Grundzüge von Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 1

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Grundzüge von Algorithmen und
Datenstrukturen
Vorlesung 1
Raimund Seidel und Stefanie Wuhrer
Sortierproblem
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Sortierproblem
Informationen zur Vorlesung
Assistenten: Lázló Korma, Lavinia Dinu
Website: http://www-tcs.cs.uni-saarland.de/course/58/
Informationen zur Benotung sind auf Website zu finden
Wichtig: Registrieren und Übungsgruppenpräferenz
angeben
Literatur:
Cormen, Leiserson, Rivest, Stein: Algorithmen - Eine
Einführung, Olderbourg, 2010
Mehlhorn, Sanders: Algorithms and Data Structures - The
Basic Toolbox, Springer, 2008
Jedes andere Buch mit ”Entwurf und Analyse von
Algorithmen” im Titel
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Sortierproblem
Algorithmen - Programme
Beispiel: finde die größte Zahl in einer Menge S von
Zahlen
Verschiedene Abstraktionsebenen anhand des Beispiels
besprochen
Wir verwenden: explizite Darstellung von S
Wir möchten unrealistische Programme vermeiden
(Beispiel: Erzeugen großer Zahlen als Zwischenergebnis)
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Maschinenmodell
Grundeinheiten (Zellen) speichern Werte
Operationen (+, −, ∗, /, . . .) brauchen konstante Zeit
Auf Zellen kann in konstanter Zeit zugegriffen werden
Es können Folgen von Zellen betrachtet werden (Felder)
Zugriff auf Element eines Felds in konstanter Zeit
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Laufzeit
TA (S) = Laufzeit des Algorithmus A bei Eingabe S
Für die Laufzeitanalyse eines Algorithmus A betrachten wir
Klassen von Eingabedaten S derselben Größe |S|
Mögliche Analysen:
Best-case Analyse: min TA (S) |S|
=n Worst-case Analyse: max TA (S) |S| = n
– Interessant
Durchschnittliche Analyse anhand einer Verteilung der
Eingabedaten mit |S| = n
– Interessant, setzt Wissen über Verteilung voraus
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Sortierproblem
Sortierproblem
S ist eine Menge von n Zahlen (gespeichert in einem Feld)
Ziel: bringe die Zahlen in aufsteigende Reihenfolge
Die folgenden drei Algorithmen wurden besprochen
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Selection Sort
Grundidee:
Finde größtes Element
Tausche es an die letzte Stelle des Feldes
Sortiere den Rest
Laufzeit (mit in der Vorlesung berechneten Konstanten Ci ):
Worst Case: C1 n(n + 1) + C2 n
Best Case: C3 n(n + 1) + C4 n
⇒ Selbst für sortiertes Feld braucht der Algorithmus lange
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Insertion Sort
Grundidee:
Nimm an A[0 . . . i − 1] ist sortiert
Füge A[i] in die Sortierung ein
Wiederhole
Laufzeit (mit in der Vorlesung berechneten Konstanten Ci ):
Worst Case: C1 n(n − 1) + C2 (n − 1)
Best Case: C3 (n − 1)
⇒ Großer Unterschied zwischen Worst Case und Best Case
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Merge Sort
Grundidee:
Teile S in zwei gleich große Teile S 0 und S 00
Sortiere S 0 und S 00
Verschmelze (merge) die Teile
Laufzeit:
Zeit für Verschmelzung zweier Felder der Größe n:
cn mit in der Vorlesung berechneter Konstante c
Laufzeit insgesamt:
cn + 2c n2 + 4c n4 + . . . + 2log2 n c 2logn2 n = cn log2 n
cn
2c n2
2log2 nc logn2 n
2