Aufgabenblatt 4 zur Spieltheorie SS 2017

Aufgabenblatt 4 zur Spieltheorie SS 2017
Aufgabe 4.1 Zwei Länder nutzen ein Gewässer für den Fang von unterschiedlichen Fischarten. Bezeichnet s1 die Fangmenge von Land 1 und s2 diejenige von Land 2, so seien die
Gewinne beschrieben durch: π (s , s ) = 4 s − 3 s 2 − s s
1
1
2
1
2
1
1
2
π2 (s1 , s2 ) = 5 s2 − 2 s22 − 2 s1 s2
Land 2 ist also spezialisiert auf den hochwertigeren Fisch, hat aber höhere Kosten bei gleicher
Fangmenge und ist stärker betroffen von der Höhe der Fangmenge (z.B. als Beifang“) des
”
anderen Landes.
a) Bei welcher Fangmenge s2 hätte Land 2 den größten Gewinn, wenn es die Fangmenge
s1 von Land 1 kennt? Behandeln Sie diese Frage mit S2 = R und mit S2 = [0, ∞). Wie
lautet die Antwort auf die entsprechende Frage für Land 1?
b) Welche Fangmengen (s∗1 , s∗2 ) könnten die beiden Länder vereinbaren, ohne dass ein Land
eine profitable Abweichung hätte, wenn das andere Land die Vereinbarung einhält?
Wie groß ist dabei jeweils der Gewinn von Land 1 bzw. 2?
c) Bei welchen Fangmengen (ŝ1 , ŝ2 ) wird der gemeinsame Gewinn π(s1 , s2 ) = π1 (s1 , s2 ) +
π2 (s1 , s2 ) maximal? Wie groß ist dabei jeweils der Gewinn von Land 1 bzw. 2?
d) Wenn die Länder die Fangmengen (ŝ1 , ŝ2 ) aus c) vereinbaren würden, hätte dann Land
1 einen Anreiz für eine größere oder eine geringere Fangmenge, wenn es davon ausgeht,
dass Land 2 sich an die Vereinbarung hält? Wie sieht es aus mit Land 2?
Aufgabe 4.2: Beim Elfmeter-Spiel nehmen wir an, dass der Schütze besser (z.B. härter) in
das linke als in das rechte Eck schießen kann: Er überwindet den Torwart in 1 von 3 Fällen,
in denen er nach links schießt und der Torwart nach links springt. Der (erwartete) Nutzen
des Schützen in diesem Fall ist 32 · (−1) + 13 · 1 = − 31 (statt −1), derjenige des Torwarts ist
1
· (−1) + 23 · 1 = + 13 (statt +1). Das Spiel sei also durch
3
Torwart
`inks [q] rechts [1 − q]
p = Wkt., Schü. schießt n. links
`inks [p]
− 13 , + 13
+1, −1
Schütze
q = Wkt., Torw. springt n. links
rechts [1 − p]
+1, −1
−1, +1
beschrieben. Behandeln Sie das Spiel in gemischten Strategien als ein Spiel in stetigen Strategien p bzw. q auf den Strategieräumen SSchü = [0, 1] bzw. STorw = [0, 1].
a) Bestimmen Sie die Reaktionsfunktion des Schützen.
Wohin sollte der Schütze schießen, wenn er weiß, dass der Torwart
(1) mit Wkt. 12 ; (2) mit Wkt. 32 ; (3) mit Wkt. 35 nach links springt?
b) Bestimmen Sie die Reaktionsfunktion des Torwarts.
Wohin sollte der Torwart springen, wenn er weiß, dass der Schütze
(1) mit Wkt. 12 ; (2) mit Wkt. 32 ; (3) mit Wkt. 35 nach links schießt?
Welchen Nutzenverlust hat der Torwart zu erwarten, wenn er anstatt seiner besten
Antwort auf die Strategie p = ( 23 , 13 ) des Schützen mit Wkt. 12 nach links/rechts springt?
c) Zeichnen Sie die Reaktionsfunktinen in ein Diagramm und zeigen Sie so, dass das Spiel
genau ein Nash-GG in gemischten Strategien hat.
1
Aufgabe 4.3: Das Spiel Chicken“
”
Draufh. [q1 ] Auswei. [q2 ]
U2 (p, D) U2 (p, A)
Draufh. [p1 ]
−3, −3
2, 0
⇒ U1 (D, q) = −3 q1 + 2 q2 = −3 p1 = 0 p1
U1 (A, q) = 0 q1 + 1 q2 + 2 p2
+ 1 p2
Auswei. [p2 ]
0, 2
1, 1
{z
}
|
Nutzen der Spieler in ihren reinen Strategien
hat zwei Nash-GGe in reinen Strategien, (D, A) und (A, D). Zeigen Sie mit dem Indifferenzsatz, dass das Spiel ein weiteres Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien hat.
Aufgabe 4.4: In der Vl. wurde folgendes Bimatrix-Spiel in gemischten Strategien betrachtet:
x [q1 ]
a [p1 ]
2, 1
b [p2 ]
0, 2
c [p3 ] −1, 3
y [q2 ]
0, 3
3, 1
5, 0
U2 (p, x) U2 (p, y)
U1 (a, q) = 2 q1 + 0 q2 = 1 p1
= 3 p1
⇒
U1 (b, q) = 0 q1 + 3 q2 + 2 p2
+ 1 p2
U1 (c, q) = −q1 + 5 q2 + 3 p3
+ 0 p3
{z
}
|
Nutzen der Spieler in ihren reinen Strategien
Überprüfen Sie mit dem Indifferenzsatz, ob Nash-GGe (p, q) in gemischten Strategien existieren in den Fällen
– p = (0, p2 , p3 ) mit p2 > 0, p3 > 0
– p = (p1 , p2 , p3 ) mit p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0
– p = (1, 0, 0)
– p = (0, 1, 0)
– p = (0, 0, 1)
Aufgabe 4.5 Betrachten Sie das Spiel Stein-Schere-Papier“:
”
Stein [p1 ]
Schere [p2 ]
Papier [p3 ]
Stein [q1 ] Schere [q2 ] Papier [q3 ]
U2 (p, St) U2 (p, Sc) U2 (p, Pa)
0, 0
+1, −1
−1, +1
U1 (St, q) = q2 − q3
=
=
=
U1 (Sc, q) = q3 − q1 p2 − p3 p3 − p1 p1 − p2
−1, +1
0, 0
+1, −1
U1 (Pa, q) = q1 − q2
+1, −1
−1, +1
0, 0
a) Hat das Spiel Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien?
b) Verifizieren Sie, dass es ein Nash-Gleichgewicht ist, wenn beide Spieler ihre Strategien
mit Wkt 31 spielen.
c) Ist (p, q) mit p = ( 13 , 32 , 0) und q = (0, 23 , 13 ) ein Nash-Gleichgewicht?
Hinweis:
U1 (St, q) = q2 − q3 = 32 − 31 = 13
U1 (Sc, q) = q3 − q1 = 31 − 0 = 13
U1 (Pa, q) = q1 − q2 = 0 − 32 = − 23
Bed (A) für SP1 ok od. nicht ok ?
Bed (A) für SP1 ok od. nicht ok ?
Bed (B) für SP1 ok od. nicht ok ?
U2 (p, St) = p2 − p3 = 32 − 0 = 23
U2 (p, Sc) = p3 − p1 = 0 − 31 = − 31
U2 (p, Pa) = p1 − p2 = 31 − 23 = − 13
Bed (B) für SP2 ok od. nicht ok ?
Bed (A) für SP2 ok od. nicht ok ?
Bed (A) für SP2 ok od. nicht ok ?
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