Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 4
Dr. Andreas Wünsche
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
27. April 2017
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Version: 25. April 2017
1
Quantile einer stetigen Zufallsgröße
I
Die reelle Zahl xq mit 0 < q < 1 heißt q−Quantil der stetigen
Zufallsgröße X , wenn die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit
q links von xq liegen, d.h. xq ist eine Lösung der Gleichung
P(X < xq ) = FX (xq ) = q
=⇒
xq = Fx−1 (q) .
I
q−Quantile können auch für diskrete und andere Zufallsgrößen
betrachtet werden.
I
Wichtige Quantile sind:
I
I
I
das 0.5–Quantil, es heißt Median von X ;
das 0.25– bzw. 0.75–Quantil, dies sind die sogenannten
Viertelquantile (Quartile)
von X ;
α
die α−, (1 − α)−, 1 −
− Quantile für kleine Werte α ,
2
sie spielen bei statistischen Fragen eine große Rolle.
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Version: 25. April 2017
2
Exponentialverteilung
Eine Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, falls
für die Verteilungsfunktion FX bzw. die Verteilungsdichte fX gilt:
0,
x ≤ 0,
0,
x ≤ 0,
FX (x) =
fX (x) =
1 − exp(−λx) , x > 0 ,
λ exp(−λx) , x > 0 .
Verteilungsfunktion (λ = 1)
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Dichtefunktion (λ = 1)
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3
Quantile für Exponentialverteilung
I
Es sei X exponentialverteilt mit Parameter λ = 1, d.h.
0,
x ≤ 0,
FX (x) = P(X < x) =
1 − exp(−x), x > 0.
I
Dann gilt für das q−Quantil xq (mit 0 < q < 1) :
FX (xq ) = 1 − exp(−xq ) = q,
also xq = − ln (1 − q) .
Verteilungsfunktion
I
q
0.25
0.5
0.75
0.95
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Dichtefunktion
xq
0.288
0.693
1.386
2.996
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Version: 25. April 2017
4
Varianz einer Zufallsgröße
I
Die wichtigste Kenngröße für die Variabilität von Zufallsgrößen ist
die Varianz der Zufallsgröße, auch Streuung oder Dispersion
genannt. Sie gibt die erwartete quadratische Abweichung der
Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert an.
I
Definition: Die Varianz VarX der Zufallsgröße X ist die
nichtnegative reelle Zahl (falls sie existiert)
 P

(x − EX )2 pi ,
diskrete ZG;

 i i
VarX = E (X − EX )2 =
R∞


(x − EX )2 fX (x) dx , stetige ZG.

−∞
I
Die Varianz lässt sich meistens bequemer mit Hilfe der Formel
VarX = E X 2 − (EX )2
berechnen.
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5
Standardabweichung einer Zufallsgröße und Eigenschaften
I
Definition: Die Standardabweichung σX der Zufallsgröße X ist
die positive Quadratwurzel aus der Varianz der Zufallsgröße:
√
σX = VarX .
I
Ist a eine reelle Zahl und X eine Zufallsgröße, dann gelten
I
I
I
I
I
Var(aX ) = a2 VarX ,
Var(a + X ) = VarX ,
σ(aX ) = |a|σX ,
σ(a+X ) = σX .
Es gilt genau dann VarX = σX = 0, wenn es eine reelle Zahl x0 gibt,
so dass P(X = x0 ) = 1 gilt.
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6
Beispielberechnung Varianzen
I
X Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel.
I
X gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [0, 1].
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7
Standardisierung und Variationskoeffizient
I
Definition: Für eine Zufallsgröße X mit endlicher Varianz wird
die Standardisierung definiert durch
Z=
X − EX
.
σX
Dies ist eine mit X zusammenhängende Zufallsgröße, die den
Erwartungswert 0 und eine Varianz von 1 besitzt.
I
Definition: Für eine Zufallsgröße X mit endlicher Varianz und
EX 6= 0 wird der Variationskoeffizient VX definiert durch
VX =
σX
.
EX
Mit ihm wird die Streuung der möglichen Werte zum mittleren Wert
(Erwartungswert) in Beziehung gesetzt, dadurch hilft er beim
Vergleich der möglichen zufälligen Schwankungen der Werte von
Zufallsvariablen.
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8
Kovarianz und Unkorreliertheit zweier Zufallsgrößen
I
Für zwei Zufallsgrößen X und Y mit endlicher Varianz heißt die
reelle Zahl
Cov (X , Y ) = E ((X − EX )(Y − EY )) = E(XY ) − EX · EY
die Kovarianz der beiden Zufallsgrößen. Sie ist ein Maß für die
Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen X und Y .
I
Der Korrelationskoeffizient der Zufallsgrößen X und Y ist dann
%X ,Y = Corr (X , Y ) =
Cov (X , Y )
.
σX σY
Dieser Wert liegt immer zwischen -1 und 1 . Im Fall |%X ,Y | = 1
besteht ein vollständiger linearer Zusammenhang zwischen beiden
Größen.
I
Zwei Zufallsgrößen X und Y heißen unkorreliert, falls
Cov (X , Y ) = 0 gilt.
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9
Unabhängigkeit von Zufallsgrößen und Varianz einer
Summe von unabhängigen Zufallsgrößen
I
Definition: Zwei Zufallsgrößen X und Y heißen stochastisch
unabhängig, falls für beliebige reelle Zahlen x, y gilt:
P ({X < x} ∩ {Y < y }) = P(X < x) · P(Y < y ) .
I
Sind zwei Zufallsgrößen X und Y mit endlichen Erwartungswerten
stochastisch unabhängig, dann gilt E(X · Y ) = EX · EY . Damit
sind X und Y auch unkorreliert.
I
Satz: Sind zwei Zufallsgrößen X und Y stochastisch unabhängig
(oder unkorreliert), dann gilt für deren Summe:
Var(X + Y ) = VarX + VarY .
Diese Eigenschaft gilt aber nicht im Allgemeinen !
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Version: 25. April 2017
10
Tschebyschew-Ungleichung
I
Man kann mit Hilfe von Erwartungswerten und Varianzen auch
Wahrscheinlichkeiten abschätzen. Dabei finden die folgenden
Ungleichungen öfters Verwendung.
I
Satz:
Für eine Zufallsgröße X mit E|X | < ∞ gilt für beliebige c > 0
P(|X | ≥ c) ≤
E|X |
.
c
Ist die Varianz der Zufallsgröße X endlich, d.h.
VarX = E(X − EX )2 < ∞ ,
dann gilt auch
P(|X − EX | ≥ c) ≤
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VarX
.
c2
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11
Illustration Tschebyschew-Ungleichung für eine
Exponentialverteilung mit Parameter λ = 1
Vergleich exakte Wahrscheinlichkeiten (blau) und Abschätzungen aus
Tschebyschew-Ungleichung (rot) : für c > 1 :
E|X |
1
links: P(X ≥ c) = 1 − FX (c) = e−c ≤
= ;
c
c
VarX
1
−c−1
rechts: P(|X − EX | ≥ c) = P(X − 1 ≥ c) = e
≤
= 2.
c2
c
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12
1.6 Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1.6.1 Binomialverteilung
n ∈ N, 0 ≤ p ≤ 1.
I
Parameter:
I
Zufallsgröße X mit möglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
n k
pk = P(X = k) =
p (1 − p)n−k ,
k
I
k = 0, 1, . . . , n .
Anwendung in folgender Situation:
I
I
I
I
zufälliges Experiment mit 2 Versuchsausgängen (A, und A) wird n
mal wiederholt ;
Eintreten der Ereignisse A in den einzelnen Versuchen sei unabhängig ;
in jedem Versuch sei die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich p , d.h.
p = P(A) ;
Zufallsgröße X ist gleich die Anzahl des Eintrettens des Ereignisses A .
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Version: 3. Mai 2017
13
Binomialverteilung II
I
Typische Anwendungen:
I
I
Stichprobennahme mit Zurücklegen z.B. bei Qualitätskontrolle;
Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik.
I
Bezeichnung:
X ∼ Bin(n, p) .
I
Kenngrößen:
EX = np
I
Spezialfall: Bernoulli-Verteilung: n = 1
X ∼ B(p) = Bin(1, p) =⇒ EX = p und
I
Eigenschaft:
⇒
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und
VarX = np(1 − p) .
VarX = p(1 − p) .
X1 ∼ Bin(n1 , p) , X2 ∼ Bin(n2 , p) unabhängig
X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2 , p) .
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14
Binomialverteilung III
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15
Beispielaufgabe Binomialverteilung
I
Ein idealer Würfel wird 20 mal geworfen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei mal eine Sechs
geworfen wird ?
I
Zufallsgröße X . . . Anzahl der geworfenen Sechsen bei 20 Würfen
”
dieses Würfels“ ⇒ X ist binomialverteilt.
I
20-malige Wiederholung des Einzelversuchs Werfen eines Würfels“
”
⇒ n = 20 .
I
Erfolg E . . . Im Einzelwurf fällt eine Sechs“.
”
Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Sechs bei einem Würfelwurf
beträgt 1/6 ⇒ p = P(E ) = 1/6 .
I
I
Gesucht ist P(X ≥ 2) .
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16