Portfolio-Optimierung und Capital Asset Pricing *3em

Portfolio-Optimierung und Capital Asset
Pricing
Peter Malec
Institut für Statistik und Ökonometrie
Humboldt-Universität zu Berlin
Econ Boot Camp, SFB 649, Berlin, 4. Januar 2013
1. Einführung
2
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Motivation
I
Wie messe ich das Risiko einer Finanzanlage?
I
Was ist systematisches und idiosynkratisches Risiko?
I
Wie kann ich renditemaximierend bzw. risikominimierend in ein
Portfolio investieren?
I
Welche Erhöhung der Rendite kann ich erwarten, wenn sich
das Risiko meiner Finanzanlage erhöht?
1. Einführung
3
Agenda
1. Einführung
X
2. Grundlegende Konzepte
3. Portfolioanalyse
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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2. Grundlegende Konzepte
4
Grundlegende Konzepte
I Pi ,0 :
Preis eines Wertpapiers
i
zum Kaufzeitpunkt
I Pi ,1 :
Preis eines Wertpapiers
i
zum Zeitpunkt
I
Rendite:
I
Falls
t=1
Ri = (Pi ,1 − Pi ,0 ) /Pi ,0
t = 1 in der Zukunft liegt: Erwartete Rendite E[Ri ]
⇒
Tatsächliche Rendite schwankt um diesen Wert.
⇒
Varianz als Maÿ für die Schwankungen (Risiko) der
Rendite:
I
t = 0.
V [Ri ] = E[(Ri − E[Ri ])2 ] := σ 2
Frage: Wie bestimmen wir die
Varianz
V [Ri ]?
erwartete Rendite E[Ri ] und
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2. Grundlegende Konzepte
5
Tägliche Renditen, S&P500, 1980-2009
S&P 500 Log−Return, Daily
0.15
0.1
Log−Return
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
1980
1985
1990
1995
Time
2000
2005
|
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2. Grundlegende Konzepte
6
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29
Schätzungen von E[Ri ] und V [Ri ]
I
Annahme: Zukünftige Renditen weisen ähnliche
Eigenschaften auf wie historische Renditen:
.
.
⇒
Gleicher Mittelwert
Gleiche Varianz
Schätzung von
I E (Ri )
E[Ri ] und V [Ri ] auf Basis historischer Daten.
wird geschätzt durch das Stichprobenmittel
Ri =
I σ2
1
n
n
X
t =1
R i ,t .
wird geschätzt durch die Stichprobenvarianz
2
si =
1
n
n
X
t =1
2
R i ,t − R i .
3. Portfolioanalyse
Mittelwert-Varianz-Diagramm
⇒
Welche Aktie würden Sie präferieren?
7
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3. Portfolioanalyse
8
Rendite und Risiko eines Portfolios
I
Portfolio aus 2 Aktien mit Portfoliogewichten
w ∈ [0, 1])
w
und 1
(
I
Erwartete Rendite des Portfolios:
E[Rp ] = w E[R1 ] + (1 − w ) E [R2 ] .
I
Geschätzte erwartete Rendite:
R p = w R 1 + (1 − w ) R 2 .
I
Varianz der Portfoliorendite:
σp2 = w 2 σ12 + (1 − w )2 σ22 + 2w (1 − w )σ1,2
I
⇒
Standardabweichung der Portfoliorendite:
Was ist
σ1,2 ?
σp
−w
|
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3. Portfolioanalyse
9
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29
Kovarianz und Korrelation
I
Kovarianz:
σi ,j = E[(Ri − E[Ri ])(Rj − E[Rj ])]
.
Maÿ für den (linearen) Zusammenhang zwischen Renditen von
2 Wertpapieren.
.
Schätzung durch Stichprobenkovarianz:
s,
i j
I
Korrelation:
.
.
=
1
n
n
X
R,
i t
t
=1
−R
i
R,
j t
−R
j
ρi ,j = σi ,j / (σi σj )
−1 ≤ ρ , ≤ 1.
Normiertes Zusammenhangsmaÿ:
Schätzung durch
r,
i j
=
i j
s,
ss
i j
i
j
.
.
3. Portfolioanalyse
Portfolios aus 2 Wertpapieren
⇒
Welche Kombination ist optimal?
10
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3. Portfolioanalyse
Portfolios aus 4 Wertpapieren
11
|
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3. Portfolioanalyse
12
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29
Portfoliotheorie nach Markowitz
I
Harry M. Markowitz: Nobelpreis 1990.
I
Markowitz, H. M. (1952),
Portfolio Selection, The Journal of
Finance 7 (1), 7791.
I
Umfassende Methodik zur Portfolioanalyse.
I
Bestimmung ezienter Portfolios
3. Portfolioanalyse
13
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29
Eziente Portfolios
I
Investoren wollen erwartete Rendite maximieren und Risiko
minimieren.
I
I
Eziente Portfolios:
.
Minimieren Risiko für gegebene erwartete Rendite.
.
Maximieren erwartete Rendite für gegebenes Risikoniveau.
Investor wählt optimales Portfolio aus dem ezienten Set
entsprechend persönlicher (Risiko-)Präferenzen.
3. Portfolioanalyse
14
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Idiosynkratisches Risiko & Diversizierung
N
I
Portfolio aus
I
Portfoliovarianz:
2
σp =
I
⇒
Für
Wertpapieren mit Gewichten
N X
N
X
i =1 j =1
N→∞
wi wj σij =
⇒
N
X
σp2 → 2
i =1
2 2
wi σi + 2
wi , i = 1, . . . , N .
N X
N
X
i =1 j =i +1
wi wj σij
PN PN
i =1
Einuÿ idiosynkratischen Risikos
σi2
Verwendung von groÿen Portfolios.
j =i +1 wi wj σij
wird reduziert durch die
3. Portfolioanalyse
15
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29
Erweiterung des Grundmodells
I
James Tobin: Nobelpreis 1981.
I
Markowitz: Eziente Portfolios aus riskanten Wertpapieren.
I
Erweiterung durch Tobin: Risikolose Anlage (z.B. Schatzbriefe,
Spareinlagen) mit Verzinsung
Rf .
3. Portfolioanalyse
16
Kombination aus riskofreien und
risikobehafteten Anlagen
I
Portfolio aus einer risikofreien und einer risikobehafteten
Anlage.
I
Erwartete Rendite:
E [R p ] = w f R f
I
+ (1 − wf ) E [Ri ] .
Standardabweichung:
σp = (1 − wf )σi .
|
29
3. Portfolioanalyse
Risikofreie Anlage und Aktie
17
|
29
3. Portfolioanalyse
18
Risikofreie Anlage und riskantes Portfolio
⇒
Riskantes Portfolio
T
ist optimal!
|
29
3. Portfolioanalyse
19
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29
Tobin-Separation
(i) Bestimmung des optimalen riskanten Portfolios:
.
.
Ermittlung ezienter Portfolios.
Ermittlung des Tangentialportfolios.
(ii) Bestimmung des optimalen Portfolios inklusive der risikolosen
Anlage:
.
Kombination aus (riskantem) Tangentialportfolio mit
risikoloser Anlage.
.
Wahl der Kombination hängt ab von der individuellen
Risikoaversion
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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|
Das Capital-Asset-Pricing-Modell (CAPM)
I
Gleichgewichtsmodell für Wertpapierrenditen auf Basis der
Portfoliotheorie nach Markowitz und Tobin.
I
Entwickelt von Jack Treynor, William Sharpe, John Lintner
und Jan Mossin (unabhängig voneinander).
I
William F. Sharpe: Nobelpreis 1990.
29
4. Das Capital Asset Pricing Modell
21
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29
Implikationen des CAPM
I
Annahmen:
.
Investoren handeln gemäÿ der Portfoliotheorie nach Markowitz
und Tobin.
.
Investoren haben identische Schätzungen für erwartete
Renditen und (Ko-)Varianzen (homogene Erwartungen).
.
I
Risikofreier Zins für jeden Anleger gleich.
Implikationen des CAPM:
.
.
Ezientes Set für jeden Investor identisch.
Alle Anleger halten das gleiche riskante Portfolio
⇒
.
Tangentialportfolio = Marktportfolio
Anleger kombinieren Marktporfolio mit risikofreier Anlage mit
individueller Gewichtung, d.h. wählen Punkte auf der
Kapitalmarktlinie
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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Marktportfolio und Kapitalmarktlinie
I
Was bedeutet dies im Gleichgewicht für die erwartete Rendite
individueller Aktien?
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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CAPM-Gleichung
I
Gemäÿ des CAPM gilt für Wertpapier
i:
E [Ri ] = RF + βi (E [RM ] − RF ) .
βi
I
Erwartete Rendite hängt positiv von
I
Beta beschreibt die Stärke der linearen Abhängigkeit
zwischen
E [R i ] − R F
. β = 1:
. β = 0:
. β < 0:
i
i
i
und
(E [R M ] − R F ).
i
Überrendite von i
Überrendite von i
Überrendite von
identisch mit Marktüberrendite.
unabhängig von Marktüberrendite.
negativ abhängig von
Marktüberrendite.
⇒
Durch was wird
βi
(Beta) ab.
determiniert?
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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29
Beta als Maÿ für Systematisches Risiko
I
CAPM impliziert:
βi =
I
Beta =
σ i ,M
2 =
σM
Kovarianz zw. Asset i und Marktportfolio
Varianz des Marktportfolios
Standardisierte Kovarianz =
zwischen Rendite
i
.
Maÿ für Abhängigkeit
und Marktrendite
I
Intuition: Beta miÿt Beitrag eines Wertpapiers zum Marktrisiko
I
Je höher Beta, desto gröÿer ist das systematische, d.h. nicht
diversizierbare Risiko von Wertpapier
I
i
Je höher Beta, desto höher die notwendige Kompensation:
⇒
E[Ri − RF ] = βi |E[Rm{z− Rf }]
Risikoprämie>0
4. Das Capital Asset Pricing Modell
Wertpapierlinie
25
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29
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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Von der Theorie zur Empirie ...
E [Ri ] = RF + βi (E [RM ] − RF ) .
I
CAPM:
I
Daten über Perioden
I
t = 1 . . . , n:
.
Renditen eines Wertpapiers oder Portfolios
.
Renditen des Marktportfolios (
.
Risikofreier Zinssatz (
i (Ri ,t )
RM , t )
R F ,t )
Lineares Regressionsmodell
Ri ,t − RF ,t = αi + βi (RM ,t − RF ,t ) +εi ,t ,
|
wobei
I
ε i ,t
Rie,t
{z
}
|
ein zufälliger Störterm mit
Gemäÿ CAPM:
αi = 0
e ,t
RM
{z
}
E[εi ,t ] = 0 ist.
|
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4. Das Capital Asset Pricing Modell
27
|
29
Kleinst-Quadrate-Schätzung
I
Berechnung von Schätzwerten für
α
und
β
durch Minimierung
der Summe der quadrierten Residuen
SSR =
I
n h
X
t =1
i2
e
.
Rte − αb − βb RM
,t
Lösungen:
1
n
βbi =
Pn
t =1
e
Rie,t − R i
2
e − Re
R
M
t =1
M ,t
n
e
e
α
bi = R − βbi R M .
1
Pn
e
e −R
RM
M
,t
,
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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Datensätze
I
S&P500:
.
.
I
S&P500-Index und 30 Aktien mit der gröÿten Gewichtung.
Monatliche Renditen Feb. 1984 - Okt. 2009.
Industrie-Portfolios:
.
Klassikation von NYSE-, AMEX- und NASDAQ-Aktien auf
Basis von SIC-Codes (Standard Industrial Classication).
⇒
.
I
30 Portfolios.
Monatliche Renditen Jan. 1963 - Sep. 2009.
Size-Book-to-Market-Portfolios:
.
Klassikation von NYSE-, AMEX- und NASDAQ-Aktien nach
Marktkapitalisierung (Size).
.
(Book-to-Market-Ratio).
.
.
⇒
5 Portfolios.
Klassikation nach Buchwert-Marktwert-Verhältnis
⇒
5 Portfolios.
25 Portfolios als Schnittmengen.
Monatliche Renditen Jan. 1963 - Sep. 2009.
4. Das Capital Asset Pricing Modell
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Fragestellungen
I
Portfolio-Optimierung:
.
Auf welche Branchen sollte sich ein renditemaximierender und
risikominimierender Investor konzentrieren? Welcher
Industriezweig sollte bevorzugt werden, falls der Anleger auch
risikolos investieren kann?
I
Capital-Asset-Pricing-Modell:
.
Welche Branchen sind dem Marktrisiko besonders stark
ausgesetzt?
.
Halten die Annahmen des Capital-Asset-Pricing-Modells einer
Überprüfung auf Zeitreihen- und Querschnittsbasis stand?