Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 6
Dr. Andreas Wünsche
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
11. Mai 2017
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
1
1.7 Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1.7.1 Normalverteilung (Gauß-Verteilung)
f(x) =
1
σ 2π
e
−(x−µ)2
2σ2
mit µ = 5,σ = 3
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Dichtefunktion
−5
0
5
10
15
x
I
Parameter:
Dr. Andreas Wünsche
µ ∈ R , σ2 > 0 .
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
2
Normalverteilung (Gauß-Verteilung)
I
Zufallsgröße X mit Dichtefunktion fX bzw. Verteilungsfunktion FX
Z x
(x−µ)2
(t−µ)2
1
1
fX (x) = √
e− 2σ2 , FX (x) = √
e− 2σ2 dt , x ∈ R .
2πσ
2πσ −∞
Verteilungsfunktion
1.0
Dichtefunktion
0.12
mit µ = 5,σ = 3
σ 2π
e
−(x−µ)2
2σ2
0.8
1
X~N(µ, σ2)
mit µ = 5,σ = 3
FX(x)
0.0
0.00
0.2
0.04
0.4
0.6
0.08
fX(x) =
−5
0
5
10
15
−5
0
x
I
10
15
x
I
Bezeichnung:
X ∼ N(µ, σ 2 ) .
I
Kenngrößen:
EX = µ
Dr. Andreas Wünsche
5
und
VarX = σ 2 .
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
3
Dichtefunktionen mit verschiedenen Erwartungswerten
0.12
X~N(µ, σ2)
0.10
Dichtefunktionen
µ = 10, σ = 3
µ = 0, σ = 3
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µ = 5, σ = 3
−10
−5
0
5
10
15
20
x
Die Dichtefunktion ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = µ ,
deshalb gilt für den Median auch x0.5 = µ .
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
4
Dichtefunktionen mit verschiedenen Varianzen
X~N(µ, σ2)
µ = 5, σ = 5
µ = 5, σ = 3
µ = 5, σ = 2
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Dichtefunktionen
−10
−5
0
5
10
15
20
x
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
5
Verschiedene Dichtefunktionen
X~N(µ, σ2)
µ = 9, σ = 2.5
µ = 5, σ = 2
µ = 1, σ = 3
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Dichtefunktionen
−10
−5
0
5
10
15
20
x
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
6
Standardnormalverteilung
I
Die Zufallsgröße X ist standardnormalverteilt, falls X normalverteilt
ist mit µ = EX = 0 und σ 2 = VarX = 1, d.h. X ∼ N(0, 1).
I
Die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion sind dann
Z x
t2
1
1 − x2
φ(x) = √ e 2 bzw. Φ(x) = √
e− 2 dt,
2π
2π −∞
I
x ∈ R.
Ist die Zufallsgröße X normalverteilt mit Erwartungswert µ und
X −µ
Varianz σ 2 , dann ist die standardisierte Zufallsgröße Z :=
σ
standardnormalverteilt, d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0
und Varianz 1.
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
7
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
I
Geg.:
I
Ges.:
I
I
X ∼ N(µ, σ 2 ) , a < b .
P(a ≤ X ≤ b) .
X −µ
Wegen Z =
∼ N(0, 1) gilt
σ
a−µ
X −µ
b−µ
≤
≤
P(a ≤ X ≤ b) = P
σ
σ
σ
a−µ
b−µ
= P
≤Z ≤
σ
σ
b−µ
a−µ
= Φ
−Φ
.
σ
σ
Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
8
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten II
I
b−µ
a−µ
−Φ
,
P(a ≤ X ≤ b) = Φ
σ
σ
a−µ
,
P(a ≤ X ) = 1 − Φ
σ
b−µ
P(X ≤ b) = Φ
.
σ
I
Die Funktionswerte von Φ können aus einer Tabelle (z.B. im
Anhang der Formelsammlung zur Lehrveranstaltung) abgelesen
werden oder z.B. mit einem Taschenrechner berechnet werden.
I
Für alle reelle Zahlen x gilt:
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
9
Rechenbeispiel
I
Geg.: X ∼ N(30, 25) .
I
Ges.: P(28 ≤ X ≤ 35).
0.08
Dichtefunktion
0.00
0.02
0.04
0.06
X~N(µ, σ2) mit µ = 30,σ = 5
15
I
Dr. Andreas Wünsche
20
25
30
35
40
45
x
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
10
Intervall symmetrisch zum Erwartungswert
I
Geg.: X ∼ N(µ, σ 2 ) und c > 0 .
I
P(µ − c ≤ X ≤ µ + c) =
=
=
=
I
Beispiel.: 3σ-Regel:
(µ + c) − µ
(µ − c) − µ
Φ
−Φ
σ
σ
c −c
Φ
−Φ
σ
σ
c c Φ
− 1−Φ
σ
σc 2Φ
−1
σ
c = 3σ .
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0.9974
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
11
k · σ−Regeln für Normalverteilung
I
I
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert
einer Zufallsgröße X ∼ N(µ, σ 2 ) um nicht mehr als 3 · σ vom
Erwartungswert ( Sollwert“) µ abweicht ?
”
Antwort:
3σ
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 2Φ
−1
σ
= 2Φ(3) − 1
= 2 · 0.9987 − 1
= 0.9974
I
3σ−Regel:
2σ−Regel:
1σ−Regel:
Dr. Andreas Wünsche
Innerhalb von µ ± 3σ liegen 99.7% der Messwerte.
Innerhalb von µ ± 2σ liegen ca. 95.4% der Messwerte.
Innerhalb von µ ± σ liegen ca. 68.3% der Messwerte.
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 11. Mai 2017
12
Beispiel 2σ−Intervall
Geg.: X ∼ N(5, 9), d.h. µ = 5 und σ = 3.
0.954 = P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = P(5 − 2 · 3 ≤ X ≤ 5 + 2 · 3)
= P(−1 ≤ X ≤ 11)
Dichtefunktion
fX(x) =
σ 2π
−(x−µ)2
2σ2
e
0.954
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
mit µ = 5,σ = 3
1
−5
0
5
10
15
x
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 11. Mai 2017
13
Quantile der Standardnormalverteilung
I
Die Quantilsfunktion ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) der
Verteilungsfunktion.
I
Das p-Quantil der Standardnormalverteilung wird mit zp bezeichnet.
I
Sei 0 < p < 1 eine Wahrscheinlichkeit und Z ∼ N(0, 1), dann ist:
P(Z < zp ) = Φ(zp ) = p
=⇒
zp = Φ−1 (p).
I
Die Werte von zp können aus einer Tabelle (z.B. im Anhang der
Formelsammlung zur Lehrveranstaltung) abgelesen werden oder
z.B. mit einem Taschenrechner berechnet werden.
I
Es gilt:
zp = −z1−p
I
Beispiel:
z0.05 = −z0.95 = −1.645.
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
14
Beispielaufgabe vorgegebene Wahrscheinlichkeit
I
Frage: In welchem Intervall I = [µ − c; µ + c] liegen im Mittel
(z.B.) 90% der Messwerte für X ∼ N(µ, σ 2 ) ?
I
Ges.:
I
Lsg.:
c , so dass P(|X − µ| ≤ c) = 0.9 .
0.9 = P(|X − µ| ≤ c)
= P(µ − c ≤ X ≤ µ + c) = 2Φ
⇒
I
Φ
c σ
c σ
−1
0.9 + 1
= 0.95
2
= z0.95 = 1.645 (0.95-Quantil)
=
c
σ
c = 1.645 · σ .
D.h., zwischen µ − 1.645σ und µ + 1.645σ liegen im Mittel 90% der
Messwerte.
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
15
Beispielaufgabe zum Additionssatz
I
Additionssatz:
X1 ∼ N(µ1 , σ12 ) , X2 ∼ N(µ2 , σ22 ) , unabhängig, a1 , a2 ∈ R
⇒ a1 X1 + a2 X2 ∼ N(a1 µ1 + a2 µ2 , a12 σ12 + a22 σ22 ) .
I
Geg.:
I
Ges.:
Dr. Andreas Wünsche
Abfüllmenge in ml Flasche:
Flaschenvolumen in ml:
X ∼ N(1000, 100)
Y ∼ N(1020, 25)
Wahrscheinlichkeit, dass Flasche beim Abfüllen überläuft.
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
16
Zentraler Grenzwertsatz I
I
Die Summe Sn =
n
P
Xi von n unabhängigen N(µ, σ 2 )-verteilten
i=1
Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn ist normalverteilt mit Erwartungswert nµ
und Varianz nσ 2 .
I
Näherungsweise gilt eine ähnliche Aussage auch für Zufallsgrößen
mit anderen Verteilungen.
I
Für unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . mit
EXi = µ , VarXi = σ 2 > 0 konvergiert die Verteilung der
standardisierten Summe gegen die Standardnormalverteilung, d.h. es
gilt für z ∈ R
Sn − ESn
Sn − nµ
√
P √
<z =P
< z −−−→ Φ(z) ,
n→∞
VarSn
nσ 2
x − nµ
bzw. für große n gilt: P (Sn < x) ≈ Φ √
.
nσ 2
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
17
Zentraler Grenzwertsatz II
I
Häufig ergeben sich Zufallsgrößen (z.B. Messfehler) durch (additive)
Überlagerung vieler kleiner stochastischer Einflüsse. Der zentrale
Grenzwertsatz bewirkt dann, dass man diese Größen
(näherungsweise) als normalverteilt ansehen kann.
I
Spezialfall: Sind X1 , ..., Xn identisch Bernoulli-verteilt, d.h.
Xi ∼ Bin(1, p) , so gilt für die Summe Sn ∼ Bin(n, p) und nach dem
zentralen Grenzwertsatz gilt für z ∈ R :
!
Sn − np
P p
< z −−−→ Φ(z)
n→∞
np(1 − p)
bzw. für große n (np(1 − p) > 9) gilt
!
x − np
P (Sn < x) ≈ Φ p
(Satz von Moivre-Laplace).
np(1 − p)
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
18
Beispiel Zentraler Grenzwertsatz I
I
Eine Weinkellerei lädt 200 Kunden zur Weinverkostung ein.
Erfahrungsgemäß kommt es mit 60% der Kunden zu einem
Verkaufsabschluss. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass
genau 130 Kunden abschließen und dass mehr als 130 Kunden
abschließen ?
I
ZG X = Anzahl der Abschlüsse ∼ Bin(200, 0.6)
⇒
E(X ) =
Var(X ) =
I
P(X = 130) =
200
130
I
P(X > 130) =
200
P
k=131
Dr. Andreas Wünsche
· 0.6130 · 0.470 = 0.0205
200
k
· 0.6k · 0.4200−k = 0.0639 .
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
19
Beispiel Zentraler Grenzwertsatz II
I
Approximation mittels Normalverteilung
P(X = 130) = P(129.5 < X < 130.5)
≈
I
P(X > 130) = 1 − P(X ≤ 130) = 1 − P(X < 130.5)
≈
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 9. Mai 2017
20