Weitere Eigenschaften und Anwendungen diskreter Zufallsvariablen

Weitere Eigenschaften und Anwendungen diskreter
Zufallsvariablen
Binomialverteilung
Bsp. 2.7 (Kommunikationskanal) Schicken
Binärzahlen durch einen Kommunikationskanal.
p: Wkt. einer fehlerhaften Übertragung
n: Anzahl der übertragenen Zeichen
Wkt. für genau i Fehler:
N i
P (i) =
p (1 − p)n−i =: b(i; n, p)
i
Bsp. 2.8 (Qualitätskontrolle) Stichprobe von 10 Computerchips aus einer sehr großen Lieferung (Los). Wenn
keine defekt, so wird die Lieferung angenommen, sonst
nicht.
p: Wkt., ein zufällig ausgewählter Chip ist defekt.
Wkt. für genau i defekte Stücke = b(i; 10, p).
P (Los angenommen) = (1 − p)10
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Bsp. 2.9 (k aus n Systeme) Jede Komponente habe die
Intaktwkt. p.
Wkt., daß genau i Komponenten ausfallen:
n n−i
P (X = i) =
p (1 − p)i
i
Wkt., daß höchstens k Komponenten ausfallen:
P (X ≤ k) =
=
k X
n
i=0
n
X
i=n−k
pn−i(1 − p)i
i
n i
p (1 − p)n−i
i
Geometrische Verteilung
Bem. 2 Sei Y ∼ Geo(p), d.h.
P (Y > s) = 1 −
P (Y > t) = 1 −
s
X
i=1
t
X
(1 − p)i−1 · p = (1 − p)s
(1 − p)i−1 · p = (1 − p)t
i=1
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P (Y > s) · P (Y > t) = (1 − p)s+t
s+t
X
= 1−
(1 − p)i−1 · p
i=1
= P (Y > s + t).
also:
P (Y > s + t, Y > t)
P (Y > s + t|Y > t) =
P (Y > t)
P (Y > s + t)
=
P (Y > t)
= P (Y > s)
Bez. 5 Wir sagen, Verteilungen mit
P (Y > s + t|Y > t) = P (Y > s)
besitzen die sogenannte Markov-Eigenschaft oder sie
sind gedächtnislos.
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Satz 2.3 Sei X diskrete Zufallsvariable mit Werten in
{1, 2, 3, . . .} und X habe die Markov-Eigenschaft. Dann
ist X ∼ Geo(p) für ein p, p ∈ (0, 1)
Beweis: : Sei


 1 2 3 . . .
X :

p1 p2 p3 . . .
Aus der Markov-Eigenschaft folgt:
P (X > s) · P (X > t) = P (X > s + t) ∀s, t
s
t
s+t
X
X
X
(1 −
pi)(1 −
pi ) = 1 −
pi
i=1
i=1
i=1
Setzen p := p1. Einsetzen von
s = 1, t = 1 liefert (1−p)2 = (1−p−p2); p2 = p(1−p).
s = 1, t = 2 liefert (1−p)(1−p−p2) = (1−p−p2 −p3);
(1 − p − p2)(1 − p − 1) = −p3; also p3 = p(1 − p)2 usw.
2
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Bsp. 2.10 (Qualitätskontrolle) Wkt., daß das i-te Item
das erste defekte ist.
Bsp. 2.11 (Time-sharing computer system) mit festen
Zeitscheiben.
Programm wird in der Zeitscheibe vollständig abgearbeitet mit Wkt. p
Wenn nicht, neuer Versuch in der neuen Zeitscheibe
X: # benötigten Zeitscheiben
X ∼ Geo(p).
Bsp. 2.12 (Repeat-Schleife) A: aussagenlogischer Ausdruck, A = true mit Wkt. p.
repeat S until A.
# der Durchläufe von S: ∼ Geo(p).
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Poisson-Verteilung
Sei {Nt}t∈T eine Menge von Zufallsvariablen (ein stochastischer Prozeß ) mit folgenden Eigenschaften:
V1: Zuwächse sind unabhängig, dh. die Zufallsvariablen
Nt+h − Nt und Nt − Nt−h sind unabhängig 1
V2: es ist egal wo wir Zeitintervall betrachten, dh.
Nt+h und Nt haben dieselbe Verteilung
V3: Wkt., daß mindestens ein Ereignis in der Zeit h
eintritt, z.B. ein Kunde ankommt.
p(h) = a · h + o(h),
a > 0, h → 0
V4: Wkt. für ≥ 2 Ereignisse in der Zeit h: o(h)
Anmerkung: Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, falls
∀A, B ∈ B;
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P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A)·P (X ∈ B)
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Frage: Wkt. daß bis zum Zeitpunkt t k Ereignisse eintreten? (eingetroffene Kunden, zerfallene Teilchen)
Pk (t) := P (Nt = k),
p(h) =
∞
X
Pk (t) = 0
für k < 0
≥ 1Ereignis tritt ein
Pk (h)
k=1
Offenbar:
1=
∞
X
Pk (t)
k=0
V 3 ⇒ P0(h) = 1 − p(h) = 1 − ah + o(h)
∞
X
V4 ⇒
Pk (h) = o(h),
(h → 0)
k=2
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1. Schritt: Bestimmen P0(t).
P0(t + h) = P (Nt = 0, Nt+h − Nt = 0)
= P0(t)P (Nt+h − Nt = 0)
= P0(t)P (Nh − N0 = 0)
= P0(t)P0(h)
wegen
wegen V1
wegen V2
N0 = 0
= P0(t)(1 − p(h))
= P0(t)(1 − ah + o(h))
wegen V4
Nacheinander folgt:
o(h)
P0(t + h) − P0(t)
= P0(t)(−a +
)
h
h
P00 (t) = −aP0(t)
P0(t) = ce−at
Wegen P0(0) = 1 folgt: c = 1 und
P0(t) = e−at
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2. Schritt: Bestimmen Pk (t).
Zerlegen das Ereignis {Nt+h = k} in disjunkte Teilereignisse.
{Nt+h = k} = {Nt = 0, Nt+h − Nt = k} ∪
= {Nt = 1, Nt+h − Nt = k − 1} ∪
= {Nt = 2, Nt+h − Nt = k − 2} ∪ . . . ∪
= {Nt = k, Nt+h − Nt = 0}
Pk (t + h) =
=
=
k
X
P (Nt = k − j, Nt+h − Nt = j)
j=0
Pk−j (t) P (Nt+h − Nt = j)
{z
}
|
j=0
k
X
k
X
wegen V1
=P (Nh −N0=j)
Pk−j (t)Pj (h) wegen V2
j=0
= Pk (t)P0(h) + Pk−1(t)P1(h) +
k
X
Pk−j (t)Pj (h)
j=2
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P1(h) =
∞
X
Pj (h) −
j=1
∞
X
Pj (h)
j=2
= p(h) + o(h)
= ah + o(h)
∞
X
Pk−j (t)Pj (h) ≤
j=2
∞
X
Pj (h) = o(h) wegen V2
j=2
Nacheinander folgt:
Pk (t + h) − Pk (t) = (P0(h) − 1)Pk (t) + Pk−1(t)P1(h) + o(h)
= −ahPk (t) + ahPk−1(t) + o(h)
o(h)
Pk (t + h) − Pk (t)
= −aPk (t) + aPk−1(t) +
h
h
Pk0 (t) = −aPk (t) + aPk−1(t), Pk (0) = 0
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Qk (t) := Pk (t)eat
⇒
Q0k (t) = Pk0 (t)eat + Pk (t)aeat
Q0k (t) = eat(−aPk (t) + aPk−1(t) +aPk (t))
{z
}
|
Pk0 (t)
= aQk−1(t)
Q01(t) = aQ0(t) = ae−ateat = a ⇒ Q1(t) = at
2 2
a
t
2
0
Q2(t) = aQ1(t) = a t ⇒ Q2(t) =
2
Durch vollständige Induktion:
a k tk
Qk (t) =
k!
ak tk −at
Pk (t) =
e
k!
Poisson-Verteilung mit Parameter λ = at.
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Programme:
Descr_Binomial_neu.sas
Descr_Poisson.sas
Descr_Geometr.sas
Descr_Hypergeom.sas
Bem: In den Wahrscheinlichkeiten können Parameter
auftreten, die in der Regel unbekannt sind.
Die Parameter sind anhand der Beobachtungen
(der Daten) zu bestimmen/zu schätzen!
−→ Aufgabe der Statistik
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