Ubungsblatt 1

Übungen Analysis (Mathematik 2 für Informatiker)
Wintersemester 2017
http://www.risc.jku.at/education/courses/ws2017/analysis/
Übungsblatt 1
Besprechung am 12.10.2017
Aufgabe 1 Zeigen Sie mit Hilfe des Induktionsprinzips1 die folgenden Aussagen:
n
X
a) ∀n ∈ 0 :
2k = 2n+1 − 1.
N
b)
∀n ∈
N0 :
k=0
n
X
(2k)3 = 2 n2 (n + 1)2 .
k=0
Aufgabe 2 Zeigen Sie mit Hilfe des Induktionsprinzips:
Für alle a ∈ und n ∈ ist an+1 + (a + 1)2n−1 durch a2 + a + 1 teilbar.
R
N
R
Aufgabe 3 Sei x ∈ \{0} and n ∈
üblichen Potenzrechenregeln:
a)
b)
c)
N0. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mittels der
6−2
3−3
(2x)n · x2n
(x2 )n · x−n
d)
(2x)4
(4x)2 · x
e)
(x−n · (5x)−1 )−3 · x−1
(xn+1 )2 · xn
Aufgabe 4 Sei (K, +, ·) ein Körper. Beweisen Sie die folgenden Aussagen nur unter Verwendung
der Körperaxiome aus dem Skriptum. Wenden Sie hierfür pro Schritt jeweils nur ein Axiom an.
a) 0 ist eindeutig bestimmt, d. h. für alle 01 , 02 ∈ K gilt:
(∀a ∈ K : a + 01 = a ∧ a + 02 = a) ⇒ 01 = 02 .
Zeigen Sie diese Aussage, ohne Körperaxiom (4) zu verwenden!
b)
1 ist eindeutig bestimmt, d. h. für alle 11 , 12 ∈ K gilt:
(∀a ∈ K : a · 11 = a ∧ a · 12 = a) ⇒ 11 = 12 .
Zeigen Sie diese Aussage, ohne Körperaxiom (8) zu verwenden!
c)
Für alle a ∈ K gilt: a · 0 = 0.
d)
(K, +, ·) is nullteilerfrei, d. h. für alle a, b ∈ K gilt: a b = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0).
Aufgabe 5 Sei (K, +, ·) ein Körper. Beweisen Sie die folgenden Aussagen nur unter Verwendung
der Körperaxiome aus dem Skriptum. Wenden Sie hierfür pro Schritt jeweils nur ein Axiom an.
a)
Für alle a ∈ K gilt: −a = (−1) · a.
b)
Das multiplikative Inverse ist eindeutig bestimmt, d. h. für alle a, b, c ∈ K gilt
(a b = 1 ∧ a c = 1) ⇒ b = c.
N
1 Zur Erinnerung: Das Induktionsprinzip besagt, dass eine beliebige Aussage ϕ(n) für alle n ∈
0 gilt, falls ϕ(0)
gilt und falls ϕ(n+1) unter der Annahme ϕ(n) gilt. Formal: (ϕ(0) ∧ ∀n ∈ 0 : ϕ(n) ⇒ ϕ(n + 1)) ⇒ ∀n ∈ 0 : ϕ(n).
N
N
c)
d)
Für alle a, b ∈ K\{0} gilt (a b)−1 = a−1 b−1 .
a b
ab
Für alle a, b ∈ K und c, d ∈ K\{0} gilt: · =
.
c d
cd
Aufgabe 6 Sei (K, +, ·) ein Körper, und seien ⊕ : K 2 × K 2 → K 2 und : K 2 × K 2 → K 2
definiert als
• (a1 , a2 ) ⊕ (b1 , b2 ) := (a1 + b1 , a2 + b2 ),
• (a1 , a2 ) (b1 , b2 ) := (a1 · b1 , a2 · b2 ).
a)
Zeigen Sie, dass (K 2 , ⊕, ) die Körperaxiome (1)–(4) aus dem Skriptum erfüllt.
b)
Zeigen Sie, dass (K 2 , ⊕, ) die Körperaxiome (5)–(7) und (9) aus dem Skriptum erfüllt.
c)
Zeigen Sie, dass (K 2 , ⊕, ) nicht nullteilerfrei ist, und schließen Sie daraus, dass (K 2 , ⊕, )
kein Körper ist.
N
Q
√
/ .
Aufgabe 7 Sei p ∈ eine Primzahl. Zeigen Sie p ∈
Hinweis: Für jede Primzahl p und alle Zahlen m, n ∈ gilt: p|(m n) ⇔ (p|m∨p|n). “p|m” bedeutet
“p teilt m”.
N