Leistungskurs Mathematik 12/1 06.06.2013 4. Kursarbeit aus der

Leistungskurs Mathematik 12/1
4. Kursarbeit aus der Stochastik
06.06.2013
Hinweis: Zu allen Aufgaben gehört eine kurze Begründung zum verwendetet Modell !
Aufgabe 1: Erläutere folgende Begriffe in einem Satz:
a) Zufallsexperiment
d) Wahrscheinlichkeitsb) Zufallsgröße
verteilung
c) Wahrscheinlichkeit
e) Wahrscheinlichkeitsbaum
f) Pfadregel
g) Bedingte Wkt.
h) Bernoulli-Experiment
Aufgabe 2: Mengendarstellung von Wahrscheinlichkeiten
a) A und B seien Ereignisse mit den Wkt. P(A) und P(B) und der Wkt. P(AB) für das
gleichzeitige Eintreffen von A und B. Bestimme mit Hilfe eines Mengenbildes jeweils die
Berechnungsformel für:
(1) P (A oder B) ; (2) P(weder A noch B); (3) P(entweder A oder B)
b) Bei einer Erhebung wird festgestellt, dass in 48% der Haushalte eine Spülmaschine
vorhanden ist, in 66% ein Videorecorder und in 39% sowohl eine Spülmaschine als auch ein
Videorecorder. Wie groß ist die Wkt., dass in einem zufällig ausgewählten Haushalt weder
eine Spülmaschine noch ein Videorecorder vorhanden ist ?
Aufgabe 3: Binomialkoeffizient:
a) Ziehen mit einem Griff bedeutet, dass nacheinander aus n unterscheidbaren Kugeln k-mal
eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen wird. Die Reihenfolge der Ziehungen spielt dabei
keine Rolle. Ermittle die Zahl der möglichen Ergebnisse mit den Mitteln der Kombinatorik.
Begründe, dass diese Zahl gleich dem Binomialkoeffizenten "n über k" ist .
b) Beim Lotto werden 6 unterscheidbare Kugeln aus 49 gezogen. Diese Kugeln werden
anschließend der Größe nach geordnet. Gib die Zahl der möglichen Ziehungen an als
Binomialkoeffizient und berechne diese durch vorheriges Kürzen.
c) Zusatzaufgabe: Wie groß ist die Wkt. , dass bei einem zufällig angekreuzten Lottoschein 4
angekreuzte Zahlen richtig (und 2 falsch) sind ?
Aufgabe 4: Bernoulli-Kette:
a) Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 10 Fragen. Für jede Frage werden vier Antworten
angeboten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Jemand kreuzt bei den Fragen je eine
Antwort zufällig an. Er hat die Prüfung bestanden, wenn mehr als fünf Antworten richtig
sind? Wie groß ist die Wkt. zu bestehen ?
b) Etwa 12,5% einer Bevölkerung sind Linkshänder. Wie groß ist die Wkt., dass von vier
zufällig ausgewählten Personen dieser Bevölkerung mindesten einer Linkshänder ist ?
Aufgabe 5: Erwartungswert und Varianz:
Zeige ausgehend von der Definition der Varianz, dass dafür auch gilt: V(x) =E(X 2)-(E(X))2
b) Zusatzaufgabe: Berechne damit den Erwartungswert 1/2 (n+1) und die Varianz 1/12 (n 21) einer Laplace-Verteilung. (Hinweis: 12 + ...+n2 = 1/6 * n * (n+1) * (2n+1) )
c) Berechne Erwartungswert und Varianz des idealen Würfels und überprüfe damit die Formeln
aus (b).
a)
Aufgabe 6: Formelrechnung:
a) Der Erwartungswert einer Bn;p -verteilten Zufallsgröße X ist E(X) = np, die Varianz dieser
Größe ist V(X)=np(1-p). Bestätige diese Formel durch Nachrechnen im Falle n = 2.
b) Eine Lebensmittelkette erhält 1 kg-Mehlpackungen von ihrer Mühle. Das Sollgewicht von
1000 g wird bei den Lieferungen erfahrungsgemäß bei 4,5% unterschritten. X beschreibe
die Anzahl der untergewichtigen Packungen unter 10 Packungen.
1. Ermittle Erwartungswert und Standardabweichung dieser Verteilung.
2. Wie groß ist die Wkt. , dass mehr als eine unter 10 Packungen weniger als 1000 g
wiegen. Rechne ohne Tabelle.
Aufgabe 7: Näherungsformel von Moivre-Laplace:
a) Konstruiere die Gauß'sche Glockenkurve (Gauß-Kurve) im Bereich -3 <= x <= +3.
b) Ermittle graphisch ungefähr den eingeschlossenenen Flächeninhalt.
c) Erläutere die 3 Schritte zur Anpassung einer binomialverteilten Zufallsgröße B n;p(k)an diese
Gauß-Kurve
d) Begründe damit die Näherung nach Moivre-Laplace. In welchen Fällen ist diese Näherung
brauchbar ?
e) Die Flächenfunktion (x) ist einsetzbar, wenn  > 3. Erläutere den Zusammenhang mit
Aufgabe Teil (d).
Aufgabe 8: Zusatzaufgabe, Abituraufgabe (BaWü 1994):
Löse wahlweise mit der Tabelle für Binomialverteilung oder der Moivre-Laplace-Näherung:
Aus Erfahrung weiß ein Hersteller von Kunststoffteilen, dass er mit 5% Ausschuss rechnen
muss.
a) Bestimmen Sie die Wkt. der Ereignisse
A: Unter 100 Teilen sind höchstens 4 Ausschussstücke
B: Unter 1000 Teilen sind höchsten 40 Ausschussstücke
b) Die Kunststoffteile werden in Kisten zu je 1000 Stück verpackt.
Mit welcher Wkt sind unter 30 Kisten mehr als 2 Kisten, von denen jede höchstens 40
Ausschussstücke enthält. ?