Informatik II: Datenstrukturen und Algorithmen

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Informatik II: Datenstrukturen und Algorithmen
Herbert Kuchen
V4 + Ü2, WWU Münster, SS 2008
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Gliederung
1. Einführung
2. Felder (Arrays)
2.1 Suchen
2.2 Sortieren
3. Dynamische Datenstrukturen
3.1 Lineare Liste
3.2 Baumstrukturen
4. Hashverfahren
5. Mustererkennung
6. Graphen
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Literatur
• Th. Ottmann, P. Widmayer: Algorithmen und Datenstrukturen, Spektrum Akad.
Verlag, 2002
• R. Sedgewick: Algorithmen, Pearson, 2002
• R. Sedgewick: Algorithmen in Java, Addison Wesley, 2003
• T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest: Algorithmen – Eine Einführung, Pearson,
2007
• D. E. Knuth: The Art of Computer Programming, Bd. 3: Sorting and Searching,
Addison Wesley, 1998 (bzw. 1973)
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1. Einführung
zur Lösung eines Problems:
• geeignete Datenstruktur
• hierauf zugeschnittene Algorithmen (sprachunabhängige Rechenverfahren)
• Implementierung in Programmiersprache
Eigenschaften eines Algorithmus
• Korrektheit (→ Beweis)
• Effizienz bzgl. Zeit- und Platzbedarf
häufiger Tradeoff
• einfacher Algorithmus: schnelle Entwicklung, größere Laufzeit
• ausgefeilter Algorithmus: längere Entwicklungszeit, kürzere Laufzeit
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Aufwand (Komplexität)
• gemessen in Abh. von Größe der Eingabe“
”
• im besten Fall (best case)
• im schlechtesten Fall (worst case)
• im Mittel (average case)
• meist interessiert nur der größenordnungsmäßige (asymptotische) Aufwand“
”
Vernachlässigung konstanter Faktoren
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Notationen
O(f )
= {g : IN → IN | ∃c1 > 0 ∃c2 > 0 ∀n ∈ IN g(n) ≤ c1 · f (n) + c2}
bzw.
= {g : IN → IN | ∃c1 > 0 ∃n0 > 0 ∀n > n0 g(n) ≤ c1 · f (n)}
Ω(f )
= {g : IN → IN | ∃c > 0 ∃n0 > 0 ∀n > n0 g(n) ≥ c ∗ f (n)}
Θ(f )
= O(f ) ∩ Ω(f )
Sprechweisen:
t(n) ∈ O(f ) : t(n) höchstens von der Größenordnung f
t(n) ∈ Ω(f ) :
...
t(n) ∈ Θ(f ) : . . .
mindestens . . .
genau . . .
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Beispiel: Suche in Array
public <T extends Comparable<T>> int search(T x, T[] a){
int i=0;
while (i<a.length && x.compareTo(a[i]) !=0) i++;
if (i<a.length) return i;
else return -1;}
• Größe der Eingabe: n := a.length
• Anzahl der elementaren Rechenschritte“ (Vergleich, arithm. Operation, . . . )
”
? im besten Fall: tB (n) = 5 (wenn x.compareTo(a[0]) ==0; für n > 0)
also: tB (n) ∈ O(1)
? im schlechtesten Fall: tW (n) = 4 ∗ n + 4
(wenn x nicht gefunden; beachte: && nicht strikt!)
also: tW (n) ∈ O(n)
(→ Induktion über n)
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Aufwand im Mittel
• bei Gleichverteilung, wenn gefunden, n > 0
tA(n) =
n−1
P
i=0
=
=
1
n
1
n
∗ (4
∗ (4 ∗ i + 5)
n−1
P
i=0
1 4n(n−1)
n(
2
i+
i=0
+ 5n)
= 2(n − 1) + 5
= 2n + 3
also: tA(n) ∈ O(n) (bzw. Θ(n))
n−1
P
5)
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Wichtige Komplexitätsklassen
2
3
n
√
n log2 n n · log2 n
n
n
2
n
16
4
64
256
4096
65536
4
64
6
384
4096 262144 1.8 · 1019
8
1024
10
10240 ≈ 106
≈ 109 10300
32
106 ≈ 20 ≈ 2 · 107 ≈ 1012 ≈ 1018 10300 ≈ 103
heute schnellste Rechner: 1 TeraFlops
= 1012 Gleitkomma-Operationen/Sekunde
→ 1018 Operationen erfordern 12 Tage
1.8 ∗ 1019 Operationen erfordern > 200 Tage
daher:
• polynomielle Algorithmen (t(n) ∈ O(nc) für c ∈ IN)
gelten als (ggfs.) praxisrelevant (meist c ≤ 3)
• exponentielle Algorithmen (t(n) ∈ O(cn) für c> 1) gelten als praxisuntauglich