Portfolio-Optimierung und Capital Asset Pricing

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Portfolio-Optimierung und Capital Asset
Pricing
Prof. Dr. Nikolaus Hautsch
Institut für Statistik und Ökonometrie
Humboldt-Universität zu Berlin
CASE, CFS, QPL
Econ Boot Camp, SFB 649, Berlin, 8. Januar 2009
1. Einführung
2
Was ist Ökonometrie?
▶
Sprachliche Neuschöpfung aus den griechischen Wörtern
Oikonomia (Verwaltung, Wirtschaft)
und
metron (Maÿ, Messen)
⇒ Messung
(Quantizierung) wirtschaftswissenschaftlicher
Zusammenhänge auf Basis
⊳
von Daten,
⊳
statistischer Theorie,
⊳
ökonometrischer Software.
∣
30
1. Einführung
Beispiele für ökonometrische
Fragestellungen
▶
3
Wie stark ändern sich Wachstum und Ination, wenn die
Zentralbank die Zinsen senkt/erhöht?
▶
Welche Erhöhung der Rendite kann ich erwarten, wenn sich
das Risiko meiner Finanzanlage erhöht?
▶
Wie hoch ist das erwartete Ausfallrisiko eines Kredits?
▶
Wie hoch ist die erwartete Volatilität an Finanzmärkten
nächsten Monat?
▶
30
Wie stark und wie schnell ändert sich die Konsumneigung nach
Erhöhungen der Mehrwertsteuer?
▶
∣
Wie erfolgreich sind Arbeitsmarktprogramme?
1. Einführung
4
Agenda
1. Einführung
✓
2. Portfolioanalyse
3. Das Capital Asset Pricing Modell
∣
30
2. Portfolioanalyse
5
Grundlegende Konzepte
▶ Pi ,0 :
Preis eines Wertpapiers
i
zum Kaufzeitpunkt
▶ Pi ,1 :
Preis eines Wertpapiers
i
zum Zeitpunkt
▶
Rendite:
▶
Falls
t=1
Ri = (Pi ,1 − Pi ,0 ) /Pi ,0
t = 1 in der Zukunft liegt: Erwartete Rendite E[Ri ]
⇒
Tatsächliche Rendite schwankt um diesen Wert.
⇒
Varianz als Maÿ für die Schwankungen (Risiko) der
Rendite:
▶
t = 0.
V [Ri ] = E[(Ri − E[Ri ])2 ] := 𝜎 2
Frage: Wie bestimmen wir die
Varianz
V [Ri ]?
erwartete Rendite E[Ri ] und
∣
30
2. Portfolioanalyse
Tägliche Renditen, S&P500, 1980-2009
S&P 500 Log−Return, Daily
0.15
0.1
Log−Return
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
1980
1985
1990
1995
Time
2000
2005
6
∣
30
2. Portfolioanalyse
Schätzungen von E[Ri ] und V [Ri ]
▶
7
∣
30
Annahme: Zukünftige Renditen weisen ähnliche
Eigenschaften auf wie historische Renditen:
⊳
⊳
⇒
Gleicher Mittelwert
Gleiche Varianz
Schätzung von
▶ E (Ri )
E[Ri ] und V [Ri ] auf Basis historischer Daten.
wird geschätzt durch das Stichprobenmittel
Ri =
▶ 𝜎2
1
n
n
∑
t =1
R i ,t .
wird geschätzt durch die Stichprobenvarianz
si2 =
1
n
n (
∑
t =1
)2
R i ,t − R i .
2. Portfolioanalyse
Mittelwert-Varianz-Diagramm
⇒
Welche Aktie würden Sie präferieren?
8
∣
30
2. Portfolioanalyse
9
Rendite und Risiko eines Portfolios
▶
Portfolio aus 2 Aktien mit Portfoliogewichten
▶
Erwartete Rendite des Portfolios:
w ∈ [0, 1])
w
und 1
(
E[Rp ] = w E[R1 ] + (1 − w ) E [R2 ] .
▶
Geschätzte erwartete Rendite:
R p = w R 1 + (1 − w ) R 2 .
▶
Varianz der Portfoliorendite:
𝜎p2 = w 2 𝜎12 + (1 − w )2 𝜎22 + 2w (1 − w )𝜎1,2
▶
⇒
Standardabweichung der Portfoliorendite:
Was ist
𝜎1,2 ?
𝜎p
−w
∣
30
2. Portfolioanalyse
10
Kovarianz und Korrelation
▶
∣
30
Kovarianz:
𝜎i ,j = E[(Ri − E[Ri ])(Rj − E[Rj ])]
⊳
Maÿ für den (linearen) Zusammenhang zwischen Renditen von
2 Wertpapieren.
⊳
Schätzung durch Stichprobenkovarianz:
s,
i j
▶
Korrelation:
⊳
⊳
=
1
n
n
∑(
R,
i t
t
=1
−R
R,
)(
i
j t
−R
)
j
𝜌i ,j = 𝜎i ,j / (𝜎i 𝜎j )
−1 ≤ 𝜌 , ≤ 1.
Normiertes Zusammenhangsmaÿ:
Schätzung durch
r,
i j
=
i j
s,
ss
i j
i
j
.
.
2. Portfolioanalyse
Portfolios aus 2 Wertpapieren
⇒
Welche Kombination ist optimal?
11
∣
30
2. Portfolioanalyse
Portfolios aus 4 Wertpapieren
12
∣
30
2. Portfolioanalyse
Portfoliotheorie nach Markowitz
▶
▶
13
∣
30
Harry M. Markowitz: Nobelpreis 1990.
Markowitz, H. M. (1952),
Portfolio Selection, The Journal of
Finance 7 (1), 7791.
▶
Umfassende Methodik zur Portfolioanalyse.
▶
Bestimmung ezienter Portfolios
2. Portfolioanalyse
14
∣
30
Eziente Portfolios
▶
Investoren wollen erwartete Rendite maximieren und Risiko
minimieren.
▶
▶
Eziente Portfolios:
⊳
Minimieren Risiko für gegebene erwartete Rendite.
⊳
Maximieren erwartete Rendite für gegebenes Risikoniveau.
Investor wählt optimales Portfolio aus dem ezienten Set
entsprechend persönlicher (Risiko-)Präferenzen.
2. Portfolioanalyse
15
∣
30
Idiosynkratisches Risiko & Diversizierung
▶
▶
Portfolio aus
⇒
Wertpapieren mit Gewichten
wi , i = 1, . . . , N .
Portfoliovarianz:
𝜎p2 =
▶
N
Für
N ∑
N
∑
i =1 j =1
N→∞
wi wj 𝜎ij =
⇒
N
∑
i =1
wi2 𝜎i2 + 2
𝜎i2
wird reduziert durch
die Verwendung von Aktienkombinationen mit kleinen
(oder negativen)
⊳
i =1 j =i +1
wi wj 𝜎ij
∑ ∑N
𝜎p2 → 2 N
i =1 j =i +1 wi wj 𝜎ij
Einuÿ idiosynkratischen Risikos
⊳
N ∑
N
∑
𝜎ij 's
die Verwendung von groÿen Portfolios.
2. Portfolioanalyse
Erweiterung des Grundmodells
16
∣
30
James Tobin: Nobelpreis 1981.
▶
Markowitz: Eziente Portfolios aus riskanten Wertpapieren.
▶
Erweiterung durch Tobin: Risikolose Anlage (z.B. Schatzbriefe,
Spareinlagen) mit Verzinsung
Rf .
2. Portfolioanalyse
17
Kombination aus riskofreien und
risikobehafteten Anlagen
▶
Portfolio aus einer risikofreien und einer risikobehafteten
Anlage.
▶
Erwartete Rendite:
E [R p ] = w f R f
▶
⇒
Varianz:
+ (1 − wf ) E [Ri ] .
𝜎p2 = (1 − wf )2 𝜎i2 .
Wie sieht das optimale Portfolio aus, wenn Investoren auch
risikolos anlegen können?
∣
30
2. Portfolioanalyse
Risikofreie Anlage und Aktie
18
∣
30
2. Portfolioanalyse
19
Risikofreie Anlage und riskantes Portfolio
⇒
Riskantes Portfolio
T
ist optimal!
∣
30
2. Portfolioanalyse
20
∣
30
Tobin-Separation
(i) Bestimmung des optimalen riskanten Portfolios:
⊳
⊳
Ermittlung ezienter Portfolios.
Ermittlung des Tangentialportfolios.
(ii) Bestimmung des optimalen Portfolios inklusive der risikolosen
Anlage:
⊳
Kombination aus (riskantem) Tangentialportfolio mit
risikoloser Anlage.
⊳
Wahl der Kombination hängt ab von der individuellen
Risikoaversion
3. Das Capital Asset Pricing Modell
21
∣
Das Capital-Asset-Pricing-Modell (CAPM)
▶
Gleichgewichtsmodell für Wertpapierrenditen auf Basis der
Portfoliotheorie nach Markowitz und Tobin.
▶
Entwickelt von Jack Treynor, William Sharpe, John Lintner
und Jan Mossin (unabhängig voneinander).
▶
William F. Sharpe: Nobelpreis 1990.
30
3. Das Capital Asset Pricing Modell
22
∣
30
Implikationen des CAPM
▶
Annahmen:
⊳
Investoren handeln gemäÿ der Portfoliotheorie nach Markowitz
und Tobin.
⊳
Investoren haben identische Schätzungen für erwartete
Renditen und (Ko-)Varianzen (homogene Erwartungen).
⊳
▶
Risikofreier Zins für jeden Anleger gleich.
Implikationen des CAPM:
⊳
⊳
Ezientes Set für jeden Investor identisch.
Alle Anleger halten das gleiche riskante Portfolio
⇒
Tangentialportfolio = Marktportfolio.
3. Das Capital Asset Pricing Modell
Marktportfolio und Kapitalmarktlinie
23
∣
30
3. Das Capital Asset Pricing Modell
24
CAPM-Gleichung
▶
Gemäÿ des CAPM gilt für Wertpapier
∣
30
i:
E [Ri ] = RF + 𝛽i (E [RM ] − RF ) .
𝛽i
▶
Erwartete Rendite hängt positiv von
▶
Beta beschreibt die Stärke der linearen Abhängigkeit
zwischen
E [R i ] − R F
⊳ 𝛽 = 1:
⊳ 𝛽 = 0:
⊳ 𝛽 < 0:
i
i
i
und
(Beta) ab.
(E [R M ] − R F ).
i
Überrendite von i
Überrendite von i
Überrendite von
identisch mit Marktüberrendite.
unabhängig von Marktüberrendite.
negativ abhängig von
Marktüberrendite.
⇒
Aber durch was wird
𝛽i
eigentlich determiniert?
3. Das Capital Asset Pricing Modell
Beta als Maÿ für Systematisches Risiko
▶
∣
30
CAPM impliziert:
𝛽i =
▶
25
Beta =
𝜎 i ,M
2 =
𝜎M
Kovarianz zw. Asset i und Marktportfolio
Varianz des Marktportfolios
Standardisierte Kovarianz =
zwischen Rendite
i
.
Maÿ für Abhängigkeit
und Marktrendite
▶
Intuition: Beta miÿt Beitrag eines Wertpapiers zum Marktrisiko
▶
Je höher Beta, desto gröÿer ist das systematische, d.h. nicht
diversizierbare Risiko von Wertpapier
▶
i
Je höher Beta, desto höher die notwendige Kompensation:
⇒
E[Ri − RF ] = 𝛽i |E[Rm{z− Rf }]
Risikoprämie>0
3. Das Capital Asset Pricing Modell
Wertpapierlinie
26
∣
30
3. Das Capital Asset Pricing Modell
27
Von der Theorie zur Empirie ...
E [Ri ] = RF + 𝛽i (E [RM ] − RF ) .
▶
CAPM:
▶
Daten über Perioden
▶
t = 1 . . . , n:
⊳
Renditen eines Wertpapiers oder Portfolios
⊳
Renditen des Marktportfolios (
⊳
Risikofreier Zinssatz (
i (Ri ,t )
RM , t )
R F ,t )
Lineares Regressionsmodell
Ri ,t − RF ,t = 𝛼i + 𝛽i (RM ,t − RF ,t ) +𝜀i ,t ,
|
wobei
▶
𝜀 i ,t
Rie,t
{z
}
|
ein zufälliger Störterm mit
Gemäÿ CAPM:
𝛼i = 0
e ,t
RM
{z
}
E[𝜀i ,t ] = 0 ist.
∣
30
3. Das Capital Asset Pricing Modell
28
∣
30
Kleinst-Quadrate-Schätzung
▶
Berechnung von Schätzwerten für
𝛼
und
𝛽
durch Minimierung
der Summe der quadrierten Residuen
SSR =
▶
n [
∑
t =1
]2
e
.
Rte − 𝛼ˆ − 𝛽ˆ RM
,t
Lösungen:
1
n
𝛽ˆi =
∑n
t =1
(
e
Rie,t − R i
)2
e − Re
R
M
t =1
M ,t
n
e
e
𝛼
ˆi = R − 𝛽ˆi R M .
1
∑n
(
e
e −R
RM
M
,t
)(
)
,
3. Das Capital Asset Pricing Modell
29
Datensätze
▶
30
S&P500:
⊳
⊳
▶
∣
S&P500-Index und 30 Aktien mit der gröÿten Gewichtung.
Monatliche Renditen Feb. 1984 - Okt. 2009.
Industrie-Portfolios:
⊳
Klassikation von NYSE-, AMEX- und NASDAQ-Aktien auf
Basis von SIC-Codes (Standard Industrial Classication).
⇒
⊳
▶
30 Portfolios.
Monatliche Renditen Jan. 1963 - Sep. 2009.
Size-Book-to-Market-Portfolios:
⊳
Klassikation von NYSE-, AMEX- und NASDAQ-Aktien nach
Marktkapitalisierung (Size).
⊳
(Book-to-Market-Ratio).
⊳
⊳
⇒
5 Portfolios.
Klassikation nach Buchwert-Marktwert-Verhältnis
⇒
5 Portfolios.
25 Portfolios als Schnittmengen.
Monatliche Renditen Jan. 1963 - Sep. 2009.
3. Das Capital Asset Pricing Modell
30
∣
30
Fragestellungen
▶
Portfolio-Optimierung:
⊳
Auf welche Branchen sollte sich ein renditemaximierender und
risikominimierender Investor konzentrieren? Welcher
Industriezweig sollte bevorzugt werden, falls der Anleger auch
risikolos investieren kann?
▶
Capital-Asset-Pricing-Modell:
⊳
Welche Branchen sind dem Marktrisiko besonders stark
ausgesetzt?
⊳
Halten die Annahmen des Capital-Asset-Pricing-Modells einer
Überprüfung auf Zeitreihen- und Querschnittsbasis stand?
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