Prof. Dr. Holger Dette ¨Ubungen zur Vorlesung WS 2008/2009 Dr

Prof. Dr. Holger Dette
Übungen zur Vorlesung
WS 2008/2009
Dr. Melanie Birke
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“
Blatt 2
”
Abgabe: Bis Montag, den 03.11.2008 um 12.00 Uhr.
Aufgabe 1:
Es seien seien h(j; r, s, n) und b(j, n, p) definiert wie in Beispiel 2.7 und 2.8 als
r
s
j
n−j
n
h(j; r, s, n) =
,
b(j, n, p) =
pj (1 − p)n−j .
j
r+s
n
(4 Punkte)
Man zeige die Konvergenz
h(j; r, s, n)
−→
r,s→∞
r/(r+s)→p
b(j, n, p)
und überlege sich ein heuristisches Argument für die Gültigkeit.
Aufgabe 2:
(4 Punkte)
1. Es sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊂ Ω mit 0 < P (B) < 1. Man zeige
P (A) < P (A|B) ⇔ P (A) > P (A|B c ).
2. Es seien A1 , . . . , An ⊂ Ω. Man zeige
P(
n
\
Ai ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . · P (An |
i=1
n−1
\
Ai ).
i=1
3. Man zeige an folgendem Datenbeispiel zum 20-Jahres Überlebensstatus von Rauchern das Simpson
Paradoxon
Alter
Raucher
gestorben
überlebt
18-24
ja nein
2
1
53
61
25-34
ja
nein
5
3
121 152
35-44
ja nein
14
7
95 114
45-54
ja
nein
27
12
103
66
55-64
ja nein
51
40
64
81
65-74
ja nein
29 101
7
28
≥ 75
ja nein
13
64
0
0
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig ausgewählte Familie genau k Kinder hat sei αpk , p ∈ [0, 1],
α > 0.
1. Mit Wahrscheinlichkeit b ∈ [0, 1] habe ein Kind blaue Augen unabhängig von den anderen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig ausgewählte Familie genau r ≥ 0 Kinder mit blauen
Augen hat?
2. Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen bzw. ein Mädchen sei jeweils 0.5. Berechne die bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mindestens 2 Jungen hat gegeben sie hat mindestens einen.
Aufgabe 4:
(4 Punkte)
1. Es seien A1 , . . . , An ⊂ Ω Ereignisse mit P (Ai ) > 0 für i = 1, . . . , k, k ≤ n und Ai ∩ Aj = ∅ für ein
Paar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ k. Können A1 , . . . , An unabhängig sein?
2. Es seien A1 , . . . , An ⊂ Ω nun unabhängige Ereignisse. Man zeige
Sn
Qn
a) P ( i=1 Ai ) = 1 − i=1 (1 − P (Ai )).
b) Für 2 ≤ m S
≤ n seien Ik ⊂S{1, . . . , n}, 1 ≤ k ≤ m mit Ik ∩ Ij = ∅ und
Dann sind i1 ∈I1 Ai1 , . . . , im ∈Im Aim unabhängige Ereignisse.
Sm
k=1 Ik
= {1, . . . , n}.
Zusatzaufgabe 5:
(4∗ Punkte)
In einem Bernoulli-Experiment vom Umfang n trete in jedem Schritt 1 mit Wahrscheinlichkeit 12 auf.
1. Man finde mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit eine Rekursionsformel für die Wahrscheinlichkeit pn dass 1 nicht zweimal hintereinander auftritt.
2. Man zeige, dass eine explizite Lösung für die Rekursion in 1. gegeben ist durch
√
√ !n
√
√ !n
5+3 5 1+ 5
5−3 5 1− 5
pn =
+
, n ∈ IN, p0 = 0.
10
4
10
4
Dazu verwende man die erzeugende Funktion f (t) =
schließend eine Reihenentwicklung.
Korrekteure
Stephanie Söhnel
Philipp Müllers
Christopher Graw
Sprechzeiten
Do 10-11
Do 10-11
Do 13-14
Raum
NA 3/30
NA 3/30
NA 3/30
P∞
n=0
pn tn , Partialbruchzerlegung und an-