Analysis 1 für Physik - Höhere Mathematik an der TUM

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. D. Castrigiano
Dr. H.-P. Kruse
Blatt 5
Analysis 1 für Physik
WS 09/10
Analysis 1 für Physik
Zentralübungen
Z1.
a) Seien a, b ∈ R. Finden Sie die Lösungen z ∈ C der Gleichung z 2 = a + ib.
b) Seien r > 0 und ϕ ∈ [0, 2π[. Finden Sie die Lösungen z ∈ C der Gleichung
z 2 = r(cos ϕ + i sin ϕ).
√
c) Wenden Sie die bei a) gefundene Formel an, um die Lösungen von z 2 = 3 + i zu
bestimmen.
√
d) Wenden Sie die bei b) gefundene Formel an, um die Lösungen von z 2 = 3 + i zu
bestimmen.
e) Berechnen Sie cos 15◦ .
Z2. Sei S 1 := {z ∈ C : |z| = 1} die 1-Sphäre und σ : R −→ S 1 \{i} die stereographische
Projektion, die jedem x ∈ R den Schnittpunkt σ(x) der Geraden durch x (aufgefaßt als
Punkt (x, 0) der komplexen Zahlenebene) und i mit S 1 \{i} zuordnet.
a) Zeigen Sie, daß für alle x ∈ R gilt
σ(x) =
2x + i(x2 − 1)
.
x2 + 1
b) Zeigen Sie, daß die Funktion σ bijektiv ist und berechnen Sie die Umkehrfunktion
σ −1 : S 1 \{i} −→ R.
Z3. Seien X, Y Mengen und f : X −→ Y eine Abbildung. Für jede Teilmenge S ⊂ Y sei
f −1 (S) := {x ∈ X : f (x) ∈ S} ⊂ X. Damit ist eine Abbildung f −1 : P(Y ) −→ P(X)
definiert.
a) Zeigen Sie, daß für C ⊂ P(Y ) gilt
!
[
[
−1
f
S =
f −1 (S) ,
S∈C
f
−1
S∈C
\
S∈C
S
!
=
\
f −1 (S) .
S∈C
b) Zeigen Sie, daß für S1 , S2 ⊂ Y gilt
f −1 (S1 \S2 ) = f −1 (S1 )\f −1 (S2 ) .
Z4. Skizzieren Sie für folgende Funktionen den Graphen, bestimmen Sie den Wertebereich und
untersuchen Sie auf Monotonie. Falls strenge Monotonie vorliegt, ermitteln Sie die auf
dem Wertebereich definierte Umkehrfunktion.
1) f : R −→ R ,
3) f : R −→ R ,
f (x) = x2 − 1 2) f : [1, ∞[−→ R ,
f (x) = x5
4) f : R −→ R ,
f (x) = x2 − 1
f (x) = x + [x]
Bitte wenden!
Hausaufgaben
H1. Bestimmen Sie die Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichungen.
1) z 2 = −3 + 4i 2) z 2 − 2z + 5 = 0.
Hinweis zu 2): Quadratische Ergänzung.
H2. Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene.
1) A := {z ∈ C : |z| ≤ 2} 2) B := {z ∈ C : |z − i| = 3}
H3. (Invarianz des Doppelverhältnisses)
Seien a, b, c, d ∈ C mit c 6= 0, D := ad − bc 6= 0 und
d
az + b
T : C\ −
−→ C , T (z) :=
c
cz + d
dazu die gebrochen-lineare Transformation auf C.
Das Doppelverhältnis von vier paarweise verschiedenen komplexen Zahlen z1 , . . . , z4 ist
definiert durch
z1 − z2 z3 − z2
:
.
DV (z1 , z2 , z3 , z4 ) :=
z1 − z4 z3 − z4
Zeigen Sie, daß für z1 , . . . , z4 6= −d/c gilt
DV (T z1 , T z2 , T z3 , T z4 ) = DV (z1 , z2 , z3 , z4 ) .
Hinweis: T = A2 ◦ I ◦ A1 , siehe Vorlesung.
H4.
1) Sei r ∈ Q. Zeigen Sie, daß die Funktion R+ −→ R, x 7→ xr , streng monoton wächst
(fällt) für r > 0 (r < 0). Skizzieren Sie in einer Zeichnung die Graphen der Funktionen x 7→ xr für r = 2, r = 21 , r = −2 bzw. r = − 21 .
2) Sei a ∈ R+ . Zeigen Sie, daß für alle r, s ∈ Q gilt ar+s = ar as . Skizzieren Sie den
Graphen der Funktion Q −→ R, x 7→ ax , für a = 2 bzw. a = 12 . Tragen Sie auch die
Graphen der Umkehrfunktionen in die Zeichnung ein.
H5. Skizzieren Sie für folgende Funktionen den Graphen, bestimmen Sie den Wertebereich
und untersuchen Sie auf Monotonie. Falls strenge Monotonie vorliegt, ermitteln Sie die
auf dem Wertebereich definierte Umkehrfunktion.
1) f : R −→ R ,
f (x) = |x2 − 1| 2) f : [1, ∞[−→ R ,
f (x) = |x2 − 1| 4) f :] − ∞, −1] −→ R , f (x) = |x2 − 1|
f (x) = x − [x] 6) f : R −→ R , f (x) = x − [x] − 1 3) f : [−1, 1] −→ R ,
5) f : R −→ R ,
f (x) = |x2 − 1|
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