Axialsymmetrische Lösungen der

Axialsymmetrische Lösungen der magnetohydrostatischen Gleichung
mit Oberflächenströmen
Von
L . BIERMANN,
K . HAIN,
K . JÖRGENS
und
R . LÜST *
Aus dem Max-Planck-Institut für Physik, Göttingen
(Z. Naturforschg. 12 a, 826—832 [1957] ; eingegangen am 11. Juni 1957)
Es werden axialsymmetrische Lösungen der magnetohydrostatischen Gleichung betrachtet, bei
denen das Gas einen Torus erfüllt, dessen Querschnitt im allgemeinen kreisförmig angenommen
wird. Zur Vereinfachung wird angenommen, daß die elektrischen Ströme nur an der Oberfläche
fließen. Für den Fall, daß diese Ströme gegeben sind, wird ein Verfahren angegeben, mit dem das
äußere Magnetfeld berechnet werden kann, welches zusammen mit dem durch den gegebenen Strom
erzeugten Feld die Grenzbedingungen erfüllt. Dies Verfahren wird für den Fall rein azimutaler
Ströme mit einer Näherungsmethode und dann exakt durchgeführt. In erster Näherung genügt die
Überlagerung eines homogenen Feldes parallel zur Symmetrieachse des Torus. Für den Fall gegebener meridionaler Ströme zeigt sich, daß die Randbedingungen nur durch Uberlagerung eines zusätzlichen azimutalen Stromes erfüllbar sind, zusammen mit einem geeigneten meridionalen äußeren
Magnetfeld. Im axialsymmetrischen Fall ist also stets mindestens eine azimutale Stromkomponente
erforderlich.
It is proposed to consider solutions of the magnetohydrostatic equation of axial symmetry in
which the plasma is contained in a torus with circular cross-section. For mathematical simplification
it is furthermore assumed, that the electric currents flow exclusively at the surface of the plasma.
For the case, that these currents are assumed to be given, a method is outlined by which it is possible
to calculate the exterior magnetic field which together with the magnetic field produced by the given
currents, satisfies the boundary conditions at the surface. This procedure is carried through for the
case of purely azimuthal electric currents, first by an approximate method, then by an exact method.
To a first approximation it is sufficient to superpose an homogeneous field parallel to the axis of
symmetry. For the case that the given currents are in a meridional planes, it is seen, that the
boundary conditions can be satisfied only by the superposition of an additional current together with
a suitable meridional exterior magnetic field. Therefore in the case of axial symmetry at least one
azimuthal component of the electric current is necessary.
axialer Symmetrie, die durch entsprechende Magnet-
1. A l l g e m e i n e D i s k u s s i o n d e r L ö s u n g e n
felder mit
a) Es sollen untersucht werden die Eigenschaften
bestimmter
Lösungen
der
magnetostatischen
Glei-
chung
[33 rot 23] + V p = 0 ,
(1)
(53 magnetische Feldstärke, p G a s d r u c k ) ,
durch
gen
Q
^
charakterisiert
Kraftlinien
auf
sind,
daß
Oberflächen
mit
die
den
die da-
flächenhaften
elektrischen Strömen statio-
n ä r gehalten werden über Zeiten, die kurz sind ge-
oQ/c 2
(o
elektrische
Leitfähigkeit,
Querschnitt). Ebenen durch die
(die z-Achse) seien als M e r i d i a n e b e n e n
Feldlinien
bzw.
Stromlinien
el.-st. E . ;
Symmetrieachse
entlang
bezeichnet,
geschlossener
L i n i e n , insbesondere entlang Kreisen u m die z-Achse
magnetischen
herum als toroidal oder a z i m u t a l . I n sich zurück-
Zusammen-
laufende Magnetfelder, die durch äußere elektrische
hangsverhältnissen eines Ringes verlaufen** u n d daß
Ströme
die zugehörigen elektrischen Ströme (j Stromdichte,
Symmetrie wesentlich azimutalen (evtl. noch schrau-
el.-st. E . )
benförmigen)
i = - r o t S 3
4 JI
(2)
teils sich i m P l a s m a schließen, teils in äußeren Spulen
durch
werden.
angelegte
(Es
sollen
Spannungen
also
keine
P l a s m a u n d äußeren Spulen
aufrechterhalten
Ströme
zwischen
fließen.)
I m folgenden sollen torusartige
Plasma-Konfigu-
erzeugt
werden,
haben
dann
bei
axialer
Charakter.
Explizite Lösungen für die räumliche
Verteilung
der elektrischen Ströme i m P l a s m a bei den oben genannten
Zusammenhangsverhältnissen
scheinen
in
der Literatur nicht vorhanden zu sein, auch nicht in
F o r m hydrodynamischer
b)
Analoga.
D i e elektrischen S t r ö m e
im
Plasma
können
auf zwei verschiedene Arten entstehen. E i n m a l las-
rationen betrachtet werden, insbesondere solche von
sen sie sich durch I n d u k t i o n von außen
* Die grundsätzlichen Gedanken dieser Arbeit stammen von
L.B.
** Die Frage, ob die Feldlinien sich schließen oder ergodisch
sind, ist hierbei offen gelassen.
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erzeugen;
so bedeutet eine Kompression des Plasmas durch
Erhöhung der Feldstärke des äußeren (azimutalen)
Magnetfeldes die Induktion abschirmender meridionaler elektrischer Ströme an der Plasmaoberfläche,
während ein induziertes ringförmiges elektrisches
Feld azimutale elektrische Ströme im Plasma erregt.
Zum andern erzeugt die langsame Diffusion des einmal hergestellten Plasmas durch das Magnetfeld hindurch, die in Zeiten der Ordnung oQ/c 2 stattfindet,
eine elektrische Spannung, die den elektrischen Strom
aufrechterhält, welcher in dem Magnetfeld gemäß
Gl. (1) dem Druck des Plasmas das Gleichgewicht
hält; im Fall axialer Symmetrie laufen, diese elektrischen Ströme z. B. bei azimutalem Magnetfeld in
Meridianebenen um die Seele des Plasma-Torus
herum.
D a Gl. (1) notwendig erfüllt sein muß, unabhängig von den weiteren Bedingungen, die aus den
Forderungen der Stabilität und geringen Teilchenverlusten fließen, liegt es nahe zu fragen, welche
Folgerungen sie zuläßt in bezug auf die Geometrie
der elektrischen Ströme im Plasma und auf diejenige
der äußeren Magnetfelder.
c) Die vorliegende Behandlung nimmt zur mathematischen Vereinfachung an, daß die elektrischen
Ströme im Plasma ausschließlich nahe der Oberfläche fließen, derart, daß der elektrische Strom als
(divergenzfreier) Flächenstrom j* angesehen werden
darf. Der Druckgradient entartet dann zu einem
Drudesprung zip; die Richtung dieser Flächenkraft
ist entsprechend die der äußeren Normalen n , und
aus Gin. (1) und (2) entsteht dann
y
[i*x23]+nzfp=0.
Daraus bekommt m a n
(3)
(23a* und 23;* sind die
Werte von 93 an der Außen- bzw. Innenseite; alle
Werte an der Grenzfläche sind im folgenden durch *
bezeichnet) :
4> =
s\
(SV-Si2).
Die Grenzfläche des Plasmas hat die Zusammenhangsverhältnisse der Oberfläche eines Ringes, im
axialsymmetrischen Fall eines solchen von überall
gleichem, z. B. kreisförmigem Querschnitt in Meridianebenen. Da 23 an der Grenzfläche keine Komponente || rt haben darf, ist 23 auf der Innenseite
(„23,*") und auf der Außenseite der Grenzfläche
(„23 a *") parallel zu ihr. Wenn keine weiteren elektrischen Ströme im Innern des Plasmas fließen, so
bedeutet dies rot 23j = 0 . Wenn wir \/p = 0 im In-
nern voraussetzen, könnten solche elektrischen
Ströme in dem hier betrachteten Modell auch nur zu
kraftfreien Magnetfeldern gehören; Lösungen der
Gleichung [23 X rot 23] = 0 , die auf die hier vorliegenden Verhältnisse passen würden, scheinen aber
nicht zu existieren. Die magnetischen Kraftlinien
im Plasma können sich also nur um die z-Achse
herum schließen und müssen einer wirbelfreien inkompressiblen Strömung durch den Plasmatorus
hindurch entsprechen. I m speziellen Fall der axialen
Symmetrie ist 23; wegen rot 23j = 0 unabhängig von z,
aber umgekehrt proportional dem Abstand r von der
z-Achse; der magnetische Gesamtfluß durch den
Plasmatorus oder / 23 d3 längs einer einzigen Kraftlinie legt dann 23j eindeutig fest.
Ferner gilt
i*= /
[n(23 a *-23i*) ].
4 71
(4)
W i r wollen nun für die folgende Diskussion annehmen, daß j* gegeben ist, ferner sei 23;*, das
ja von den durch äußere Ströme erzeugten Magnetfeldern und den abschirmenden elektrischen
Strömen an der Plasmaoberfläche abhängt, zunächst = 0 . Dann legt gemäß Gl. (4) j* zugleich
23a* ( ~ V \ Ap j ) fest, z . B . rein azimutales j* ein
rein meridionales 23a* und umgekehrt [ein überlagertes wirbelfreies Magnetfeld geht in Gl. (3) nur
ein mit seiner Komponente senkrecht zu j * ) . Dies
ist noch unabhängig von der Gestalt des Meridianschnitts des Torus.
d) Zu den Aufgaben der Potentialtheorie bestehen
nun die folgenden Beziehungen. Außerhalb der
Grenzfläche des Plasmas, in einem diese umhüllenden weiteren torusartigen Bereich, besitzt 23 wegen
rot 23 = 0 ein Potential. Es gilt daher die Potentialgleichung nur mit den den äußeren Strömen entsprechenden Singularitäten (bzw. W i r b e l n ) . Dieser
torusähnliche Zwischenbereich ist mehrfach zusammenhängend, kann aber durch entsprechende Schnittflächen (etwa in der Ebene z = 0 und in einer Meridianebene) einfach zusammenhängend gemacht werden. Während nun bei den üblichen potentialtheoretischen Aufgaben auf der ganzen Grenzfläche des
einfach zusammenhängend gemachten Gebiets der
Potentialverlauf oder die Normalkomponente der
Ableitung (oder eine lineare Kombination beider)
vorgegeben ist und den gesamten räumlichen Verlauf der Funktion festlegt, sind hier auf der Plasmagrenzfläche sowohl die Normalkomponente ( = 0)
wie auch die Tangentialkomponente der Ableitung
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durch Gl. (3) sozusagen gegeben, während der Ver-
axialsymmetrischen
lauf an der übrigen Grenzfläche nicht festgelegt ist,
azimutale Komponente und das Magnetfeld 23 nahe
und vielmehr die äußeren Bedingungen entsprechend
der Grenzfläche notwendig schraubenförmigen Cha-
einzurichten sind.
rakter besitzen müssen.
Genauer legt ein rein azimutales j*
Fall,
daß
j*
mindestens
eine
[das dann
23n bzw. 23m liegen in Meridianebenen, mit einer
auch überall den gleichen
wesentlichen Komponente etwa parallel oder anti-
Betrag haben muß] zugleich fest, daß die Tangen-
parallel zur z-Achse. Dem äußeren Magnetfeld müs-
tialkomponente der Ableitung ( = 2 3 a * ) in Meridian-
sen also u. U. spezielle Bedingungen auferlegt wer-
ebenen liegen und überall denselben Betrag haben
den, insbesondere dann, wenn Plasmakonfiguratio-
muß. D a die Normalkomponente an der Grenzfläche
nen bestimmter geometrischer Eigenschaften statio-
verschwindet, läßt sich, im Prinzip wenigstens, die
när gemacht werden sollen.
wegen Gl. (3) mit
(4)
Lösung nach außen hin integrieren.
Auch wenn keine axiale Symmetrie vorliegt, gilt
Praktisch wird man zunächst das von j* selbst
erzeugte Magnetfeld
23i ermitteln
und
dann
das
für geschlossene magnetische Kraftlinien längs der
Grenzfläche
äußere Feld 23n so zu bestimmen suchen, daß an
/ © * d* = const
der Plasmagrenze 23i + 23n = 23a* wird. Bei azimutalem j* sind 231 und 23n rein meridional, und ent-
neben der Bedingung ( 3 ) . Ob auch in diesem Fall
lang jeder geschlossenen magnetischen Feldlinie läßt
eine azimutale Stromkomponente eine notwendige
sich der gesamte weiter außen liegende Teil des Ma-
Bedingung
gnetfeldes durch elektrische Ströme entsprechend Gl.
Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist, ist noch nicht
(4) ersetzen (wegen div 23 = 0 ist dies nur entlang
geklärt.
darstellt,
damit
die
magnetostatische
magnetischer Feldlinien möglich). Diese Lösung wird
nachstehend exakt behandelt. Ihr läßt sich noch ein
wirbelfreies rein azimutales Magnetfeld beliebiger
Stärke überlagern.
Der andere Grenzfall — j* versuchsweise rein meridional = j
zunächst
angenommen — ergibt wegen div j* = 0
{ j ^ J ~ 1/r und 23 a *, das nun rein azi-
mutal ist, wegen Gl. (4) ebenfalls dem Betrage nach
~ 1/r . Hierbei ist angenommen, daß durch äußere
Spulen zunächst ein azimutales Magnetfeld 23i erzeugt wird, das dann durch j* im Innern des Torus
gerade kompensiert wird. Damit wäre aber Ap auf
der Innenseite, von der .z-Achse aus gesehen, größer
als auf der Außenseite, anstatt rundherum überall
gleich zu sein. Nun läßt sich wieder ein Magnetfeld
der komplementären Symmetrie, also ein rein meridionales Magnetfeld und rein azimutales j a z überlagern, welches einen zusätzlichen Druck
(jaz) 2 ]
auf das Plasma ausüben kann. Dieses j a z wird also
hauptsächlich auf der Außenseite des Torus
(von
der z-Achse aus gesehen) fließen. Das von ihm erzeugte Magnetfeld 23n besitzt natürlich keineswegs
die verlangten Eigenschaften
an der
Plasmaober-
fläche, vielmehr muß jetzt ein äußeres meridionales
Magnetfeld 23m überlagert werden, derart, daß die
2. N ä h e r u n g s r e c h n u n g f ü r das M a g n e t f e l d
a) Im folgenden soll nun die Frage, welche Magnetfelder notwendig sind, um für einen Torus mit
axialer Symmetrie und kreisförmigen
die Stationaritätsbedingung
Querschnitt
(1) zu erfüllen, näher
untersucht werden. Dabei sei angenommen, daß an
der Oberfläche des Torus nur Oberflächenströme in
azimutaler Richtung fließen, und daß der Druck im
Torus überall der gleiche sei, während er außen verschwinden soll.
Zunächst sei ein Torus zugrunde gelegt, dessen
meridionaler Querschnittsdurchmesser 2 m klein gegenüber dem Abstand a von der
Symmetrieachse
zum Mittelpunkt des meridionalen Querschnitts sei.
In diesem Fall sollen die Magnetfelder durch eine
Näherungsrechnung bis zur zweiten Ordnung (m/a)
bestimmt werden. I m folgenden Abschnitt wird dann
noch die exakte Berechnung angegeben werden, ohne
daß m klein gegen a sein muß.
Da nur an der Oberfläche des Torus Ströme fließen sollen, gilt also neben
div 23 = 0
(5)
auch
rot 23 = 0
(6)
Normalkomponente von 23n + 23m a n der Oberfläche
verschwindet und daß die Tangentialkomponente
außerhalb des Torus bis auf Singularitäten, wo sich
von 23n + 23m die Randbedingungen Gin. (3)
darstellbar durch ein skalares Potential mit
und
(4) befriedigt. Als gemeinsamer Zug ergibt sich im
äußere Spulen befinden. Das Magnetfeld ist daher
23 = — grad 0 ,
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(7)
das wegen Gl. (5) der Potentialgleichung
R = (2 m + Am) sin
A<P = 0
genügen m u ß , wobei A der LAPLACE-Operator sei.
Dieses Potential sei n u n in zwei Anteile
<Pu zerlegt, wobei
flächenströme
sei, u n d
-a
(IIa)
(8)
durch die a z i m u t a l e n
i
und
n
, 1 /
n , 1 Am
1 /
^ ^ 2 ^ 2 + 2 - c o t g - a
(IIb)
und
Ober-
an der Oberfläche des T o r u s bestimmt
[Am
von A b b . 1 ist hier N u l l . )
& u so gewählt werden soll, d a ß die not-
wendigen R a n d b e d i n g u n g e n a u f der Oberfläche des
Torus erfüllt sind (s. Abschn. 1 ) .
W i e in Abschnitt 1 gezeigt w i r d , m u ß unter den
oben genannten
Voraussetzungen
die
ponente des Magnetfeldes a u f der
verschwinden,
während
die
Normalkom-
Torusoberfläche
Tangentialkomponente
dort konstant sein m u ß . D i e R a n d b e d i n g u n g e n
für
Abb. 1.
das magnetische Potential <P sind also
d<P/dn
= 0
und
3 <&ßt = c o n s t ,
(9)
wenn m i t 3 / 3 n bzw. 3 / 3 1 die A b l e i t u n g e n senkrecht
zur Oberfläche bzw. tangential zu ihr gemeint sind.
D i e tangentiale A b l e i t u n g liegt i m vorliegenden Fall
D a s Gesamtpotential eines m i t konstanten
azimuta-
len Oberflächenströmen belegten Torus ist d a n n gegeben durch
in der M e r i d i a n e b e n e .
(12)
2 jr r. J
b ) W i r gehen aus v o n dem magnetischen Potential
eines kreisförmigen Stromfadens. D a s Potential an
einem P u n k t e P ist p r o p o r t i o n a l d e m
Raumwinkel,
unter dem der Stromkreis von d e m P u n k t e P aus
erscheint, u n d w u r d e von MINCHIN
1
berechnet. D i e
exakte Darstellung des magnetischen Potentials ist
wobei / 0 eine Konstante
Winkeleinheit
angibt.
ist u n d
Die
Strom
pro
Normalkomponente
den
des
durch die azimutalen Ströme erzeugten Magnetfeldes
ist gegeben durch
durch elliptische Integrale gegeben. W i r beschränken
Ba = - 2 t t
uns hier a u f die nähere U m g e b u n g des Stromfadens,
ä
u3
{Am)
( 1 3 a)
<h
d. h. daß die A b s t ä n d e z u m S t r o m f a d e n klein gegen
die des R a d i u s des S t r o m f a d e n s sind. D a n n ist das
und
Potential eines solchen S t r o m f a d e n s
durch
c5<Z>F m i t
der
die K o m p o n e n t e parallel zur
Stromstärke 1 bis zur zweiten O r d n u n g korrekt ge-
Torusoberfläche
2 TT 3
;i3b)
geben durch
a
*
I n nullter N ä h e r u n g (d. h. unter Vernachlässigung
16 a2
• { ( 3 — 2 F ) R cos $ + 8 ( F — 1) m cos a } .
der K r ü m m u n g )
(10)
bekommt man
durch
Integration
unter Benutzung von Gl. ( 1 0 ) u n d Gl. ( I I b ) :
H i e r i n ist R der A b s t a n d zwischen dem A u f p u n k t P
ßp = —
7
«
(14 a)
Bn = 0 ,
und
(14 b)
u n d dem S t r o m f a d e n a m P u n k t e P ' a u f der Torusoberfläche, der W i n k e l # ist <£ P P ' D , der W i n k e l a
ist
PAO
( A b b . 1 ) , a der R a d i u s der Torusseele
d. h. unter Vernachlässigung der K r ü m m u n g
sind,
u n d F = l n 8 a / P . W e n n 2 m der Querschnittsdurch-
wie nicht anders zu erwarten, die R a n d b e d i n g u n g e n
messer des Torus, Am
Gl. (9)
der A b s t a n d v o n P von der
Torusoberfläche u n d a ' der W i n k e l , unter dem P P '
von der Torusseele aus erscheint, so ist R u n d &
G.
M . MINCHIN,
1
0t = 0 (?>
r +, /Fk
ml )
Phil. Mag. 36, 201 [1893].
mit Hilfe
von Gl. (11 a) u n d Gl. (11 b )
gegeben durch
1
erfüllt.
I n erster N ä h e r u n g ergibt sich f ü r
mit
2 TIC
&W = 2n(2
7i-2a)
( 1 5 a)
und
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2.1 c
2 m +Am
In 8 a
;c<£i"=
—
f sin 5 a cos
2 m + /lm
a
/ • 1
• I '
/ , \
/ In (sin G a ) sin G a cos a +
J
\
1
O)
In
=
cotg | a ' ) da'
t + g Am
8a
'
\ Am
a +
2 m
"/I
Die Ausführung der Integrationen liefert schließlich
C
A77
2 m
2 m + Am i / o
< \
• l '
/ . l ' , 1 4m
. i A , /
\n{2 m + Am) / sin g a cos a + g a +
cotg g a da
a
J
\
2 m
)
—
! n0<
1
a
sin a —
abhängt.
.
L
A J
'
cotg | A da .
}
Die Randbedingungen
Gl. (9)
r I \
(ID b)
/-I
sind
zu-
Arn 1
sin a .
n 9
nächst nicht erfüllt, da weder Bn = 0 noch Bp = const
(16)
rekt, daß durch Überlagerung eines homogenen Fel-
auf der Torusoberfläche ist. Aber man erkennt dides parallel zur Symmetrieachse von der Stärke
Damit bekommt man für das Magnetfeld auf der
4 71
Torusoberfläche
B P
~
4t
C
/0
1
1 (
1
TOI
2
4 71
c
ml
\
a \ 2
sieht
1
-V
die Randbedingungen erfüllt werden können. Das
Zusatzpotential ^ n ist also in erster Näherung
1 /1
u
— L*\ cos a | ( 1 7 a )
2a \ 2
- L * sina,
(17b)
< = 0
wobei L* = ln 8 a/m ist.
Man
1
2a \ 2
Bn =
und
I
und
also, daß die Berücksichtigung
*8> =
(18a)
(18b)
-
der
und ist das Potential eines zur Symmetrieachse par-
K r ü m m u n g in erster Ordnung einen Zusatzterm so-
allelen homogenen Magnetfeldes. I n zweiter Nähe-
wohl zur Normal- als auch zur Parallelkomponente
rung bekommt man durch entsprechende Integratio-
des Magnetfeldes liefert, der von sin a bzw. cos a
nen
c 0(2)
70 1
=
_
(m+Am)*
a2
( l n m + hAm
|
8a
1 ]
2 J
_ (m + Am)2
a2
1 (m + Am)Am
2
a2
.
3
(
}
1
wodurch sich für das Magnetfeld als Zusatzglieder für die zweite Näherung ergibt
Bf
=
h
™ ( 4 - ^ j cos 2 a
(20 a)
B?
und
Die Glieder zweiter Näherung hängen also von
sin 2 a bzw. cos 2 a ab und sind durch entsprechende
Anteil
= ^
™ ( i
_
L
sin 2 a
.
(20 b)
für den Innenraum zusammen. Wegen
der an der Oberfläche fließenden Ströme geht aber
nicht stetig in
Quadrupolfelder um die Seele des Torus zu kompen-
über, sondern, da ÜB diver-
sieren, so daß die Randbedingungen auch in zweiter
genzfrei ist, gilt dies nur für die Ableitungen
Näherung erfüllt werden können.
Richtung der Normalen, während die Ableitungen
in
in der Oberfläche senkrecht zum Strom verschieden
sind. Es gilt also auf der Oberfläche
3. E x a k t e B e r e c h n u n g des M a g n e t f e l d e s
(<2>ia-tf>ii)=0
a) I n diesem Abschnitt soll nun die exakte Berechnung des Magnetfeldes eines mit
kreisförmigem
Querschnitt
angegeben
on
konstanten,
azimutalen Oberflächenströmen belegten Torus mit
werden.
und
Es
at
wird also nicht vorausgesetzt, daß der Querschnittsdurchmesser klein gegenüber dem Abstand von der
Symmetrieachse
sei.
Das
durch
die
Oberflächen-
(21a)
c
(21b)
Es sei nun angenommen, daß sich das Potential des
Innenraumes
als reguläre Lösung der Potential-
ströme erzeugte Potential <P\ setzt sich aus einem
gleichung über die Oberfläche hinaus in ein Teil-
Anteil
gebiet G des Außenraumes fortsetzen läßt. Die Lö-
für den Außenraum des Torus und einem
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sung
0,
des durch
Gl. ( 9 )
problemes ist d a n n gegeben
jO
definierten
Randwert-
Querschnittsradius eines Torus, der durch die Koordinate rj beschrieben w i r d u n d dessen Seele einen
durch
A b s t a n d a von der Symmetrieachse hat. I n diesem
i m I n n e r e n des Torus
Fall ist u = m
l<Z>i a -<2>ii
denn nach Gl. ( 2 1 a )
rade die G i n . (9)
also,
daß
das
i n G ,
(Abschn. 2) u n d £ ist d a n n propor-
tional zu dem dort eingeführten W i n k e l
u n d Gl. ( 2 1 b )
sind d a n n ge-
auf der Oberfläche erfüllt, d. h.
Zusatzpotential
0\\, das
von
den
Das
Potential
Dipolbelegung
der
Fläche
£ = const t] < r/0 mit Dipolstärke 1 ist gegeben durch
n«
— 0\\ ge-
äußeren Strömen herrühren m u ß , durch
einer
a.
geben ist.
h
z.T
«
ö t n rj'
(Eof rj' —cos f
Acf '
3£' /?(P,P')
.
b ) H i e r soll das Potential 0\ m i t einer anderen
Methode als i n Abschnitt 2 berechnet werden, i n d e m
H i e r i n ist P ( P , P ) der A b s t a n d zwischen P u n d P\
m a n sich die v o m Strom eingeschlossene Fläche m i t
magnetischen
D i p o l e n belegt
denkt. D a s
Potential
b e k o m m t m a n d a n n durch entsprechende I n t e g r a t i o n
über diese Fläche
(s. hierzu BUCHHOLZ 2 ) .
ist es zweckmäßig, sogenannte
Hierfür
Toruskoordinaten
Stelle I ' .
der
Dichte
0\ des
azimutalen
/0 = m j * ,
bezogen
tegration über s ' mit dem Gewicht
(cp hat
a sin f
_
D a s Gesamtpotential
Oberflächenstromes
4 71 / 0 ( S i n >7o/c ((Sof tjo - cos £ ' ) .
in beiden Koordinatensystemen dieselbe B e d e u t u n g ) :
a Sin rj
Stromfadens
a u f die Winkeleinheit, ergibt sich daraus durch In-
>7, cp einzuführen. Sie sind m i t den Zylinderkoordinaten Q, z, cp> auf folgende W e i s e verknüpft
ist das Potential eines azimutalen
der Stärke 1 a u f der Torusoberfläche rj = ?/0 an der
(23)
D a z u k o m m t bei dem Potential 0\a des Außenrau-
D i e K u r v e n £ = const u n d rj = const sind Kreise mit
p u n k t P die mit D i p o l e n belegten Flächen £ = const
ihren Mittelpunkten auf der z-Achse bzw. der Aqua-
durchquert, wobei das Potential jeweils einen S p r u n g
torebene. u = 2 a e~ n ist f ü r kleine Werte v o n u der
u m die Dipolstärke erleidet. M a n erhält somit
Sof rj—cos f '
4 71Io
(Eoj rj — cos £
f j
®in>?o
4 71 J cof %-co.r
4 71 In
0U
4
J
d /
mes noch ein Term, der daher r ü h r t , d a ß der Auf-
'
f
J
Sin*/
eof^-cos'r
o t n rj0
4 7i J
3
a
si' Ä(P,P'>
w
r
6m r,
' J gofv-cosrsr
Gof rj0 — cos f
Z u r A u s w e r t u n g der Integrale benutzt m a n die E n t w i c k l u n g e n 2 '
o t n j/0
So|" rj0 —cos £
j
•_
f
J
d
©in Vo
cofv.-ooBr
a
d
Ä(P,F)
194a\
jt'
'
,
(
)
( 2 4 b)
3
+ 00
(25)
e-!*!*,
2
(26)
(®0f rj — cos f )
und
R{P,
P')
((Eof rj—cos £) (Ctof rj' —cos £')
11/2
I 2[Sof rj gof rj' — @in rj S i n rj' cos(<p — cp') — cos(f — £')]
-00
=
+00
L{((S:ofr?-cosf)(MV-cosr)}1/22
2
— 00 — 00
^n-y,^
0
!»
5
0 <rj'
2
H. B U C H H O L Z , Elektrisdie und magnetische Potentialfelder,
Springer-Verlag, Berlin 1951.
3
< V
(27)
A. E R D E L Y I , W. M A G N U S , F. O B E R H E T T I N G E R U. F. G. TRICO.VII,
Higher Transcendental Functions, McGraw-Hill Book
Company, Inc. 1953, Bd. 1, 3.
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sowie die folgenden Integrale
y
,
f Pi-Vt(&o\t]')
* , Ax.u(v, Vo) = /
•U+
A
Qx-M®0\>l)
I für
0<>/<//,
tf)
Stn>/
J
(28)
\
V)
J für
0 <?/<*/.
Diese ergeben sidi zu
Air(V,V*)—
Ql
~ lh
l^-v^eoi^-^-v^CSoj^+Sitn/o
W ^ o ) . ^ - *
(&>!%) j P._l/t(®0f
(29 a)
für t] < i/0 ,
AiAliVo) =
Y
l+@m»7o
'
I
,
,Ql-'/.(®ofVo)
(Gof
(29 b)
I
für i/>>/o- Für ( « = / sind die Grenzwerte dieser Ausdrücke einzusetzen.
Das Potential der Strombelegung ergibt sich damit zu
c
4 71'0
0
I a =
J
»7o
cos
= - V 2 lASofif-cosS y
i TT
^
d|' +
?
1 T
(30a>
j/(So{ rj — cos £
•'
— oo
— oo
( ^ [ ^ « ^ - . / . ( G o f ^ l + SiltVoe'-« y
d/.
~
Px-'/i(&oj i/) 1
m
für rj < >/o u n d
oo
0 I i =
/V
2
L jZ^ O f > / - c o s | —
oc
Q 71UIn
= -
für
oc
V2
l/fcjft-cosf
iTi
f
^
y
—'
m
> % • Aus diesen Darstellungen läßt sich di-
rekt ablesen, daß <Z>ia u n d
genügen u n d
und (21b)
der Potentialgleichung
daß die Sprungbedingungen
(21 a)
a
77—cos!
a
D i e Reihe für
' ^
1 <?;.-•/,(®of>/)
n
I
I Qx-m-y* > Vl-m-Vt ! »? = >>„ >
>/ = 0 . Aus dem asymptotischen Verhalten der Kugelfunktionen für große Werte des Index folgt nämlieh, daß die Terme der Reihe sich asymptotisch wie
verhalten. Die Reihe stellt also eine reguläre
Potentialfunktion dar, die n u r auf der Symmetrie-
Gof»/—cosf
—
11 + S i n % | ^
erfüllt sind. Die Komponenten des Ma-
gnetfeldes in Toruskoordinaten sind
—
(30b)
2
— oo
achse u n d i m Unendlichen Singularitäten hat. Nach
3F '
3<?I
den Ausführungen
B
V
=
0
.
g—»
[ ( 3 0
IST
daher
am A n f a n g
= —
dieses Abschnittes
das Zusatzpotential, das durch
äußere Ströme erzeugt werden m u ß .
b ) zweite Zeile] konver-
giert im ganzen R a u m außer auf der Symmetrieachse
W i r möchten
Herrn Dr. R.
KIPPENHAHN
Diskussionen danken.
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für zahlreiche