40 § 3 Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt a

40
§ 3 Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
a) Flächenumwandlungen
Wo liegt bei der folgenden Flächenverwandlung (vgl. Skizze) der Trugschluss? Einerseits
erhalten wir ein Quadrat der Kantenlänge a = 13 Längeneinheiten, also einen Flächeninhalt von 169 LE 2 , und andererseits ergibt sich ein Rechteck mit 8 · 21 = 168 LE 2 .
Berechnen wir im Rechteck die Winkel α und β, so ergibt sich
tan α =
5
13
tan β =
3
8
und
(α ≈ 21, 04◦ )
(β ≈ 20, 56◦ ) .
Im Rechteck ergibt sich also eine ”Überschneidung” in Form eines Parallelogramms von
1 LE 2 .
Warum haben wir die obigen Zahlen gerade so gewählt? Die Zahlen 3, 5, 8 und 13 sind 4
aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Zahlenfolge8 , die rekursiv definiert ist durch
f0 = 0, f1 = 1 und fk+1 = fk + fk−1
für k ≥ 1 .
Wählen wir nun ein Quadrat der Kantenlänge fk−1 + fk = fk+1 , zerlegen es genauso wie
oben und setzen es zu einem Rechteck zusammen, so erhalten wir:
8
Leonardo von Pisa hat in seinem Buch ”Liber Abaci” die folgende ”Kaninchenaufgabe” gestellt:
Jemand brachte ein Kaninchenpaar in einen gewissen, allseits von Wänden umgebenen Ort, um herauszufinden, wieviel [Paare] aus diesem Paar in einem Jahr entstehen würden. Es sei die Natur der Kaninchen,
pro Monat ein neues Paar hervorzubringen und im zweiten Monat nach der Geburt [erstmals] zu gebären.
[Todesfälle jedoch mögen nicht auftreten.] Monat für Monat ergeben sich dann folgende Anzahlen von
Kaninchenpaaren: 1 (das Urpaar), 1 (immer noch das Urpaar), 2 (das Urpaar und das erste Nachwuchspaar), 3 (das Urpaar, das erste und das zweite Nachwuchspaar), 5 (3 Paare und 2 Nachwuchspaare (vom
Urpaar und vom ersten Nachwuchspaar)) usw.
41
2
also einerseits für den Flächeninhalt des Quadrates fk+1
und für den des Rechtecks fk ·fk+2 .
Wie berechnet sich die Differenz dieser beiden Terme? Es gilt der folgende Satz, der
Thomas Simpson9 zugeschrieben wird.
Satz
Für k ≥ 1 ist
2
fk+1
− fk · fk+2 = (−1)k .
Beweis: Ist k = 1, so ist f1 = 1, f2 = 1 und f3 = 2, also
f22 − f1 · f3 = 1 − 2 = −1 = (−1)1 .
Ist k = 2, so ist f2 = 1, f3 = 2 und f4 = 3, also
f32 − f2 · f4 = 4 − 3 = 1 = (−1)2 .
Wir nehmen nun an, wir hätten die Behauptung schon für ein beliebiges k ≥ 2 bewiesen,
etwa für k = 2; wir zeigen dann, dass die Behauptung auch für k + 1 gilt. Wir benutzen
die sog. Rekursionsformel für die Fibonacci-Zahlen
2
fk+2
− fk+1 fk+3 = (fk+1 + fk )2 − fk+1 (fk+2 + fk+1 )
2
= fk2 + 2fk fk+1 + fk+1
− fk+1 (2fk+1 + fk )
2
2
= fk2 + fk fk+1 − fk+1
= fk (fk + fk+1 ) − fk+1
2
= fk fk+2 − fk+1
= −(−1)k = (−1)k+1 .
9
Thomas Simpson wurde am 20.8.1710 in Market-Bosworth (Leicestershire) geboren. Er wurde
zunächst Weber und kam erst später durch Selbststudium zur Mathematik. Nach einer Tätugkeit als
Schulmeister und als Privatlehrer wurde er 1743 Professor für Mathematik an der Militärakademie in
Woolwich bei London. Simpson starb am 14.5.1761 in Market-Bosworth
42
Für die zugehörigen Winkel ergibt sich
tan α =
fk−1
fk+1
und
tan β =
fk−2
.
fk
fk−2
Anschaulich argumentiert müsste für k → ∞ die Folge der Quotienten
konfk k≥2
vergieren. Um dies zu beweisen, gehen wir von einer expliziten Darstellung der FibonacciFolge aus. Die folgende Aussage wird Jacques Philippe Marie Binet10 zugeschrieben, soll
aber schon Daniel Bernoulli11 bekannt gewesen sein.
Satz
Für k ≥ 0 ist
√ !k
1  1+ 5
−
fk = √
2
5

Beweis: Mit

√ !k
1− 5 
.
2
1 √
1 √
τ = ( 5 + 1) und ρ = ( 5 − 1)
2
2
lautet die Behauptung
1 k
k
fk = √ τ − (−ρ) .
5
Wir überlegen uns zunächst, dass die Behauptung für k = 0 und k = 1 zutrifft. Dann
zeigen wir, dass die Behauptung auch für k = 2, allgemein, dass sie unter der Annahme,
sie sei schon für k bewiesen, auch für k + 1 gilt. Dabei verwenden wir die Beziehung
τ 2 = τ + 1 und (−ρ)2 = 1 − ρ ,
aus der
τ n+2 = τ n+1 + τ n
10
und
(−ρ)n+2 = (−ρ)n + (−ρ)n+1
Jacques Philippe Marie Binet wurde am 2.2.1786 in Rennes geboren. Er kam 1804 an die Pariser
Ecole Poytechnique, wo er vom Lehrer bis zum Professor für Mechanik aufstieg. 1823 wurde er Professor
für Astronomie. Binet starb am 12.5.1856 in Paris.
11
Daniel Bernoulli wurde am 8.2.1700 in Groningen (Niederland) geboren. Er brach zweimal die von
seinem Vater gewünschte Ausbildung zum Kaufmann ab und durfte erst dann studieren; nachdem er in
Basel die Artistenfakultät durchlaufen hatte, studierte er 1718/19 in Heidelberg und 1719/20 in Straßburg
Medizin und schloss 1721 in Basel das Studium mit der Doktorarbeit ”De Respiratione” erfolgreich
ab. 1723 ging er nach Padua, musste aber seine Karriere als Mediziner aus gesundheitlichen Gründen
1724 aufgeben. 1725 wurde er gemeisam mit seinem Bruder Niklaus II an die Petersburger Universität
berufen, an der er zunächst eine Professur in Physiologie und bald in Mathematik erhielt; 1733 nahm er
eine Professur für Anatomie und Botanik in Basel an; 1750 erhielt er dort einen Lehrstuhl für Physik;
Bernoulli starb am 17.3.1782 in Basel.
43
folgt. Dann ergibt sich:
fk+1 = fk + fk−1
1
1
= √ τ k − (−ρ)k + √ τ k−1 − (−ρ)k−1
5
5
1
= √ τ k + τ k−1 − ((−ρ)k + (−ρ)k−1 )
5
1
= √ τ k+1 − (−ρ)k+1 .
5
Wir betrachten nun die Quotienten
k+1
k+1
fk+1
τ
− (−ρ)
=
k
fk
τ − (−ρ)k
mit
Damit folgt
k τ k τ + ρ − τρ
=
k τ k 1 − − τρ
2
ρ √5 − 1
2
1 √
25
1 9
= ( 5 − 1) <
−1 =
<1.
= √
τ
4
4 4
64
5+1
√
fk+1
1
= τ = (1 + 5) = 1.6180 . . . ,
k→∞ fk
2
lim
also
fk−1
fk−1 fk
1
1
= lim
·
= 2 =
.
k→∞ fk+1
k→∞ fk
fk+1
τ
1+τ
lim
Daraus folgt
arctan
1
≈ 20.905187◦ .
1+τ
Es ergibt sich die Frage, wie die Seite a eines Quadrates in zwei Teile a1 und a2 aufgeteilt
werden kann, damit bei der Verwandlung in ein Rechteck in der oben beschriebenen Art
und Weise (vgl. nachfolgende Skizze) der Flächeninhalt erhalten bleibt.
44
Machen wir den Ansatz a1 = σa2 , so ergibt sich einerseits
a2 = (a1 + a2 )2 = (σ + 1)2 a22
und andererseits
a1 (2a1 + a2 ) = σa2 (2σ + 1)a2 = (2σ 2 + σ)a22 .
Die Forderung
a2 = a1 (2a1 + a2 )
liefert
σ 2 + 2σ + 1 = 2σ 2 + σ ,
was die beiden Lösungen
√
1
σ1,2 = (1 ± 5)
2
ergibt. Da nur positives σ in Frage kommt, erhalten wir als Lösung:
√
1
σ = (1 + 5) = τ .
2
Was bedeutet diese Lösung geometrisch?
Die Seite a = a1 + a2 = σa2 + a2 = (σ + 1)a2 verhält sich zu a1 = σa2 wie
(σ + 1)a2
1
=1+ ;
σa2
σ
die (grössere) Seite a1 = σa2 verhält sich zu a2 wie σ. Nun ist aber
1+
√
√
1
1
1
1
= 1 + = 1 − (1 − 5) = (1 + 5) = τ = σ .
σ
τ
2
2
Um sich eine Vorstellung von den Zahlen τ und ρ zu machen, geben wir die Dezimalentwicklung an. Es ist
τ ≈ 1, 61803
und
√
1
2
2( 5 − 1)
1 √
1
√
= 1 √
=√
= √
=
5 − 1 = ρ ≈ 0, 61803 .
τ
2
( 5 + 1)
5+1
( 5 + 1)( 5 − 1)
2
b) Der goldene Schnitt
Definition
Wir sagen, eine Strecke der Länge l wird im Verhältnis des Goldenen Schnitt bzw. harmonisch geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke a und b mit a > b zueinander verhalten
wie das längere Teilstück a zur ganzen Strecke l, d.h.
l−a
b
a
a
= = =
.
a
a
l
a+b
Hieraus ergibt sich bei festem l die quadratische Gleichung
a2 + l · a − l 2 = 0
45
für a mit den Lösungen
√
l
5
l.
a1/2 = − ±
2
2
Da nur eine positive Lösung in Frage kommt, lautet die Lösung unserer Aufgabe
1 √
a1 =
5−1 ·l .
2
Ein Rechteck heißt ein Goldenes Rechteck, wenn die kürzere Seite zur längeren Seite im
Verhältnis ρ steht.
Wir finden die harmonische Teilung in vielen klassischen Bauwerken, obwohl wir nicht wissen, ob diese ”Aufteilung” bewusst gewählt wurde. Ein schönes Beispiel ist der Parthenon
auf der Akropolis in Athen. Erbaut wurde der Marmortempel in der Zeit zwischen 447
und 432 v. Chr. unter Perikles von den Architekten Iktinos und Kallikrates über einem
unvollendeten Vorgängerbau. Dort steht die Breite des Gebäudes zur Höhe im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Weiter steht die Höhe des Tempels zur Höhe der Säulen im
harmonischen Verhältnis.
Wir gehen auf die kleineren Flächenstücke im obigen Bild ein. Von dem goldenen Rechteck
b
mit den Kantenlängen a und b, die im Verhältnis = ρ stehen, ist (links) ein Quadrat
a
mit der Kantenlänge b abgetrennt worden; übrig bleibt rechts ein Rechteck mit den Seiten
b − a und b. Wie verhalten sich diese Kantenlängen zueinander? Es ist
a−b
a − ρa
1−ρ
=
=
= ρ.
b
ρa
ρ
46
Also ist rechts wieder ein goldenes Rechteck entstanden mit den Seiten
a − b = (1 − ρ) · a = ρ2 · a und b = ρ · a .
Von diesem können wir wieder ein Quadrat abtrennen und übrig bleibt ein goldenes
Rechteck mit den Seiten ρ2 · a und ρ3 · a. Dieses Verfahren setzen wir so weiter fort. Die
urprüngliche Rechteckfläche können wir durch Quadrate ausschöpfen. Es ist also
a · b = (ρa)2 + (ρ2 a)2 + (ρ3 a)2 + . . . = (ρ2 + ρ4 + ρ6 + . . .) · a2 .
Wegen a · b = ρ · a2 erhalten wir hieraus die Beziehung
ρ = ρ2 + ρ4 + ρ6 + . . .
Schlagen wir nun jeweils in den Quadraten um die Eckpunkte Viertelkreise, so entsteht
ein Gebilde, das der sog. logarithmischen Spirale sehr ähnlich sieht. Man nennt das entstehende Gebilde eine Goldene Spirale. Im nachfolgenden Bild ist das noch einmal genauer
zu sehen.
Diese Spiralen finden sich in der Natur wieder, z.B. bei der nachfolgenden NautilusSchnecke.
Die beiden letzten Fotos und auch das nachfolgende Foto sind eigene Aufnahmen von Ausstellungsobjekten aus der Sonderausstellung ”Zahlen, bitte!” im Heinz Nixdorff Museums
Forum in Paderborn anlässlich des Jahres der Mathematik.
47
Beispiel
Zur Illustration der Fibonacci-Zahlen wird häufig das Modell der Kaninchen-Vermehrung
herangezogen, was aber nicht der Realität entspricht. Wir wollen zur Illustration den
Stammbaum einer Drohne in einem Bienenvolk betrachten. Dazu folgende Erläuterungen: Ein Bienenvolk besteht aus einer Königin, Arbeitsbienen und Drohnen. Die Königin
ist das einzige geschlechtreife Weibchen des ganzen Volkes. Ihre Lebensaufgabe besteht
darin, nach der Paarung für die Produktion von Nachkommen zu sorgen. Die Königin legt
befruchtete und unbefruchtete Eier ab. Aus den nicht befruchteten Eiern entwickeln sich
Drohnen, aus den befruchteten Eiern in Abhängigkeit von der Fütterung mit bestimmten Säften Arbeiterinnen oder Königinnen. Die Geschlechtspartner der Königin sind die
Drohnen; ihre einzige Lebensaufgabe ist, die Königin beim Hochzeitsflug zu begatten. Anschließend werden sie von den Arbeiterinnen nicht mehr in den Stock gelassen und auch
nicht mehr mit Futter versorgt, so dass sie nach kurzer Zeit verenden.
Nun wenden wir uns dem Stammbaum einer Drohne zu: Vorfahre einer Drohne ist alleine
eine Königin, Vorfahren einer Arbeiterin bzw. Königin sind dagegen eine Königin und
eine Drohne; wir erhalten folgendes Schema
mmbaum einer Drohne
mmbaum einer Drohne
I E56)ben
Dnl.
ben
I E56)
Dnl.
r die
(- p). W
r nd
die
Dcr Stammbaum einer Drohne liefert eine lllustration dieser Fiine
en-Ei e
efruch
t e t e n B i e n dieser
m u n b eine
a a uDrohne
s e i n e liefert
cci-Folge. D
Filllustration
einer
Stammbaum
Dcr a
Areine
oder
Königin
Ei
eine
befruchteten
aus
einem
Drohne,
e
a c c i - F o l g e . D a a u s e i n e m u n b e f r u c h t e t e n B i e n e n - E i e i nhat
(letzteres hängt von der Ernährung ab)'
lcirsbiene
ausentsteht
einem befruchteten Ei eine Königin oder eine ArDrohne,
eine Königin
Elternteil,
mütterliches
nc Drohne nur ein
hat
ab)' dage(letzteres
hängt von
der Ernährung
lcirsbiene entsteht
(Abb. 81).
Eltern
po
zwei
nc Drohne nur ein mütterliches Elternteil, eine Königin dagepo zwei Eltern (Abb. 81).
nd (- p). W
Potenzen
In Quotie
Potenzen
a Stellen
l t e n w i wir
I nc r h
Quotie
crhalten wi
IId
d
I
\ /
\ /
I
d
d
I
Vorfahren einer Drohne und einer BienenkÖnigin
Abb. 8l
den Stammbaum
einer Drohne
auf, soundergibt
folgendes Muster
BienenkÖnigin
einer sich
Vorfahren
einer Drohne
Abb. 8l
renten zwelcr
er d e n .
i crt w
renten
zwelcr
i crt
g
g
I
48
w er d e n .
irirT
\ / l \ /iiT
iiirT
iiT
irirT
\ / l \ /iiT
iiirT
iiT
ii iiTT \\ii
ii iiTT iiii
\\ ii TT
\\ ii TT
g dg g ct
g dg g ct
9 d
9 \ /d
\ /g
g
g
g
\
\
\ /
\ /
d
d
/
g
g|
|d
d
g
g
I
II
I
6
6
/
\ , /
\ , /
\
\
/
/
6
6
I
I
Idd
I
I
II
Abb. 82
I66
Stammbaum einer Drohne
Stammbaum einer Drohne
Abb. 82
Betrachten wir die Anzahl der Vorfahren in der n-ten Elterngeneration, so erhalten wir
dort an Weibchen und bn Drohnen. Es ist
a1 = 0,
a2 = 1,
an = an−1 + bn−1
und
b1 = 1,
b2 = 0,
bn = an−1 .
Daraus ergibt sich die Rekursionsformel
an = an−1 + an−2 ,
also die Folge
(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
und
bn+1 = an = an−1 + bn−1 = bn + bn−1 ,
also die Folge
sich s1 = 1,
(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, . . .) . Für die Gesamtanzahl
s2 = 1 und
s n = an + b n
sn+2 = an+2 + bn+2 = (an+1 + an ) + (bn+1 + bn ) = sn+1 + sn ,
d.h. die Fibonacci-Folge. Wegen
sn+1
= τ ≈ 1.618
n→∞ sn
lim
ergibt
Konstr
49
cnrctzcn nun in der Abb
ist für grosse n die Anzahl der Weibchen in der (n + 1)-ten Elterngeneration ungefähr das
f,lhcte der Länge b =
1, 6-fache der Anzahl der Weibchen aus der n-ten Generation.
- BDI = n, da der Kre
Für den Anteil der
Weibchen an der Gesamtzahl erhalten wir damit
B hat bezüglich dieses
Goldene
Geometrie
an
sn−1
1
= lim
= ≈ 0.618
n→∞ sn des
n→∞Goldenen
sn
τ Schnittes
Konstruktionen
lim
BEI Kchrwerte voneina
Längen, welche
lrci
uo cine natürlich Zah
arstellung diesclbe
Da jeder Ast des obigen Stammbaums eine Kopie des ganzen Baumes ist (wenn wir uns
Die klassische Konstruktion
die Generationen bis in unendliche Vergangenheit fortgesetzt denken), erhalten wir einWarum ergeben s
15 dic Potenzen des G
sog. Stammbaum-Fraktal.
Die Abbildung 24 zeigt die bekannteste Konstruktion des Gol
denen Schnittes: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit d
= I undρ6 und
= | wird
Wie konstruiert man
dieaZahlen
τ ? Wir
von dem
einem
rechtwinkligen
Dreieck
Katheten
ein gehen
Kreis mit
Zentrum
A
1
Radius b a== 1gezeichnet;
4(ABC) mit dendem
Katheten
und b = dieser
aus. schneidet die Geradc AB im
|
2
innem Schnittpunkt D und im äussern Schnittpunkt E.
Abb. 25
I
Abb. 24
c
r des Goldenen
√
Konstruktion
Schnittes
Poten
srruktion mit Wink
5
5
=
. Verlängern wir die Hypothenuse
Abbildung 26 zeigt e
4
2
Goldenen Schnitt: Wi
1
ABC mit den Kathet
und schlagen um den Eckpunkt A einen Kreis vom Radius , so erhalten wir
Winkelhalbierende
rc
2
der Kathe
Trägergerade
√
√
A*
5 1
5 1
SchnittPunkt
lusscrn
b
|BD| =
− = ρ und |BE| =
+ =τ .
2
2
2
2
Dann hat die Hypothenuse
die Länge c =
Dann ist
r B=D^lt r. l = Y = r ,
=^tr * l=*, =..
rBEl
c) Das regelmäßige Fünfeck (Pentagon)
Wir wollen uns nun mit geometrischen Objekten beschäftigen, in denen die goldene
Schnittzahl ”versteckt” ist. Dazu betrachten wir zunächst das regelmäßige Fünfeck (vgl.
nachfolgende Skizze). Wir denken uns das Fünfeck aufgeteilt in 3 Dreiecke, die links bzw.
rechts von dem in der Mitte liegenden Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C liegen. In
jedem der Dreiecke beträgt die Winkelsumme 180◦ , so dass die Summe der Außenwinkel
im Fünfeck 540◦ ist. An jeder Ecke beträgt der Winkel also 108◦ . Die 3 Dreiecke sind
gleichschenklig, so dass jeweils die Basiswinkel übereinstimmen. Im rechts bzw. links liegenden Dreieck (mit der Basisseite AC bzw. der Basisseite BC) erhalten wir so für jeden
Basiswinkel (180◦ - 108◦ ) : 2 = 36◦ . Damit ist der Winkel im Dreieck 4(ABC) an der
Spitze C ebenfalls 36◦ , und für den Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck 4(ABC)
erhalten wir 72◦ . Zeichnen sir noch die anderen ”Diagonalen” im Fünfeck ein, so erhalten
wir die angegebenen Winkel.
48
50
Nun betrachten wir die beiden Dreiecke !(ABC) und !(ABD); sie sind ähnlich, also
Nun betrachten wir die beiden Dreiekce 4(ABC) und 4(ABD); sie sind ähnlich, also
gilt für die Seitenlängen in diesen beiden Dreiecken:
gilt für die Seitenlängen in diesen beiden Dreiecken:
|AC|
|AB|
|AC| = |AB| .
|AB| = |AD| .
|AB|
|AD|
Nun ist aber |AB| = |BD| = |DC|, d.h. es gilt
Nun ist aber |AB| = |BD| = |DC|, d.h. es gilt
|AC|
|DC|
|AC| = |DC| .
|DC| = |AD| .
|DC|
|AD|
Also
Also wird
wird |AC|
|AC| durch
durch den
den Punkt
Punkt D
D harmonisch
harmonisch geteilt.
geteilt. Im
Im Dreieck
Dreieck 4(ABC)
!(ABC) ist
ist das
das
Verhältnis
von
|AC|
zu
|AB|
gerade
τ
und
im
Dreieck
4(BCD)
ist
das
Verhältnis
von
Verhältnis von |AC| zu |AB| gerade τ und im Dreieck !(BCD) ist das Verhältnis von
|BC|
ebenfalls ττ.. Dieses
Dieses Dreieck
Dreieck ist
ist aber
aber kongruent
kongruent zu
|BC| zu
zu |CD|
CD| ebenfalls
zu den
den beiden
beiden außenliegenden
außenliegenden
Dreiecken.
Man
sagt:
Dreiecken. Man sagt
9uo I
Definition
Ein gleichschenkliges
gleichschenkliges Dreieck
Dreieck mit
mit dem
dem Basiswinkel
Basiswinkel α
α=
= 36
36◦◦ heißt
heißt ein
ein stumpfes
stumpfes goldenes
goldenes
Ein
◦
Dreieck;
ein
gleichschenkliges
Dreieck
mit
dem
Basiswinkel
α
=
72
◦ heißt ein spitzes
Dreieck, ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Basiswinkel α = 72 heißt ein spitzes
goldenes Dreieck.
Dreieck.
goldenes
Wir haben das regelmäßige Fünfeck zerlegt in 3 goldene Dreiecke, und zwar in ein spitzes
Wir haben das regelmäßige Fünfeck zerlegt in 3 goldende Dreiecke, und zwar in ein spitzes
und zwei stumpfe goldene Dreiecke. Lässt man die Verbindungslinie der Eckpunkte, d.h.
und zwei stumpfe goldene Dreiecke. Lässt man die Verbindungslinie der Eckpunkte, d.h.
uuzrEolalle:ed
4951
slcererq ueueplog ua;durnls sap Euntelra2
Z9
'qqv
.d rq
eule lcalarpsEuuEsny
-IBJsrteIqcIluqv utäp rlul
rle{qctluqv
ul
urap pun Icolarplseu tuep ueqcsLl\z lqelseq uollPJ uepleq
'l3A) rutuertolallure
sasstp lsl uupld 'ur
-eller?d seuto ualIeS
die
dieSeiten
Seitendes
desFünfecks
Fünfecksweg,
weg,sosoerhalten
erhaltenwir
wirein
einPentagramm.
Pentagramm.Betrachten
Betrachtendas
dasdurch
durchdie
die
”Diagonalen”
”Diagonalen”imimFünfeck
Fünfeckinnen
innenentstehende
entstehendeFünfeck,
Fünfeck,sosokann
kannman
mansich
sichüberlegen,
überlegen,dass
dass
dies
dieswieder
wiederein
einregelmäßiges
regelmäßigesFünfeck
Fünfeckist.
ist.
'(!e'qqv) elcarar( euäploD a3durnls pu
ezlrds JUU ef Pun {toJu!!C sotgssgurlotal sereulall ule ul sü
-elp uellaualun selJoJullJ ue8rssgulator seure ualeuoEutg älO
ualEuotBlo ltu
tunllelrelun
[9
'qqv
slrolerq
Aus den obigen Überlegungen ergibt sich eine Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks
Aus den obigen Überlegungen ergibt sich eine Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks
alleine mit Zirkel und Lineal, d.h. wir müssen nicht mit einer Seite des Fünfecks beginnen
alleine mit Zirkel und Lineal, d.h. wir müssen nicht mit einer Seite des Fünfecks beginnen
und dann mit dem Winkelmesser einen Winkel von 108◦ ◦an jedem Eckpunkt antragen.
und dann mit dem Winkelmesser einen Winkel von 108 an jedem Eckpunkt antragen.
u a q a l s l u e e ä 3 e l o J ( e u a p l o D p u n IcoJu!-ld saEtssgrulaEer ult
ss?p 'uelleuelun os turuapeli|\ qcls uasssl elcelaro uaueploD clo
'(lg 'qqvl
ueu
'o9
'qqv)
äcäror6 eue
Z!
-sl (99 'g) lcagugg