Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 5
Dr. Andreas Wünsche
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
4. Mai 2016
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Version: 2. Mai 2017
1
1.6.2 Negative Binomialverteilung
r ∈ N, 0 ≤ p ≤ 1.
I
Parameter:
I
Mögliche Werte der Zufallsgröße X : k = r , r + 1, r + 2, . . . .
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
k −1 r
pk = P(X = k) =
p (1 − p)k−r ,
r −1
I
k = r , r + 1, . . . .
Anwendung in folgender Situation:
I
I
I
I
zufälliges Experiment mit 2 Versuchsausgängen (A, und A) wird
solange wiederholt bis das Ereignis A genau r mal eingetretten ist ;
Eintreten der Ereignisse A in den einzelnen Versuchen sei unabhängig ;
in jedem Versuch sei die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich p , d.h.
p = P(A) ;
Zufallsgröße X ist gleich die Anzahl der durchgeführten Teilversuche
(bis das Ereignis A genau r mal eingetretten ist) .
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2
Negative Binomialverteilung II
X ∼ NegBin(r , p) .
I
Bezeichnung:
I
Kenngrößen:
I
Spezialfall: Geometrische Verteilung: r = 1
X ∼ Geo(p) = NegBin(1, p) .
I
Eigenschaft:
X1 ∼ NegBin(r1 , p) , X2 ∼ NegBin(r2 , p) unabhängig
⇒
I
EX =
r
p
und
VarX =
r (1−p)
p2
.
X1 + X2 ∼ NegBin(r1 + r2 , p) .
Alternative Definition: (vgl. Anwendung in folgender Situation)
Die Zufallsgröße Y ist gleich der Anzahl der Versuchsausgänge A.
Also ist Y = X − r und damit
P(Y = k) = P(X = k + r ),
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k = 0, 1, . . . .
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3
1.6.3. Geometrische Verteilung
I
Parameter:
0 < p < 1.
I
Zufallsgröße X mit möglichen Werten k = 1, 2, 3, . . . .
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) = p(1 − p)k−1 ,
X ∼ Geo(p) .
I
Bezeichnung:
I
Kenngrößen:
I
Anwendung in folgender Situation:
I
I
k = 1, 2, 3, . . . .
EX =
1
p
und
VarX =
1−p
p2
.
Gleichartige unabhängige Teilversuche, bei denen jeweils Erfolg“ mit
”
Wahrscheinlichkeit p oder Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit 1 − p
”
eintreten kann, werden so lange durchgeführt, bis zum ersten Mal
Erfolg“ eingetreten ist.
”
Die Zufallsgröße X ist gleich der Anzahl der durchgeführten
Teilversuche.
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4
Geometrische Verteilung II
I
Bemerkung: Manchmal wird nur die Anzahl Y der Misserfolge“
”
vor dem ersten Erfolg“ gezählt. Diese Zufallsgröße hat als mögliche
”
Werte 0, 1, . . . , es gilt Y = X − 1 .
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5
Beispielaufgabe Geometrische Verteilung
Die täglichen Kursänderungen einer Aktie seien unabhängig und die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kurs an einem Tag wächst oder
höchstens um 5% fällt, betrage 0.8 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass dies erstmalig am zweiten oder dritten Tag passiert ?
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6
1.6.4 Hypergeometrische Verteilung
N, M, n ∈ N , M ≤ N, n ≤ N .
I
Parameter:
I
Zufallsgröße X mit möglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
N−M M
k · n−k
pk = P(X = k) =
, falls n − (N − M) ≤ k ≤ M ,
N
n
pk = P(X = k) = 0 ,
I
sonst.
Anwendung in folgender Situation:
I
I
I
unter N Dingen befinden sich M ausgezeichnete ;
von den N Dingen werden n zufällig ausgewählt (ohne Zurücklegen) ;
Zufallsgröße X repräsentiert die Anzahl der ausgezeichneten Dinge
unter den n ausgewählten.
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7
Hypergeometrische Verteilung II
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8
Hypergeometrische Verteilung III
I
Typische Anwendung: Stichprobennahme ohne Zurücklegen, z.B.
bei der Qualitätskontrolle.
I
Bezeichnung:
I
Kenngrößen:
X ∼ Hyp(N, M, n) .
EX = n ·
VarX = n ·
I
M
,
N
M N −M N −n
·
·
.
N
N
N −1
Für großes N (N ≥ 60) und M und im Vergleich dazu kleines n
(n/N < 0.1) kann die hypergeometrische Verteilung durch die
Binomialverteilung (p = M/N) approximiert werden:
N−M M
n k
k · n−k
P(X = k) =
≈
p (1 − p)n−k .
N
k
n
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9
Beispiel für Binomial-Approximation
X ∼ Hyp(100, 70, 5) wird approximiert durch Y ∼ Bin(5, 0.7).
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10
Beispielaufgabe hypergeometrische Verteilung
I
Ein Kunde übernimmt alle 50 gelieferten Schaltkreise, wenn in einer
Stichprobe von 10 Schaltkreisen höchstens ein nicht voll
funktionsfähiger Schaltkreis enthalten ist. Ansonsten wird die
gesamte Lieferung verworfen.
I
Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 50 Schaltkreise
a) abgenommen werden, obwohl diese 12 nicht voll funktionsfähige
Schaltkreise enthalten;
b) zurückgewiesen werden, obwohl nur 3 nicht voll funktionsfähige
Schaltkreise enthalten sind !
I
Zufallsgröße X . . . Anzahl der nicht voll funktionsfähigen
”
Schaltkreise in der Stichprobe“.
I
Die Zufallsgröße X ist hypergeometrisch verteilt.
I
N = 50 , n = 10 , M = 12
I
Gesucht:
Dr. Andreas Wünsche
a) P(X ≤ 1) ;
bzw.
M = 3.
b) P(X > 1) .
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11
1.6.5 Poissonverteilung
I
λ > 0 (die Intensität“ der Poissonverteilung).
”
Zufallsgröße X mit möglichen Werten k = 0, 1, 2, . . . .
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
I
Parameter:
pk = P(X = k) =
λk −λ
e ,
k!
k = 0, 1, 2, . . . .
X ∼ Poi(λ) .
I
Bezeichnung:
I
Kenngrößen:
EX = λ
I
Eigenschaft:
X1 ∼ Poi(λ1 ) , X2 ∼ Poi(λ2 ) unabhängig
⇒
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und
VarX = λ .
X1 + X2 ∼ Poi(λ1 + λ2 ) .
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Poissonverteilung II
I
Typische Anwendungen: Poissonverteilung ist typische Verteilung
für Anzahl von Ereignissen in gewissem Zeitraum, wenn für beliebige
hinreichend kleine Teilintervalle der Länge h gilt:
I
I
I
In jedem Teilintervall der Länge h tritt höchstens ein Ereignis ein.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Teilintervall der Länge h zu
finden, hängt nur von der Länge des betrachteten Zeitintervalls ab
und ist proportional zu dieser.
Das Eintreten eines Ereignisses im Teilintervall wird nicht beeinflusst
von Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben
(Nachwirkungsfreiheit).
I
Parameter λ entspricht dann der durchschnittlichen Anzahl der
Ereignisse im betrachteten Zeitraum.
I
Beispiele: Anzahl von Telefonanrufen, Anzahl von emittierten
Teilchen in Physik (radioaktiver Zerfall), Anzahl von Unfällen,
Anzahl von Schadensfällen.
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Poissonverteilung und Binomialverteilung
Bin(n, λ/n) −−−→ Poi(λ) .
I
Es gilt
I
Für großes n (n ≥ 30) und kleines p (p ≤ 0.05, sogenannte seltene
”
Ereignisse“) lassen sich Wahrscheinlichkeiten einer
Binomialverteilung näherungsweise mit Hilfe einer Poissonverteilung
mit Parameter λ = np berechnen, d.h.
n k
λk −λ
P(X = k) =
p (1 − p)n−k ≈
e .
k
k!
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n→∞
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Beispiel für Poisson-Approximation
X ∼ Bin(100, 0.04) wird approximiert durch Y ∼ Poi(4).
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15
Beispielaufgaben Poissonverteilung
I
Die zufällige Anzahl X der Schadensfälle bei einer
Versicherungsagentur sei für Zeitintervalle einer bestimmten Länge
poissonverteilt mit Parameter λ = 3 . Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Zeitintervall dieser Länge
mindestens zwei Schadensfälle eintreten ?
I
Es werden 50 Erzeugnisse aus einer Lieferung mit einer
Ausschusswahrscheinlichkeit von 0.01 untersucht. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich höchstens ein fehlerhaftes
Erzeugnis unter den 50 Erzeugnissen befindet ?
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1.6.6 Diskrete Gleichverteilung
I
Situation: Eine Menge M besteht aus n Elemten, die alle
gleichwahrscheinlich sind.
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) =
1
n
für alle k ∈ M.
X ∼ U(M) .
I
Bezeichnung:
I
Kenngrößen: für diskrete Gleichverteilung auf 1, 2, . . . , n.
2 −1
X ∼ U({1, 2, . . . , n}) : EX = n+1
und VarX = n 12
.
2
I
Typische Anwendungen:
I
I
Laplace-Experiment,
Würfeln mit einem gerechten Würfel.
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