich konstant ist, so folgt ´(t) + (t)H(t) div(R(t)) = 0 . Wegen div(R(t)) = 3 folgt die
zu (t)R(t)3 = const. abgeleitete Beziehung.
Zusammenfassung:
Unter den Voraussetzungen, daß  nur von t abhängt und daß die Verteilung der Materie als
ideale Flüssigkeit beschrieben werden kann, folgt die Beziehung (t)R(t)3 = const.
Diese Beziehung auf das gesamte Universum übertragen, ergibt
b,ta(t)3 = const. ( vgl. (2.3) )
dabei ist a(t) der Radius des Universums zum Zeitpunkt t und b,t seine mittlere Dichte zum
Zeitpunkt t ( mittlere Dichte des Universums = Hintergrunddichte ).
Die Begriffe Expansionsfaktor und Radius des Universums fallen bei dieser
Betrachtungsweise zusammen. Sei ai = a(ti), a0 = a(t0), b,0 die mittlere Dichte zum Zeitpunkt
t = t0 .
a
Aus b,iai3 = b,0a03 und 1  z i  0
ai
3
folgert man: b,i = (1 + zi) b,0
Bemerkung: die Beziehung (t)a(t)3 = const. folgt aus (2.3), wenn man P vernachlässigt.
Der mitbewegte Radius läßt sich nun folgendermaßen definieren:
Rco = Ri(1 + zi). Dabei ist Ri = R(ti) und zi die Rotverschiebung zum Zeitpunkt ti.
Diese Beziehung folgt aus der Gleichung R(t) = a(t)x, die weiter oben diskutiert wurde, wenn
man x definiert als x = R(ti)/a(ti), a(t0) = 1 setzt und x mit Rco identifiziert.
Dabei wird dann noch verwendet, daß a(t0) = (1 + zi)a(ti) gilt (vgl. Peebles, Padmanabhan).
Diese Art der Festlegung des mitbewegten Radius wird nicht von allen Autoren eingehalten
(vgl. Anhang b).
2.4
Kosmologische Parameter
Die in dieser Arbeit referenzierten kosmologischen Parameter sind H(t), , (t).
H(t) bezeichnet die Hubblekonstante zu einer Zeit t:
a ( t )
H (t ) 
a( t )
mit dem Expansionsparameter a(t) und seiner zeitlichen Ableitung a ( t ) .
 bezeichnet die kosmologische Konstante, die als nicht zeitabhängig betrachtet wird.
7
(t) bezeichnet den Dichteparameter zur Zeit t:
( t ) 
b ( t )
cr ( t )
mit der Hintergrunddichte b(t) und der kritischen Dichte cr(t).
2.5 Das Einstein de Sitter Universum
Definiert man die kosmischen Parameter als  = 0 und  = 1, so spricht man vom Einstein
de Sitter Universum (EdS Universum). Für diese Arbeit werden folgende Beziehungen
benötigt:
2
a( t )  t  3
 
a( t 0 )  t 0 
dabei bezeichnet t in der Regel einen Zeitpunkt t << t0.
3
cr ,0 
H2
8 G 0
G ist die Gravitationskonstante, H0 die Hubble - Konstante zum Zeitpunkt t = t0.
Für die Hubble - Konstante wird angenommen, daß 50  H0  100 km s-1 Mpc-1 gilt.
Dafür ist auch die Schreibweise H0 = h0100 km s-1 Mpc-1 gebräuchlich, mit 0  h0  1/2.
Es gilt:
2
H0 
3t 0
Aus den angegebenen Gleichungen folgt zusammen mit der Rotverschiebungsrelation:
ti = t0  (1 + zi)-3/2
In dieser Arbeit wird in der Regel eine Rotverschiebung von zi = 1000 für die initiale Zeit ti
vorausgesetzt (Zeit der Rekombination). Setzt man eine Hubble Konstante von
H0 = 50 km s-1 Mpc-1 voraus, so kann man mit diesen Angaben t0 berechnen.
Es folgt
11
t0 = 0,1310 Jahre.
Die kritische Dichte des heutigen Universums berechnet sich unter diesen
Voraussetzungen zu
M sol
cr,0 = 0,6941011
Mpc 3
Msol bezeichnet Sonnenmassen, Mpc Megaparsec. Für ein EdS Universum ist cr,0 = b,0.
8