Anwendung zentraler GV

Satz: Sei X1 , X2 , . . . , Xn , .. eine Folge identisch verteilter unabhängiger
ZG vom Typ X“ (i.i.d. - englisch: identically independently distributed)
”
mit EXi = µ, D 2 Xi = σ 2 , i = 1, .., n, ... Dann gilt für alle ε > 0
stoch.
lim P (|X̄n − µ| ≤ ε) = 1, (X̄n −→ µ)
n→∞
d.h., das statistische Mittel konvergiert im Sinn der Wkt. (stochastisch) gegen
den (einheitlichen) Erwartungswert µ aller Zufallsgrößen der Folge.
Anwendung: Konvergenz der relativen Häufigkeit Hn (A) gegen P (A) = p
für A ∈ Z
⇒ XA (e) ∈ {0, 1}, XA−1(1) = A, XA−1 (0) = Ā,
⇒ P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p, betrachten
n unabhängige Realisierungen Xi dieser ZG
2
⇒ EXi = p, D Xi = p(1−p), ∀i = 1(1)n, X̄n =
P
Xi
n
Anz.: A tritt ein
(Hn (A) ist ZG!)
n (Anz. Vers.)
Schwaches Gesetz der großen Zahlen ⇒
⇒ X̄n = Hn (A) =
stoch.
lim P (|Hn (A)−p| ≤ ε) = 1, d.h., Hn (A) −→ P (A)
n→∞
Frage: Wieviel Versuche sind nötig, um die Übereinstimmung von Hn (A)
mit P (A) bis auf 2 Stellen genau mit einer Wkt. von mindestens 0.95 zu
garantieren?
Antwort 1 (mit Tschebychev-Ungl.) Aussage:
lim P (|Hn (A)−p| ≤ ε) ≥ 1 −
n→∞
D 2 Hn (A) !
≥ 0.95
ε2
p(1−p)
und p(1−p) ≤ 14 :
n
n so bestimmen, daß gilt (ε = 0.005 wg. Rundg.)
Wegen D 2 Hn (A) =
1−
!
1
1
≥
0.95, ⇒
≤ 0.05
2
4nε
4nε2
1
= 200000
⇒n ≥
4 · 0.05 · (0.005)2
Anwendung zentraler GV-Satz:
Betrachten nochmals die Xi , bekannt: Summe ist binomialverteilt Zn =
P
Xi ∼ B(n, p)
(EZn = np, D 2 Zn = np(1 − p)) Zentraler GV-Satz:
Ȳn =
√
X̄n − p
np
≈ N(0, 1) - verteilt
p(1 − p)
(für n hinreichend groß“). Rücktrafo“:
”
”
Zn − np
⇒ Zn ≈ N(np, np(1 − p))
Ȳn = p
np(1 − p)
Grenzverteilungssatz von Moivre/Laplace:
Für große n kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden.
Faustregel: np(1−p) ≥ 9 - gute Näherung ( noch brauchbar“ für: np(1−p) ≥
”
4)
Antwort 2: Abschätzung von n für Approx. von P (A) durch Hn (A) auf 2
Stellen mit zentralem GV-Satz (Wkt. 0.95):
P (|Hn (A) − p| ≤ ε) = P (|X̄n − p| ≤ ε) = P (|Zn − np| ≤ nε)
Z − np nε
n
|Zn − np| ≤ nε ⇔ |Ȳn | = p
≤ p
np(1 − p) np(1 − p)
Wegen Ȳn ≈ N(0, 1) gilt
P (|Hn (A) − p| ≤ ε) = P
≈Φ
√
ε n
p
p(1 − p)
!
−Φ
p
−nε
np(1 − p)
!
√
−ε n
p
= 2Φ0
p(1 − p)
√
ε n
!
p
p(1 − p)
√
ε n
≈
P (|Hn (A) − p| ≤ ε) ≥ 0.95 ⇔ Φ0
!
≤ Ȳn ≤ p
np(1 − p)
Damit ergibt sich (ε = 0.005 einsetzen)
!
nε
p
p(1 − p)
!
!
≥ 0.475
√
!
1.962
ε n
≥ 1.96 ⇒ n ≥
⇒p
= 38416
4 · (0.005)2
p(1 − p)
Weitere Anwendung für Moivre/Laplace:
Es sei Zn ∼ B(n, p) mit np(1 − p) > 9. Frage:
b X
n k
p (1 − p)n−k =?(a, b ∈ N)
P (a ≤ Zn ≤ b) =
k
k=a
Wegen Zn ≈ N(np, np(1 − p)) ⇒
≈
(a ≤ Zn ≤ b) ⇔
P (a ≤ Zn ≤ b) ≈ Φ
Beispiel: n = 100, p =
1
4
a − 21 − np
b + 12 − np
p
< Ȳn < p
np(1 − p)
np(1 − p)
b + 1 − np
p 2
np(1 − p)
!
−Φ
⇒ np(1 − p) = 18.75 > 9
!
a − 1 − np
p 2
np(1 − p)
!
30 X
100 1 k 3 100−k
( ) ( )
= 0.8908
P (15 ≤ Zn ≤ 30) =
k
4 4
k=15
Andererseits gilt auch B(100, 41 ) ≈ N(25, 18.75) ⇒
14.5 − 25
30.5 − 25
P (15 ≤ Zn ≤ 30) ≈ P ( √
≤ Zn ≤ √
)
18.75
18.75
= Φ(1.2702) − Φ(−2.4249) = 0.8903.