e:/folkfiles/vorlesungen/phasenue/pue2007g.dvi

Theorie kritischer Phänomene
R. Folk
Institut für Theoretische Physik, Universität Linz
SS 2007
aus K. Huang, Statistical Mechanics (1987)
Inhaltsverzeichnis
1 Skalen in der Physik
6
1.1
Transformationseigenschaften und deren Konsequenzen . . . . . .
6
1.2
Potenzgesetze und Skalenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Homogene Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . .
9
1.2.2
Homogene Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . .
10
1.2.3
Verallgemeinerte homogene Funktionen . . . . . . . . . . .
10
2 Phasenübergänge
12
2.1
Die Entstehung unserer Welt als Abfolge von Phasenübergängen .
12
2.2
Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Allgemeine thermodynamische Betrachtungen . . . . . . . . . . .
16
2.3.1
Thermodynamische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.2
Gleichgewicht zweier Phasen . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.3
Gibbs’sche Phasenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Berechnung der Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4.1
Flüssigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4.2
Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.5
Analytische Eigenschaften der großkanonischen Zustandssumme .
22
2.6
Phasendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.6.1
Das Phasendiagramm einer einfachen Flüssigkeit . . . . . .
27
2.6.2
Ein Fluid aus wechselwirkenden harten Kugeln . . . . . . .
30
2.4
2
3
27. Juni 2007
2.7
2.6.3
Das Phasendiagramm eines einfachen Magneten . . . . . .
32
2.6.4
Phasendiagramm einer magnetischen Flüssigkeit . . . . . .
35
2.6.5
Das Phasendiagramm von 4 He . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.6.6
Das Phasendiagramm von 3 He . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.6.7
Das Phasendiagramm von 4 He-3 He Mischungen . . . . . .
42
2.6.8
Das Phasendiagramm von MnBr2 4H2 O und FeCl2
. . . .
42
2.6.9
Das Phasendiagramm von (KBr)1−x (KCN)x . . . . . . . .
45
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3 Symmetriebrechung und spontane Ordnung
3.1
3.2
48
Landautheorie (Statik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.1
Die Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.2
Die Kac-Hubbard-Stratonovich Transformation . . . . . .
49
3.1.3
Das Landau-Ginzburg-Wilson-Hamilton-Funktional . . . .
50
3.1.4
Formulierung der Landautheorie . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.1.5
n-komponentiger Ordnungsparameter, Gaußsches Modell .
59
3.1.6
Strukturelle Phasenübergänge in Festkörpern
. . . . . . .
59
3.1.7
Trikritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.1.8
Lifshitz Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.1.9
Trikritischer Lifshitz Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.1.10 Kritischer Endpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.1.11 Ankopplung eines Eichfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Van Hove Theorie (Dynamik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.2.1
Relaxation und Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.2.2
Modelle mit Modenkopplung (Modell J und H) . . . . . .
75
4 Kritische Fluktuationen
4.1
76
Experimentelle Befunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.1.1
77
Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
27. Juni 2007
4.1.2
Levanyuk-Ginzburg Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.2
Die Skalenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.3
Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.3.1
Freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.3.2
Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.3.3
Statische Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Universalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.4.1
86
4.4
Statische Universalitätsklassen . . . . . . . . . . . . . . . .
5 EXAKT LÖSBARE MODELLE
5.1
5.2
Isingmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.1.1
Das eindimensionale Ising-Modell . . . . . . . . . . . . . .
88
5.1.2
Das zweidimensionale Isingmodell . . . . . . . . . . . . . .
95
5.1.3
Bethe Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Vertexmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.1
5.3
5.4
5.5
88
Das Baxter Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Das sphärische Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1
Berechnung der Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.2
Berechnung der thermodynamischen Größen aus der Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
n-Vektormodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.1
Definition und Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.2
Polymere und das n → 0-Vektormodell . . . . . . . . . . . 111
Das Gauß’sche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5.1
Ungeordnete Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5.2
Levanyuk-Ginzburg Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.3
Geordnete Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.4
Gaußsche Näherung für das n-Vektormodell . . . . . . . . 115
5
27. Juni 2007
6 RENORMIERUNGSGRUPPENTHEORIE FÜR GITTERSYSTEME
119
6.1
6.2
6.3
Ortsraumrenormierung im 1-dimensionalen Isingmodell . . . . . . 119
6.1.1
Dezimierungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1.2
Berechnung der freien Energie . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Ortsraumrenormierung im 2-dimensionalen Isingmodell . . . . . . 124
6.2.1
Dezimierungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2
Blockspinverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Allgemeine Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.1
Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.2
Die Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Referenzen
131
7.1
Webseiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2
Bücher und Artikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Kapitel 1
Skalen in der Physik
1.1
Transformationseigenschaften
Konsequenzen
und
deren
Symmetrie-Transformationen sind in den verschiedensten Zweigen der Physik gebräuchlich. Schlußfolgerungen aus dem invarianten Verhalten gewisser physikalischer Größen unter Rotationen in der Atomphysik (Spektrallinien), Translationen und Rotationen in der Festkörperphysik (Blochzustände) oder Rotationen
des Isospins in der Kernphysik sind nur einige Beispiele.
Ein anderes Beispiel ist die Invarianz unter Änderungen der Längenskala, sogenannter Skalentransformationen. Man kann z.B. das 3. Keplersche Gesetz aus
den Bewegungsgleichungen ”herleiten”. Aus der Bewegungsgleichung
d2 r
1
∼ 2
2
dt
r
folgt, wenn sich die Längen um den Faktor λ ändern. dann ändern sich die Zeiten
3
um λ 2 .
Also
T12 : T22 = a31 : a32
Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der Hauptachsen.
In der Hydrodynamik sind solche Dimensionsanalysen geläufig und Grundlage
der Strömungsversuche im Labor. Liegt nicht nur eine Skala sondern mehrere
Skalen vor, so bildet man einen Satz von dimensionslosen Parametern. Gleiche
Verhältnisse herrschen dann, wenn alle Parameter gleich sind. Für Strömungsversuche genügt es nicht nur ein verkleinertes Modell zu nehmen, es muß auch das
umströmende Medium entsprechende Eigenschaften haben.
6
27. Juni 2007
7
Abbildung 1.1: Skaleninvariante Landschaft (Zeichnung von Shang-Keng Ma)
Skalentrennung vereinfacht die Problematik. Dann kann man wieder Phänomene
auf einer Skala betrachten. Also bei den Planeten auf der Skala der Abstände von
der Sonne und nicht auf der Sakla der Planetenradien. Kennzeichen: rationale
Exponenten.
Skalen in der Biologie:
Man kann die maximale Größe eines Wirbeltieres bestimmen, indem man die
Stärke der Knochen mit dem Gewicht vergleicht. Die Stärke der Knochen geht
mit der Dimension des Querschnitts, das Gewicht mit dem Volumen, also dort
wo sich die Kurven aL2 und bL3 schneiden, liegt das größtmögliche Wirbeltier.
Das wurde erstmals 1638 von Galileo Galilei bemerkt.
Skalenargumente können aber auch versagen, etwa dann, wenn man verstehen
will wie größere Tiere ihren Energieaustausch, der über die Oberfläche erfolgt,
bewerkstelligen. Da die Oberfläche nur quadratisch geht, das Volumen kubisch
mit der Dimension, müssen sie durch irreguläre Oberflächen deren Flächen vergrößern. Sie bilden fraktale Strukturen. Diese sind durch Selbstähnlichkeit gekennzeichnet. Sie haben keine charakteristische Skala.
Als Beispiel sei die Koch-Kurve (1906) genannt. Abb. 1.2 zeigt die Konstruktionsvorschrift der Koch-Kurve. Erst im Limes n → ∞ hat sie die volle Symmetrie
8
27. Juni 2007
Abbildung 1.2: Konstruktion der Kochkurve nach einigen Konstruktionsschritten
der Selbstähnlichkeit, dh. mit welcher Vergößerung die Kurve auch betrachtet
wird, man sieht immer dasselbe Bild.
ln 4
Das ”Volumen” der Koch-Kurve geht mit L ln 3 , wo L die ursprüngliche Ausdehnung auf nullter Stufe ist. Man findet nicht rationale Exponenten und der
Exponent ist größer als 1!
Der Beweis erfolgt gemäß den Konstruktionsschritten. Man berechnet, wieviele Längeneinheiten
braucht man für die Kurve auf der n-ten Konstruktionsstufe pro Längeneinheit für die Kurve
nullter Stufe. Da die Längeneinheiten immer kleiner werden, ist der Limes n → ∞ zu berechnen.
n=0
n=1
n=2
...
n
1
31
32
...
3n
1
41
42
...
4n
Daraus folgt
LK (n) = 4n
1.2
L(n) = 3n
LK (L) = LD
D=
ln 4
= 1.26
ln 3
Potenzgesetze und Skalenfunktionen
Was bedeutet es nun, wenn die Längenskala verloren geht? Dann ist das System
invariant unter Längentransformationen. Es soll nun gezeigt werden, daß daraus
Potenzgesetze und Skalenfunktionen folgen. Umgekehrt vermutet man, daß einem
Potenzgesetz eine Sakleninvarianz zu Grunde liegt.
9
27. Juni 2007
1.2.1
Homogene Funktionen einer Variablen
Eine Funktion f (x) heißt homogen, wenn für alle Werte ihrer Variablen mit beliebigen λ gilt
f (λx) = λp f (x)
p definiert dabei den Grad der homogenen Funktion. Daß eine Potenz von λ als
Vorfaktor auftritt, folgt zwingend, denn gelte allgemeiner
f (λx) = g(λ)f (x)
dann auch
f (λ(µx)) = g(λ)g(µ)f (x) = g(λµ)f (x)
also die Funktionalgleichung für die Potenzfunktion
g(λ)g(µ) = g(λµ).
Da nun λ beliebig ist, kann man es auch so wählen, daß gilt λx = 1. Daraus folgt
für die homogene Funktion, daß sie eine Potenzfunktion ist
f (λx = 1) = x−p f (x)
oder
f (x) = f (1)xp
Homogene Funktionen haben folgende Eigenschaften
• Die Ableitung einer homogenen Funktion ist wiederum einen homogene
Funktion.
• Auch das Integral einer homogenen Funktion über eine ihrer Variablen ist
wiederum eine homogene Funktion.
In beiden Fällen wird sich im allgemeinen die Ordnung ändern.
Erdbeben: Richter Gesetz: trägt man die Häufigkeit der Erdbeben gegen ihre
Stärke auf, so findet man ein Potenzgesetz. Ähnliches gilt für Börsenkrachs. Kleiber Gesetz (1932): trägt man Stoffwechselrate in Watt gegen die Masse eines
Säugetieres (289 Tiere) auf, so findet man ein Potenzgesetz (Potenz 3/4).
Stoffwechselrate: Rate, mit der Energie zugeführt werden muß, um einen Organismus am Leben zu erhalten. Aber es gilt nicht nur für die Säugetiere sondern
auch für die Zellen selbst.
Das Gesetz sagt, das̈ die Energie die zur Lebenserhaltung für die Masseneinheit
notwendig ist, mit der Größe des Tieres abnimmt.
Ganz ähnliches ergibt sich für den Zusammenhang zwischen Lebensdauer und
Herztakt mit der Masse. Interessant ist, daß die Zahl der Hertztakte in der Lebenszeit für alle Säugetiere gleich ist!
10
27. Juni 2007
Abbildung 1.3: a) Häufigkeit von Erdbeben als Funktion ihrer Energie; b) Stoffwechselrate in Watt gegen die Masse eines Säugetieres
Solche Gesetze sind Ausdruck einer komplexen Systemen zugrunde liegenden universellen Einfachheit. Hierarchische Strukturen.
Lit.: G.B. West, Physica A 263, 104 (1999)
1.2.2
Homogene Funktionen mehrerer Variablen
Liegt eine Funktion mehrerer Variablen vor, so ist diese homogen vom Grad p
wenn gilt
f (λ~x) = λp f (~x)
Das bedeutet, daß alle Variablen ~x in gleicher Weise skalen. Dies ist für physikalische Anwendungen zu einschränkend, wie an obigen einfachen Beispielen schon
zu sehen ist.
1.2.3
Verallgemeinerte homogene Funktionen
Im allgemeinen werden die Variablen unterschiedlich skalen. Man bezeichnet eine
Funktion von n Variablen als verallgemeinerte Funktion wenn gilt
f (λa1 x1 , . . . , λan xn ) = λp f (~x)
oder ohne Beschränkung der Allgemeinheit
f (λa1 x1 , . . . , λan xn ) = λf (~x)
11
27. Juni 2007
Abbildung 1.4: Kennt man eine Skalenfunktion entlang eines Pfades, dann im
ganzen Raum. [Stanley]
so wie andere äquivalente Schreibweisen. Jedenfalls enthält eine verallgemeinerte
Funktion von n Variablen n Exponenten als Parameter.
Eliminiert man den Parameter λ durch eine Variable, so erhält man
−an /a1
f (1, . . . , x1
oder
1/a1
f (~x) = x1
−a2 /a1
F (x1
−1/a1
xn ) = x1
λf (~x)
−an /a1
x2 , . . . , x1
xn )
Die Skaleneigenschaft der homogenen und verallgemeinerten homogene Funktionen führt dazu, daß die Information über die Funktion f (~x) in einer von einer
Variablen weniger abhängigen Funktion F , der Masterfunktion, enthalten ist,
wenn sie nur in den entsprechenden Skalenvariablen geschrieben wird.
Kapitel 2
Phasenübergänge
2.1
Die Entstehung unserer Welt als Abfolge
von Phasenübergängen
In Ovid’s Methamorphosen1 liest man im ersten Buch vom Chaos und der Entstehung der vier Elemente:
Vor dem Meere, dem Land und dem alles deckenden Himmel
Zeigte Natur in der ganzen Welt ein einziges Antlitz.
Chaos ward es benannt: eine rohe gestaltlose Masse,
Nichts als träges Gewicht und, uneins untereinander,
Keime der Dinge, zusammengehäuft in wirrem Gemenge.
............................
Diesen Streit hat ein Gott und die beßre Natur dann geschlichtet.
Denn er schied vom Himmel die Erde, von dieser die Wasser,
teilte den lauen Himmel darauf von den dunstigen Lüften.
Etwas später schreibt Steven Weinberg2 im ersten Bild dieser drei Minuten:
Die Temperatur des Universums beträgt 100.000 Millionen Grad Kelvin (1011 K).
So einfach wie jetzt [eine hunderdstel Sekunde nach dem Big Bang] wird sich das
Universum nie wieder beschreiben lassen. Es enthält eine undifferenzierte Suppe
von Materie Strahlung, ...
Weitere Bilder eines immer kühleren Universums folgen, wobei sukkzesive immer
neue Elementarteilchen bis zu den ersten leichten Atomen entstehen.
1
2
dtv | Artemis 2244 (1990)
Die ersten drei Minuten, dtv 30089 (11 1994)
12
13
27. Juni 2007
Weinberg meint: Aus den modernen Theorien über die Elementarteilchen ergibt
sich als eine wahrhaft faszinierende Konsequenz, daß das Universum einen Phasenübergang durchgemacht haben könnte, wie ihn das Wasser beim Gefrieren
erfährt,... Dieser Phasenübergang hängt nicht mit den starken Wechselwirkungen zusammen (wie in den ersten hunderstel Sekunden, Anm. von mir), sondern
mit der anderen Klasse von Wechselwirkungen, die wir aus der Teilchenphysik
kennen, den schwachen Wechselwirkungen.
Abbildung 2.1: Symmetriebrechungen
Die Enstehungsgeschichte des Universums ist also eine Abfolge von spontanen
Symmetriebrechungen, bei denen es zu einer Ausdifferenzierung von Teilchen und
ihren Wechselwirkungen kam. Sie ging einher mit der Abkühlung des Universums.
Die Art der Phasenübergeänge, die in dieser Vorlesung besprochen werden sollen,
finden alle innerhalb der auf der Erde befindlichen Materie statt, die verantwortlichen Wechselwirkungen sind durch die Wechselwirkung von Atomen und Molekülen, in Ausnahmefällen durch die Wechselwirkung von Atomkernen gegeben.
Literaturhinweis: H. Meyer-Ortmanns, Phase transitions in quantum chromodynamics, Rev. Mod. Phys. 68, 473 (1996). In Tabelle II auf Seite 487 dieses Artikels
findet sich eine ausführlichere Korrespondenz zwischen der statistischen Physik
und der QCD. Eine vereinfachte Version ist in Tabelle 2.1 angegeben.
Über Kritik am Standardmodell: Spektrum der Wissenschaft Jan. 1995, Seite 32.
Gegenvorschlag: das selbstproduzierende inflationäre Universum.
14
27. Juni 2007
Felder
PÜ
Magnet
T,H
±
QCD
T, Massen
Chirale Symmetrie oder Z(3)
Tabelle 2.1: Korrespondenz zwischen statistischer Physik und Quantenchromodynamik. ± heißt, es ist die diskrete Symmetrie ’rauf’ ’runter’ eines Isingmagneten
gebrochen. Bricht man die Symmetrie Z(3), so entspricht das dem deconfinement)
Eichfelder einfaches Beispiel: Potential, nur Differenzen meßbar, konstantes Potential wie Vakuum.
Abbildung 2.2: Korrespondenz zwischen Phasendiagrammen in der Quantenchromodynamik und der Physik kondensierter Materie
2.2
Historische Bemerkungen
Lit.: C.Domb, Contemp.Phys. 26, 49 (1985)
In Flüssigkeiten
1869 Thomas Andrews: Isothermen von CO2
’On the continuity of the gaseous and liquid states of matter’
1873 Van der Waals: Doktorarbeit Theoretische Erklärung des inneren Drucks,
Reduktion des den Molekülen zur Verfügung stehenden Volumes
In magnetischen Systemen
27. Juni 2007
15
1600 Gilbert bemerkt, daß Magnete ihre Kraft bei höheren Temperaturen verlieren
1889 Hopkins: Kritische Temperatur, bei der die Magnetisierung verschwindet
1895 P.Curie: Analogie Magnet Flüssigkeit
1907 P.Weiss: Molekularfeldtheorie (MFT)
Abweichungen von der Molekularfelttheorie
1896 Verschaffelt: Dichteunterschied geht nicht mit (T − Tc )−1/2
1914/16 Ornstein Zernike: Paarkorrelation
1937 L.Landau: Universelle Theorie, Ordnungsparameter, Symmetrie (LT)
1944 L.Onsager: 2-dimensionales Isingmodell exakt gelöst. Die Lösung der 1dimensionalen Version dieses Modells wurde 1925 von Lenz an Ising als
Doktorarbeit vergeben. Beispiel, daß MFT oder LT nicht gültig
Universalität
1965 Widom; Domb und Hunter; Patashinskii und Pokrovski
1967 Griffith: Skalenform
1970 Kadanoff: Hypothese der Universalität, Komponentenzahl des Ordnungsparameters, Raumdimension
1971 K.G.Wilson: Renormierungsgruppentheorie für kritische Phänomene,
Phys. Rev. B4 (1971) 3174; 3184 siehe auch Scientific American, August
1979
1982 Nobel Preis an Wilson (Phys. Rep. 55, 583 (1983))
1991 Nobel Preis De Gennes für seine Arbeiten in der ’soft matter’-Physik (Phys.
Rep. 64, 645 (1992)
1996 Nobel Preis D. M. Lee, D. D. Osheroff, R. C. Richardson für die Entdeckung
der Tiefsttemperaturphasen von 3 He (Phys. Rep. 69, 645 (1997))
2003 Nobel Preis an Abrikosov, Ginzburg, Leggett für theoretische Arbeiten auf
dem Gebiet der Supraleitung (die ersten beiden) und Suprafluidität in 3 He
(Leggett)
16
27. Juni 2007
Entwicklung zu einer hochquantitativen Theorie
bestes Beispiel: 4 He Spezifische Wärme, Wärmeleitfähigkeit. G.Ahlers, Lipa
Andere Bereiche: Sol-Gel, Perkolation Oberflächen PÜ
Konzepte wichtig für Übergang zum chaotischen Verhalten dynamische Systeme:
Feigenbaum Lit.: B.Hu, Physics Reports 91, 235 (1983)
2.3
2.3.1
Allgemeine thermodynamische Betrachtungen
Thermodynamische Stabilität
Thermodynamische Stabilität verlangt
CV (T, V ) > 0 und κT (T, P ) > 0
(2.1)
Verletzung der Stabilität, Singularitäten
Phasenübergänge 1. Ordnung: Sprünge in den 1. Ableitungen eines Potentials,
latente Wärme, Metastabilität
Phasenübergänge 2. Ordnung: keine Sprünge in den 1. Ableitungen (deshalb auch
kontinuierliche PÜ), sondern Singularitäten in den 2. Ableitungen.
2.3.2
Gleichgewicht zweier Phasen
Kopplung an ein Volumsreservoir und Wärmebad, Becher durch beweglichen Kolben abgeschlossen. Relevantes Potential die freie Enthalpie, die nach den Eulerschen Beziehungen gegeben ist durch
G(T, P, N) = Nµ(T, P ) .
(2.2)
Liegen 2 Phasen (z.B. Gas und Flüssigkeit) vor, so ist im Gleichgewicht für beide
Phasen Tf = Tg = T und Pf = Pg = PD . Die freie Enthalpie als extensive Größe
ist durch die Summe der beiden Anteile der Phasen gegeben
G(T, P, N) = Nf µf (T, P ) + Ng µg (T, P ) und N = Nf + Ng
(2.3)
G muß minimal sein. 3 Möglichkeiten, da
G = Nf (µf − µg ) + Nµg
(2.4)
Je nachdem ob µf > oder = oder < µg , ist das Minimum bei Nf = 0 oder Nf =
beliebig oder Nf 6= 0. Die Bedingung µf (T, P ) = µg (T, P ) legt eine Kurve im
P − T -Diagramm fest, die Koexistenzkurve oder auch Dampfdruckkurve PD (T ).
17
27. Juni 2007
Abbildung 2.3: Koexistenzkurve
Die ersten Ableitungen von G:
Sie geben die Entropie und das Volumen, in den beiden Phasen können sie verschieden sein. Der Sprung in der Entropie bedeutet, daß beim Überschreiten der
Phasengrenze eine Wärmemenge zugeführt (oder abgeführt) wird. Dabei ändert
sich die Temperatur nicht, folglich ist die Wärmekapazität singulär. Die Wärmemenge heißt latente Wärme
Ql = T0 ∆S
(2.5)
mit der Phasenübergangstemperatur T0 (Eis Wassergemisch immer bei T = 0
solange Eis vorhanden ist). Nun gilt auf der Koexistenzkurve µf = µg also auch
für die totalen Ableitungen. Daher gilt
!
!
∂µ1 ∂µ2
∂µ1 ∂µ2
dT +
dP = 0
−
−
∂T
∂T
∂P
∂P
(2.6)
oder
dP
∆S
Ql
=
=
(2.7)
dT
∆V
T0 ∆V
die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Der Anstieg der Koexistenzkurve ist durch
die latente Wärme und den Unterschied der Volumina in den beiden Phasen gegeben. Anstieg positiv, da beim Verdampfen (Flüssigkeit in Gas, Volumensvergrößerung) Wärme aufgebracht werden muß.
2.3.3
Gibbs’sche Phasenregel
Drei Variable bilden einen vollständiger Satz von Variablen für eine einfache
Flüssigkeit (S, V , N). Es gibt eine Gibbs-Duhem Relation, bleiben also zwei
Variable, die unabhängig variiert werden können (T , P ; Zustandsfläche).
Bei zwei Phasen in Koexistenz sind die Felder gleich und es kommt eine GibbsDuhem Relation dazu. Also reduziert sich die Zahl der unabhängigen Variablen
auf eine z. Bsp. T und die Koexistenzkurve P = PD (T ).
18
27. Juni 2007
Bei drei Phasen in Koexistenz gibt es keine unabhängige Variable mehr. Der
Tripelpunkt ist festgelegt.
r Komponenten, p Phasen, r + 2 intensive Variable, p Gibbs-Duhem Relationen,
daher die Zahl der unabhängigen intensiven Variablen
i = r+2−p
pmax = r + 2
(2.8)
Das ist die Gibbs’sche Phasenregel. Also in einer zweikomponentigen Mischung
können höchstens vier Phasen in Gleichgewicht sein (r = 2, i = 0 es folgt pmax =
4).
2.4
Berechnung der Zustandssumme
2.4.1
Flüssigkeit
ZN =
mit der Hamiltonfunktion
H=
Z
exp(−βH)dx1 dp1 . . . dxN dpN
(2.9)
N
N
X
1 X
p2i +
V (|xi − xj |)
2m i=1
P aar:i6=j
(2.10)
Die Integration über die Impulse ist leicht ausgeführt, also
ZN = (2πmkB T )3 N/2
Z

exp −β
N
X
P aar:i6=j

V (|xi − xj |) dx1 . . . dxN
(2.11)
Richtige Zählung gibt noch Faktor 1/N! und 1/h3N . Um daraus die Van der
Waals Zustandsgleichung herzuleiten, kann man wie Ornstein vorgehen (Siehe
van Kampen Phys. Rev. A 135, 362 (1964))
Übung: Für den Fall, daß das Potential V ≡ 0 ist, leite man die thermische Zustandsgleichung
des idealen Gases her.
Theoretische Herleitung der Van der Waals Gleichung.
Lit.: Macke, Thermodynamik und Statistik, Seite 273. Cluster-Entwicklung.
Domb, The Critical Point. Seite 46
Die grundlegende Vorraussetzung ist die Langreichweitigkeit des anziehenden Potentials, z.B. in der Form
3
Vanz (r) = − lim cJλ exp(−λr)
λ→0
mit
Z
Vanz (r)d3 x = −J
(2.12)
19
27. Juni 2007
(c ist eine Normierungskonstante, so daß die rechte Gleichung gilt) neben dem
abstoßenden Potential der harten Kugeln. Unter dieser Vorraussetzung kann man
die Zustandssumme in der Näherung berechnen, bei der das i-te Molekül ein
mittleres anziehendes Potential sieht. Dabei werden Fluktuationen um diesen
mittleren Wert vernachlässigt. Also
D
N
X
P aar:i6=j
E
V (|xi − xj |) = −
JN 2
2V
(2.13)
Der Beitrag des Harte-Kugel-Potentials (Radius: σ)
exp (−βVHK (r)) = Θ(r − σ) =
(
0
1
(r < σ)
(r ≥ σ)
(2.14)
Das Produkt, das sich ergibt, wenn über alle Teilchen summiert wird, kann nur
in d = 1 exakt berechnet werden. Nimmt man diesen√Ausdruck auch im Dreidimensionalen, so ergibt sich die Freie Energie (Λ = h/ 2πmkB T )
−
Jn2
+ NkB T 3 ln Λ3N + ln N − 1 − kB T N ln(V − Nb)
2V
(2.15)
wo b durch σ gegeben ist (im Eindimensionalen b = 2σ). Die thermische Zustandsgleichung folgt dann durch Ableiten nach dem Volumen
∂F
P (v, T ) = −
∂V
!
T
=−
a
kb T
+
2
v
v−b
(2.16)
mit dem spezifischen Volumen v = V /N und a = J/2. Dies ist die van der Waals
Gleichung.
In ”realistischen” Berechnungen wird das Lennard-Jones Potential
V (r) = 4
12
σ
r
−
6 !
σ
r
(2.17)
verwendet (Beispiele: Argon Ar, Stickstoff N2 , Methan CH4 , Ammoniak NH3 ).
Sphärisch, kurzreichweitige Abstoßung (herrührend vom Pauliprinzip verhindert
Überlapp elektronischer Orbitale), anziehende Van der Waals Kraft. Ein realistischeres Potential für die Abstoßung wäre ein Yukawa Potential.
2.4.2
Magnet
Die Zustandssumme eines Systems aus lokalisierten Spins S(xi ) auf einem Gitterplatz xi lautet
Z = Sp exp(−βH)
(2.18)
20
27. Juni 2007
wo die Spur, Sp, die Summe über alle Konfigurationen der Spins S(xi ) ist. Je
nachdem diese Spins quantenmechanische oder klassische Größen sind, ergibt sich
ein anderes Resultat. Im ersten Fall ist über die Eigenzustände zu summieren,
im anderen Fall sind Integrale über die räumlichen Orientierungen der Vektoren
S(xi ) auszuführen.
Selbst die einfache Form der effektiven Wechselwirkung in einem äußeren Feld
H=−
X
Jij S(xi )S(xj )−
X
i
i,j
S(xi )H =: −
X
i,j
Jij Si Sj −
X
Si H
(2.19)
i
ist für beliebige Werte der Koeffizienten schwierig zu diskutieren. Eine einfache
Annahme (P. Weiss, 1907), daß das Feld der restlichen Spins auf einen beliebig
herausgegriffenen Spin unabhängig vom betrachteten Spin ist, daß sich also jeder Spin zusätzlich zum äußeren Feld einem mittleren Feld der übrigen Spins
unterliegt
Hef f = H + Hmol .
(2.20)
In der Hamilton-Funktion entspricht dies, ausgehend von der Identität
−
X
i,j
Jij Si Sj = −
X
i,j
Jij (Si hSj i + hSi i Sj − hSi i hSj i + (Si − hSi i) (Sj − hSj i)) ,
(2.21)
der Vernachlässigung des Fluktuationsterms (Si − hSi i) (Sj − hSj i). Der
hSk i hSl i-Term ist zwar eine Konstante bzgl. der Summation über die Spinkonfigurationen, er hat aber als thermodynamischer Mittelwert eine Temperaturabhängigkeit, die zu beachten ist (z.b. bei Berechnung der spezifischen Wärme).
Die Erwartungswerte hSi und die thermodynamischen Potentiale werden nun mit
der in dieser Näherung resultierenden Hamilton-Funktion in der Gibbs-Verteilung
berechnet.
Da in einem translationsinvarianten System die Kopplungen zwischen den Spins
nicht von der Position auf dem Gitter abhängen, sind die Erwartungswerte unabhängig vom Gitterplatz
hSk i = hSl i = m = M/N
(2.22)
und in der Hamilton-Funktion ist dann
X
i,j
Jij (Si hSj i + hSi i Sj ) =
X
Jij m (Si + Sj ) ;
(2.23)
ij
wenn
Jij = Jji ,
dann ist
X
i,j
Jij (Si hSj i + hSi i Sj ) = 2
(2.24)
X
ij
Jij mSi .
(2.25)
21
27. Juni 2007
Damit ist
H = m2
= m2
X
i,j
X
i,j
Jij − 2
Jij −
Die Größe
Hef f,i :=
X
ij
X
i
X
Jij mSi −
Si
X
X
Si H
i
(2Jij m+δij H) .
(2.26)
j
(2Jij m+δij H)
(2.27)
j
tritt also als effektives Feld auf, und das Problem der Berechnung der Zustandssumme ist auf den Fall eines Spins in einem Feld reduziert.
Langevin betrachtete ein Ensemble von nicht untereinander ww.-den magnetischen Momenten µ in einem (konstanten) äußeren Magnetfeld - WW
HH = −µH = −µH cos ϑ.
(2.28)
In der Zustandssumme ist über die kontinuierlichen Orientierung ϑ der Momente
zu mitteln; das Gesamtmoment ist
hcos ϑi =
=
1
− α1 ζe−αζ +
Rπ
0
R
1
dςζe−αζ
dϑ sin ϑ cos ϑ exp [−α cos ϑ]
Rπ
= R−11
−αζ
0 dϑ sin ϑ exp [−α cos ϑ]
−1 dςe
1 R1
α −1
−1
R1
−αζ
−1 dζe
dζe−αζ
=
1 − (eα + e−α ) + α1 (eα − e−α )
α
− α1 (eα − e−α )
= coth α −
1
α
(2.29)
(2.30)
(2.31)
µH
M = Nm = N hµ cos ϑi = NµL
,
kB T
mit der Langevin-Funktion
1
L [z] = coth (z) − .
z
(2.32)
Dieses Resultat kann man nun benützen, um die Magnetisierung in der Molekularfeldnäherung auszurechnen. Der Spin Si sei ein klassischer Vektor. Da die
Wechselwirkung translationsinvariant ist, ist das effektive Feld unabhängig von
i. Man braucht also in die Langevin-Gleichung nur für H das effektive Feld Heff
einsetzen. Dann resultiert eine selbstkonsistente Gleichung für die Magnetisierung
mH =< Si > H (µ = 1)
#
"
(H + λm)
.
(2.33)
m=L
kB T
22
27. Juni 2007
Die Konstante λ ist durch die Wechselwirkung und die Geometrie des Gitters
P
gegeben. Hier ist sie λ = 2 ij Jij . Dies ist das magnetische Analogon zur Van
der Waals Gleichung für Flüssigkeiten.
Übung: Berechnen Sie die Zustandsgleichung für Ising Spins σi = ±1, und H ist Feld in zRichtung
N
N
X
X
σi
H = −J
σi σj − H
i
nächsteN achbarn:i6=j
Resultat
2.5
(H + λm)
m = tanh
kB T
Analytische Eigenschaften der großkanonischen Zustandssumme
Lit.: Yang and Lee, Phys. Rev. 87, 404 und Lee and Yang 410 (1952
R. Kotecky, Phase transitions: on a crossroads of probability and analysis, preprint
Die großkanonische Zustandssumme lautet
Zgr (T, V, µ) =
wo
QN =
und
Z

exp −β
N
X
P aar:i6=j
M
X
Q N
y
N =0 N!
(2.34)

V (|xi − xj |) dx1 . . . dxN
y = (2πm/β)3 /2 exp µβ
(2.35)
(2.36)
Das großkanonische Potential ergibt sich aus
Φ(T, V, µ) = −kb T log Zgr = −P V
(2.37)
wobei sich letzteres aus der Legendre Transformation und den entsprechenden
vollständigen Differentialen ergibt. Also erhält man
1
log Zgr
V →∞ V
pβ = lim
∂ 1
log Zgr
V →∞ ∂ log y V
ρ = lim
(2.38)
Elimination von µ oder y liefert die Zustandsgleichung p(T, ρ). Man kann folgende
Theoreme beweisen:
23
27. Juni 2007
• Im thermodynamischen limes V → ∞, N → ∞ (unabhängig von der Volumsform ist der Druck eine monoton wachsende Funktion von y. Wenn in
der komplexen y-Ebene Zgr (y) in einer Region frei von Nullstellen ist, dann
sind log(Zgr )/V und Ableitungen nach y analytisch, und der thermodynamische Limes kann mit der Ableitung vertauscht werden, d.h.
ρ=
∂ p
∂y kB T
(2.39)
• Wenn es aber Nullstellen auf der reellen y-Achse gibt, dann ist zwar der
Druck stetig ansteigend, aber ρ ist unstetig.
• Die Nullstellen auf der reellen Achse wandern mit der Temperatur und
können zu kritischen Punkten bei Tc oder Tripelpunkten T0 führen, wenn
bei Tc die Nullstelle verschwindet bzw. wenn sie bei T0 zusammenfallen.
• Für das Isingmodel (und damit Gittergas) konnte von Lee und Yang gezeigt werden, daß die Nullstellen der großkanonischen Zustandssumme auf
einem Einheitskreis um den Ursprung liegen (unabhängig von der Wechselwirkung, sie muß nur ferromagnetisch sein). Damit folgt sofort, daß es
nur einen Phasenübergang geben kann, denn der Einheitskreis schneidet die
positive y-Achse nur einmal.
Das Problem bestand in der Frage, wie kann es zu verschiedenen Phasen kommen,
mit einer Zustandssumme, in der die zugrundeliegende Hamitonfunktion diese
Phasen nicht unterscheidet. Ist alle notwendige Information in der Zustandssumme enthalten? Für endliche Volumina und Teilchenzahlen ist die Zustandssumme
eine analytische Funktion und kann keinen Phasenübergang beschreiben. Erst
die (nicht)analytischen Eigenschaften im thermodynamischen Limes machen dies
24
27. Juni 2007
möglich. Noch 1973 auf der van der Waals Konferenz zum hundertjährigen Jubiläum wurde die Frage:”Enthält die Zustandssumme die notwendige Information, um einen scharfen Phasenübergang zu beschreiben?” vom Publikum nicht
überzeugend beantwortet (nach Kotecky).
Zusammenhang der Dichteverteilung der Nullstellen und isothermen Magnetisierungsdaten M(H) in einem zweidimensionalen Magneten (FeCl2 ) Lit.: Ch. Brinek, Phys. Rev. Lett. 81, 5644 (1998)
2.6
Phasendiagramme
Abbildung 2.4: Die Zustandsfläche einer Flüssigkeit
Die in der Natur vorkommenden Zustansformen einer Substanz, wir sprechen
von Phasen, sind durch thermodynamische Größen, sogenannte Dichten, charakterisiert. Diese verschiedenen Phasen existieren im thermodynamischen Gleichgewicht in gewissen Gebieten, die durch thermodynamische Größen festgelegt sind,
die wir Felder nennen. Trägt man die Dichten über die Felder auf so erhält man
die Zustandsflächen, auf denen die einzelnen Phasen liegen. Betrachten wir einige
Beispiele.
Die Anomalien des Wassers: (i) die isotherme Kompressibilität nimmt zu beim
Abkühlen, (ii) ebenso die spezifische Wärme bei konstantem Druck und (iii) der
thermische Ausdehnungskoeffizient nimmt ab und wird negativ. Extrapoliert man
diese Anomalien, so findet man singuläres Verhalten bei einer Temperatur von
25
27. Juni 2007
Abbildung 2.5: Das Phasendiagramm von Wasser
Abbildung 2.6: Die Anomalien von Wasser
Ts ∼ 228K und Ps ∼ 100MPa. (1bar= 0.1MPa = 105 Pa)
Der gas-flüssig-kritische Punkt liegt bei Tc = 647K, Pc = 22, 1MPa. Der Tripelpunkt bei Tc = 273K, Pc = 600Pa.
Sofern das Wasser etwas verunreinigt ist, bildet sich bei Temperaturen unter 0
Grad Eis. Sehr reines, stehendes Wasser läßt sich im Labor bei ganz langsamer
Abkühlung auf bis zu -70 Grad Celsius flüssig halten. In der Atmosphäre kommen
unterkühlte Wassertröpfchen sehr häufig vor. So überwiegen bei Temperaturen
zwischen 0 und -12 Grad sogar unterkühlte Wassertröpfchen gegenüber Eiskristallen. Bei weiterer Abkühlung nimmt der Anteil an Eiskristallen immer mehr zu.
Bis -20 Grad halten sich unterkühlte Wassertröpfchen und Eiskristalle die Waage, darunter überwiegen die Eiskristalle. Unterkühlte Wassertröpfchen kommen
in der realen Atmosphäre bis etwa -40 Grad noch vor.
Lit.: H. E. Stanley, MRS Bulletin May 1999 Seite 22
P. B. Debenedetti and H. E. Stanley, Physics Today June 2003 Seite 40
Phasendiagramm
des
Wassers
siehe
Webseite:
http://www.lsbu.ac.uk/water/phase.html
Aus ORF ON Science (http://science.orf.at/science/news/91945)
27. Juni 2007
26
Zwei Zustandsformen: Wasser ist nicht gleich Wasser
An der Erklärung der Dichteanomalie beißen sich jedenfalls schon Generationen
von Physikern die Zähne aus. Im Jahr 1992 publizierte eine Arbeitsgruppe um den
Guru in Sachen Phasenübergänge, H. Eugene Stanley, einen vielversprechenden
Erklärungsansatz. Dieser Hypothese zufolge existiert das so genannte unterkühlte
Wasser nicht wie bisher gedacht in einer - sondern in zwei verschiedenen Zustandsformen: Einem mit hoher (”high density phase”, HDP) und einem mit etwas
geringerer Dichte (”low density phase”, LDP). ”Unterkühlt” weist in diesem Zusammenhang auf flüssiges Wasser hin, das unter seinen Gefrierpunkt abgekühlt
wurde, jedoch in Ermangelung aktiver Eiskeime nicht gefriert. Die von Stanley
und seinen Mitarbeitern postulierte Hypothese von zwei Zustandsformen wurde
zunächst bei der erwähnten Unterkühlung angewandt: Die amerikanischen Physiker fanden anhand einer Computersimulation Hinweise, daß bei hohem Druck
und sehr tiefen Temperaturen ein so genannter kritischer Punkt existiert (siehe die Figur) An diesem Punkt, so Stanley und Mitarbeiter, sollte unterkühltes
Wasser abrupt vom HDP- in den LDP-Zustand wechseln (”liquid liquid critical
point”).
Lit.: Peter H. Poole, Francesco Sciortino, Ulrich Essmann und H. Eugene Stanley,
Nature 360, 324 (2003)
Francesco Sciortino und seine Kollegen von der La Sapienza Universita di Roma
haben diese Betrachtungsweise nun entscheidend verallgemeinert. Sie betrachteten die statistischen Eigenschaften einer Landschaft (”potential energy landscape”), die die potentielle Energie der verschiedenen Molekülanordnungen abbildet.
In dieser Landschaft sind also die Berge Zustände mit hoher, die Täler Zustände
mit geringer Energie. Nach den Prinzipien der Wärmelehre tendiert jedes abgeschlossene System dazu, sich in den Tälern fortzubewegen und meidet folglich
jeden ”Bergaufmarsch”.
Sciortino und Mitarbeiter konnten ganz allgemein zeigen, daß jeder Stoff, der eine
Dichteanomalie aufweist, zwei verschiedene Existenzformen in ein und dem selben
Aggregatszustand entwickelt. Dies gilt für Wasser, aber auch jeden anderen Stoff,
27. Juni 2007
27
der sein Dichtemaximum im flüssigen Bereich ansiedelt. H. Eugene Stanley zeigt
sich von der theoretischen Verallgemeinerung seiner Idee jedenfalls begeistert:
”Das ist wirklich herausragend: Sie fanden heraus, unter welchen Bedingungen
so ein kritischer Punkt auftritt.”
Lit.: Francesco Sciortino, Emilia La Nave und Piero Tartaglia Phys. Rev. Lett.
91, 155701(2003)
2.6.1
Das Phasendiagramm einer einfachen Flüssigkeit
Die Felder sind Druck und Temperatur. Die Dichte ist durch die Teilchendichte
gegeben. Die einzelnen Phasen sind eine gasförmige, eine flüssige und mehrere
feste (Eis) Phasen. Die Phasen sind durch Phasenübergangslinien oder Koexistenzlinien getrennt. Überschreitet man so eine Linie, tritt ein Phasenübergang
(PÜ) auf. Dieser PÜ ist durch Änderungen der Dichten bei infinitesimaler Änderung der Felder charakterisiert. Das Bild zeigt folgendes: Für T > Tc existiert ein
Abbildung 2.7: Durchgang durch den kritischen Punkt (siehe Text). Die drei
Kugeln haben Dichten etwas größer, kleiner und gleich der mittleren Dichte ρc
Fluid mit Dichte ρc . Bei Annäherung an Tc beginnt die Trennung in gasförmige
(ρ noch immer ρc ), man sieht die kritischen Fluktuationen (die Flüssigkeit wird
milchig, Sensitivität auf Druckänderungen), dann unterhalb Tc tritt ein flüssiger
und gasförmiger Anteil auf (ρc = (ρf + ρg )/2) (ρf > ρc , aber noch kleiner als die
schwerste Kugel), bis im letzten Bild der beiden Anteile eine Dichte viel kleiner
und viel größer als ρc haben und sich alle Kugeln am Meniskus treffen.
Je nach dem stetigen oder unstetigen Verhalten der Dichten unterscheidet man
28
27. Juni 2007
10
8
T1
6
T2
T3
P
T4
4
2
0
0
2
4
6
8
10
1/ρ
kontinuierliche und diskontinuierliche PÜ.
Abbildung 2.8: (a) Die Dichte als Funktion der Temperatur, (b) Die latente
Wärme von Wasser
Im allgemeinen können die PÜlinien nicht frei enden, sondern müssen aneinanderstoßen. Dies hängt damit zusammen, daß sich die Phasen in ihrer Symmetrie
unterscheiden, und nicht stetig ineinander geführt werden können. Dies ist nicht
der Fall zwischen den Phasen gasförmig und flüssig, hier endet die PÜlinie in
einem kritischen Punkt. (Ein anderes Beispiel ist der kritische Punkt in Ce. Dort
endet die PÜlinie zwischen der festen α-Phase und γ-Phase im Endlichen. Das
29
27. Juni 2007
geht, da beide Phasen dieselbe Symmetrie, fcc, haben. Der Unterschied der beiden Phasen liegt in der elektronischen Struktur der 4f-Elektronen. In der γ-Phase
ist eines bei einem Ce Atom, in der α-Phase sind sie im Leitungsband)
Betrachten wir spezielle Wege: Geht man entlang einer kritischen Isotherme durch
den kritischen Punkt, so erkennt man daß die isotherme Kompressibilität
1
χT =
ρ
∂ρ
∂P
!
(2.40)
T
divergiert. Man stellt ebenfalls fest daß die spezifische Wärme divergiert. Dies ist
Abbildung 2.9: Die Divergenzen am kritischen Punkt (a) Die spezifische Wärme
bei konstantem Volumen, (b) die Wärmeleitfähigkeit
charakteristisch für einen PÜ 2. Ordnung. Es tritt eine Singularität in der Zustandssumme auf, so daß die zweiten Ableitungen der Freien Energie divergieren.
Also wir haben es mit einem kontinuierlichen PÜ zweiter Ordnung zu tun.
Eine einfache Theorie für Flüssigkeiten ist die Van der Waals Theorie (siehe
Kapitel 2.4.1). Die Zustandsgleichung lautet:
!
aN 2
P + 2 (V − bN) = RT
V
(2.41)
Der Parameter a berücksichtigt die Wechselwirkung zwischen den Molekülen der
Flüssigkeit, was den Druck P auf die Begrenzung der Flüssigkeit erniedrigt, und
b berücksichtigt, daß wegen der endlichen Ausdehnung der Moleküle (abstoßende Wechselwirkung auch bei T = 0) die Flüssigkeit ein endliches Volumen V
einnimmt.
Übung (bzw. Wiederholung): Berechnung der Zustandsfläche (Maxwellkonstruktion) und des
singulären Verhaltens der Kompressibilität; Konvexität der Helmholtz’schen freien Energie in
27. Juni 2007
30
dem Volumen; Doppel-Tangentenkonstruktion; Konkavität des Gibbs’schen Potentials in dem
Druck
G(T, P ) = F (T, V ) + P V
(2.42)
Man diskutiere metastabile und instabile Zustände
Zustandssumme:
3N
2πm 2
QN
ZN =
β
V − Nb
N2
log QN = N log
+ N + βa
N
V
(2.43)
(2.44)
Lit.: Domb, The Critical Point, Seite 39
N. G. van Kampen, Phys. Rev. 136A, 362 (1963): Herleitung der van-der-WaalsZustandsgleichung
N. G. van Kampen, Physica 48, 313 (1970): das eindimensionale van-der-Waals-System
siehe Skriptum Statistische Physik II von U. Titulaer
W. Weidlich, Thermodynamik und statistische Mechanik, Akad. Verl. 1976, Seiten 14 und 296
2.6.2
Ein Fluid aus wechselwirkenden harten Kugeln
Lit.: D. Frenkel, Physica A 263, 31 (1999)
Das Problem des Phasenübergangs gasförmig-flüssig ist, daß es eigentlich keinen
Abbildung 2.10: Mögliche Phasendiagramme wechselwirkender harter Kugeln je
nach Reichweite der Wechselwirkung: A Reichweite der anziehenden Wechselwirkung größer als 1/3 des Durchmessers der harten Kugeln; B Reichweite 5% bis
20% des Durchmessers; C Reichweite kleiner als 5%
Unterschied zwischen der gasförmigen Phase und der flüssigen Phase gibt. Oberhalb Tc kann man ein Gas kontinuierlich bis zum Gefrierpunkt komprimieren,
unterhalb Tc und oberhalb des Tripelpunktes nicht, es ist der Phasenübergang 1.
Ordnung in den flüssigen Zustand dazwischen. Es ist aber nicht zwingend, daß
dieser PÜ überhaupt existiert, noch daß es nicht weitere flüssige Phasen gibt.
Dies hängt vom Potential ab. Die Abbbildung 2.10 zeigt einige Möglichkeiten.
Physikalisch realisiert werden solche Phasendiagramme in kolloidalen Systemen;
bis auf C (siehe P. Bolhuis, M. Hagen, D. Frenkel, Phys. Rev. E 50, 4880 (1994)).
Der kritische Punkt im Fall C ist möglich, da sich die festen Phasen nur durch
die Gitterkonstante unterscheiden, sonst aber die gleiche Symmetrie besitzen.
31
27. Juni 2007
In Kolloiden bestehend aus größeren Kugeln und kleinen Kugeln ohne Wechselwirkung kommt es auf Grund entropischer Effekte zu einer anziehenden Wechselwirkung. Die großen Kugeln sind von eienm Ausschlußvolumen umgeben in dem
sich keine kleineren Kugeln befinden können (zwischen R < r < R + σ). Überlappen nun diese Ausschlußvolumina so ist das gesamte Volumen für die kleinen
Kugeln größer damit steigt die Entropie und die freie Energie sinkt. Also ist es
für die großem Kugeln günstiger zu überlappen, und dies bewirkt eine anziehende
Wechselwirkung zwischen den großen Kugeln.
Die entropischen Kräfte können zu Entmischung führen und so die Struktur der
Phasendiagramme beeinflussen. Wichtig ist dies überall dort, wo polydispersive
Teilchenmischungen eingesetzt werden.
Lit.: Physikalische Blätter 55, 53 (1999)
Berechnung des Potentials (Barrat, Hansen Seite 64ff):
Ausgeschlossenes Volumen für eine Kugel
Vex =
4π(R + σ)3
3
(2.45)
Ist der Abstand der großen Kugeln kleiner 2R + 2σ aber größer als 2R, so ist das
Überlappvolumen zu berechnen.
Übung: Zwei Kugeln vom Radius R überlappen über eine Länge 2h, dann ist das halbe Überlappvolumen
h2 π
(3R − h)
3
R
Berechnen durch Aufintegrieren von Kreisflächen π dxr2 (x)
Nun ist einzusetzen R → R + σ und H → R + σ − r/2 und das doppelte Volumen
zu nehmen
!
3r
r3
4π(R + σ)3
1−
(2.46)
+
Vov =
3
4(R + σ) 16(R + σ)3
Das den kleinen Kugeln zur Verfügung stehende Volumen ist
V 0 (r) = V − 2Vex + Vov
2R < r < 2σ + 2R
(2.47)
Einsetzen gibt 2R + 2σ = D
πD 3
3r
r3
V (r) = V −
1+
−
6
2D 2D 3
0
!
(2.48)
Die freie Energie ist
(V 0 )N
F = −T S = −kB T ln
Λ3N N!
!
V0
= −kB T ln
−
Nk
T
ln
B
Λ3N N!
V
V
!
(2.49)
32
27. Juni 2007
Abbildung 2.11: (a) Darstellung der Überlappvolumina. Es wird eine anziehende
Wechselwirkung sowohl zwischen den großen Kugeln wie auch zur Wand erzeugt;
depletion force. (b) Messung an Polystyren Kugeln (R = 1.5µm = 1.5 10−6m)
und Polyethylen Oxid r = 100nm = 10−7 m in Wasser fü Konzentrationen von
0(µm)−3 bis 25.5(µm)−3. Phys. Rev. Lett. 81, 1330 (1998)
Die radiale Kraft ist durch −dF/dr = −dvef f /dr gegeben, also
vef f
πD 3
3r
r3
= −NkB T ln 1 −
1+
−
6V
2D 2D 3
!!
(2.50)
und da D 3 /V << 1
vef f
3r
r3
πD 3
1+
= ρkB T
−
6
2D 2D 3
!
(2.51)
Das ist bis auf eine beliebige Konstante das Potential für 2R < r < D. Wählt
man die Konstante so, daß vef f (D) = 0 so ergibt sich
vef f
πD 3
3r
r3
= ρkB T
−1 +
−
6
2D 2D 3
!
(2.52)
Da es sich um kein mikroskopisches Potential handelt, sondern ein effektive gewonnen aus thermodynamischen Überlegungen, ist es abhängig von der Temperatur und der Dichte der kleinen Kugeln. Wichtig aber ist, dass die Wechselwirkung
abstimmbar ist.
2.6.3
Das Phasendiagramm eines einfachen Magneten
In diesem Fall sind die Felder das Magnetfeld und die Temperatur, die Dichte ist
die Magnetisierung. Bei H = 0 tritt unterhalb der Curie-Temperatur eine spontane Ordnung der magnetischen Moment in der Substanz auf. Daraus resultiert eine
33
27. Juni 2007
Abbildung 2.12: Die Zustandsfläche eines Magneten
endliche spontane Magnetisierung. Durch diese ist der ferromagnetische Zustand
gegenüber dem paramagnetischen Zustand charakterisiert. Die ferromagnetische
Phase ist von der paramagnetischen dadurch ausgezeichnet, daß in ihr eine Symmetrie nämlich die Rotationssymmetrie der Magnetisierung gebrochen ist. Es
gibt zwei ferromagnetische Phasen, eine mit Magnetisierung hinauf, die zweite
mit Magnetisierung hinunter. Diese beiden Phasen haben die gleiche Symmetrie
Abbildung 2.13: Der Vergleich Magnet-Flüssigkeit
34
27. Juni 2007
und entsprechen der flüssigen und gasförmigen Phase im vorigen Beispiel. Es gibt
auch einen kritischen Punkt. Das zum P-V-Diagrmm analoge H-M-Diagramm
sieht deshalb etwas einfacher aus, weil das Koexistenzgebiet parallel zur H-TEbene ist. Betrachtet man wieder die Isothermen so erkennt man daß, im Falle
des Magneten am kritischen Punkt die magnetische Suszeptibilität
∂M
∂H
χM =
!
(2.53)
T
divergiert. Ob eine Divergenz der spezifischen Wärme auftritt hängt von der Substanz ab. Ein weiterer Unterschied zwischen Flüssigkeit und Magnet ist dadurch
gegeben, daß die Koexistenzlinie in der Flüssigkeit gekrümmt ist, d.h.
während
∂P
∂T
!
∂H
∂T
!
6= 0
(2.54)
= 0.
(2.55)
Koex
Koex
Das hat zur Folge, daß sich in der Flüssigkeit die adiabatische und isotherme
Komprssibilität verschieden verhalten
χ−1
S
=
χ−1
T
TV
+
CV
∂P
∂T
!2
(2.56)
V
Ebenso verhalten sich die isobare und isochore spezifische Wärme verschieden
CP = CV + T V
∂P
∂T
!
χT
(2.57)
V
Im Magneten hingegen sind χS und χT sowie CH und CM gleich.
Geht man in einer Flüssigkeit (Volumen fest, Teilchenzahl fest) in das Koexistenzgebiet, so
teilen sich die beiden Phasen gemäß der Balkenregel auf (Trennflächeneffekte vernachlässigt).
Im magnetischen Fall ist das offenbar anders. Binney et al. schreiben, daß das Gebiet nicht
erreichbar ist (Seite 8 Fig. 1.6), man also immer für die ganze Probe die Magnetisierung der
rechten oder linken Spinodale hat, Fisher schreibt, daß Domaine in dem Gebiet enstehen. Dies
ist auch für Magnete mit dipolarer Wechselwirkung der Fall.
Übung (bzw. Wiederholung): Berechnen Sie die Zustandsgleichung in der Molekularfeldtheorie
für ein System aus Spins mit Spinquantenzahl S (Brillouin-Funktion).
W. Weidlich, Thermodynamik und statistische Mechanik, Akad. Verl. 1976, Seiten 22 und 296
35
27. Juni 2007
2.6.4
Phasendiagramm einer magnetischen Flüssigkeit
Lit.: P. C. Hemmer, D. Imbro, Phys. Rev. A 16, 380 (1977)
J. J. Weis et al., Phys. Rev. E 55, 436 (1997)
N. E. Frank, C. J. Thompson, J. Phys. C: Solid State Phys. 8, 3194 (1975)
F. Schinagl, H. Iro, R. Folk; Eur. Phys. J. B ßbf 8, 113 (1999)
Der theoretische Ansatz zum Studium des Phasendiagramms enthält für die freie
Energie pro Teilchen
f (ρ, T, H) + Hm = inf
|m|≤1
~
1
1
fs (m,
~ T ) + fh (ρ, T ) − am m2 ρ − aρ
2
2
(2.58)
Diese freie Energie enthält einen magnetischen (Spin-)Anteil fs nicht wechselwirkender Spins (reiner Entropieterm), den Anteil nicht wechselwirkender unmagnetischer harter Kugeln fh , den magnetischen Wechselwirkungsanteil und den
Teil, der von der anziehenden Wechselwirkung der Teilchen kommt. Je nach der
Behandlung des Anteils fs ergeben sich numerisch unterschiedliche Phasendiagramme. Qualitativ aber erhält man schon einen Überblick durch einfache Approximationen (Van der Waals Zustandsgleichung, oder in einem eindimensionalen
Modell ohne Attraktion zwischen den Teilchen, wo die Zustandsgleichung für den
Druck besonders einfach ist). Zu lösen sind die magnetische Zustandsgleichungen
m = ms (H + am ρm, T )
(2.59)
mit ms = coth y − y1 (klassischer Fall) oder ms = tanh y (Ising Spins) und
m ρm
und die Van der Waals Gleichung (unter Verwendung der Maxwelly = H+a
kB T
Konstruktion)
1
1
ρ
− am m2 ρ2 − aρ2
(2.60)
p = kB T
1 − bρ 2
2
Der kritische Punkt erfüllt die Bedingungen
∂p/∂ρ = 0 and ∂ 2 p/∂ρ2 = 0
(2.61)
da die kritische Isotherme einen Wendepunkt hat.
Der ’unmagnetische’ gas-flussig kritische Punkt liegt bei (Hemmer, Imbro)
pc =
a
54b2
ρc =
1
3b
kB Tc =
4a
27b
(2.62)
für H = 0. Daneben gibt es einen Phasenübergang in eine magnetische Phase.
wo kaBmTρm = 1. Dieser Phasenübergang kann 2. Ordnung oder 1. Ordnung sein. Er
ist so lange 2. Ordnung, solange
∂p/∂ρ > 0
(2.63)
36
27. Juni 2007
Abbildung 2.14: Isothermen der idealen magnetischen Flüssigkeit
gilt. Bei einem speziellen Wert von ρ erfolgt diese Änderung der Ordnung, und
dieser Punkt heißt trikritischer Punkt.
Für den trikritischen Punkt gilt in diesem Fall (Hemmer, Imbro)
ρt =
1
1
− q3
b b
+
2
kB Tt =
a
am
am
am
− q3
b
b 2+
(2.64)
a
am
wobei man pt durch einsetzen findet. Im Weiteren betrachten wir das einfache
0.10
0.08
Lλ
0,05
0.07
0.06
0.05
CP-as
0.02
CP+as
P
TCP
0.04
0,03
CP
L-
TCP
0,02
0.01
-0.3
Lλ
CP-as
0,04
P
0.03
R=0.22
0,06
0.09
L+
0,01
L-
0.30
-0.2
-0.1
CP+as
0.0
H
0.1
0.2
0.15
0.3
0.25
0.20
-1,0
-0,5
T
0.10
H 0,0
L+
0,5
1,0
0,200
0,175
0,150
0,125 T
0,100
Abbildung 2.15: Wing lines in (a) the ideal Ising fluid and (b) the Van der Waals
Ising fluid.
Modell harter Kugeln (eindimensional) ohne anziehende Wechselwirkung (Frank,
Thompson). Man hat dann den Limes a = 0 oder am /a = R → ∞ zu betrachten
und erhält die Zustandsgleichung
m h̄
m = tanh
+
t̄
xt̄
!
(2.65)
37
27. Juni 2007
Abbildung 2.16: Die verschiedenen Topologien von Phasendiagrammen einer Heisenberg Flüssigkeit
p̄ =
t̄
m2
− 2.
x − 1 2x
nach geeigneter Skalierung der Variablen: p̄ = p/R,
1/(ρb).
(2.66)
t̄ = t/R,
h̄ = h/R,
x=
Wenn das äußere Magnetfeld Null ist, so gibt es einen magnetischen Phasenübergang bei xt̄ = 1, was sofort aus der magnetischen Zustandsgleichung abzulesen
ist. In der Nähe des magnetischen Phasenübergangs ist die Magnetisierung (Entwicklung des tanh) unterhalb der Curie-Temperatur
1
−1
m ∼3
xt̄
2
(2.67)
Setzt man dieses in die Druckgleichung ein und sucht den gasförmig-flüssig kritischen Punkt, so erhält man oberhalb des magnetischen Phasenübergangs
p̄ =
t̄
x−1
(2.68)
38
27. Juni 2007
und unterhalb
1
1
t̄
− 23
−1
p̄ =
x − 1 2x
xt̄
Eine Phasenseperation in der Flüssigkeit tritt auf, wenn
(2.69)
(2.70)
2
−2
3
(2.71)
dp̄
3
|x=t̄ = 0 = t̄3
− (1 − t)−2
dx
2
Das gibt für den trikritischen Punkt
1
=1−
t̄t =
xt
s
2
3
5
p̄t =
2
s
Für sehr große Feldstärken läßt sich eine weitere Vereinfachung einführen, indem
man das magnetische Moment m = 1 setzt. Dann lautet die Druckgleichung
p̄ =
t̄
1
− 2.
x − 1 2x
(2.72)
Aus den oben angegebenen Bedingungen kann der kritische Punkt als Funktion
der Temperatur gefunden werden. Es folgt
Daraus folgt für t̄ und x
dp̄
−t̄
1
=
+ 3,
2
dx
(x − 1)
x
(2.73)
2t̄
1
d2 p̄
=
−
3
.
dx2
(x − 1)3
x4
(2.74)
t̄ =
mit den Lösungen x = 3,
(x − 1)2
x3
t̄ = 4/27,
x−1
2
=
3
x
(2.75)
p̄ = 1/54.
Für endliche Werte des äußeren Magnetfeldes kann man eine Parameterdarstellung der Phasenübergangslinien 2. Ordnung finden



2(x−1)2
t̄
9x2 −10x+3
 1


1+m(x)

h̄
=


 2 t̄ (x) ln 1−m(x) −
1 −2x−1+x2
p̄
2
2 9x −10x+3
mit m2 (x) =
m(x)
x




(2.76)
x2 (6x−x2 −3)
.
9x2 −10x+3
Für endliche Werte von R findet man neben der Linie kritischer Punkte induziert durch die Magnetisierung auch noch die Linie der üblichen gasförmig-flüssig
Phasenübergänge.
39
27. Juni 2007
Für eine Heisenberg Flüssigkeit (magnetisches Moment ist Vektor) findet man
mehr Topologien von Phasendiagrammen als für die Isingflüssigkeit abhängig
vom Parameter R.
Wird die kurzreichweitige Heisenbergwechselwirkung J(rij ) durch die langreichweitige Wechselwirkung magnetischer Dipole ersetzt
1
D(rij ) = 3
rij
3(mi r)(mj r)
mi mj −
rij2
!
(2.77)
so findet man in Computersimulationen für harte Kugeln und mit der magnetischen Wechselwirkung alleine keinen kritischen Punkt (Lit.: Y. Levin, condmat/9904134). Ist ein anziehendes Potential zwischen den Molekülen vorhanden
(etwa ein Lennard Jones Potential), so spricht man von einer Stockmayer Flüssigkeit.
2.6.5
Das Phasendiagramm von 4 He
Im Phasendiagramm von 4 He tritt bei tiefen Temperaturen und kleinem Druck
die Besonderheit auf, daß es nicht fest wird. Man spricht von einer Quantenflüssigkeit, da dies ein Effekt der kleinen Masse von 4 He und der daraus resultierenden
großen Nullpunktsschwankungen ist. (Nebenbemerkung: atomarer Wasserstoff ist
ein Quantengas, da es nicht flüssig wird). Es tritt vielmehr eine suprafluide Phase
auf. Seltsame Eigenschaften dieser Phase sind etwa die fehlende Viskosität beim
Fließen durch Kapillare oder der nichtdiffusive sondern Schall-artige Wärmetransport. Letzteren kann man auch sehen:
The easiest way to see superfluidity is to look at liquid helium in a dewar, while pumping on it
so as to cool it below Tλ = 2.2K. When crossing Tλ , the liquid stops boiling. This is because
the thermal conductivity of liquid helium has suddenly increased, so that the temperature is
very homogeneous. The walls are no longer warmer than the surface. They no longer provide
efficient nucleation sites for bubbles. As a result, superfluid helium evaporates from its free surface, instead of showing bubble nucleation on hot defects. Superfluid helium looks quiet, and
it is tempting, although not rigorous, to take this as an illustration of quantum order getting
established. At least this shows a striking reality: a liquid made of very simple atoms can exist
in two different states!
Ein anderer spektakulärer Effekt ist der Springbrunnen-Effekt:
For helium 4, crogenicists distinguish two liquid forms: helium I and helium II. Helium I is the
warmer form; helium II is the colder. The transition temperature, called the ”lambda point”,
is 2.17 K. (It varies slightly with pressure.) Helium I, the ”warm” form, acts more or less like
a conventional liquid.
Helium II has some strange properties. In some situations, it behaves as though it had no
viscosity. (Viscosity is a measure of how ”thick” a liquid is: honey has high viscosity, water has
low viscosity.) Helium II can be pushed through tiny capillaries that would be too narrow for
40
27. Juni 2007
Abbildung 2.17: Das Phasendiagramm von 4 He
most liquids to flow through. When this is done, it is found that the liquid which flows through
the capillary is cooler than the liquid that stays behind. If Helium II’s viscosity is measured, it
is found that the viscosity depends on the method used to measure it.
One of the oddest properties is the fountain effect, in which a helium II fountain can be turned
on and off by turning a heater on and off. (The fountain effect is one of a number of effects
called ”thermomechanical effects.”) Here’s how to see the fountain effect. Take a tube with a
wide opening at one end and a tiny opening at the other. Install a small heater inside the tube,
then block the wide opening with a porous plug. (The porous plug can be made of small metal
particles, of ceramic, or of other substances, as long as it has tiny pores in it.) Insert the tube
into the helium II, with the large blocked end below the surface. Apply a small amount of heat
to the heater. Pressure builds up in the tube until a small fountain of liquid helium spouts from
the tiny opening at the top.
To explain the strange behavior of helium II, scientists devised the two fluid model. Helium II
is pictured as a mixture of two fluids: normal helium and superfluid helium. At temperatures
just below the lambda point, the mixture is almost entirely normal. As the temperature drops,
more and more of the mixture is superfluid.
Here are some of the properties of the superfluid helium II. -It carries no thermal energy (no
entropy): all of the heat energy is in the normal component -It has no viscosity: it can flow
through tiny holes. -It flows towards areas where the helium II is heated. Heat causes superfluid
to convert to normal. A flow of superfluid into the heated area cools that area and restores the
uniform mixture of normal and superfluid.
41
27. Juni 2007
Abbildung 2.18: Das Phasendiagramm von 4 He
Here is the two fluid model explanation of the fountain effect. When the heater in the tube
is turned on, the liquid helium in the tube begins to warm up. Since superfluid helium flows
from cool areas to warm areas, superfluid helium flows into the tube through the porous plug.
Normal fluid is too viscous to flow out through the porous plug. Therefore, when the tube fills
with liquid helium, the only way out for the normal fluid is to squirt out the hole in the top.
Der PÜ von der HeI-Phase zur HeII-Phase ist 2. Ordnunng. Als Funktion des
Druckes tritt eine ganze Linie Tλ (P ) von PÜ 2. Ordnung auf. Daneben gibt es
auch den üblichen flüssig-gasförmig Übergang mit einem kritischen Punkt. Da
die normale Flüssigkeit und die Supraflüssigkeit verschiedene Symmertrie haben,
endet die Linie von λ-Übergängen in jeweils einer anderen PÜlinie.
Erweitert man allerdings den Raum der Felder formal um das Feld, das die ’normalflüssige Symmetrie’ bricht, so kann man die λ-Linie als Linie von kritischen
Endpunkten, die supraleitende Phasen gleicher Symmetrie trennt, verstehen. Die
Dichte, die den suprafluiden Zustand charakterisiert, ist die makroskopische Wellenfunktion fur das suprafluide Kondensat. Diese Größe ist komplex und dem Experiment nicht direkt zugänglich. Insbesondere gibt es kein physikalisches Feld,
das daran koppelt. Man spricht daher von einer exakt gebrochenen Symmetrie
27. Juni 2007
42
im Unterschied z.B. zu den magnetischen PÜ, wo das Erdmagnetfeld an die Magnetisierung koppelt oder dem flüssig-gasförmig PÜ, wo das Schwerefeld an die
Teilchendichte (über die Masse) koppelt. Solche Kopplungen sind störend und
c|
). Das
begrenzen die mögliche Annäherung an den kritischen Punkt (t = |T −T
Tc
macht unter anderem Experimente im Weltraum nötig, die auch schon durchgeführt wurden. Man erreicht Werte von t ∼ 10−9, die es erlauben, die quantitativen Vorhersagen der Theorie zu überprüfen.
2.6.6
Das Phasendiagramm von 3 He
Lit.: D. Mermin, D. M. Lee, Scientific American ... Seite 56
D. M. Lee, Rev. Mod. Phys. 69, 645 (1997)
Die einzelnen Phasen A, A1 und B sind durch die Drehimpuls- und Spineigen-
Abbildung 2.19: Phasendiagramm von 3 He: Phase B hinter Fläche B, Phase A
zwischen Fläche B und A2 , Phase A1 zwischen Flächen A2 und A1 Normalphase
rechts von Fläche A1 . Bei hohem Druck oberhalb Fläche S die feste Phase.
schaften der makroskopischen Wellenfunktion charakterisiert.
2.6.7
Das Phasendiagramm von 4 He-3 He Mischungen
2.6.8
Das Phasendiagramm von MnBr2 4H2 O und FeCl2
Lit.: Multicritical Phenomena, Plenum Press 1983 (NATO-School) Artikel von
Shapira, Seite 35
Beide Substanzen sind Antiferromagnete mit unterschiedlicher Anisotropie. Sie
zeigen einen neuen Typ von kritischen Punkten nämlich multikritische Punkte.
27. Juni 2007
43
Abbildung 2.20: Phasendiagramm für He3-He4 Mischungen
Dies sind Punkte im Phasendiagramm, wo mehrere Linie ’gewöhnlicher’ kritischer
Abbildung 2.21: Ein Phasendiagramm mit einem multikritischen (bikritischen)
Punkt (aus: Gebhardt, Krey Bild 4.4.8)
Punkte aneinanderstoßen. Am bikritischen Punkt sind es zwei, am trikritischen
Punkt drei solche Linien. Dies sieht man aber erst, wenn das alternierende Feld
(ein Magnetfeld das von Gitterplatz zu Gitterplatz das Vorzeichen wechselt) zum
Phasendiagramm hinzugenommen wird.
Die auftretenden Phasen hängen davon ab, ob es sich um Ising-Spins oder 2oder 3-komponentige Vektoren handelt, die das magnetische System beschreiben. Ebenfalls wichtig sind kubische Anisotropien. Es hängt das Phasendiagramm
27. Juni 2007
44
auch davon ab wie das Magnetfeld zu den Anisotropieachsen gerichtet ist.
Magnetfeld ⊥ leichte Ebene: Virtueller bikritischer Punkt
Magnetfeld k leichte Achse: Antiferromagnetische und Spinflop Phase
Isotroper Antiferromagnet: Antiferromagnetische Phase nur für H = 0, degenerierter bikritischer Punkt
Ising Antiferromagnet: trikritischer Punkt FeCl2 (ferromagnetische Schichten antiferromagnetisch gekoppelt), DAG = Dy3 Al5 O1 2
n = 2 leichte Achse: GdAlO43 , NiCl6 6H2 O, CsMnBr3 2D2 O
n = 3 leichte Ebene: MnF2 , Cr2 O3
isotrope: RbMnF3 , KNiF3 , CsMnF3
Das Phasendiagramm hängt von der Dimension des Ortsraum, von dem Vorhandensein von Anisotropien im Spinraum und der Anwesenheit von äußeren
Magnetfeldern ab. In d = 2 ist es noch unklar welche Typen von Phasendiagrammen realisiert sind (siehe cond-mat 0702273 (2007)). In d = 3 ist die Situation
klar:
Abbildung 2.22: Darstellung der Spinflopphase (Bild Gursky)
• In Abwesenheit einer Anisotropie in der magnetischen Wechselwirkung aber
in Anwesenheit eines Magnetfeldes H treffen sich bei zwei Linien von XY Phasenübergängen (n = 2) bei H = 0 im Neel Punkt des isotropen Antiferromagneten mit n = 3. Überraschend ist, daß, wie experimentell bestätigt,
die Phasenüberghangslinie für kleine, ansteigende Werte des Magnetfelds
zu höheren Temperaturen geht.
• Für H = 0 aber Anwesenheit einer Anisotropie treffen sich XY - und IsingPhsenübergangslinie in einem isotropen Phsenüberganspunkt.
• Im Magnetfeld und Anwesenheit einer Anisotropie gibt es einen multikritische Punkt bei endlichem Wert des Magnetfelds.
27. Juni 2007
45
Abbildung 2.23: Phasendiagramm des isotropen Antiferromagneten im Magnetfeld (aus: Kosterlitz et al Phys. Rev. BB13, 412 (1976))
Lit.: Kosterlitz et al Phys. Rev. BB13, 412 (1976)
A. Aharony, cond-mat 0201576v1 (2002)
A. Pelissetto, E. Vicari, cond-mat 0702273v1 (2007)
Y. Shapira, N. F. Oliveira Jr., Phys. Rev. B 17, 4423 (1978)
2.6.9
Das Phasendiagramm von (KBr)1−x (KCN)x
Neben verschiedenen strukturellen PÜ zwischen verschiedenen festen Phasen mit
unterschiedlicher Gitterstruktur (definiert durch die Symmetriegruppe des Gitters) findet man auch einen Übergang in eine Glasphase. Diese ist durch eine
’eingefrorene Unordnung’ der CN− -Moleküle charakterisiert.
2.7
Zusammenfassung
Die Größe, die die geordneten Phase charakterisiert nennt man Ordnungsparameter (OP). Dem OP entspricht eine Variable, deren Erwartungswert in der ungeordneten Phase Null, in der geordneten Phase verschieden von Null ist. Es
ist nicht immer leicht einen Ordnungsparameter zu finden (Helium, Supraleiter,
Polymere). Beispiele sind in der Tabelle 2.2 angegeben:
46
27. Juni 2007
PÜ
OP
gas-flüssig
ρ − ρc
uniaxialer
Mz
Ferromagnet
~
isotroper Ferromagnet
M
uniaxialer
Nz
Antiferromagnet
isotroper
~
N
Antiferromagnet
Ψ
λ-Linie in He4
Supraleiter
Gap-∆
Binäre Mischung
c
~ω
antiferrodistortiver
elastischer
Pz
ferroelektrischer
konjugiertes
Feld
µ
Beispiel
Tc
H2 O
647.05
Hz
YFeO3
643
~
H
Fe
1044
-
FeF2
78.26
-
RbMnF3
83.05
∆
σ
Ez
He4
Pb
CCl4 /C7 F14
SrTiO3
LaP5 O14
TCS
2.1
7.19
301.78
105
391
322.5
Tabelle 2.2: Ordnungsparameter für verschiedene Phasenübergänge
Bei einem PÜ 1. Ordnung ’springt’ der Wert des OP von Null auf einen endlichen Wert, bei einen PÜ 2.Ordnung wächst er stetig von Null an. Das Auftreten
eines endlichen OP hängt mit der Symmetriebrechung zusammen. Obwohl die
Hamiltonfunktion, mit der die Zustandssumme berechnet wird, nach wie vor die
gleiche Symmetrie besitzt, so bricht der Zustand unterhalb Tc diese Symmetrie.
Der OP ist durch eine 1. Ableitung der freien Energie gegeben. Die Ordnung der
Ableitung der freien Energie, durch die die thermodynamische Größe gegeben ist,
in der erstmals eine Unstetigkeit oder Singularität auftritt, bestimmt die Ornung
des PÜ. Im Fall des kritischen Punktes treten Singularitäten in der spezifischen
Wärme und/oder der Kompressibilität auf.
Die beiden PÜ sind auch noch durch andere Phänomene unterschieden. So tritt
bei einem PÜ 1. Ordnung meist eine latente Wärme auf, und man kann Metastabilität beobachten. Die Ordnung der QCD-PÜ spielt eine große Rolle, doch ist
es nicht immer leicht festzustellen von welcher Ornung ein PÜ ist. Dies ist auch
beim PÜ in den supraleitenden Zustand der Fall.
Die Annäherung an einen PÜ 2. Ordnung äußert sich auch in dem Response des
Systems auf Änderungen des Feldes, das dem OP zugeordnet ist. Dieser Response
ist durch eine Suszeptibilität gegeben (für die Flüssigkeit durch (∂V /∂P )T ) und
diese divergiert für eine Änderung des OP, weil ein immer kleineres Feld notwendig ist, da ja das System von alleine die zum OP gehörige Dichte ändern will.
Man spricht von spontaner Symmetriebrechung.
Beispiel: Ferromagnet
47
27. Juni 2007
Die Hamiltonfunktion lautet
H=−
1 X
Jij Si Sj ,
2 ij
(2.78)
der Erwartungswert ergibt sich zu
< S z >= T r(ρS z ) .
(2.79)
Wegen der Symmetrie H(S) = H(−S) schließt man fälschlicherweise < S z >= 0.
Die Dichtematrix
exp(−βH)
(2.80)
ρ=
T r exp(−βH)
ist keine gute Dichtematrix. Entweder man berücksichtigt die Nebenbedingung < sz >= M oder man bildet den Quasi-Erwartungswerte mit der Dichtematrix
exp(−βH − S z H z )
H⇔0 T r exp(−βH − S z H z )
ρ = lim
(2.81)
Betrachtet man diese Quasi-Erwartungswerte als Funktion der Temperatur, so
kann man zeigen, daß M = 0 für T > Tc und M 6= 0 für T < Tc .
Die Symmetriebrechung hängt mit dem Auftreten langreichweitiger Korrelationen zusammen. Schon in der ungeordneten Phase treten größere Bereiche der
geordneten Phase auf, sogenannte Fluktuationen, deren Ausdehnung durch die
Korrelationslänge ξ gegeben ist. Weiter weg vom PÜ ist die Korrelationslänge
typischerweise von der Größenordnung atomarer Abstände (Ausnahmen: konventionelle Supraleiter (∼ 100Å), in den neuen Hochtemperatursupraleitern liegt
die Korrelationslänge wieder im Bereich von Å , Tieftemperaturphasen in 3 He).
Nähert man sich dem PÜ 2. Ordnung, so divergiert die Korrelationslänge; bei
einem PÜ 1. Ordnung tritt so eine Divergenz nicht auf. Dies kann direkt beobachtet werden z.B. in einer Flüssigkeit durch Lichtstreuung (Natterer-Röhre) oder
auch durch Neutronenstreuung an einem Magneten. Das Anwachsen der Fluktuationen bei Annäherung an den kritischen Punkt führt zu den schon erwähnten
Divergenzen in den statischen Suszeptibilitäten.
Es werden aber auch dynamische Größen wie die Relaxationszeit oder Transportkoeffizienten wie die Wärmeleitfähigkeit durch die Fluktuationen beeinflußt und
zeigen ein singuläres Verhalten bei Annäherung an den PÜ.
Kapitel 3
Symmetriebrechung und
spontane Ordnung
Abbildung 3.1: Ein Phasenübergang in der neugierigen Menge. (a) ”Paramagnet”;
(b) ”Ferromagnet”
48
49
27. Juni 2007
3.1
3.1.1
Landautheorie (Statik)
Die Problemstellung
Da wir ein System im thermodynamischen Gleichgewicht betrachten läuft die
Problemstellung darauf hinaus die Zustandssumme für das betrachtete System
zu berechnen. Dabei könne wir uns auf klassische Modelle beschränken, da Quanteneffekte für das kritische Verhalten keine Rolle spielen. Ausnahmen sind etwa
Ferroelektrika mit Tc ∼ 0. Für die Bestimmung nichtuniverseller Größen wie etwa
Tc können natürlich Quanteneffekte sehr wohl eine bestimmende Rolle spielen.
Gesucht ist also
Z
Z = dqdp exp{−βH(q, p, ; V, N)}
X
X
σi}
i
σ
für eine Flüssigkeit bzw. einen Magneten. Das entsprechende thermodynamische
Potential (Freie Energie oder Freie Enthalpie; wir werden immer nur von Freier
Energie sprechen) ist durch −kB T ln Z gegeben. Damit überhaupt ein PÜ auftreten kann muß der thermodynamische Limes N, V → ∞ mit N/V =konst. durchgeführt werden andernfalls ist Z immer eine analytische Funktion ihrer Variablen. Z exakt zu berechnen ist im allgemeinen eine hoffnungslose Aufgabe (für
Ausnahmen Abschnitt exakt lösbare Modelle). Daher muß man Näherungen
durchführen bzw. eine systematische Störungstheorie entwickeln.
Z=
3.1.2
exp{−βH(σ; N) − H
Die Kac-Hubbard-Stratonovich Transformation
Das Ziel dieser Transformation ist es von diskreten Variablen σi (∓1) auf kontinuierliche Variable si (−∞ < si < ∞) am Gitterplatz i überzugehen. Aus der
Zustanssumme wird dann ein Integral. Der Transfomation liegt folgende Formel
zugrunde
N Z
Y
∞
i=1 −∞
dsi exp[−si Jij−1 sj /4 + si σi ] = konst. exp[σi Jij σj ]
wobei verlangt wird, daß Jij symmetrisch und positiv definit ist.
Beweis: Man transformiert die Matrix Jij auf Diagonalform, vervollständigt in den Exponenten
auf ein Quadrat und integriert die Gauß’schen Integrale und transformiert wieder zurück.
Damit kann man die Zustandssumme für das Isingmodell umformen in
Z=
X
σi =±1
exp[σi K̂ij σj + Hi σi ] =
50
27. Juni 2007
=
N Z
Y
∞
i=1 −∞
dsi exp[−(si − Hi )K̂ij−1 (sj − Hj )/4]
X
exp[σi si ]
σi =±1
mit K̂ij = Jij β/2 und Hi = βH. Allerdings gilt K̂ii = 0 und K̂ ist nicht positiv
definit. Man kann aber zu Kij eine geeignete Matrix P0 δij hinzu addieren, sodaß
Kij = K̂ij + P0 δij positiv definit ist. In Z gibt es dann einen zusätzlichen Vorfaktor exp[−NP0 ]. Das wurde in der zweiten Zeile benützt, wobei der Vorfaktor
weggelassen wurde. Die Summe über σ läßt sich nun leicht ausrechnen
X
exp[σi si ] =
σi =±1
N
Y
N
X
2 cosh(si ) = 2N exp[
i=1
ln(cosh(si ))]
i
Führen wir noch eine Transfomation Ψi = Kij−1 sj /2 durch so erhalten wir die
Form der Zustandssumme
Z = konst. exp[−Hi Kij−1 Hj /4]
und
H = Ψi Kij Ψj − Hi Ψi −
N Z
Y
∞
i=1 −∞
N
X
dΨi exp[−H(Ψi )]
ln(cosh(2Kij Ψi ))
i
Ein wichtiges Resultat der Transformation auf die Variablen Ψ ist, daß diese
ebenfalls an H koppeln. Den quadratischen Term in H lassen wir analog zur
Feldenergie in der paramagnetischen Phase weg.
3.1.3
Das Landau-Ginzburg-Wilson-Hamilton-Funktional
Wir haben zwar von diskreten auf kontinuierliche Variable transformiert, diese
sind aber noch immer auf einem Gitter definiert. Im folgenden wollen wir von
dem Gittermodell auf ein Kontinuumsmodell übergehen.
Zuerst führen wir eine Gitterfouriertransformation durch (~k ∈ 1.BZ)
1 X −i~k~xi ~
Ψi = √
e
Ψ(k)
N ~k
Kij =
1 X −i~k(~xi −~xj ) ~
e
K(k)
N ~
k
P
Es ist dann Ψi Kij Ψj = ~k K(~k)Ψ(−~k)Ψ(~k) und der nichtlineare Term wird entwickelt
ln(cosh(2Kij Ψi )) = (2Kij Ψi )2 /2 − (2Kij Ψi )4 /12 + . . .
P
Mit
H zu
i
(Kij Ψi )2 =
P
~k
K(~k)Ψ(~k)K(−~k)Ψ(−~k) und den 4.Ordnungstermen wird
H(Ψ) =
X
~k
[K(~k) − 2 | K(~k) |2 ]Ψ(~k)Ψ(−~k)+
51
27. Juni 2007
4/3K(0)4
XXX
~k1 ~k2 ~k3
Ψ(~k1 )Ψ(~k2 )Ψ(~k3 )Ψ(−~k1 − ~k2 − ~k2 )
Als
nächstes
entwickeln
wir
die
~k-abhängigen Funktionen K(~k) = K(0) − K(0)a2 k 2 (wir haben ein kubisches
Gitter mit nachster Nachbarwechselwirkung gewählt). Der Vorfaktor bei dem in
Ψ quadratischen Term wird
2
[K(~k) − 2 | K(~k) | ] = K(0)[(1 − 2K(0)) + (4K(0) − 1)a2 k 2 + . . .]
Es gibt nun eine Temperatur T0 wo K(0) = 1/2 dort wird, wenn wir nur den
quadratischen Anteil betrachten, Ψ(~k = 0) instabil, während alle anderen Komponente wegen 4K(0) − 1 ' 1 stabil bleiben. Eine solche Instabilität ist schon
aus der Molekularfeldnäherung bekannt allerdings ist hier (für das Isingmodell)
die Temperatur T0 nur eine formale Größe, deren Wert aus dem Experiment
genommen werden muß, da in K(0) die beliebige Größe P0 auftritt.
Abhängig von der Funktion K(~k) kann die Instabilität auch für ~k verschieden
von Null auftreten. Das liefert dann eine inhomogene geordnete Phase, z.B. wenn
~k vom Rand der BZ dann erhält man eine antiferromagnetische Ordnung.
Man kann noch auf andere Weise zu einem Hamiltonfunktional kommen, indem
man nämlich ausgehend von dem mikroskopischen Ausdruck für H über Zellen die
mehrere Gitterpunkte enthält mittelt und ein H für die Zellmagnetisierung erhält.
Gesichtspunkt dabei ist, daß die Korrelationslänge in der Nähe des PÜ sehr groß
ist und es auf mikroskopische Details also Fourierkomponenten der Magnetisierung mit größeren ~k nicht ankommt. Dies haben wir hier durch die Entwicklung
nach kleinen ~k auch schon verwendet.
Bis jetzt ist Ψ noch auf dem Gitter definiert, durch die Fouriertransformation
1 X ~ −i~k~x
Ψ(k)e
Ψ(~x) = √
N ~k
1 Z
~
Ψ(~k) = √
dV Ψ(~x)eik~x
N V
definieren wir ein Feld Ψ(~x) auf dem Kontinuum. Die Summe läuft über die
1.BZ. Im thermodynamischen Limes können wir die Summen über ~k in Integrale
umschreiben; der ’cut off’ Λ = O(1/a) bleibt dabei fest. Für H hatten wir
H(Ψ) =
1/12
X
1/2 [
~k
XXX
~k1 ~k2 ~k3
T − T0
+ a2 k 2 ]Ψ(~k)Ψ(−~k)+
T0
Ψ(~k1 )Ψ(~k2 )Ψ(~k3 )Ψ(−~k1 − ~k2 − ~k2 )
Umschreiben auf die Kontinuumsfelder liefert die Form
Z
r
c
H(Ψ) =
dxd { Ψ(~x)2 + (∇Ψ(~x))2 + uΨ(~x)4 }
2
2
52
27. Juni 2007
bzw. im ~k Raum
1
H(Ψ) =
(2π)d
Z
Z
Z
dk d {
Z
r
c
| Ψ(~k) |2 + k 2 | Ψ(~k) |2 } +
2
2
Z
1
dk1d
dk2d
dk3d
dk4d Ψ(~k1 )Ψ(~k2 )Ψ(~k3 )Ψ(~k4 )δ(~k1 +~k2 +~k3 +~k4 )
(2π)4d
Wir haben die Parameter r, c, u eingeführt die in Zusammenhang zu den experimentellen Größen gebracht werden können. Es sei noch bemerkt daß der
2
’cut off’ auch durch einen Term der Form (∆Ψ(~x))2 /(2Λ)2 bzw k 4 /(2Λ)2 | Ψ(~k) |
berücksichtigt werden kann. Ein solcher Term schneidet dann automatisch die
kurzwelligen Fourierkomponenten heraus.
+u
Die Zustandssumme wird als Funktionalintegral berechnet
Z(h) =
Z
DΨ exp{−H(Ψ) +
Z
dxd hΨ(~x)}
Dabei bedeutet die Funktionalintegration
Z
DΨ =
Z
dΨ(~k)
Da Ψ(~x) reell ist gilt Ψ∗ (~k) = Ψ(−~k) so daß die Fourierkomponenten für negative
~k nicht mehr unabhängig sind (ReΨ(−~k) = ReΨ(~k), ImΨ(−~k)=-ImΨ(~k))
Z
3.1.4
DΨ =
Z
∞
−∞
dReΨ(~k = 0)
>0
Z
∞
−∞
dReΨ(~k)
Z
∞
−∞
dImΨ(~k)
Formulierung der Landautheorie
Der Phasenübergang 2. Ordnung
Die Berechnung der Zustandssumme ist auch für das oben definierte Modell nicht
exakt möglich. Man muß also Approximationen durchführen. Die einfachste besteht darin das Funktionalintegral nicht zu berechnen sondern durch das Maximum des Integranden zu ersetzen. Das heißt man muß das Minimum von H(Ψ)
aufsuchen.
Z
c
r
2
2
4
H(Ψ(~x)) = d~x Ψ(~x) + (∇Ψ(~x)) + uΨ(~x)
2
2
Physikalisch heißt das, daß Ψ(~x) durch den wahrscheinlichsten Wert ersetzt wird
und Fluktuationen vernachläßigt werden. Wir erwarten also die Resultate der
Molekularfeldtheorie zu reproduzieren. Es ist also die Funktionalableitung von H
zu bilden
δ
H(Ψ(~x0 )) = 0
δΨ(~x)
53
27. Juni 2007
Dabei definieren wir die Funktionalableitung als
1
[H(Ψ(~x0 ) + δ(~x − ~x0 )) − H(Ψ(~x0 ))]
→0 lim
Das gibt für den Gradiententerm in H
δ
δΨ(~x)
Z
= −
Z
2
d~x0 (∇0 Ψ(~x0 )) ⇔
d~x0 {(∇0 [Ψ(~x0 ) + δ(~x − ~x0 )])(∇0 [Ψ(~x0 ) + δ(~x − ~x0 )]) − (∇0 Ψ(~x0 )2 }
Z
d~x0 {(∇02 [Ψ(~x0 ) + δ(~x − ~x0 )])([Ψ(~x0 ) + δ(~x − ~x0 )]) − Ψ(~x0 )∇02 Ψ(~x0 )}
= −
Z
d~x0 {Ψ(~x0 )∇02 δ(~x − ~x0 ) + (∇02 Ψ(~x0 ))δ(~x − ~x0 )}
= −
Z
d~x0 2(∇02 Ψ(~x0 ))δ(~x − ~x0 ) = −2∆Ψ(~x)
Die Minimumsbedingung wird damit
δ
H = rΨ(~x) − c∆Ψ(~x) + 4uΨ3(~x) − h = 0
δΨ(~x)
Wenn h ortsabhängig ist auch die Lösung ortsabhängig aber um diese Lösung
treten keine Fluktuationen mehr auf. Für obige Gleichung müssen noch entsprechende Randbedingungen vorgegeben werden. Ferner muß überprüft werden ob
H( ) tatsächlich ein Minimum ist. Sei nun h ortsunabhängig so gilt
[r + 4uΨ2 ]Ψ = h
Im allgemeinen ist r = r(T, h) und u = u(T, h). Für h = 0 gibt es aber ein T0 , so
daß r(T0 ) = 0. Entwickelt man um T0 so schreiben wir r = a(T − T0 ) und u =
u(T0 ) > 0. Wenn u > 0 ist, so ist das System nicht stabil, und man muß einen Ψ6
Term mitnehmen im H-Funktional (siehe nächstes Unterkapitel). Für u = 0 liegt
trikritisches Verhalten vor für u < 0 hat man einen Phasenübergang 1.Ordnung.
Die freie Energie oder wie hier im magnetischen Beispiel das Gibb’sche Potential
(pro Volumseinheit bzw Teilchen) ergibt sich zu
g(T, h) = − ln Z(T, h)/V = r Ψ̄2 /2 + uΨ̄4 − hΨ̄
Um die volsständige Lösung für die Gibbs’sche freie Energie zu bekommen ist die
Lösung Ψ̄ einzusetzten,
h
r
=0
Ψ̄3 + Ψ̄ −
4u
4u
Das geht mit Hilfe der Cardano’schen Formeln. Daraus sieht man dann, daß
g(t, h) eine homogene Funktion ist und man kann die Skalenexponenten und die
54
27. Juni 2007
Skalenfunktion ablesen (Übung). Durch eine Legendre Transformation kommen
wir zur freien Energie f (T, m)
f = g + hm
∂g
m=−
∂h
mit
!
= Ψ̄
T
und
f (T, m) = rm2 /2 + um4
Wenn h = 0 ist, ist für r > 0 das Minimum bei Ψ̄ = 0, für r < 0 bei Ψ̄ =
r 1/2
±(− 4u
) (zwei geordnete Phasen gleicher Symmetrie, eine ungeordnete Phase
mit davon verschiedener Symmetrie, Spiegelungssymmetrie).
Abbildung 3.2: Die freie Energie als Funktion der Magnetisierung; für h = 0 ist
die Gleichgewichtsmagnetisierung durch das globale Minimum gegeben’
Für h 6= 0 folgt die Magnetisierung aus der Zustandsgleichung
h=
∂f
∂m
die equivalent zur Minimumsbedingung ist.
Aus der Lösung für T < T0 finden wir den Temperaturverlauf der Magnetisierung
pro Volumen
1
m = (a[T − T0 ]/u)1/2
2
d.h. der kritische Exponenten ist β = 1/2. Setzt man für m ein so kann man die
2
spezifische Wärme pro Volumen berechnen. Ch=0 = − T ( ∂∂ Tg2 )h=0 . Für T > T0
a2
ist wegen g = 0 auch C = 0, für T < T0 ist gh=0 = − 8u
(T − T0 )2 und
Ch=0 =
a2
T = ∆C
4u
55
27. Juni 2007
Die spezifische Wärme hat also in der Landautheorie einen Sprung bei T0 . Der
kritische Exponent α wird als α = 0 definiert. Als nächstes wollen wir die Sus) oberhalb und unterhalb des PÜ berechnen. Dazu leiten
zeptibilität χT = ( ∂m
∂h T
wir wegen m = Ψ̄ die Minimalisierungsgleichung nach h ab und bekommen eine
Gleichung für χT .
1 = rχT + 12uΨ̄2 χT
woraus folgt
1
1
und χ−
T =
a(T − T0 )
2a(T0 − T )
0
Das heißt für die kritischen Exponenten γ = γ = 1 und die Amplitudenverhältnisse Γ+ /Γ− = 2. Die Zustandsgleichung ist direkt durch die Minimalisierungsgleichung gegeben.
h = rm + 4um3
χ+
T =
Das liefert bei T = T0 h = 4um3 und somit den kritischen Exponenten δ = 3. In
Skalenform geschrieben (für t > 0) (r = a0 T0 t)
Abbildung 3.3: Die Zustandsgleichung in Skalenform (strichlierte Kurve unterhalb, durchgezogene oberhalb T0
x=
(4u)1/3 m
h1/3
y=
h
|r|2/3
Also hat man die Skalenfunktion (für t > 0 und y < 1) und für t < 0 und y > 1
y=
x
1/3
(4u) 1 − x3
!3/2
Experimentell ist diese Skalenfunktion für das kritische Verhalten an Mott Phasenübergängen realisiert (siehe P. Limette et al, Science 302, 89 (2003))
Zur Berechnung der statischen Korrelationsfunktion legen wir ein ortsabhängiges
äußeres Feld an. Dann ist m(~x) = Ψ̄(~x) und die Korrelationsfunktion
G(~x − ~x0 ) =
δm(~x)
|h=0
δh(~x0 )
56
27. Juni 2007
Abbildung 3.4: Mott Phasenübergang
Die Gleichung für G erhalten wir wiederum durch Funktionalableitung der Minimalisierungsgleichung
[r − c∆ + 12uΨ̄2 ]G(~x − ~x0 ) = δ(~x − ~x0 )
und durch Fouriertransformation
[r + ck 2 + 12uΨ̄2]G(~k) = 1
Man beachte daß der limes h → 0 durchgführt wurde und daher der ortsunabhängige Minimumswert für Ψ auftritt. Somit ergibt sich die Korrelationsfunktion für T > T0 bzw. T < T0
G+ (~k) =
1
1
1
1
=
=
und G− (~k) =
−2
−2
2
2
2
r + ck
−2r + ck
c(ξ+ + k )
c(ξ− + k 2 )
mit den Korrelationslängen
a
a
ξ+ = [ (T − T0 )]−1/2 und ξ− = [2 |T − T0 |]−1/2
c
c
Das liefert wiederum die Exponenten ν = ν 0 = 1/2 und das Amplitudenverhältnis
f + /f − = 21/2 . Bei T = T0 haben wir G(~k) = 1/ck 2 und somit den Exponenten
η = 0. Denn es ist die Fouriertransformierte von G(~k) in d = 3
(2π)−3
G(~x) =
c
Z
x|
exp −|~
−i~k~x
ξ
d k exp −2
'
(ξ + k 2 )
| ~x |
3
Der Exponent η ergibt sich auch für d 6= 3 zu η = 0. Wir finden also ein kritisches Verhalten das unabhängig von der Raumdimension ist und, was wir nicht
57
27. Juni 2007
explizite gezeigt haben, was aber leicht zu überprüfen ist, das unabhängig von
der Komponentenzahl des OP ist. Es geht die Art der Wechselwirkung nicht wesentlich ein, so daß man sagen kann daß alle Systeme nach der Landautheorie in
einer Universalitätsklasse liegen würden. Ferner ist eigentlich der thermodynamische Limes an keiner Stelle für das Auftreten des PÜ nötig. Dies zeigt schon daß
hier wesentliche Näherungen durchgeführt wurden die eine Übereinstimmung mit
dem Experiment nicht erwarten lassen. Trotzdem gibt es Systeme die die eben
berechneten Exponenten zeigen. Es sind dies Systeme mit einer langreichweitigen
Wechselwirkung . Solche sind zum Beispiel Wasserstoff in Metallen (Phasen verschiedener Dichte der Wasserstoffatome, ’gas-flüssig’ PÜ) wo die Wechselwirkung
durch die langreichweitige elastische Wechselwirkung der durch den Wasserstoff
verursachten Gitterverzerrungen gegeben ist.
Stellen wir noch einmal die Ergebnisse zusammen
α
0
β γ
0.5 1
ν η
0.5 0
δ
3
Γ+ /Γ−
2
f +√/f −
2
Tabelle 3.1: Exponenten und Amplitudenverhältnisse in der Landautheorie für
eine kritischen Punkt
Wir können noch untersuchen ob die Skalengesetze erfüllt sind. Die Antwort ist
ja, allerdings sieht man auch daß das Hyperskalengesetz dν = 2 − α nur für d = 4
erfüllt ist.
Der Phasenübergang 1. Ordnung
Bisher wurde vorausgesetzt, dass der Koeffizient des Termes vierter Ordnung
positiv ist, ändert er sein Vorzeichen wird das System instabil und es mußs der
Term sechster Ordnung mitgeneommen werden. Dies wird im Abschnitt über den
trikritischen Punkt behandelt. Jedenfalls sieht man dass für negatives u der Phasenübergang 1. Ordnung wird. Dies kann auch geschehen, wenn keine ± Symmetrie vorliegt und in der Entwicklung des Funktionals ungerade Terme auftreten.
Sei ein Term Ψ3 im Funktional vorhanden und s > 0, u > 0 sowie r = a(T − T0 ).
H(Ψ(~x)) =
Z
r
c
d~x Ψ(~x)2 + (∇Ψ(~x))2 + sΨ(~x)3 + uΨ(~x)4
2
2
Die Minimumsbedingung lautet (es sei das Minimum homogen)
[r + 3sΨ + 4uΨ2 ]Ψ = 0
mit den Lösungen
Ψ=0
Ψ=−
1√ 2
3s
±
9s − 16ru
8u 8u
58
27. Juni 2007
Abbildung 3.5: (a) Die freie Energie als Funktion der Magnetisierung; (b) OP
und Suzeptibilitäten oberhalb und unterhalb.
Die zweite Lösung ist reel für (Existenzgrenze)
16a(T − T0 )u < 9s2
oder T < T0 +
9s2
= T1
16au
Einsetzten dieser Lösung in H und den Wert Null aufsuchen gibt die Gleichung
r
3s
1√ 2
1√ 2
3s
0= +s − ±
9s − 16ru + u − ±
9s − 16ru
2
8u 8u
8u 8u
2
oder
3s
1√ 2
1√ 2
3s
r
9s − 16ru + u − ±
9s − 16ru
0= +s − ±
2
8u 8u
8u 8u
2
Auflösen nach r gibt die PÜ-Temperatur (thermodynamische Stabilitätsgrenze)
rc =
s2
2u
oder
Tc = T0 +
s2
2au
Beweis:
Die Wurzel gibt s, also
8s2
9s2
s2
6s2
16s2 24s2
−
±
+
+
∓
=0
64u
64u
64u 64u 64u 64u
für das Minus
Der OP springt von Null auf
3s
8u
Die Suszeptibilität ergibt sich durch ableiten der Minimumsbedingung mit einem
Magnetfeld-Term nach h (dies ist die Zustandsgleichung)
Ψ=−
Ψ̄3 +
r
h
3s 2
Ψ̄ + Ψ̄ −
=0
4u
4u
4u
59
27. Juni 2007
also
6s
r
12u 2
1
Ψ̄ χ + Ψ̄χ + χ =
4u
4u
4u
4u
und somit
1
+ 6sΨ̄ + r
+
Oberhalb Tc bleibt χT wie gehabt und divergiert bei T0 , unterhalb ist für Ψ̄ die
Lösung ungleich Null einzusetzen
χ=
χ−
T =
12uΨ̄2
1
36s2
− 64u +
12(9s2 −16ru)
64u
+
24s
u
√
9s2 − 16ru + r
Der Nenner wird an der Existenzgrenze T1 Null. Also der 1. OrdnungsPÜ erfolgt
zwischen den mechanischen Stabilitätsgrenzen (Divergenzpunkte der Suszeptibilität: T0 und T1 ) bei der thermodynamischen Stabilitätsgrenze Tc (Maxwellkonstruktion).
3.1.5
n-komponentiger Ordnungsparameter, Gaußsches
Modell
Erst im Rahmen des Gaußschen Modells spielt die Komponentenzahl n des OP
und die Dimension des Raume d seine Rolle. Es wird
n
A+
= d/2
−
A
2
und die spezifische Wärme divergiert
C ± = A± t(4−d)/2
3.1.6
Strukturelle Phasenübergänge in Festkörpern
Wir haben bis jetzt die Landautheorie für einen PÜ 2.Ordnung formuliert in
der geordneten Phase die ∓ Symmetrie der ungeordneten Phase gebrochen ist.
Als phänomenologische Theorie betrachtet legen die Symmetrieänderungen die
möglichen OP und die Landau-freie-Energie fest. Das soll an einem Beispiel eines
PÜ in einem Kristall erläutert werden; wir werden die Theorie aber nicht systematisch (d. h. unter Verwendung der Gruppentheorie) entwickeln (siehe dazu das
Buch von J-C. Toledano und P. Toledano).
Betrachten wir eine PÜ von einer Phase I in eine Phase II wie in der Figur dargestellt (tetragonale Einheitszelle). Der relevante Freiheitsgrad ist die Verschiebung
des mittleren Atoms, die wir durch einen Vektor p0 (dreidimensional) darstellen
60
27. Juni 2007
Abbildung 3.6: Einheitszellen
können. Die Symmetrien der beiden Phasen ist durch die kristallographischen
Gruppen G0 in Phase I und G in Phase II gegeben. G0 = 4/mmm = D4h mit 16
Symmetrieelementen. Die Gruppe G hängt von der Richtung der Verschiebung p0
ab und wird in der Tabelle aufgelistet. Zeigt p0 in z-Richtung so bleibt die 4-fache
Richtung
(0 0 p)
(p 0 0)
(0 p 0)
(p p 0)
( −p p 0 )
( px py 6= px 0 )
Symmetriegruppe
4mm
mm2±x
mm2±y
mm2±x̄y
mm2±xy
(E,σz )
Richtung
( px 0 pz )
( 0 py pz )
( p p pz )
( −p p pz )
( px py 6= px pz )
Symmetriegruppe
(E,σy )
(E,σx )
(E,σxy )
(E,σxy )
E
Tabelle 3.2: Die Symmetriegruppe G in Abhängigkeit von p0
Drehachse in z-Richtung erhalten, sowie alle Symmetrieelemente, die die z-Achse
enthalten (z.B. σxy ). Dies ist die Symmetriegruppe 4mm=C4v (orthorhombisch)
und eine Untergruppe von 4/mmm.
Nach Landau betrachten wir nun
in einer ’freien Energie’ F (T, P, p)
wichtswert p0 (T, P ) ergibt. Dabei
ist und daß in der Nähe des PÜ (T
entwickelbar ist.
die Verschiebung p als Variationsparameter
aus deren Minimalisierung sich der Gleichgesetzen wir voraus daß der PÜ kontinuierlich
= Tc , P = Pc , p = p0 ) F in eine Taylorreihe
Das wichtige Symmetrieargument das die Form von F festlegen läßt ist nun, daß F
unter den geometrischen Transformationen der Gruppe G0 invariant bleiben muß
61
27. Juni 2007
(die relative Position der Atome bleibt invariant es ändert sich nur die globale
Orientierung und das ändert die freie Energie F nicht.
Entwicklung bis zu Termen 2.Ordnung
F = F0 + ai pi + bij pi pj
Die Koeffizienten sind T und P abhängig. Wegen σx , σy , σz aus G0 verschwindet
der lineare Term in p und bij für i 6= j. Die vierfache Symmetrie um die z-Achse
verlangt b11 = b22 . Daraus ergibt sich die Form für F
F = F0 + α2 /2 (p2x + p2y ) + α1 /2 p2z
Ein ganz wichtiger Punkt ist nun zu zeigen daß unterhalb Tc entweder pz oder
(px , py ) von Null verschieden sein können aber nicht beide zusammen. D.h. der
OP kann nur ein oder zweikomponentig sein. Das beruht darauf daß nur einer
der beiden Koeffizienten α1 (T, P ) oder α2 (T, P ) am PÜ verschwinden kann. Das
wiederum folgt aus (i) αi > 0 für T > Tc p = 0 muß das Minimum sein laut
Voraussetzung. (ii) Bei Tc ist mindestens ein αi = 0 sonst gäbe es kein Minimum p 6= 0 unterhalb Tc . (iii) Da die αi verschiedene Funktionen von T, P sind
können sie höchstens in einem Punkt der T, P Ebene gleichzeitg verschwinden.
Eine kleine Variation von P würde die Symmetrie der Tieftemperaturphase und
damit die Natur des PÜ ändern (auf der einen Seite von P ist etwa p0z 6= 0
und auf der anderen (p0x , p0y ) 6= 0) solche ’singulären’ Situationen werden nun
nicht betrachtet (multikritisches Verhalten). Als Resultat ergibt sich daher, daß
je nachdem ob α1 oder α2 sein Vorzeichen bei Variation von T ändert, nur die pz
oder der (px , py ) Vektor als OP auftreten. Die jeweils anderen können, da sie sich
über den PÜ nicht ändern, also Null bleiben, vernachlässigt werden.
Terme 4.Ordnung
Unterhalb Tc wird die freie Energie instabil daher müssen Terme höherer Ordnung mitgenommen werden. Für den einkomponentigen OP ist das ein Term p4z
mit einem positiven Koeffizienten. Interessanter sind die möglichen Terme für den
zweikomponentigen OP. Terme 3.Ordnung sind aus denselben Gründen wie die
linearen ausgeschlossen. Außerdem können nur gerade Potenzen einzelner Komponenten des Vektors (px , py ) auftreten; also p4x , p2x p2y , p4y . Daraus bildet man die
Invarianten p4x + p4y und p2x p2y . Alle anderen kann man als Linearkombinationen
dieser beiden schreiben. Daher ist das allgemeinste F
F = F0 + α2 /2 (p2x + p2y ) + β1 /4 (p4x + p4y ) + β2 /4 p2x p2y
Wegen der komplexeren Struktur der 4.Ordnungsterme ist die Minimumsorientierung von p0 nicht offensichtlich. Bilden wir die ersten Ableitungen nach px und
py
px (α2 + β1 p2x + β2 p2y ) = 0 und py (α2 + β1 p2y + β2 p2x ) = 0
62
27. Juni 2007
so erhalten wir 3 Lösungstypen (i) pi = 0, (ii)px = 0, py = ∓(−α2 /β2 )−1/2 , oder
py = 0, px = ∓(−α2 /β1 )−1/2 , wobei diese Lösungen entartet sind also gleichen
Wert von F haben und (iii) px = (−α2 /(β1 + β2 ))1/2 , px = ∓ py . Diese Lösungen
sind nun in den folgenden Gebieten stabil, was man aus der Positivität von F
sieht:
Lösung (i) für α2 > 0 dh. T > Tc , alle anderen für T < Tc gemäß der
Abbildung. Da der OP nun mehrkomponentig ist hat man es nun mit einem
Abbildung 3.7: stabile Lösungen; Minima
Suzeptibilitätstensor zu tun. Oberhalb Tc gilt χij ' δij unterhalb sind die
’longitudinalen’ und ’transversalen’ Komponenten des Tensors verschieden.
Übung: Berechnung des χ-Tensors für die verschiedenen Phasen für T < Tc .
Symmetrieüberlegungen zur Tieftemperaturphase
Aus der Tabelle der Untergruppen von G0 die man für p 6= 0 erhält kann man
den Lösungen für T < Tc die entsprechende Symmetriegruppe zuordnen. Z.B.
für die Lösung (ii) mit px 6= 0, py = 0 ist die Symmetriegruppe G1 ≡ mm2x
in der C4 nicht enthalten ist. p0 bleibt also nicht erhalten bei Anwendung dieser
Transformation aber F bleibt erhalten. Daher muß es 4 äquivalente Lösungen
mit gleichem F geben.
Die zu den einzelnen Minima gehörenden Gruppen sind im allgemeinen nicht
gleich (im Beispiel mm2x und mm2y ) aber sie sind durch eine Transformation
mit einem Element aus G0 verknupft.
mm2y = C4 ∗ mm2x ∗ C−1
4
Eine solche Verknüpfung nennt man Konjugation. Also die Symmetriegruppen
der verschiedenen Tieftemperaturphasen äquivalenter Minnima von F sind konjugiert.
Sehen wir uns an wie der Vektor p sich unter den Erzeugenden der Gruppe
G0 transformiert, Tabelle 3.3. Man erkennt daß die pz -Komponente nicht mit
63
27. Juni 2007
G0
px
py
pz
C4
py
−px
pz
σx
−px
py
pz
I
−px
−py
−pz
Tabelle 3.3: Transformation der Komponenten unter den Erzeugenden von G0
den übrigen mischt, dh. der unter G0 invariante drei-dimensionale Raum zerfällt
in zwei invariante Unterräume. Beide enthalten keine weiteren invariante Unterräume. Man spricht von reduziblen und irreduziblen invarianten Räumen.
Abbildung 3.8: Darstellung der Erzeugenden durch Matrizen; die oberste Zeile
gibt die reduzible, die beiden unteren Zeilen geben die irreduziblen Darstellungen.
Das Einheitselement wird immer durch die Einheitsmatrix dargestellt.
Die Erzeugenden der Gruppe G0 können, da es sich um lineare Transformationen
handelt durch Matrizen repräsentiert werden, man spricht von Darstellungen.
Diese können reduzible oder irreduzible Darstellungen, je nachdem ob sie in einem
reduziblen oder irreduziblen Vektorraum definiert sind (siehe Abbildung 3.8).
Nach diesen Bemerkungen können wir das Ergebnis dieser Untersuchungen folgendermaßen zusammenfassen: Die möglichen Ordnungsparameter sind dadurch charakterisiert, daß sie eine irreduzible Darstellung der Gruppe
der symmetrischeren Phase (G0 ) aufspannen.
Aus der Darstellung kann man auch die Symmetriegruppe G finden, die zu einem
bestimmten p0 gehört. Nehmen wir z.B. p0x 6= 0, p0y = 0 so war dies mm2x . Die
Gruppe besteht aus all den Elementen die p0 invariant lassen. In der Darstellung entsprechen diesen in unserem Beispiel genau die Matrizen die +1 als erstes
Diagonalelement haben. Es sind dies die Elemente E, σy , σz , und Ux wie aus der
Abbildung 3.9 zu entnehmen ist.
64
27. Juni 2007
Abbildung 3.9: Zuordnungen der 16 Symmetrieelemente von 4/mmm in der irreduziblen 2-dimensionalen Darstellung
3.1.7
Trikritischer Punkt
Wie schon erwähnt kann es sein, daß in der Entwicklung der Landautheorie der
Term vierter Ordnung sein Vorzeichen wechselt. Dann ist es notwendig den sechsten Ordnungsterm wΨ6 mitzunehmen, wobei w > 0 vorausgesetzt ist. Die Minimumsbedingung lautet dann für die homogenen Lösungen (es sei jetzt h = 0)
δ
H = rΨ + 4uΨ3 + 6wΨ5 = 0
δΨ(~x)
Daraus ergeben sich folgende Lösungen
Ψ̄ = 0 (I)
Ψ̄ =
v
u
u
u
t
 s

3rw
u 
± 1−
− 1 (II)
3w
2u2
Für die Lösungen (II) (es ist schon auf einen positiven OP eingeschränkt) gilt
für u > 0 (II) das obere Vorzeichen, und für u < 0 das untere Vorzeichen. Reell
2
. Die Bereiche in dene die
ist die Lösung (II) nur im Bereich r > 0 und r < 2u
3w
jeweiligen Lösungen die freie Energie minimalisieren sind in Fig. () angegeben.
Bewegt man sich auf der Phasenübergangslinie 1. Ordnung auf den trikritischen
Punkt zu, so verschwidet der Sprung im OP mit |u| wie
Ψ̄ =
s
1
|u|
∼ |u|β = |u| 2
3w
während für u > 0 der OP in der Tieftemperaturphase wie
1
Ψ̄ ∼ |r| 2
65
27. Juni 2007
15
10
5
r
0
-5
-10
-15
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
Abbildung 3.10: Phasendiagramm mit einem trikritischen Punkt
verschwindet, gilt für u = 0
Ψ̄ =
vs
u
u
t
(
1
u
u 2 |r|w
) +
−
∼ |r|βt = |r| 4
3w
6
3w
also β = 0.5 und βt = 0.25. Die beiden Exponenten werden durch unterschiedliche
Wege im Phasendiagramm erhalten. Der eine auf einem Weg der asymptotisch
tangential der andere auf einem Weg der nicht tangential zur Phasenübergangslinie im trikritischen Punkt ist.
Interessant ist noch die Skalenform des OP. In den Skalenfeldern f1 und f2 schreibt
man für den normierten OP m
f2
m(f1 , f2 ) = |f1 | M
|f1 |φ
β
!
mit
f1 ∼ w 2/3 u
f2 ∼ w 1/3 r
und
β = 0.5
φ=2
M(x) =
m ∼ w 1/6 Ψ̄
s√
1 − 4x ∓ 1
2
Physikalische Beispiele: Metamagnete, 3 He-4 He-Mischungen, ternäre Mischungen,
Ferroelektrika Weitere Diskussion siehe Lawrie und Sarbach, Domb-Green Vol9
Seite 68, A. Aharony in Lecture Notes 186, 210 (1983)
3.1.8
Lifshitz Punkt
Bis jetz haben wir nur solche Funktionale betrachtet die homogene Phasen als
stabile Phasen haben. Dies ändert sich auch im feldfreien Fall wenn der Lapalace
Term sein Vorzeichen wechselt. Dann benötigt man noch den nächst höheren
66
27. Juni 2007
system
du
α
β
γ
νx
νy
νz
S
4
0
1
2
1
1
2
1
2
1
2
U
3
0
1
2
1
1
2
1
2
1
T
3
1
2
1
4
1
1
2
1
2
1
2
UT
2
1
2
1
4
1
1
2
1
2
1
L,m = 1
4 21
0
1
2
1
1
4
1
2
1
2
L,m = 2
5
0
1
2
1
1
4
1
4
1
2
L,m = 3
8
0
1
2
1
1
4
1
4
1
4
LT,m = 1
3 12
1
2
1
4
1
1
4
1
2
1
2
LT,m = 2
4
1
2
1
4
1
1
4
1
4
1
2
LT,m = 3
6
1
2
1
4
1
1
4
1
4
1
4
UL,m = 1
3 23
0
1
2
1
1
4
1
2
3
4
UL,m = 2
4
0
1
2
1
1
4
1
4
3
4
ULT,m = 1
3
1
2
1
4
1
1
4
1
2
3
4
ULT,m = 2
3 31
1
2
1
4
1
1
4
1
4
3
4
Tabelle 3.4: Mean field exponents at different critical points. Notation: S usual
critical point isotropic short range interaction, U with uniaxial dipolar interaction,
T tricritical point, L Lifshitz point.
Gradiententerm. Das Minimum findet man dann aus zwei Bedingungen einerseits
die Strukturen durch das Minimum der Dispesion und (ii) die stabilen Phasen der
einzelnen Strukturen. Am besten man transformiert in den ~k-Raum dann lautet
10
7.5
5
2.5
r
0
-2.5
-5
-7.5
-10
-3
-2
-1
0
1
2
3
c
Abbildung 3.11: Phasendiagramm mit einem Lifshitz Punkt
67
27. Juni 2007
die Dispersion (wir betrachten ein isotropes System)
d
r c
ω(~k) = + k 2 + k 4
2 2
2
Die Minimumsbedingung lautet
∂ω(~k)
= k c + 2dk 2 = 0
∂k
mit den Lösungen
k=0
und
k0 =
s
−c
2d
für c < 0
Dann hat man die Lösungen Ψk0 aus
Ψk0 2ω(k0) + 4uΨ3k0 = 0
für jede Fourierkomponente separat, wobei die Wechselwirkungsterme zwischen
den Komponenten vernachlässigt wurden. Wir haben also zu untersuchen wo für
c < 0 die inhomogene Phase, charakterisiert durch den Modulus des Wellenzahlvektors ~k stabil ist. Die nichttrivialen Lösungen für c < 0 lauten
Ψ¯k0 = (ω(k0)/2u)1/2
mit
r 3c2
r
+
bzw.
ω(0) =
2
8d
2
Es gibt nun zwei Phasenübergangslinien, eine von der Ferro-Phase zur modulierten Phase und von der Modulierten Phase zur Para-Phase.
ω(k0) =
Lit.: A. Aharony in Lecture Notes 186, 210 (1983)
W. Selke in Domb Green Vol 15, 1 (1992)
3.1.9
Trikritischer Lifshitz Punkt
Lit.: R. Folk, Phase Transitions 67, 645 (1999)
Durch Kombination der beiden vorher besprochenen Freien Energien sind komplexere Phasendiagramme darstellbar.
i
1h
u v 2
w
F =
r + ck 2 + dk 4 Ψ2 +
+ k Ψ4 + Ψ6 .
2
4 4
6
Die Renormierungsgruppentheorie zeigt, daß in so einem Fall auch die Abhängigkeit der höheren Kopplungen vom Wellenzahlvektor mitgenommen werden muß.
68
27. Juni 2007
30
40
20
30
r
-10
10
20
r
-10
-5
10
0
-10
0
-10
-5
0
-5
c
0
c
-5
0
u
5
0
5
5
u
5
10
10
10
10
Abbildung 3.12: (a) Phase diagram with v = 0. Light shaded planes indicate a
second order transition, dark shaded planes a first order transition. The thick
line for u < 0 indicates the line of triple points, the thinner lines are lines of
multicritical behavior (for c = 0 tricritical points and for u > 0 Lifshitz points.
The tricritical Lifshitz point is located at the origin. The paraelctric phase exists
above the planes shown, the ferroelectric phase below the plane for c > 0, the
incommensurable phase below the planes for c < 0. (b) Phase diagram with v 6= 0.
Same notation as in Fig. 3.12. The tricritical line for c < 0 is the line where the
dark plane touches the light plane lying below. No real solution exists on the dark
plane to the right hand side of this line. The ferromagnetic phase now extends
into the region with c < 0.
The different solutions are obtained by minimizing the free energy and the dispersion for Ψ and k respectively. One finds a paraelectric solution Ψ0 = 0, a
ferroelectric solution
Ψ0 =
v
u
u
u
t
 s

u 
4rw
± 1 − 2 − 1
2w
u
restricted to r < 0 for u > 0 with the upper sign and to r <
the lower sign. For c < 0 an incommensurable solution
Ψk 0 =
with
k0 =
s
−c
2d
v
u
u
u
t
 s
u2
4w
for u < 0 with

4r̃w
ũ 
± 1 − 2 − 1
2w
ũ
r̃ = r −
c2
4d
ũ = u −
cv
2d
exists in the region r̃ < 0 for ũ > 0 with the upper sign and in the region
ũ2
r < 4w
for ũ < 0 with the lower sign. The free energies of the phases are for the
69
27. Juni 2007
paraelectric phase F0 = 0, for the ferroelectric phase
3
FΨ0 =
 s

s

s
4rw
u 
8rw
± 1 − 2 − 1  2 ±
2
48w
u
u
1−
and for the incommensurable phase
FΨk0
 s
4r̃w
ũ3 
8r̃w
=
± 1 − 2 − 1  2 ±
2
48w
ũ
ũ

4rw
− 1
u2

4r̃w
1 − 2 − 1
ũ
From these free energies the surfaces separating two phases in a r − c − u-space
are found by looking for the surfaces on which two phases have the same free
energy. The surface separating the paraelectric from the ferroelectric phase is
3u2
for
u < 0.
16w
Correspondingly the surface separating the paraelectric phase from the ferroelectric one is
3ũ2
r̃ = 0
for
ũ > 0
and
r̃ =
for
ũ < 0 .
16w
These surface intersect in special lines. A line of tricritical points along the positive c-axis, a line of Lifshitz points along the positive u-axis and a line of triple
points along the curve
r=0
for
u>0
3u2
r=
16w
and
r=
3v 2
3uv
1+
c=
4w
16wd
!−1
and another line of tricritical points not mentioned so far in literature
c2
cv
r=
u=
4d
2d
All four lines meet at the tricritical Lifshitz point. In Fig.3.12 the phase diagram
is shown for v = 0. In this case the special lines meet orthogonal at the tricritical
Lifshitz point. For v 6= 0 the phase transition lines separating the region of second
order phase transitions (light) between the para- and ferroelectric phase and
between the para- and incommensurate phase from their first order counterparts
(dark) are both bent into the region u < 0 and c < 0. The first order phase
transition from the paraelectric to the incommensurable phase takes place on
the (dark) surface between the line of triple points and the line of tricritical
points where it touches the surface (light) of the corresponding second order
phase transitions between the paraelectric and incommensurate phase.
In order to make prediction concerning the phase diagram in the space of the physical fields, one has to establish the connection between these fields, temperature
T , pressure P and concentrations x and y (Vysochanskii et al. 1992)
V. Samulionis et al., phys. stat. sol. (b) 215, 1151 (1999)
Yu. M. Vysochanskii et al., Ferroelectrics 237, 193 (2000)
70
27. Juni 2007
3.1.10
Kritischer Endpunkt
Li.: Ziman et al., Phys. Rev. B25, 319 (1982)
S. Galam, J. I. Birman, J. Phys. C 16, L1145 (1983)
D. Blankenschtein, D. Mukamel, Phys. Rev. B25, 6939 (1982)
Toledano, Toledano, Landau Theory of Phase Transitions, Seite 172 (1987)
M. E. Fisher, M. C. Barbosa, Phys. Rev. B43, 11177 (1991)
Y. C. Him, M. E. Fisher, J. Chem. Phys. 115, 933 (2001)
Endet eine Linie kritischer Punkte in einer Linie von Phasenübergängen 1. Ordnung spricht man von einem kritischen Endpunkt im Unterschied zum kritischen
Punkt und trikritischen Punkt. Ein entsprechendes Phasendiagramm kann man
innerhalb der Landautheorie beschreiben wenn die Terme achter Ordnung mitgenommen werden. Die Minnimumsbedingung lautet dann
δ
H = rΨ + 4uΨ3 + 6wΨ5 + 8vΨ7 = 0
δΨ(~x)
Es sei nun zwar u > 0 aber w < 0, dann braucht man zur Stabilität den v > 0Term. Die geordneten Phasen erhält man aus einer Gleichung dritten Grades.
Der Vergleich der freien Energien führt auf folgende PÜ-Linien und Flächen. Es
sei immer v > 0, in der Fig. () v = 1.
u
-5
0
5
10
5
5
2.5
0
r
0
w
-2.5
-5
-5
Abbildung 3.13: Phasendiagramm mit einer Linie trikritischer (r = 0, u = 0, w >
0), kritischer Punkte (r < 0, u > 0, w < 0) und kritischer Endpunkte r = 0, u >
0, w < 0. Der Punkt r = 0, u = 0, w = 0 ist ein kritischer Punkt 4. Ordnung.
Die hellere Fläche ist eine Fläche kritischer Punkte (von pra zu ferro, die dunkle
Fläche eine von PÜ 1. Ordnung. Der Teil dieser Fläche zwischen r < 0, u > 0, w =
0 und der kritischen Linie ist nicht vorhanden.
Eine Fläche PÜs der Para (r > 0 zur geordnete Phase für u >
Diese stößt in einer Linie kritischer Endpunkte
r=0 u=
w2
4v
CE
w2
4v
(helle Fläche).
71
27. Juni 2007
auf eine Fläche erster Ordnungsphasenübergänge. Diese Fläche ist in diesem Bereich durch
uw
v3
r=
−
v
4w 2
gegeben. Diese setzt sich in den Bereich r > 0, u < 0, w < 0 fort und ist dort
durch



s
s
3
3uv
3uv
3uv
−2w 
1 − 1 − 2  1 − 2 + 1 − 2 
r=
2
27v
w
w
w
gegeben. Der Bereiche r > 0, u < 0, w > 0 wurde die Fläche erster Ordnungspü.
nicht gezeichnet. Im Bereich w > 0 trifft diese Fläche in der Linie trikritischer
Punkte
r = 0, u = 0, w > 0
(T P )
auf die Fläche zweiter Ornungsphasenübergänge. In dem Bereich r < 0, w < 0
endet die Fläche erster Ordnungsphasenübergänge in einer Linie kritischer Punkte
w3
8v 2
r=
u=
3w 2
8v
(CP )
(also in der geordneten Phase).
3.1.11
Ankopplung eines Eichfeldes
Lit.: B. I. Halperin, T. C. Lubensky, S. Ma, Phys. Rev. Lett. 32, 292 (1974)
H=
Z
dV
1
~ 2
~ − iq0 A)Ψ|
~ 2 + 1 (rotA)
a|Ψ| + |Ψ|4 + γ|(∇
2
8πµ0
2
!
~A
~ = 0. Da A
~ nur quadratisch auftritt kann es hermit der Coulomb-Eichung ∇
ausintegriert werden. Das führt auf ein neues Funktional
H̄(Ψ)
BT
−k
e
=
Z
−
~
d{A}e
~
H(Ψ,A)
kB T
Die Funktionalableitung kann mit der Funktionalintegration vertauscht werden,
dann ist der wahrscheinlichste Wert von Ψ gegeben durch die Lösung von
72
27. Juni 2007
3.2
Van Hove Theorie (Dynamik)
Um dynamische Größen zu berechnen ist es erforderlich Bewegungsgleichungen
für die zur Beschreibung der physikalischen Phänomene erforderlichen Dichten
zu bestimmen. Dazu ist eine Trennung eien Zeitskala langsam veränderlicher und
rasch veränderlicher Variablen nötig. Die raschen Variablen werden in Form von
fluktuierenden Kräften in der Bewegungsgleichung mitgenommen, für die langsamen Variablen orientiert man sich an den hydrodynamischen Gleichungen und
den Poissonklammern für diese Variablen (Dichten).
Langsame Größen sind die Dichten von Erhaltungsgrößen und die Dichte des
Ordnungsparameters (der wiederum die Dichte einer Erhaltungsgröße sein kann
oder nicht).
3.2.1
Relaxation und Diffusion
Die van Hove Theorie geht davon aus, daß es keine dynamischen Wechselwirkung
des Ordnungsparameters mit anderen Erhaltungsgrößen gibt (keine reversiblen
Terme, keine Modenkopplung). Sie ist die einfachste Näherung für die dynamischen Gleichungen und Sie entspricht quasi der ”Molekularfeldnäherung” in der
Dynamik. Die Bewegungsgleichung lautet
∂ψk (t)
= −Γk a (r + k 2 )ψk (t) + ζk
∂t
< ζk (t)ζk0 (t0 ) >= 2Γk a δk−k0 δ(t − t0 )
und a = 0 für einen nicht erhaltenen OP (Model A), bzw. a = 2 für einen
erhaltenen OP (Modell B)
ψ(~k, ω) =
Z
dt
Z
h
i
~
dd xe−iωt eik~x ψ(~x, t) −iω + Γk a (r + k 2 ) ψ(~k, ω) = ζ(~k, ω)
Gesucht ist die dynamische Korrelationsfunktion
< ψ(~x, t)ψ((~x0 , t0 ) >= C(~x − ~x0 , t − t0 )
C(~k, ω) =
Z
dt
Z
~
dd xC(~x, t)eik~x−iωt =< ψ(~k, ω)ψ(−~k, −ω) >
Die statistische Korrelationsfunktion ist dann durch
1
C(~k) =
2π
Z
∞
−∞
dωC(~k, ω) =
Z
~
dd xC(~x, t = 0)eik~x
gegeben (d.h. durch die gleichzeitige Korrelationsfunktion).
73
27. Juni 2007
Aus der Bewegungsgleichung folgt
h
ih
i
−iω + Γk a (r + k 2 ) −iω 0 + Γk 0a (r + k 02 ) < ψ(~k, ω)ψψ(~k 0 , ω 0) >=< ζ(~k, ω)ζ(~k 0, ω 0 ) >
und ohne den δ-Funktionen der Einsteinrelation
C(k, ω) =
2Γk a
ω 2 + {Γk a (r + k 2 )}2
und für die statische Korrelationsfunktion
C(k) =
1
≡ χ(k, ξ)
r + k2
Wir erhalten also eine Lorentzfunktion mit der halben Halbwertsbreite (Breite in
halber Höhe)
ωc (k, ξ) = Γk a (ξ −2 + k 2 )
Man kann die Korrelationsfunktion folgendermaßen schreiben
χ(k, ξ)
F
C(k, ω, ξ) =
ωc (k, ξ)
ω
, kξ
ωc (k, ξ)
!
Aus der Landautheorie wissen wir nun, daß die Suszeptibilität χ(k, ξ) eine homogene Funktion ihrer Variablen ist, dies gilt auch für die dynamische Korrelationsfunktion in diesem Beispiel. Die charakteristische Frequenz ωc , ist auch eine
Abbildung 3.14: Die Skalenbereiche
homogene Funktion in k und ξ und lautet mit der Skalenfunktion Ω
ωc (k, ξ) = Ak z Ω(kξ)
mit dem dynamisch kritischen Exponenten z und der Amplitude A (die die nicht
universelle Zeitskala enthält). In der van Hove Theorie ergibt sich
z =2+a
74
27. Juni 2007
also für das Relaxationsmodell z = 2 und für das Diffusionsmodell z = 4.
Die Skalenfunktion Ω lautet (mit Γ = A)
1
+1
Ω(x) =
x2
Die Funktion F hängt nicht von x ab. Wählt man als charakteristische Frequenz
die Halbwertsbreite, so bestimmt F die Form (shape) der Korrelationsfunktion
F (y, x) =
y2
2
+1
y=
ω
ωc
Hier liegt der Spezialfall vor, wo die Form unabhängig von x ist. Im allgemeinen ist
dies nicht der Fall und die Form ist unterschiedlich im Bereich x >> 1 (kritischer
Bereich) und x << 1 (hydrodynamischer Bereich). Wie sieht ωc aus?
ωc =
(
Ak z
kξ >> 1
Ak z−2 ξ −2 kξ << 1
Im Falle des erhaltenen OP liefert das die Temperaturabhängigkeit der Spindiffusionskonstante in der hydrodynamischen Region D ∼ ξ −2 (ωc = Dk 2 ).
Im wesentlichen ergeben sich die Resultate für ωc rein durch die Temperaturabhängigkeit der statischen Korrelationsfunktion D ∼ Γ/χ(k, ξ), wobei Γ konstant ist. Auch im Falle einer Relaxation geht für T → TC die Relaxationszeit
→ ∞ (critical slowing down). Tatsächlich kommt durch die Fluktuationen auch
in Γ eine k bwz. ξ Abhängigkeit.
Messen kann man die Korrelationsfunktion durch Neutronen oder Lichtstreuung.
Die Intensität ist proportional zu C(k, ω, ξ). Allerdings bekommt man C nicht
direkt aus der Streuintensität, sondern als Faltung mit einer Auflösungsfunktion,
die von der experimentellen Anordnung abhängt
Ψ(k,ω,ξ) =
Z
R(k − k 0 , ω − ω 0 )C(k 0 , ω 0, ξ)dd k 0 dω 0
d.h. um die Experimente zu analysieren muß man von einem Ansatz für C ausgehen. Durch Vergleich verschiedener Ansätze kann man dann gewisse Modellvorstellungen ausschließen.
Die Frage lautet nun, was bestimmt den Wert von z, die Formfunktion etc., und
wie kann man sie berechnen? Warum sind die Kopplungen wichtig? Dazu ist es
zweckmäßig einen zu Statik möglichst analogen Formalismus zu entwickeln. Das
ist der Wegintegralformalismus der zum Lagrange’schen Funktional führt. Lit.:
Bausch, Jansen, Wagner
75
27. Juni 2007
3.2.2
Modelle mit Modenkopplung (Modell J und H)
Dynamisches Modell für den Ferromagneten (Modell J)
φ~0 OP (Magnetisierungsdichte)
Statik
H=
Z
Larmorpräzession
n1
o
2
ũ 4
1
τ φ~0 (x) + (∇φ~0 (x))2 + φ~0 (x) ,
d x
2
2
4!
d
o
δH
∂ φ~0 o 2 δH o ~
− g φ0 ×
+ Θφ
=Γ ∇
∂t
δ φ~0
δ φ~0
Dynamisches Modell für die reine Flüssigkeit (Modell H)
φ0 OP (Entropiedichte j t transversale Impulstromdichte)
Statik
H=
Z
d
d x
n1
2
o
o
τ
φ20 (x)
o
ũ
1
1
+ (∇φ0 (x))2 + φ40 (x) + aj j 2t (x) ,
2
4!
2
Wärmeleitungsgleichung
δH
∂φ0 o 2 δH o
=Γ ∇
− g (∇φ0 )
+ Θφ ,
∂t
δφ0
δj t
Schermode
∂j t o
δH o
=λt ∇2
+gT
∂t
δj t
(
"
δH
δH
δH X
jk ∇
−
+ ∇k j
(∇φ0 )
δφ0
δjk
δjk
k
#)
+ Θt .
Kapitel 4
Kritische Fluktuationen
Abbildung 4.1: Computersimulation der kritische Fluktuationen in einem Ising
Magnet in der Nähe der Curie-Temperatur
76
27. Juni 2007
4.1
77
Experimentelle Befunde
Divergenz der Korrelationslänge, System wird invariant gegenüber Längenskalenänderungen
4.1.1
Statik
Abbildung 4.2: Vergleich des Phasendiagramms einer Flüssigkeit beschrieben
durch die van der Waals Gleichung ohne und mit Einbeziehung kritischer Fluktuationen [A. K. Wyczalkowska, M. A. Anisimov, J. V. Sengers 1999].
Kritische Effekte in thermodynamischen Koeffizienten
Divergenz der spezifischen Wärme CV [Voronel et al. 1972]
Abbildung 4.3: Die Divergenzen am kritischen Punkt Die spezifische Wärme bei
konstantem Volumen.
Magnetische Suszeptibilität, Kompressibilität, spezifische Wärme
78
27. Juni 2007
Abbildung 4.4: Kritische Opaleszenz: Streuung von Licht an den kritische Fluktuationen in der Dichte einer Flüssigkeit (Freon).
Abbildung 4.5: Kritische Opaleszenz: Streuung von Licht an den kritische Fluktuationen in der Konzentration einer Mischung (Anilin-Cyclohexan).
Kritische Korrelationen
Kritische Opaleszenz, Potenzgesetz bei Tc aus Streuexperimenten
S(k, Tc ) ∼ k −2+η
Der Exponent η mißt die Abweichung von der Ornstein Zernicke Theorie
Ein zweidimensionaler Ising Magnet
Das zweidimensionale Ising-Modell ist exakt lösbar (Onsager 1944). Allerdings
nur für den Fall H = 0.
79
27. Juni 2007
Abbildung 4.6: Magnetisierung als Funktion von t (bei H = 0 und H (bei t = 0)
für Fe Filme auf W(110) Oberflächen. Die Kurven durch die Daten sind Potenzgesetzte deren Exponenten angepaßt sind [C.H. Back et al., Nature 378, 597
(1995)].
Approximative Methoden zur Exponentenberechnung
Wichtig sind auch Hoch und Tieftemperaturentwicklungen. In der Hochtemperaturentwicklung entwickelt man die betrachtete physikalische Größe etwa die
Suszeptibilität χ in eine Reihe in v = tanh(K) mit K = Jβ. Aus den KoefP
fizienten der Reihe
ai v i kann man durch Auftragung von ai /ai−1 gegen 1/i
einerseits Tc andererseits den kritischen Exponenten γ schließen. Man sieht aus
der Entwicklung der Funktion
[1 − (v/vc )]1+g =
X
(
−1−g
i
) (v/vc )i = 1 + a1 v + . . .
ai /ai−1 = [1 + (g/i)]/vc
daß der Schnittpunkt bei 1/i = 0vc und die Steigung den Exponenten g liefert.
Man kann sogar Korrekturexponenten aus der Hochtemperaturentwicklung fin-
80
27. Juni 2007
den. Man sieht daß für das Isingmodell alle (auch das Hyper-) Skalengesetz im
α
β
γ
0.105 ± 10 0.328 ± 8 1.239 ± 2
ν
0.632 ± 2
Tabelle 4.1: Exponenten aus der Hochtemperaturentwicklung
Rahmen der Genaugkeit erfüllt ist.
4.1.2
Levanyuk-Ginzburg Kriterium
Im Rahmen des Gaußschen Modells kann man ein Kriterium für die Wichtigkeit der Fluktuationen formulieren. Da der Molekularfeldbeitrag zur spezifischen
Wärme oberhalb T0 verschwindet und bei T0 ein Sprung in der Spezifischen
Wärme auftritt, so definiert man das Temperaturgebiet in dem die Fluktuationen den Sprung übertreffen als den kritischen Bereich in dem Fluktuationen nicht
mehr vernachlässigt werden können. Also
sing
Ch=0 (t) = ∆C
− d−4
tGL2 =
A+
∆C
d
In d > 4 ist das Kriterium immer erfüllt. Da A+ ∼ a 2 = ξ0−d ist, geht die Korrelationslänge bei t = 1 stark ein, nämlich tGL ∼ ξ06 Üblicherweise ist diese Länge
etwa ξ0 = O(1Å). In den sogenannten ’Tieftemperatursupraleitern’ und flüssigen
Kristallen ist sie tausendmal größer und damit der Wert von tGL in d = 3 statt bei
tGL = 1 bei tGL = 10−18 . D.h. im experimentellen Bereich wird das System durch
die Molekulafeldtheorie beschrieben. Weitere Systeme, bei denen die Molekularfeldtheorie beobachtet wird, sind solche mit langreichweitigen Wechselwirkungen,
etwa flüssige Metalle oder ionische Mischungen.
Aber auch ∆C kann sehr groß werden, dann nämlich wenn die Kopplung u sehr
klein wird. dies geschieht in der Nähe trikritischer Punkte.
Ein anderer Weg den Bereich der Gültigkeit der Molekularfeldtheorie abzuschätzen ist über den Ordnungsparameter, der mit den Ordnungsparameterfluktuationen in einem korrelierten Volumen verglichen wird. Alle diese
Abschätzungen liefern verschiedene Werte. Es tritt jedoch immer ein dimensionsloser Parameter, die Ginzburgzahl Gi auf (in d = 3)
Gi =
uv0
8πa2 ξ03
!2
mit v0 = (ρNA )−1 , dem mittleren Volumen pro Teilchen. Bemerkung: In ξ0 ist
81
27. Juni 2007
System
Gi
Van der Waals 10−2
Supraleiter
10−16
Magnete
10−2
λ-Übergang
0.3
3
He
0.0025
Xe
0.018
der Parameter c versteckt. Dieser hängt mit der Reichweite der Wechselwirkung
zusammen.
Lit: A. P. Levanyuk, Sov. Phys. JETP 36, 571 (1959)
V. L. Ginzburg, Sov. Phys. Sol. State 2,1824 (1960)
D. J. Amit, J. Phys. C 7, 3369 (1974)
4.2
Die Skalenhypothese
4.3
Statik
Die statische Skalenhypothese besagt: Das Gibbsche Potential ist eine verallgemeinerte homogene Funktion. Aus den Eigenschaften verallgemeinerter homogener Funktionen folgt, daß auch die Legendre Transformierte eine verallgemeinerte
homogene Funktion ist. Weiters folgt, daß auch die Ableitungen der Potentiale
Verallgemeinerte homogene Funktione sind. Für eine Flüssigkeit oder einen Magneten hängt das Gibbsche Potential von 2 thermodynamischen Größen ab. Es
gibt 3 unabhängige Exponenten.
4.3.1
Freie Energie
Die freie Energie ist eine homogene Funktion seiner Variablen und sie ist eine
extensive Größe. Für die Dichte der freien Energie gilt
g(t, h) = λ−1 g(tλa , hλb )
a und b bleiben unbekannt in der Saklentheorie, aber man kann sie durch die
schon definierten Exponenten ausdrücken. Bildet man die Ableitung nach dem
Magnetfeld ergibt sich die Magnetisierung
m(t, h) =
∂g(t, h)
= λb−1 m(tλa , hλb )
∂h
82
27. Juni 2007
und im Magnetfeld Null die Temperaturabhängigkeit (tλa )
m(t, 0) = t
1−b
a
m(1, 0) ∼ tβ
also ist
β = (1 − b)/a
Analog ist die Mahnetisierung bei Tc durch
m(0, h) = h
1−b
b
m(0, 1) ∼ h1/δ
gegeben. Also folgt
δ = b/(1 − b)
Skalengesetze
Damit sind alle Exponenten festgelegt. Es ergeben sich Relationen dieser beiden
Exponenten mit allen anderen, die Skalenrelationen der Exponenten, Nimmt man
z.B. die Suzeptibiltät her so gilt (m nochmal nach h ableiten)
χ(t, h) = λ2b−1 χ(tλa , hλb )
und daraus
γ = (2b − 1)/a
oder das Skalengesetz
1−b
γ=
a
!
b
− 1 = β(δ − 1)
1−b
Für den Exponent der spezifische Wärme findet man
α = 2 − 1/a
oder das Skalengesetz
α − 2 = −β(δ + 1)
Eine günstigere Variante der Skalenhypothese folgt, wenn man statt der Temperatur die Korrelationslänge einführt (siehe weiter unten)
g(ξ, h) = ξ −dg(1, h/ξ b̄)
??
Beweis: Vergrößert man die Längenskala um L muß die Dichte freie Energie um L−d zurückgeskalt werden und die Korrelationslänge um L−1 um die ursprüngliche freie Energie zu erhalten.
Also
g(ξ, h) = L−d g(ξ/L, h/Lb̄)
Wählt man L = ξ folgt obige Relation.
83
27. Juni 2007
Abbildung 4.7: Statische Skalenfunktionen
Da ξ ∼ t−ν ist G(t, h = 0) ∼ tdν und die spezifische Wärme C ∼ tdν−2 ∼ t−α folgt
daraus das Skalengesetz
α = 2 − dν
Skalenfunktionen
Die Zustandsgleichung ist eine Beziehung zwischen dem OP und den Feldern
(als Beispiel nehmen wir einen Magnet) H = H(M, T ). Das liefert eine ganze
Kurvenschar. Die Gleichung läßt sich aber in der Form schreiben
1
H = M δ h(|t|/M β )
oder
M = |t|β m(H/|t|βδ )
oder auch
H = |t|βδ h(M/|t|β )
Das liefert zwei Kurven, je eine für T > Tc und T < Tc wenn man die Variablen
y = H/M δ und x = tβ /M einführt. Die Variablen heißen Skalenvariable die Funktionen Skalenfunktionen. Achtung: in der Darstellung der magnetischen Daten ist
die Magnetisierung herausgezogen worden. Daher ist der Wert der Skalenfunktion
im Limes kleiner Argumente konstant.
4.3.2
Thermodynamik
Spezifische Wärme; Suszeptibilität Zwei-Skalenfaktor Hypothese
Für verschiedene Substanzen wird die Skala von y und x verschieden sein. Wählt
man aber als Variable ỹ = y/y0 und x̃ = x/x0 , so fallen die Skalenfunktionen auch
für verschiedene Substanzen zusammen (eben solche die in der gleichen Universalitätsklasse liegen). Der neue Punkt ist nun, daß die beiden Skalen h0 und x0 ,
84
27. Juni 2007
Abbildung 4.8: Statische Skalenfunktionen
also die Skala für das Feld und den OP, ausreichen um alle anderen Skalen thermodynamischer Größen festzulegen. Das ist die Zwei-Skalen-Faktoren-Hypothese.
Es muß also zwischen den Amplituden in den Potenzgesetzen Beziehungen geben.
Abbildung 4.9: Amplitudenverhältnisse in einem Isingmagneten
85
27. Juni 2007
Abbildung 4.10: Amplitudenverhältnisse in einer Flüssigkeit
Betrachten wir die Suzeptibilität. Im kritischen Bereich gilt
∂M
∂H
χ (t > 0, H = 0) =
!
∼ Γt−γ .
H=0
Benützt man die Zustandsgleichung ergibt sich
1
1
χ−1 = δM δ−1 h(t/M β ) − th0 (t/M β )M −1/β−1+δ
1
β
Ausnützen des Skalengesetzes βδ = γ + β gibt
γ
= t
"
γ
δh0 h̃x−γ
0 x̃
−
−γ+1
h0 h̃0 x−γ
0 x̃
Daraus folgt
Γ=
4.3.3
xγ0 h−1
lim
0 x→∞
x̃γ
h̃(x̃)
1
β
#
!
Statische Korrelationen
Die Skalenhypothese postuliert auch für die Korrelationsfunktion, daß sie eine
verallgemeinerte homogene Funktion ist, oder für die Fouriertransformierte
χ(ξ, ~k) = λc g(λξ, ~k/λ)
Bei Tc gilt
χ(∞, ~k) = λc g(∞, ~k/λ)
und
χ ∼ k −2+η
86
27. Juni 2007
so daß
c = −2 + η
Andererseits ergibt sich für k = 0 die statische Suszeptibilität
χ(ξ, 0) = λc g(λξ, 0)
und
χ ∼ ξ γ/ν
so daß
c = −γ/ν
und das Saklengesetz resultiert
γ = (2 − η)ν
wodurch der neue Exponent η ebenfalls durch die anderen Exponenten ausgedrückt ist.
Der Wert der Zwei-Skalen-Faktoren-Hypothese (ZSFH) besteht gerade darin, daß
sie auch für ortsabhängige Größen gilt. Somit auch für die Amplitude der Korrelationslänge ξ = f t−ν . D.h. daß eine Größe wie (d ist die Dimension, C die
spezifische Wärme)
Rξ = ξ αt2 C
1
d
nach den Skalengesetzen temperaturunabhängig und nach der ZSFH universell
sein muß. Die Längenskala hängt universell mit der thermodynamischen
Skala zusammen.
4.4
Universalität
Symmetrie des Ordnungsparameters, Reichweite der Wechselwirkung, Symmetrie
der Wechselwirkungsterme, Erhaltungssätze und Modenkopplung
4.4.1
Statische Universalitätsklassen
Das asymptotische statische kritische Verhalten hängt von der Komponentenzahl,
n, des OP ab, von der Raumdimension, d, von der Natur der Wechselwirkung,
kurzreichweitig, langreichweitig, dipolar etc. und von der Symmetrie, isotrop, kubisch etc. Es hängt jedoch nicht von Details der Wechselwirkung etc ab. Sehr
gut lässt sich die Universalität dann überprüfen, wenn man eine thermodynamische Grösse variieren kann, ideal bei 4 He am suprafluiden Phasenübergang, der
sogenannten λ-Linie. Die Exponenten und Amplitudenverhältnisse sind druckunabhängig.
87
27. Juni 2007
Abbildung 4.11:
Kapitel 5
EXAKT LÖSBARE MODELLE
5.1
Isingmodelle
Allgemein versteht man darunter Modelle deren Energie von einer Anzahl N
Variablen σi abhängt die zwei Werte annehmen können σi = ∓1. Die Zustandssumme lautet
ZN (H, T ) =
X
σ
exp{−βE(σ; N) − H
X
i
σi }
Sind die Spins auf einem Gitter angeordnet so erhält man die verschiedenen ddimensionalen Isingmodelle. Diese können isotrop oder anisotrop sein je nachdem
ob die Wechselwirkung in verschiedene Raumrichtungen gleich oder verschieden
ist. Ferner unterscheidet man nach der Reichweite der Wechselwirkung, nämlich
kurz oder langreichweitige Wechselwirkung. Dabei heißt langreichweitig, daß
J(r) ' 1/r d+σ mit σ < 2
Die Fouriertransformation dieser Wechselwirkung führt nämlich auf einen Term
mit q σ der mit q 2 von der kurzreichweitigen Wechselwirkung zu vergleichen ist.
5.1.1
Das eindimensionale Ising-Modell
Die Zustandssumme
Im eindimensionalen Fall (Kette von Spins in festen Abständen) reduziert sich
die Hamilton-Funktion auf
H = −J
N
X
i=1
σi σi+1 − µB
88
N
X
i=1
σi ;
(5.1)
89
27. Juni 2007
Für B = 0 ist die Zustandssumme
Z =
X
exp βJ
{σ=±1}
=
X
...
X
...
σ1 =±1
=
N
X
σi σi+1
i=1
N
X Y
#
exp [βJσi σi+1 ]
σN =±1 i=1
σ1 =±1
=
"
N
X Y
(cosh βJ + σi σi+1 sinh βJ)
σN =±1 i=1
(cosh βJ)N
X
σ1 =±1
...
N
X Y
(1 + σi σi+1 tanh βJ)
(5.2)
σN =±1 i=1
(entweder ist σL+1 = 0 oder σL+1 = σ1 (periodische Randbed.) s.u.). Entwickelt
Q
man das Produkt N
i=1 (1 + σi σi+1 tanh βJ) nach Potenzen von σ, dann erhält
man als typische Form eines Termes z.B. 6. Ordnung σ1 σ22 σ32 σ4 . Aus den Eigenschaften
X
σi = 0
und
σi2 = 1
σi =±1
folgt, daß nur Produkte, in denen ausschließlich gerade Potenzen der σi vorkommen, einen Beitrag liefern könnten. Für die nichtperiodische Randbedingungen
treten solche Terme nicht auf (es kommen in jedem Produkt Spins nur linear
P
vor), sodaß in diesem Fall ( σi =±1 1 = 2)
Z = (2 cosh βJ)N
(5.3)
ist. Für periodische Randbedingungen trägt nur der Term größter Ordnung
2
2
σ1 σ22 . . . σN
σN +1 = σ12 σ22 . . . σN
(σN +1 = σ1 ) bei (nur dieser ist quadratisch in
allen Spins), sodaß dann
Z = (2 cosh βJ)N 1 + (tanh βJ)N
(5.4)
gilt; für große Werte von N kann der mit der Randbedingung zusammenhängende Term (tanh βJ)N vernachlässigt werden (da tanh βJ < 1 ist), sodaß wir im
thermodynamischen Limes wieder (5.3) erhalten (wie es sein muß).
Im Fall B 6= 0 verwenden wir zur Berechnung der Zustandssumme eine elegantere
Methode, die auch bei Näherungsrechnungen angewendet wird. Die Zustandssumme mit der Hamilton-Funktion (5.1) läßt sich nach einer trivialen Aufteilung der
Summation des Anteils des magnetischen Feldes schreiben als
N
X Y
1
exp β Jσi si+1 + h(σi + σi+1 )
...
Z=
2
σN =±1 i=1
σ1 =±1
X
,
h = µB. (5.5)
90
27. Juni 2007
i
h Jeder Faktor exp β Jσi σi+1 + 12 h(σi + σi+1 ) im Produkt kann entsprechend
den Einstellmöglichkeiten von σi und σi+1 4 Werte annehmen, die als Matrixelemente hσi | P |σi+1 i der sogenannten Transfermatrix P aufgefaßt werden können,
!
eβ(J+h) e−βJ
e−βJ
eβ(J−h)
P =
;
(5.6)
die Summation über die Spineinstellungen in (5.5) ist aber in dieser Darstellung
nichts anderes als das Produkt benachbarter Transfermatrizen
X
σi =±1
hσi−1 | P |σi i hσi | P |σi+1 i = hσi−1 | P 2 |σi+1 i ,
(5.7)
sodaß die Zustandssumme für periodische Randbedingungen, |σN +1 i = |σ1 i , die
Spur von P N ist
Z=
X
...
σ1 =±1
X
σN =±1
hσ1 | P |σ2 i . . . hσN | P |σ1 i =
X
σ1 =±1
hσ1 | P N |σ1 i = Sp(P N ).
(5.8)
Die Spur von P N berechnet man am einfachsten in einer Diagonaldarstellung von
P (P ist symmetrisch)
!
λ1 0
P =
,
0 λ2
denn dann ist
i
h
N
Sp P N = λN
1 + λ2 .
Die beiden Eigenwerte λ1 und λ2 von P sind1
1/2 λ1,2 = eβJ cosh [βh] ± cosh2 [βh] − 2e−2βJ sinh [2βJ]
= eβJ cosh [βh] ± cosh2 [βh] − 1 + e−4βJ
sodaß aus
1/2 1 ln Z = N ln λ1 + ln 1 + (λ2 /λ1 )N
N
wegen λ1 > λ2 im thermodynamischen Limes, N → ∞, folgt
,
(5.9)
(5.10)
ln Z = N ln λ1 .
(5.11)
λ1,2 = eβJ (1 ± e−2βJ ) = eβJ ± e−βJ
(5.12)
Für B = h = 0 ist
1
Die Eigenwertgl. lautet
λ2 − λeβJ eβh + e−βh + e2βJ − e−2βJ = 0.
91
27. Juni 2007
und (5.11) reduziert sich klarerweise auf (5.3).
Da hier T und B als Parameter gewählt wurden folgt aus ln Z die freie Enthalpie
G(T, B) = −kB T ln Z(T, B);
(5.13)
mit (5.9) ist
G (T, B) = −kB T N ln eβJ cosh [βµB] + cosh2 [βµB] − 1 + e−4βJ
1/2 .
(5.14)
Für die Magnetisierung
M = N hσi
(5.15)
(eigentlich ist M = µN hσi, im folgenden wird aber µ = 1 gesetzt)
M = kB T
∂G
1 ∂
ln Z = −
µ ∂B
∂B
(5.16)
folgt
m = M/N = sinh [βB]
cosh2 [βB] − 1 + e−4βJ
1/2 .
(5.17)
Für T ≥ 0 und B = 0 ist stets M = 0; es tritt keine spontane Magnetisierung
(M 6= 0) auf (sinh(0) = 0): das eindimensionale Ising-Modell weist für keine
Temperatur Ferromagnetismus auf. Für B = 0 lautet die freie Enthalpie
G/N = −kB T ln [2 cosh [J/kB T ]]
(5.18)
und für nichtwechselwirkende Spins (J = 0) ist
G (T, B) = −kB T N ln [2 cosh [βB]]
(5.19)
und wir finden wieder die Magnetisierung des idealen Paramagneten (vgl. Abschnitt ??)
1
(5.20)
m = tanh [βB] .
2
Aus (5.17) ergibt sich für die Suzeptibilität χ
χ=
und für B = 0 ist
1 ∂M
βNe−4βJ cosh [βµB]
=
3/2
µ ∂B
cosh2 [βµB] − 1 + e−4βJ
χ = βNe2βJ
(5.21)
(5.22)
(vgl. Stanley Gl. (8.24)). Ist umgekehrt J = 0 (idealer Paramagnet), dann ist
χ=
βN
;
cosh [βB]
(5.23)
für zunehmendes Magnetfeld nimmt die Suszeptibilität ab, da immer weniger
Spins ausgerichtet werden müssen.
92
27. Juni 2007
Korrelationen
Math. Def. der Korrelation zwischen 2 Spins σi und σj
ρ (σi , σj ) = rD
h(σi − hσi i) (σj − hσj i)i
2
(σi − hσi i)
ErD
(σj − hσj i)2
hσi σj i − hσi i hσj i
rD E
.
= q
hσi2 i − hσi i2 σj2 − hσj i2
E
(5.24)
Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung ist
ρ (σi , σj ) ≤ 1.
Falls die Mittelwerte verschwinden (z.B. B = 0 und T ≥ Tc ), dann gilt
hσi σj i
ρ (σi , σj ) = r
D E.
2
hσi i σj2
(5.25)
Wesentlich neue Größe ist hσi σj i, die als Korrelationsfunktion bezeichnet wird.
Da, je nach Lesart σi2 = 14 oder 34 oder 1 ist, sind die Erwartungswerte hσi2 i einfach
gleich diesen Werten.
Wir berechnen nun die Funktion
N
X Y
1 X
1
...
hσi σj i =
σi σj exp β Jσk σk+1 + h(σk + σk+1 )
Z σ1 =±1 σN =±1 k=1
2
für das eindimensionale Ising-Modell mittels der Transfermatrix. Nach (5.8) und
(5.7) gilt
hσi σj i =
X
1 X
hσ1 | P |σ2 i . . .
...
Z σ1 =±1 σN =±1
hσi−1 | P |σi i σi hσi | P |σi+1 i . . . hσj−1 | P |σj i σj hσj | P |σj+1 i . . . hσN | P |σ1 i
1 X X X
=
hσ1 | P i−1 |σi i σi hσi | P j−i |σj i σj hσj | P N −j+1 |σ1 i
Z σ1 =±1 σi =±1 σj =±1
=
1 X X
σi hσi | P j−i |σj i σj hσj | P N −(j−i) |σi i ,
Z σi =±1 σj =±1
wobei wir im letzten Schritt wieder die zykl. Invarianz der Spur verwendet
haben. Gehen wir zur Matrixschreibweise
für P , (5.6), über, dann muß auch
P
1
0
bzw.
ausgedrückt werden:
σi =±1 |σi i σi hσi | durch |σi i =
0
1
X
σi =±1
|σi i σi hσi | =
1
0
1
⊗ (1, 0) −
0
⊗ (0, 1) =
1 0
0 −1
!
93
27. Juni 2007
und danach gilt
1
hσi σj i = Sp
Z
"
1 0
0 −1
!
Sei
P
1 0
0 −1
j−i
P
N −(j−i)
#
.
(5.26)
!
a11 a21
a12 a22
A=
!
die Matrix der normierten Eigenvektoren (a11 , a12 ) und (a21 , a22 ) zu den Eigenwerten λ1 und λ2 der Matrix P ; bei einer Ähnlichkeitstransformation
diagonalisiert
!
a22
−a21
A die Matrix P (A−1 =
, det A = (a11 a22 − a12 a21 ) = 1)
−a12 a11
!
λ1 0
0 λ2
−1
A PA =
.
Da die Spur invariant unter Ähnlichkeitstransformationen ist
"
1
hσi σj i = Sp A−1
Z
!
1 0
0 −1
−1
AA P
j−i
1 0
0 −1
−1
AA
!
−1
AA P
N −(j−i)
#
A ,
gilt
"
1
hσi σj i = Sp A−1
Z
!
1 0
0 −1
A
λ1j−i 0
0
λ2j−i
Mit
−1
σA = A
folgt
"
= 1
1 + (λ2 /λ1 )N
Sp
1 0
0 −1
λ1j−i 0
0
λ2j−i
1
hσi σj i =
Sp σA
N
(λ1 + λN
2 )
"
σA
!
!
−1
A
!
1 0
0 −1
!
A
N −(j−i)
λ1
0
0
N −(j−i)
λ2
A
N −(j−i)
λ1
0
σA
1 0
0 (λ2 /λ1 )j−i
!
0
N −(j−i)
λ2
!#
1 0
0 (λ2 /λ1 )N −(j−i)
σA
!#
.
Im thermodyn. Limes geht (λ2 /λ1 )N −(j−i) → 0 und (r = λ2 /λ1 )
"
Sp σA
1 0
0 r j−i
!
σA
1 0
0 0
!#
.
Für die Korrelationsfunktion erhält man
hσi σj i =
e4βJ sinh2 βh + (λ2 /λ1 )j−i
e4βJ sinh2 βh + 1
(5.27)
!#
.
94
27. Juni 2007
und für
hσi σj i − hsi2
=
ρ (σi σj ) =
hs2 i − hsi2
Grenzfall B = h = 0:
wegen hs2 i = 1 ist
λ2
λ1
!j−i
.
(5.28)
λ2
= tanh βJ;
λ1
(5.29)
ρ = hσi σj i = tanhj−i βJ.
(5.30)
Die Korrelation fällt für J > 0 (ferromagnet. Grundzustand) exponentiell ab
hσi σj i = e−|ln v|(j−i) ,
v = tanh βJ (≤ 1) ,
(5.31)
daher gibt es für keine endliche Temperatur eine langreichweitige Ordnung (spontane Magnetisierung). Ein Zeichen dafür wäre ein Potenzverhalten der Korrelationsfunktion in der Variablen (j − i) = r.
Abbildung 5.1: Korrelationsfunktion der Magnetisierungskorrelationsfunktion für
das 1-dimemsionale Isingmodell
Antiferromagnetischer Fall
Wenn J < 0 ist, dann liegt im Grundzustand antiferromagnetische Ordnung vor.
Da die obigen Beziehungen unabhängig vom Vorzeichen von J sind, gelten sie
95
27. Juni 2007
auch in diesem Fall. So folgt insbesodere für die Korrelationsfunktion des den
AFM
ρ = hσi σi+r i = (−1)r tanhr β |J| ,
sie zeigt also, abgesehen vom exponentiellen Abfall analog zu (5.31), ein oszillierendes Verhalten, welches die antiferromagnetische Ordnung widerspiegelt. Es ist
ja nicht die Magnetisierung der OP sondern die alternierende Magnetisierung.
5.1.2
Das zweidimensionale Isingmodell
Neben dem 1-dimensionalen Isingmodel ist nur das 2-dimensionale Isingmodel
für nächste Nachbarwechselwirkung exakt lösbar. Die folgende Zeittafel gibt für
dieses Modell die erreichten Ergebnisse an
1944 Onsager: Freie Energie im Feld Null aber Wechselwirkung anisotrop.
1949 Onsager: Magnetisierung (Resultat ohne Ableitung)
1952 Yang: Erste publizierte Ableitung zur Berechnung von M
Lösungsmethoden:
Lit.: Schulz, Mattis, Rev. Mod. Phys. July 1964, 856 (Transfer Matrix, Fermion
Operatoren)
Graßmann-Variable
Es soll die Lösungsmethode von Landau-Lifshitz dargestellt werden. Es sei die
Energie einer Spinstellung auf dem quadratischen Gitter
E(σ) = −J
L
X
(σk,l σk,l+1 + σk,l σk+1,l )
k,l=1
mit J > 0 und σ = ±1. Die Zahl der Spins ist N = L2 ; L sei so groß, daß von
Randeffekten abgesehen werden kann. k ist der Zeilenindex, l der Spaltenindex.
Es ist die Zustandsumme
Z=
X
exp(−βE({σ}))
{σ}
eine Summe über die 2N Konfigurationen in {σ}. Es gilt mit Θ = βJ
exp(Θσk,l σk0 ,l0 ) = cosh Θ + σk,l σk0 ,l0 sinh Θ = cosh Θ (1 + σk,l σk0 ,l0 tanh Θ)
Also kann man Z schreiben als (x = tanh Θ)
Z = (1 − x2 )−N S
96
27. Juni 2007
mit
S=
L
XY
(1 + xσk,l σk,l+1 )(1 + xσk,l σk+1,l )
{σ} k,l
wobei bei der Produktbildung verwendet wurde, daß es sich um klassische Spins
handelt. Die Zustandssumme ist also ein Polynom in x und σ. Jeder Punkt {k, l}
hat 4 Nachbarn, kommt also in Potenzen von 0 bis 4 vor. Die ungeraden Potenzen
heben sich in der Summe weg, es bleiben die Potenzen 0, 2, 4. Die sind alle 1.
Jedes Glied das alle σk,l in gerader Potenz enthält kommt 2N mal vor, da es 2N
Belegungen mit ±1 gibt.
k,l
k+1,l
xσk,l σk+1,l
k,l
k+1,l
2
x2 σk,l
σk+1,l σk,l−1
k,l
k,l-1
xσk,l σk,l−1
k,l-1
Abbildung 5.2: Graphische Elemente
Abbildung 5.3: Geschlossene Graphen ohne und mit Überschneidung
Die Beiträge zum Polynom werden durch Graphen dargestellt. Deren Elemente
finden sich in Fig.(5.2). Nun sind in dem Polynom nur gerade Potenzen von σ enthalten, d.h. nur geschlossene Graphen mit Selbstüberschneidung (siehe Fig.(5.3))
97
27. Juni 2007
oder
Abbildung 5.4: Zerlegung von Graphen in Schleifen
daher kann man schreiben
S = 2N
X
xr gr
r
mit r gerade und gr die Zahl der geschlossenen Graphen, die von r Verbindungen
gebildet wird.
6
r
6
φ=0
r
6
φ=
π
2
r
6
φ = − π2
Abbildung 5.5: Phasen
Man kann nun jeden Graphen als Gesamtheit einer oder mehrerer geschlossener
Schleifen betrachten, wobei jeder Überschneidung in einer Schleife ein Faktor (−1)
zugeordent wird. Mit dieser Zerlegung bildet man die Summe aller Schleifen. Man
98
27. Juni 2007
sieht, daß Graphen mit drei Linien an einem Punkt nicht vorkommen, da sich die
zugeordneten Schleifen wegheben. Das muß so sein da diese Graphen ungerade
Potenzen eines σ enthalten.
Man vereinfacht die Summation der Schleifen weiter indem jedem Punkt in der
Schleife ein Phasenfaktor exp( φ2 ) zugeordnet wird, wo φ der Drehwinkel ist, der
sich beim Durchlaufen dieses Punktes ergibt. Eine Schleife hat dann den Faktor
X
exp
φ
2
!
= (−1)n+1
Hat man mehrere Schleifen so gibt das den Faktor
(−1)
Ps
1
ni +s
Der Faktor (−1)s ist zuviel und wird dadurch weggekürzt indem man ihn bei der
Berechnung hinzufügt.
Ist fr die Summe über alle Schleifen der Länge r, dann ist
1 X
fr fr
2! r1 +r2 =r 1 2
Die Summe über alle Paare von Schleifen mit insgesamt r Verbindungen. Somit
kann man S schreiben als
∞
X
1
xr1 +...+rs fr1 . . . f2s
(−1)
S=2
s! r1 +...+rs =1
s=0
N
∞
X
s
Da die Vertauschungen berücksichtigt sind, durchläuft jedes ri den Bereich 1
bis ∞. Schleifen mit Gitterpunkten größer als N geben keine Beitrag, da sie
notwendigerweise sich wiederholende Verbindungen (Doppelbindungen und damit
ungerade Potenzen von σ) enthalten.
Daher ist
∞
X
r1 +...+rs
x
∞
X
fr1 . . . f2s =
r=1
r1 +...+rs =1
und
n
S = 2 exp −
∞
X
r=1
r
x fr
r
x fr
!s
!
Damit läßt sich S durch alle verbundenen Schleifen darstellen (einfachstes Beispiel
eines Verbundgraphtheorems).
Der nächste Schritt besteht darin fr zu berechnen.
Dazu betrachtet man einen Gitterpunkt. Dieser kann in vier Richtungen (einfach kubisches Gitter) verlassen werden. Es sei Wr (k, l, ν) die Summe über alle
99
27. Juni 2007
6
3 2
-
?
1
4
Abbildung 5.6: Richtungen
möglichen Wege der Länge r von einem festen Punkt k0 , l0 in Richtung ν0 zu dem
Punkt k, l nicht aus der Richtung ν. Die Phasenfaktoren sind berücksichtigt.
Dann ist Wr (k0 , l0 , ν0 ) die Summe über alle Schleifen von k0 , l0 in Richtung ν0 .
Also ist
1 X
Wr (k0 , l0 , ν0 )
fr =
2r k0 ,l0 ,ν0
Da jeder Gitterpunkt der Schleife in der Summe vorkommt, muß durch r dividiert
werden. Da jeder Durchlaufsinn gezählt wird muß durch 2 dividiert werden. Für
Wr (k, l, ν) kann man eine Rekursionsformel aufstellen



e−iπ/4
1
iπ/4
e
0
1
Wr+1 (k, l, 1)

 eiπ/4
W
(k,
l,
2)


 r+1
=

 0
 Wr+1 (k, l, 3) 
e−iπ/4
Wr+1 (k, l, 4)
0
e−iπ/4
1
iπ/4
e


Wr (k − 1, l, 1)
eiπ/4
 W (k, l − 1, 2) 
0 

 r


e−iπ/4   Wr (k + 1, l, 3) 
Wr (k, l + 1, 4)
1
Beispiel: Wie komme ich zu k, l nicht aus Richtung 1?
Die Gleichung hat folgende Struktur
X
Wr+1 (k, l, ν) =
Λ(k, l, ν|k 0 , l0 , ν 0 )Wr (k 0 , l0 , ν 0 )
k 0 ,l0 ,ν 0
=
X
Λr+1 (k, l, ν|k 0 , l0 , ν 0 )W0 (k 0 , l0 , ν 0 )
k 0 ,l0 ,ν 0
mit W0 (k 0 , l0 , ν 0 ) = δk0 k0 δl0 l0 δν0 ν 0 und die Matrix Λ nur dort von Null verschieden,
wo die Gitter indizes um 1 verschieden.
Also folgt
1 X
1 X r
1
fr =
Wr (k0 , l0 , ν0 ) = SpurΛr =
λ
2r k0 ,l0 ,ν0
2r
2r i i
wo λi die Eigenwerte der Matrix Λ sind. Man kann also S durch die Eigenwerte
ausdrücken
N
S = 2 exp −
∞
X
r=1
r
x fr
!
∞
1 XX
(xλi )r
= 2 exp −
2 i r=1 r
N
!
100
27. Juni 2007
!
q
Yq
1X
N
1 − xλi = 2N Det(1 − xΛ)
S = 2 exp
ln(1 − xλi ) = 2
2 i
i
N
Also man braucht nur die Determinante von 1 − xΛ und nicht die Eigenwerte.
Dazu diagonalisiert man Λ in den Indizes k, l durch Fouriertransformation
Wr (p, q, ν) =
L
X
e−
2πi
(pk+ql)
L
Wr (k, l, ν)
k,l=0
Anwenden auf die iterative Gleichung für W
0
Wr+1 (p, q, ν) = Λ(p, q, ν|p0, q 0 , ν 0 )Wr (p0 , q 0 , ν 0 ) = Λνν (p, q)Wr (p, q, ν 0)
wo (da Λ diagonal in p, q)

0
 e−i(p/L−π/4)


0
Λνν (p, q) = 
Daraus ergibt sich
e−ip/L
e−i(p/L+π/4)
e−i(q/L+π/4)
e−iq/L
e−i(q/L−π/4)
0
Det(1 − xΛ) =
oder
Det(1 − xΛ) =
Y
p,q
0
e−i(p/L−π/4
e−ip/L
e−i(p/L+π/4
0
Det 1νν − xΛνν
Y
p,q
[1 + x2 ]2 − 2x[1 − x2 ](cos
0

e−iq/L
0



e−i(q/L−π/4) 
e−iq/L
2πp
2πq
+ cos
)
L
L
Die Zustandssumme Z = (1 − x2 )−N S ist damit
N
2 −N
Z = 2 (1 − x )
Y
p,q=0
s
(1 +
x2 )2
− 2x[1 −
x2 ]
2πq
2πr
+ cos
cos
L
L
Daraus berechnet man die freie Energie
h
F = −kB T ln Z = −NkB T ln 2 − ln(1 − x2 )
+
#
L
1 X
2πq
2πp
2 2
2
+ cos
)
ln (1 − x ) − 2x(1 − x )(cos
2N p,q
L
L
Im thermodynamischen Limes N → ∞ geht die Summe in ein Integral über. Die
freie Energie ist extensiv, also berechnet man die freie Energie pro Gitterplatz
(Spin) f = F/N
h
f = −kB T ln 2 − ln(1 − x2 )
Z 2π Z 2π
1
2 2
2
+
dω1 dω2 ln (1 − x ) − 2x(1 − x )(cos ω1 + cos ω2
8π 2 0 0
101
27. Juni 2007
Es war x = tanh kBJT . Damit ist die Berechnung der Zustandssumme exakt gelungen. Das Integral ist singulär an der unteren Grenze wo cos ωi = 1 für x = xc
0 = (1 + x2 )2 − 4x(1 − x2 ) = (x2 + 2x − 1)2
√
√
Also xc = 2 − 1 (die Lösung xc2 = − 2 − 1 gibt kein positives Tc ) woraus
folgt Tc = 2, 27 kJB . Um das singuläre Verhalten der freien Energie als Funktion
des Temperaturabstandes t = T − Tc zu finden, entwickelt man cos ωi ∼ 1 − 21 ωi2
und (x2 + 2x − 1)2 ∼ 2(x − xc )2 . Dann enthält die freie Energie den Term
Z
0
2π
Z
0
2π
dω1 dω2 ln c1 t2 + c2 (ω12 + ω22 ∼
Z
0
rdr ln at2 + r 2 ∼ t2 ln |t|
Zweimal ableiten nach der Temperatur gibt die spezifische Wärme
C ∼ ln |T − Tc |
im Widerspruch zur Molekularfeldtheorie.
Abbildung 5.7: (a) Magnetisierung als Funktion von t und H für Fe Filme auf
W(110) Oberflächen. Die Kurven durch die Daten sind Potenzgesetzte deren Exponenten angepaßt sind. (b) Skalenverhalten der Magnetisierung. Die Skalenfunktion durch die Daten ist die Berechnung in D. S. Gaunt and C. J. Domb, J. Phys.
C3, 1442 (1970); die anderen Kurven sind das Resultat für das dreidimensionale
Isingmodell (durchgezogene Kurve) und das Resultat der Molekularfeldtheorie
(gestrichelte Kurve).
Als Resultat für die kritischen Exponenten ergibt sich:
α = 0 logarithmische Singularität,
102
27. Juni 2007
β = 1/8,
µ = 1,
ν = ν0 = 1
Dabei ist µ der Exponent mit dem die freie Energie einer Zwischenfläche skalt
F = N ∗ f + L ∗ s,
N = L ∗ l,
s ' | t |−µ
Es gilt das Skalengesetz µ + ν = 2 − α.
Ein kompletter Test der Skalenhypothese kann nicht gegeben werden da man nur
bei H = 0 rechnen kann. Unabhängig davon konnte Abraham 1973 zeigen daß
γ = 7/4
Ferner kennt man die Amplituden der Suszeptibilität exakt [E. Barouch, B. M.
McCoy, T. T. Wu, Phys. Rev. Lett. 31, 1409 (1973)]
Γ+ = 0.025537
Γ− = 0.96258
Γ+
= 38 .
Γ−
Dies ist viel größer als das Amplitudenverhältnis der Molekularfeldtheorie wo
Γ+
= 2. Die Magnetisierung lautet [L. Onsager Nuovo Cimento (Suppl.) 6, 359
Γ−
(1969); B. M. McCoy, T. T. Wu, The Two-Dimensional Ising Model, Cambridge,
MA (1973]
!1
8
1
1
∼ 1.22240995(−t) 8
M = 1−
4
sinh (2J/kb T )
Es gibt allerdings keinen Grund an der Skalenhypothese zu zweifeln woraus
δ = 15 und η = 1/4
folgt.
Die experimentelle Bestätigung der Skalentheorie liefert folgende Werte:
β = 0.13 ± 0.02
δ = 14 ± 2
γ = 1.74 ± 0.05
Γ+
= 40 ± 10
Γ−
(5.32)
Lit.: Experimentelle Untersuchung: C. H. Back et al., Nature 378,597 (1995); Ch.
Würsch, D. Pescia, J. Magn. Magn. Mat. 177-181, 617 (1998)
Näherungen für M(T, H): D. S. Gaunt and C. J. Domb, J. Phys. C3, 1442 (1970).
Crossover zum Verhalten gemäß der Molekularfeldtheorie: E. Luijten, W. J. Blöte,
K. Binder, preprints 1997, Phys Rev. Lett.; Phys. Rev. E.
5.1.3
Bethe Gitter
Eine weitere exakte Lösung ergibt sich auf unendlich dimensionalen Gittern. Damit ist folgendes gemeint. Geht man von einem Gitterpunkt aus und zählt die
27. Juni 2007
103
Punkte, die durch n Schritte erreicht werden können, so ist ’normaler weise’ diese Zahl proportional zum Volumen nd . Für das Bethe-Gitter wächst diese Zahl
exponentiell mit n und das ist stärker als jede Potenz nd . Das Gitter konstruiert man indem man von einem Punkt ausgehend q Linien zeichnet und von den
Endpunkten der Linien q − 1 weitere Linien usw. Bei so einer Konstruktion kann
die ’Oberfläche’ nicht mehr vernachlässigt werden. Das Modell heißt Ising Modell
auf dem ’Cayleytree’. Nimmt man nur die inneren Beiträge zur Zustandssumme
so spricht man vom Ising Modell auf dem Bethe Gitter.
Die kritischen Exponenten sind die der Molekularfeldtheorie allerdings hier mit
einer nächsten Nachbarwechselwirkung an Stelle der effektiv unendlichen Reichweite in der Molekularfeldtheorie.
Andere lösbare Modelle können auf fraktalen Gittern definiert werden. Deren
’Dimension’ ist zwar endlich aber nicht mehr ganzzahlig. Lit:
5.2
Vertexmodelle
Eine Reihe von Kristallen besitzt eine Wasserstoffbrückenbindung zB. KDP
(Kalium Dihydrogen Phosphat) oder Eis. Dabei kann das Wasserstoffatom der
nahe oder entfernt von den Sauerstoffatomen liegen die das zugrunde liegende
Gitter bilden. Für ein zweidimensionales Gitter sieht das etwa so aus:
Die entsprechenden Dipolmomente kann man durch Pfeile darstellen. Die Substanzen sind Ferroelektrika, man spricht daher auch von ferroelektrischen Modellen. Insgesamt gibt es 42 = 16 Anordnungen an einem Vertex, man spricht
auch von Vertexmodellen. Jedem Vertex ist eine bestimmte Energie zugeordnet.
Die Zustandssumme ist dann die Summe über alle Konfigurationen der H-Atome
bzw. der Dipole.
Es gilt nun die Eisregel die im wesentlichen ausdrückt daß nicht zuviel Ladunge
an einem Vertex gehäuft sind: Nur zwei H-Atome dürfen an einem Vertex nahe
sein. Das erlaubt 6 Konfigurationen an eienm Vertex, nämlich
Sind nun alle Energien dieser Konfigurationen gleich so liegt das Eismodell vor.
Sind E4 und E6 Null und die übrigen > 0 so hat man das KDP-Modell. Sind E1
und E2 Null und die übrigen so hat man das F- Modell.
Nimmt man zu diesen Konfigurationen noch folgende hinzu (gerade Anzahl von
Pfeilen in eine Richtung)
104
27. Juni 2007
so erhält man das 8-Vertexmodell. Motiviert wird die Hinzunahme dieser Vertizes
durch den Umstand daß sich beim 6-Vertexmodell ein ’eingefrorener’ geordneter
Zustand einstellt. Die Ordnung ist vollständig auch fürT > 0. Das hat mit
der Eisregel zu tun. Denkt man sich eine 450 -Gerade im Gitter und dreht alle
Pfeile entlang der Geraden um so kostet das im unendlichen Gitter einen infinitesimalen Beitrag an Energie und gibt einen infinitesimal kleinen Beitrag zur
Zustandssumme.
Gelöst wurde das 8-Vertexmodell für die Wahl der Energien der einzelnen Vertizes
E1 = E2 , E3 = E5 , E4 = E6 , E7 = E8 (Baxter, Phys. Rev. Lett. 26, 832
((1971)). Im Unterschied zu den 6-Vertexmodellen entspricht das einer Situation
in der das externe Feld Null ist. Das Modell kann drgestellt werden als zwei
Isingmodelle die durch eine Vierspinwechselwirkung gekoppelt sind. Die Lösung
zeigt daß die kritischen Exponenten in diesem Modell von den Wechselwirkungen
abhängen.
5.2.1
Das Baxter Modell
Lit.: Barry McCoy, cond-mat/0001256 (19.1.00) The Baxter Revolution
Transfermatrix; star-triangle equation; corner transfermatrix; chiral Potts model
5.3
Das sphärische Modell
In den bisher betrachteten Isingmodellen waren Werte der Spinvariablen σl = ±1
(l sind Vektoren eines d-dimensionalen Bravais Gitters). Wir lassen nun diese
Einschränkung fallen und fordern nur
X
σl2 = N
l
was bisher natürlich auch erfüllt war. Es sind aber nun alle Werte von σl < ∞
zugelassen. Liegen die Zustände eines Isingmodells auf den Ecken eines 2N dimensionalen
Kubus, so liegen die Zustände dieses Modells auf einer Kugel mit
√
Radius N ; daher der Name. Die Hamiltonfunktion lautet wie bisher
H =
−
X
0
J(l − l ) σl σl , − h
X
σl
105
27. Juni 2007
5.3.1
Berechnung der Zustandssumme
Z
ZN (β, h) =
∞
...
−∞
Z
∞
−∞
X
δ(N −
l
Wir benützen die Darstellung der δ Funktion.
δ(N −
X
σl2 ) e−βH
Y
dσl
l
X
1 Z i∞
exp(s(N −
σl2 ) ds
2πi −i∞
l
σl2 ) =
l
dann können wir schreiben
ZN (β, h) =
1
2πi
θN (β, H, s) =
Z
Z
α0 +i∞
eN s θN (β, h, s) ds
α0 −i∞
und
∞
−∞
...
Z
∞
−∞
−βH − s
el
P
σl2
dσl
P
Man kann θN als großkanonische Zustandssumme auffassen, s und
σl2 sind
P
2
konjugiert. Dann ist die Einschränkung N = <
l σl > nur im Mittel erfüllt.
1.Schritt: Berechnung von θN . l bildet ein Bravaisgitter gehen über zum reziproken Gitter. Bilden die Gitterfouriertransformierte
1
σl = √
N
X
µk eikl
J(l) =
k
1
N
P
X
J˜(k) eikl
k
wo k in der 1BZ liegt; ferner gilt l eikl = N∆(k) mit ∆(k) = 1 wenn k ein
reziproker Gittervektor ist und ∆(k) = 0 sonst.
Dadurch wird der Exponent
Q =
X
X
1 X
ß
J(l − l0 ) σl σl − s
σl2 + ßh
σl
2
l,l,
l
l
diagonalisiert
Q = 2
X h
k>0
1
2
i
˜
β J(k)
− s | µk |2 + [
1 ˜
β J(o)
2
− s ] µ2o + βh
√
Beweis:
X
ll’
J(l − l0 )σl σl0 =
1
N2
X
kk’k,,
˜
J(k)
µ k0 µ k , ,
X
0
ll’eik(l−l ) e
ik, l+ik,, l0
Nµo
106
27. Juni 2007
X
=
0
,,
˜
J(k)µ
k0 µk , , ∆(k + k )∆(−k + k )
kk’k,,
X
=
˜
˜ µ2
2J(k)
µk µ−k + J(o)
o
k>0
˜
˜
Es wurde benützt J(−k)
= J(k)
und µ−k = µ∗k . Ferner sollen keine k Vektoren
auf der Oberfläche der 1. BZ k = 21 G erlaubt sein. Wir gehen über zu reellen
Variablen wobei die Transformation orthogonal ist
1
µk = √ (xk + iyk )
2
Dann schreibt sich die große Zustandssumme
θN (β, h; s) =
×
Y Z
∞
−∞
k>0
Z
∞
−∞
...
Z
1
˜
e[ 2 β J(o)−s]
∞
−∞
1
˜
k 6= 0
√
x2o +βh N
e[ 2 β J(k)−s]
2)
(x2k +yk
xo
dxo ×
dxk dyk
Die Gaußschen Integrale können leicht ausgeführt werden
Z
ax2 +bx
e
dx =
Z
2
b 2 b
) − 4a
a(x+ 2a
e
2
b
− 4a
dx = e
r
π
a
a<0
Damit ergibt sich
1
1
1 ˜
1 X
1 ˜
1
−1
ln θN (β, h; s) = ln π + (βh)2 (s − β J(o))
−
ln[ s − β J(k)]
N
2
4
2
2N k
2
wobei die Summe über alle k läuft. Voraussetzung für die Konvergenz ist daß der
˜
˜ läßt sich ZN schreiben
Mit t = 2s/β J(0)
<s > 12 β J(o).
ZN =
˜
β J(0)
2(2πi)
Z
γ0+i∞
γ0−i∞
1 ˜
eN [ 2 β J(0)t +
1
N
˜
ln θN (β, h; 21 β J(0)t)
] dt
wobei für γ0 > 1 Konvergenz gegeben ist. Der Integrand hat einen Schnitt von
−∞ bis 1 auf der reelen Achse in der t Ebene.
2.Schritt: Die Berechnung des letzten Integrals erfolgt nach der Sattelpunktmethode: Für N → ∞ kommt der maximale Beitrag vom Minimum des Exponenten.
Wir entwickeln um das Minimum. Die Minimumsbedingung ergibt sich durch ableiten nach t von [. . .]
107
27. Juni 2007
1 ˜
β J(0)
1 X
1 ˜
2 1
2
β J(0) − (βh)
−
2
˜
˜
2
4 ( 12 β J(0)t
2N k
− 21 β J(0))
Sei λ(k) =
R
˜ )
J(k
˜
J(0
)
und ersetzen wir die Summe
dd k das Volumen der reziproken Gitterzelle =
1
N
P
(2π)d
.
va
k
1 ˜
β J(0)
2
1 ˜
˜
β J(0)t − 21 β J(k)
2
→
va
(2π)d
R
= 0
dd k so gibt
Die Bedingung lautet dann
va
(βh)2
dd k
+
˜
(2π)d ts − λ(k) β J(0)(t
s − 1)
und die Zustandssumme wird mit der Lösung ts
Z
˜ =
β J(0)
˜
γ0 +i∞
β J(0)
2
eN (...)(t−ts ) dt
e N [...ts ...]
ZN =
2(2πi)
γ0 −i∞
das Integral liefert etwas endliches nicht prop. eN sondern schwächer daher kann
man es vernachlässigen so daß
Z
1
ln ZN (β, h) =
N →∞ N
Z
va
1
1 ˜
(βh)2
1 ˜
−
+
ln
2π
−
β
J(0)
+
ln [ts − λ(k)] dd k
= β J(0)t
s
d
˜
2
2
2
(2π)
β J(0)(t
−
1)
s
lim
Diskussion der Minimumsbed.:
Es gibt mehrere Lösungen der Sattelpunktsgleichung, wir brauchen die mit dem
1
größten <ts . Wenn β klein ist so gilt ts ∼ β J(0
˜ . Das reelle ts wandert vom ∞ auf
1 zu. Wenn H = 0 ist erreicht es 1 bei
Z
˜
J(0)
va
dd k
mit
R(1) =
1
kB R(1)
(2π)d
− λ(k)
Voraussetzung ist daß R(1) konvergiert, das ist der Fall für d ¿ 2. Für T < Tc
bleibt ts an 1 hängen. Für H 6= O erreicht ts den Wert 1 nie.
Tc =
5.3.2
Berechnung der thermodynamischen Größen aus
der Zustandssumme
Die Magnetisierung
1
m(T, h) =
β
∂ ln Z
∂h
!
T
1 ˜ ∂ts 1
2β 2 h
= β J(0)
+
−
˜ (ts − 1)
2
∂h β 2β 2 J(0)
108
27. Juni 2007
βh2
va Z
dd k
∂ts
− 2
−
˜ (ts − 1)2 ∂h
2(2π)d (ts − λ(k))
2β J(0)
∂ts
∂h
!
1
β
woraus das einfache Ergebnis folgt (dies ist zugleich die Zustandsgleichung)
m(T, h) =
1
h
˜
J(0) ts − 1
Die Suszeptibilität
Sie ergibt sich nach nochmaliger Ableitung
χT =
∂m
∂h
!
T
1
∂ts
1
=
1 − h
˜ ts − 1
∂h
J(0)
!
T
1
ts − 1
!
Die innere Energie
Sie erhält man durch Ableiten nach der ’Temperatur’ β
∂ ln Z
∂β
U(T, h) = −
!
T

1 ˜ 
1
= − β J(0)
ts −
˜
2
β J(0)
h
˜
J(0
!2
und daraus die spezifische Wärme
Ch (T, h) =
∂U
∂T
!
h

1
∂ts
˜
= kB 1 + β J(0)
2
∂β
! 
1
h
h
−
˜
J(0
!2

1 
ts − 1

1

(ts − 1)2
Wir sind am kritischen Verhalten interessiert, die Minimumsbedingung liefert für
1
h
=
˜
J (0) ts − 1
!1/2
i
˜ h
J(0)
˜
β J(0)
− R (ts )
β
R(ts )
˜
kB T
= J(0)
1 −
˜
J(0)
!1/2
Für alle T < Tc ist ts = 1 und man kann Tc einsetzen so daß für alle T < Tc
Tc − T 1/2
m(T, h = 0) ∼
Tc
Die Suszeptibilität für h = 0 und T > Tc ist einfach
109
27. Juni 2007
χT =
1
1
˜
ts − 1
J(0)
Wir haben zu untersuchen mit welcher Potenz in t der Ausdruck divergiert. Dazu
muß man untersuchen wie sich das Integral R für t → 0, ts → 1 verhält.
R(ts ) =
va
(2π)d
Z
dd k
ts − λ(k)
Man findet R ' R(1) + a(ts − 1)x + b(ts − 1) so daß χT ' t−1 oder t−x je
nachdem x < 1 oder > 1. Nun ist x = 2/(d − 2) also gilt γ = 2/(d − 2)
für 2 < d < 4 und γ = 1 für d > 4. Bei d = 4 gibt es eine logarithmische
Korrektur χT ' t−1 |ln t|−1 . Es tritt als untere Grenzdimension d = 2 und
als obere d = 4 auf. Man kann auch langreichweitige Kräfte untersuchen formal
erhält man die Resultate dafür indem man d durch 2d/σ ersetzt.
β
γ
δ
α
β
ν
η
2<d<4
d>4
1/2
1/2
2/(d − 2)
1
(d + 2)/(d − 2)
5
1/2
1/2
−(4 − d)/(d − 2)
0
1/(d − 2)
1/2
0
0
Tabelle 5.1: Zusammenstellung der Resultate für die Exponenten
Die Zustandsgleichung im kritischen Bereich oberhalb Tc
Man erhält die Zustandsgleichung indem man ts aus m(T, h) mit Hilfe der Minimumsbedingung eliminiert.
˜
R(1) − R(1 + h/(mJ˜(0)) = β J(0)(t
+ m2 )
Benützt man wiederum die Entwicklung von P für kleine h/(mJ˜(0) so läßt sich
die Zustandsgleichung in Skalenform schreiben. Aus (c eine Konstante)
h(t, m) = m/c (t + m2 )2/(d−2)
folgt mit etwas anderer Bezeichnung als in Kapitel I2v)
110
27. Juni 2007
y = h(x) h(x) = 1/c (1 + x)γ
y = h/m | m |δ−1 x = t/ | m |1/β
Das ist mit der Zustandsgleichung in der Landautheorie zu vergleichen; dort erhält
man eine analoge Funktion h(x) mit γ = 1. Man [R.B.Griffith, Phys. Rev. 158,
176 (1967)] kann allgemeine Bedingungen, die die Zustandsgleichung zu erfüllen
hat unter der Annahme des Skalenverhaltens herleiten. Diese Zustandsgleichung
erfüllt alle Bedingungen aber für γ > 1 führt sie nicht zu einer unendlichen
Suszeptibilität entlang der Phasengrenze.
Bemerkungen zum sphärischen Modell
Das sphärische Modell zeigt einige unphysikalische Züge:
i) Die Suszeptibilität ist unendlich für alle T < Tc im limes h → 0
ii) Die spezifische Wärme ist für h = 0 konstant gleich 1/2 kB
iii) Die Korrelationsfunktion für große Abstände für alle T < Tc ist durch ein
Potenzgesetz gegeben gemäß der Ornstein Zernike Form dh. ' 1/r d−2 .
5.4
5.4.1
n-Vektormodelle
Definition und Übersicht
X
H = −
ll
α
J αβ (l − l0 )Slα Slβ0
Wo nun S ein n-komponentiger Einheitsvektor, klassisch, auf einem d dimensionalen Gitter ist. Man erhält je nach Wahl der Wechselwirkung verschiedene kurz
bzw. langreichweitige Modelle. Die Zustandssumme ist
Z =
Z
∞
Y
−∞ l
n
[d σl δ
n
X
=1
(Slα
!2
− 1)] e−βH
Die Wechselwirkung kann isotrop J αβ ' δ αβ oder anisotrop sein ferro- oder
antiferromagnetisch. Realisierungen der Modelle finden sich in
Lit.: Mukamel et al. Phys. Rev. 13, 5065, 5078, 5086 (1976)
iv) Das sphärische Modell ist äquvalent zu dem n-Vektormodell im Limes n → ∞
[H.E.Stanley, Phys. Rev. 176, 718 (1968)] oberhalb Tc .
111
27. Juni 2007
n
−2
0
1
2
3
3 < n < 48
∞
Modell
Gauß’sches Balian-Fisher Modell
Self-avoiding random walk
Ising Modell
XY-Modell
Heisenberg Modell
magnetische Modelle mit komplizierter Gitterstruktur
sphärisches Modell
Tabelle 5.2: Übersicht über die verschiedenen n-Vektormodelle
n
Beispiele
0
Polymerketten in Lösungen
1 Reine Flßsigkeit, Mischungen, Legierung
2
suprafluides 4 He
4
TbAs, TbP, TbSb
6
UO2 , K2 IrCl6
8
MnO, MnSe, NiO, ErSb
12
Eu, Cr
Tabelle 5.3: Realisierungen verschiedener n-Vektormodelle
5.4.2
Polymere und das n → 0-Vektormodell
Lit.: E.P. Raposo, Am. J. Phys. 59, 633 (1991)
Plischke, Bergersen, Kapitel 8.3 Seite 313
5.5
5.5.1
Das Gauß’sche Modell
Ungeordnete Phase
In der Landautheorie haben wir die Fluktuationen um den Zustand der H minimalisierte vernachlässigt. Als nächsten Schritt wollen wir ein verbessertes Modell
lösen, in dem die Fluktuationen bis zu quadratischen Termen mitgenommen werden. Dies ist noch exakt lösbar.
HGauß (Ψ) =
Z
1
d x (rΨ2 (x) + (∇Ψ)2 ) + h(x)Ψ2 (x)
2
d
Die Anteile des Minimums wären noch hinzu zu nehmen, das gäbe in der freien Energie einen additiven Beitrag. Wir sind an den durch die Fluktuationen
zusätzlich auftretenden singulären Anteilen interessiert. Daher betrachten wir
112
27. Juni 2007
nur HGauß . Der Einfachheit halber wahlen wir c = 1 (Umskalen).Da r sein
Vorzeichen bei To wechselt ist dieses Modell nicht definiert für T < To daher
beschränken wir uns auf die Hochtemperaturphase.
Berechnung der Zustandssumme für h = 0
Z=
Z
"
DΨ exp −
X
k
1
(r + k 2 )Ψ(k)Ψ(−k)
2
#
Daraus folgt wegen g = − VT ln Z

Y
T
g = − ln 
V
k>0
Z
Z

1
1
d=Ψ exp (r + k 2 )|Ψ(k)|2  − ln
d<Ψ
2
V
−∞
−∞
∞
∞
Z
∞
−∞
dΨ0 exp[− 2 Ψ0 ]
Die Gauß-Integrale können leicht ausgeführt werden so daß
T
g = − ln
V
T
g = − ln
V
s
s
Y
2π
1
π
− ln
r
V
r + k2
Λ
2π
T X
T
π
−
=
ln
2
r
2V k6=0 r + k
2V
X
ln(r + k 2 ) + const.
1. BZ
Damit können wir die spezifische Wärme ausrechnen
Ch=0 = −T
∂2g
∂T 2
!
=
h=0
T
2V
Λ
X
kaus
1.BZ
kaus
1
r + k2
2
+ weniger div. Terme
Man verwandelt wir die Summe in ein Integral
sing
Ch=0
T a2 1 Z
dd k
=
2 (2π d k<Λ (r + k 2 )2
Z
2
dd k
sing T a 4−d
ξ
Ch=0 =
2
k<Λξ (1 + k 2 )2
Allgemeine Formeln für solche k Integrale
Z
dd k
f (k 2 ) =
(2π)d
Z
dΩd
(2π)d
Z
Λ
0
dkk d−1 f (k 2 )
Führen wir die Oberfläche einer Einheitskugel/(2π)d im d-dimensionalen Raum
ein
Z
d
dΩd
= 21−d π −d/2 Γ−1 ( )
Kd ≡
d
(2π)
2
r
2
113
27. Juni 2007
so ergibt sich schließlich r −2 = ξ
Z Λξ
k d−1
sing T a
dk
Ch=0 = 2 ξ 4−d Kd
2
(1 + k 2 )2
0
|
Das Integral hat folgendes Verhalten



endlich
ln λξ


(Λξ)d−4
J(Λξ) =
{z
}
J(Λξ)
: d<4
: d=4
: d>4
d.h. die spezifische Wärme verhält sich wie



Die Amplitude lautet
t−
: d<4
ln t : d = 4
endlich : d > 4
sing
Ch=0 ∼ 

1 d
A+ = T a 2 Kd
2
Z
4−d
2
∞
0
dk
k d−1
(1 + k 2 )2
fr d > 4
Im Unterschied zur Landautheorie ist nun der Exponent α dimensionsabhängig
αG =
(
4−d
2
: d<4
0 : sonst
Die Korrelationsfunktion G(x − x0 ) ist im Gaußschen Modell durch die Fouriertransformierte von G(k) gegeben wo
G(k) = (r + k 2 )−1
Daraus folgen sofort die Exponenten γ = 1 und η = 0. Die Suszeptiblität ist durch
G(k = 0) gegeben. Ein wichtiger Defekt auch dieser Näherungen zum L-G-W
Funktional ist, daß das singulare Verhalten dh. der Phasenübergang unabhängig
vom thermodynamischen Limes N, V → ∞ auftritt. Dies ist nicht mehr der
Fall wenn Fluktuationen und der Wechselwirkungsterm 4.Ordnung mitgenommen
werden.
Das Gauß’sche Modell läßt sich auch folgendermaßen schreiben
ZN (β, h) =
mit dem üblichen H
H=−
Z
∞
−∞
X
...
Z
∞
−∞
e−βH
Y
σl P (σl2 )
l
J(l − l0 )σl σl0 − h
X
σl
und der Verteilung P (x) = exp(−x/2), die zwischen der Landau Ginzburg Verteilung P (x) = exp(−u(x − 1)2 − x/2) und dem Isingmodell mit u ⇔ ∞
interpoliert.
114
27. Juni 2007
5.5.2
Levanyuk-Ginzburg Kriterium
Im Rahmen des Gaußschen Modells könne wir ein Kriterium für die Wichtigkeit der Fluktuationen formulieren. Da der Molekularfeldbeitrag zur spezifischen
Wärme oberhalb T0 verschwindet und bei T0 ein Sprung in der Spezifischen
Wärme auftritt, so definieren wir das Temperaturgebeit in dem die Fluktuationen den Sprung 2ubertreffen als den kritischen Bereich in dem Fluktuationen
nicht mehr vernachlässigt werden können. Also
sing
Ch=0 (t) = ∆C
− d−4
tGL2 =
A+
∆C
d
In d > 4 ist das Kriterium immer erfüllt. Da A+ ∼ a 2 = ξ0−d ist, geht die Korrelationslänge bei t = 1 stark ein, nämlich tGL ∼ ξ06 Üblicherweise ist diese Länge
etwa ξ0 = O(1Å). In den sogenannten ’Tieftemperatursupraleitern’ und flüssigen
Kristallen ist sie tausendmal größer und damit der Wert von tGL in d = 3 statt bei
tGL = 1 bei tGL = 10−18 . D.h. im experimentellen Bereich wird das System durch
die Molekulafeldtheorie beschrieben. Weitere Systeme, bei denen die Molekularfeldtheorie beobachtet wird, sind solche mit langreichweitigen Wechselwirkungen,
etwa flüssige Metalle oder ionische Mischungen.
Aber auch ∆C kann sehr groß werden, dann nämlich wenn die Kopplung u sehr
klein wird. dies geschieht in der Nähe trikritischer Punkte.
Ein anderer Weg den Bereich der Gültigkeit der Molekularfeldtheorie abzuschätzen ist über den Ordnungsparameter, der mit den Ordnungsparameterfluktuationen in einem korrelierten Volumen verglichen wird. Alle diese
Abschätzungen liefern verschiedene Werte. Es tritt jedoch immer ein dimensionsloser Parameter, die Ginzburgzahl Gi auf (in d = 3)
Gi =
uv0
a2 ξ03
!2
mit v0 = (ρNA )−1 , dem mittleren volumen pro Teilchen.
Lit: A. P. Levanyuk, Sov. Phys. JETP 36, 571 (1959)
V. L. Ginzburg, Sov. Phys. Sol. State 2,1824 (1960)
D. J. Amit, J. Phys. C 7, 3369 (1974)
5.5.3
Geordnete Phase
In der geordneten Phase muß der Term vierter Ordnung mitgenommen werden.
Die Entwicklung um den Ordnungsparameter Ψ̄ führt dann, wie in Kapitel 2.4 zu
115
27. Juni 2007
√
einer Korrelationslänge ξ+ = 2ξ− . Damit verläuft die Berechnung des Fluktuationsanteils der spezifischen Wärme unterhalb wie oberhalb, bis auf die Ersetzung
von ξ+ durch ξ− . Wir finden nun das Amplitudenverhältnis für d < 4
r2
C+
A+
=
= +
2
C−
A+
r−
r2
Man beachte: der Faktor r+2 =
−
Energie nach der Temperatur.
5.5.4
ξ+
ξ−
1
4
!4−d
d
1 4−d
1
= 2 2 = 2− 2 = 2αG
4
4
kommt von der zweifachen Ableitung der freien
Gaußsche Näherung für das n-Vektormodell
Wir entwickeln um die Landau Theorie und nehmen quadratische Fluktuationen
mit. Dies machen wir oberhalb und unterhalb Tc . Wir schränken aber die Theorie
auf die Berechnung freien Energie und der spezifischen Wärme ein.
Im Unterschied zum einkomponentigen Fall haben wir jetzt nach den einzelnen
Komponenten zu minimalisieren. Verallgemeinen wir noch die Wechselwirkung
so, daß Anisotropien enthalten sind, so ist H
H(Ψ) =
Z
dxd
X
α
X
r
1
{ Ψα (x)2 + (∇Ψα (x))2 +
v αβγδ Ψα (x)Ψβ (x)Ψγ (x)Ψδ (x)}
2
2
γ
und die Minimumsbedingung (über doppelt vorkommende Indizes wird summiert)
δ
H = rΨα + v αβγδ Ψβ Ψγ Ψδ + 3 Permutationen = 0
δΨα
Wir haben auch hier nur nach ortunabhängigen Lösungen zu suchen. Ganz allgemein ist die Lösung Ψα = 0 im Fall r > 0. Für r < 0 haben wir die Symmetrie
der v-Matrix zu beachten.
a) Isotropie: Dann ist v αβγδ = uδ αβ δ γδ und
rΨα + 4uδ γδ Ψα Ψγ Ψδ = 0
mit der Lösung Ψ̄α = mδ α1 wobei die Richtung des OP wilkürlich als 1-Richtung
gewählt wurde. Wir haben nun für r < 0 zwischen longitudinalen (in 1-Richtung)
und transversalen (in Richtungen senkrecht zur 1-Richtung) zu unterscheiden. m
erfüllt die Bedingung wie für das 1-komponentige Modell r + 4um2 = 0. Die
Entwicklung für r > 0 führt auf denselben Ausdruck wie oben, bloß n mal,
α
H(δΨ ) =
Z
dxd
X
α
r
1
{ δΨα (x)2 + (∇δΨα (x))2 }
2
2
116
27. Juni 2007
Die freie Energie und die spezifische Wärme berechnet man auf dieselbe Weise,
der singuläre Anteil der spezifischen Wärme divergiert mit α = /2 die Amplitude
bekommt einen Faktor n.
Für r < 0 haben wir um Ψ̄α zu entwickeln erhalten also noch einen Beitrag vom
u-Term.
Z
1
H(δΨ) = dd x [ 2r + 6um2 ] δΨ1 (x)2 + ( ∇δΨα (x) )2
2
denn
(mδ α1 + δΨα )(m δ α1 + δΨα )(mδ β1 + δΨβ )(mδ β1 + δΨβ ) = ..2m2 δ α1 δ α1 δΨβ δΨβ +
4m2 δ α1 δ β1 δΨα δΨβ = 6m2 δΨ1 δΨ1 + 2m
2
X
δΨα δΨα
α6=
Für die transversalen Komponenten entseht als Vorfaktor gerade die Minimums
bedingung dh. die transversale Korrelationslänge ist unendlich. Das ist die
Ursache für viele Schwierigkeiten in der Tieftemperaturphase. Hier sehen wir nur
daß die transversalen Freiheitsgrade in der spezifischen Wärme nichts beitragen.
Wir könne also schreiben mit r̄ = − 2r(aus r + 12um2 = r − 3r nach der
Minimumsbedingung)
Z
r̄
1
δΨ1 (x)2 +
( ∇δΨ1 (x) )2
2
2
Damit ist die spezifische Wärme fürr < 0 gerade ein n-tel der fürr > 0 wobei
noch der Unterschied durch r̄ zu beachten ist. Zieht man den 2er unterhalb heraus
(man hat ja oberhalb den divergenten Faktor (r)−/2 und einen Faktor a2 daher
unterhalb einen zusätzlichen Faktor 2−/2+2 ) so ist das Verhältnis der spezifischen
Wärmen bei gleichem Temperaturabstand von Tc oberhalb und unterhalb
H(δΨ) =
dd x
C + (t)
A+
n
=
= d/2
−
−
C (| t |)
A
2
b) Kubische Symmetrie: v αβγδ = u δ αβ δ γδ + v δ αβ δ βγ δ γδ (hier keine Summation
über die Indizes)
rΨα + 4 u δ γδ Ψα Ψγ Ψδ + 4 v (Ψα )3 = 0
Es können nun mehrere nichttriviale Lösungen vorkommen wir berechnen daher
auch noch die nächsten Ableitungen (diese Matrix muß dann positiv definit sein)
r δ αβ + 4 u δ αβ Ψ2 + 8 u Ψα Ψβ + 12 v δ αβ (Ψα )2 = pos.def Es gibt eine Lösung wo der OP in eine der Hauptachsen zeigt (die sei wieder die 1Achse)Ψ̄α = m δ α1 (I) und eine Lösung wo der OP in die Richtung der Raumdiagonale (im n-dimensionalen Raum) zeigt Ψ = nm
1/2 (1, 1, 1, 1, ..)(II).F ürv > 0
117
27. Juni 2007
und u + v/n > 0 ist die diagonale Ordnung, fürv < 0 und u + v > 0 die
axiale Ordnung stabil. Im Fall (I) erfüllt m die Gleichung
r + 4 (u + v) m2 = 0
und es muß die Matrix
r δ αβ − u δ αβ
=
−2r 0
−3v
0
r
r
r
− 2 u δ α1 δ β1
− 3 v δ α1 δ β1
=
(u + v)
(u + v)
(u + v)
> 0
(u+v)
sein woraus das angegebene Gebiet resultiert.
Im Fall (II) erfüllt m
r + 4 (u + v/n) m2 = 0
und es muß
r δ αβ − u δ αβ
r
r
r
− 2 u/n Ψα Ψβ /Ψ2
− 3 v/n δ αβ
=
(u + v/n)
(u + v/n)
(u + v/n)
Besser ist es in H einzusetzen und zu vergleichen
H(I) = r/2 m2 + (u + v) m4 = r 2 /(u + v) {−1/8 + 1/16}
H(II) = r/2 m2 + (u + v/n) m4 = r 2 /(u + v/n) {−1/8 + 1/16}
Man sieht fürv > 0 ist die Lösung II das Minimum und es muß u + v/n > 0
sein. Jetzt können wir in den einzelnen Gebieten um die verschiedenen Lösungen
entwickeln.
Entwicklung um Lösung I: Wir brauchen nur den v Term diskutieren der u Term
ergibt sich wie im isotropen Fall
(m δ α1 + δΨα )(m δ α1 + δΨα )(m δ α1 + δΨα )(m δ α1 + δΨα ) = ..6m2 δ α1 δ α1 δΨα δΨα ..
Es ergibt sich der Fluktuationsanteil zu
H(δΨ) =
Z
dd x
X
r̄
1 X
δΨ1 (x)2 +
δΨα (x)2 +
( ∇δΨα (x) )2
2
2 6=
2 α
118
27. Juni 2007
mit = r + 12(u + v)m2 = − 2r wie im isotropen Fall aber nun tragen auch
|v|
die transversalen Fluktuationen bei mit = r + 4um2 = − r u+v wobei wieder
die Minimumsbedingung benützt wurde. Also ist das Amplitudenverhältnis
A+
n
C + (t)
=
=
|v|
−
−
C (| t |)
A
) d/2
2d/2 + (n − 1)( u+v
Man sieht daß nun das Verhältnis von den Systemparametern abhängt. Das steht
aber nicht im Widerspruch zur Aussage daß solche Verhältnisse universell sind
weil diese Aussage nur in der asymptotischen Region gilt. Das hier betrachtete
Gauß’sche Modell gilt nur weiter weg von Tc wo die Effekte der Fluktuationen
klein sind und auch nur für die hier betrachteten Größen.
Entwicklung um die Lösung II: Wir müssen den u und den v Term neu anschrei
ben (eα sei der Einheitsvektor in die Diagonalrichtung und m0 = m/(n)1/2 )
(m’eα + δΨα )(m’eα + δΨα )(m’eβ + δΨβ )(m’eβ + δΨβ ) = ..2m02 eα eα δΨβ δΨβ + 4m02 eα eβ δΨα δΨβ
(m’eα + δΨα )(m’eα + δΨα )(m’eα + δΨα )(m’eα + δΨα ) = ..6m02 eα eα δΨα δΨα
damit erhalten wir wieder = r + ((4 + 8/n)u + 12v/n)m2 und = 8um2 /n. Das
Hamiltonfunktional sieht aber jetzt so aus
H(δΨ) =
Z
dd x
X
r̄ X
1 X
δΨα (x)2 +
δΨα (x)δΨβ (x) +
( ∇δΨα (x) )2
2 α
2 6=
2 α
H ist also noch in Diagonalform zu bringen was dadurch geschieht daß man eine
Achse in die Raumdiagonale legt. Die Eigenwerte sind dann wie oben: 1-fach 1/2 (
+ (n − 1) ) = 1/2 (−2r) und (n − 1)-fach 1/2 ( - ) = 1/2 (−2r) nuv+v so
daß nun das Verhältnis der spezifischen Wärmen lautet
A+
n
C + (t)
=
= d/2
−
−
C (| t |)
A
2 (1 + (n − 1)( nuv+v )d/2 )
Lit.: Annett, Randeria, Renn, Phys. Rev. B38, 4660(1988)
Es stellt sich die Frage, ob dieses Gaußsche Verhalten, also die Exponenten und
das Amplitudenverhältnis experimentell zugänglich sind. Beobachtet wurde ein
solches Gaußsches Verhalten bei Hochtemperatusupraleitern (S. E. Inderhees et
al. Phys. Rev. Lett. 60, 1178 (1988)).
Kapitel 6
RENORMIERUNGSGRUPPENTHEORIE FÜR
GITTERSYSTEME
6.1
6.1.1
Ortsraumrenormierung im 1-dimensionalen
Isingmodell
Dezimierungstransformation
Betrachten wir das 1-dimensionale Isingmodell mit nächster Nachbarwechsel wirkung in einem äuseren Feld H. Die Zustandssumme ist gegeben durch
ZN =
X
exp(−βH) H = −J
X
i
σi σi+1 − H
X
i
σi − C
X
i
Der letzte Term CN in H wurde hinzugefügt aus Gründen die später klar werden.
Er hat lediglich die Bedeutung einer Referenzenergie und ändert im Prinzip nichts
an früheren Ergebnissen. Ziehen wir das Vorzeichen und β in die Definition von
H hinein so lautet die Zustandssumme
ZN =
X
exp(H) H = K
X
i
σi σi+1 + h
X
i
σi + c
X
i
Die Spins sind auf einer Kette mit dem Gitterabstand a angeordnet und wechselwirken mit der Stärke K. Eliminieren wir nun jeden zweiten Spin so erhalten
wir eine Kette von Spins mit dem Abstand 2a Die Wechselwirkung K ist dabei
in K 0 übergegangen. Skalt man nun die Längen wieder zurück, so erhält man
das ursprüngliche Modell mit geänderten Wechselwirkungen und halb so vielen
119
120
27. Juni 2007
Spins. Dh.
H(K, h, c) → H0 (K 0 , h0 , c0)
N → N/2
ZN (H) → ZN/2 (H0 )
N/2 1
1
1
ln ZN (H) =
ln ZN/2 (H0 ) = fN/2 (H0 )
fN (H) =
N
N N/2
2
Für die Kopplung, das Magnetfeld und die Konstante gilt
K 0 = RK (K, h)
h0 = Rh (K, h)
c0 = 21 c + Rc (K, h)
In der letzten Gleichung kommt der 2er daher, daß die Summe über i nur mehr
über die halbe Anzahl geht. Diese Gleichungen heißen Flußgleichungen, Rekursionsgleichungen oder Renormierungsgruppengleichungen. Wir wollen sie gleich
für das konkrete Beispiel berechnen. Dazu genügt es 3 Spins herauszugreifen
− − −1 − − − 3 − − − 2 − −−
Spin 3 wird eliminiert, d.h. die Spur wird über σ3 ausgeführt
X
σ3
exp{K(σ1 + σ2 )σ3 + hσ3 } = exp{K(σ1 + σ2 ) + h} + exp{−K(σ1 + σ2 ) − h} ≡
≡ exp{K 0 σ1 σ2 + h̄(σ1 + σ2 ) + c̄}
c̄ = Rc (K, h)
Aus diesem Zusammenhang leitet man die Rekursionsgleichungen her indem man
die verschiedenen Belegungen der σ’s mit ∓ vergleicht.
0
e2K+h + e−2K−h = eK +2h̄+c̄
0
e−2K+h + e2K−h = eK −2h̄+c̄
0
eh + e−h = e−K +c̄
Auflösen nach den renormierten Größen liefert
K 0 = 1/4 [ln cosh(2K + h) + ln cosh(2K − h) − 2 ln cosh(h)]
1
h̄ =
[ln cosh(2K + h) − ln cosh(2K − h)]
4
h0 = 2h̄ + h
1
c̄ =
[ln(2 cosh(2K + h)) + ln(2 cosh(2K − h)) + 2 ln(2 cosh(h))]
4
1
[ln cosh(2K + h) + ln cosh(2K − h) + 2 ln cosh(h) + 4 ln 2]
c̄ =
4
c0 = c̄ + 2c
121
27. Juni 2007
Die Gleichung für h0 ergibt sich daraus, daß σ2 noch einen weiteren Nachbarn hat,
der eliminiert wird. Daher der 2er und dazu kommt natürlich der ursprüngliche
h Term. In der letzten Gleichung entsteht der Faktor dadurch, daß für ein c für
σ3 und je c/2 für σ1 und σ2 zu berücksichtigen ist.
Es ist zweckmäßig folgende Variablen einzuführen
w = e−c
x = e−K
y = e−2h
Dann lauten die Rekursionsgleichungen
w 2 xy 2
(1 + y 2 )2 (x + y)(1 + xy)
x(1 + y)2
=
(x + y)(1 + xy)
y(x + y)
=
1 + xy
w0 =
x0
y0
Der Fluß der beiden ersten Gleichungen ist in Bild 6.1 dargestellt Man sieht
Abbildung 6.1: Flußdiagramm, L ≡ h
daß der Fluß mehrere Fixpunkte ja sogar eine Fixpunktlinie besitzt. Für H = 0
gibt es den T = 0 und den T = ∞ Fixpunkt. Daß kein Fixpunkt bei endlicher Temperatur auftritt liegt daran, daß das 1-dimensionale Isingmodell keinen
Phasenübergang bei endlicher Temperatur besitzt.
122
27. Juni 2007
6.1.2
Berechnung der freien Energie
Setzen wir zur Vereinfachung der Rechnungen h = 0 und starten wir mit c = 0.
Dann läßt sich aus der RNG-gleichung für f schreiben (c0 = c̄)
fN/2 (K 0 ) = 2 [fN (K) − g(K)]
wobei
1
1
ln cosh(2K) + ln 2
4
2
Im thermodynamischen Limes N ⇔ ∞ ergibt sich die Funktionalgleichung
g(K) = c̄/2 =
f (K 0 ) = 2 [f (K) − g(K)]
mit der Randbedingung f (K = 0) = ln 2 (unabhängige Spins). Man kann zeigen
daß die Lösung eindeutig ist. Wendet man nun n mal die RNG Transformation
an so folgt
m=n−1
X g(K (m) )
1
f (K) = n f (K (n) ) +
2
2m
m=0
Beweis:
1
f (K 0 ) + g(K)
2
1 1
00
0
f (K ) + g(K ) + g(K)
f (K) =
2 2
1
X
1
g(K (m) )
f (K) = 2 f (K 00 ) +
2
2m
m=0
f (K) = . . .
f (K) =
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
Im Limes n → ∞ fällt der erste Term rechts weg falls f (K (n) ) endlich bleibt und
die freie Energie für die Wechselwirkung K folgt aus den Flußgleichungen zu
f (K) =
m=∞
X
m=0
g(K (m) )
2m
und
1
ln cosh(2K (n−1) )
2
Das Problem ist nun eine Lösung dieser Flußgleichungen als Funktion des Anfangswertes K zu finden. Dazu versuchen wir zuerst die Renormierungsgleichung
einfacher zu schreiben. Führt man die Variable ζ = tanh(K) ein so lautet sie
K (n) =
ζ0 = ζ2
123
27. Juni 2007
tanh(K 0 ) =
=
exp( 12 ln cosh(2K)) − exp(− 21 ln cosh(2K))
exp( 12 ln cosh(2K)) + exp(− 21 ln cosh(2K))
p
p
cosh(2K) − 1/ cosh(2K)
p
= p
cosh(2K) + 1/ cosh(2K)
cosh2 K + sinh2 K − 1
= tanh2 K
cosh2 K + sinh2 K + 1
mit der Lösung
n
ζ (n) = ζ 2
oder in K
K (n) = 1/2 ln
Nun ist g(K (n) ) = 1/2K (n+1) + 1/2 ln 2 so daß
∞
X
f (K) =
n
1 + ζ2
1 − ζ 2n
K (n) /2n + ln 2
n=0
f (K) =
Mit der Formel
(1 − x)
∞
X
1/2n+1
n=0
ln Π∞
n=1
−1
=
n
1 + ζ2
1 − ζ 2n
Π∞
n=0
ergibt sich
f (K) = ln
oder das exakte Resultat
1/2n+1
n
1 + x2
1 − x2n
+ ln 2
1/2n+1
2
(1 − ζ 2 )1/2
f (K) = ln(2 cosh(K))
In analoger Weise kann man auch die Korrelationslänge berechnen. Sie ist eine Funktion der
Kopplungskonstante und als Länge erfüllt sie folgende Renormierungsgruppengleichung
ξ(ζ 0 ) =
1
ξ(ζ)
2
mit ζ 0 = ζ 2 , oder
1
ξ(ζ)
2n
Die Lösung dieser Gleichung ist durch den Logarithmus gegeben (ln xa = a ln x)
n
ξ(ζ 2 ) =
ξ(ζ) = const./ ln ζ = const./ ln tanh K
Das ist das exakte Resultat. Wie erwartet divergiert die Korrelationslänge für T → 0
Literatur:
M.Nauenberg, J.Math.Phys. 16, 703 (1974)
D.R.Nelson und M.E.Fisher, Ann.Phys. 91, 226 (1975)
H.J.Maris und L.P.Kadanoff, Am.J.Phys. 46, 652 (1978)
J. Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics (1996); p.28
W. Gebhardt und U. Krey, Phasenübergänge und kritische Phänomene (1980); p.201
124
27. Juni 2007
6.2
Ortsraumrenormierung im 2-dimensionalen
Isingmodell
6.2.1
Dezimierungstransformation
Wir versuchen analog zum 1-dimensionalen Fall vorzugehen, dh. wir eliminieren aus dem quadratischen Gitter jeden zweiten Spin. Das sieht dann so aus
Abbildung 6.2: Dezimierung
Durch die Elimination des weißen Spins in der Mitte entstehen neue Wechselwirkungen. Aus
exp [K (σ1 + σ2 + σ3 + σ4 )] + exp [−K (σ1 + σ2 + σ3 + σ4 ))] =
= exp [1/2K1 (σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ4 + σ4 σ1) + K2 (σ1 σ3 + σ2 σ4 ) + K3 σ1 σ2 σ3 σ4 + c̄]
Durch Belegung der Spins erhält man
K1
= 1/4 ln cosh(4K)
K2
K3
= 1/8 ln cosh(4K)
= 1/8 ln cosh(4K) − 1/2 ln cosh(2K)
ec̄
= 2 cosh1/2 (2K) cosh1/8 (4K)
Man muß nun den erweiterten Raum der Kopplungen in einer geeigneten Weise begrenzen. Es
ist ersichtlich daß jede weitere Renormierung neue und höhere Kopplungen ins Spiel bringt.
Die einfachste Naherung wäre nur die Flußgleichung für die nachste Nachbarwechselwirkung zu
nehmen. Das liefert einen zum 1-dimensionalen Isingmodell analogen Fluß, also keinen Fixpunkt
bei endlichem K (dies ist eine allgemeine Eigenschaft der Dezimierungstransformation; da keine
Renormierung der Größe der Spins erfolgt gibt es keinen endlichen Fixpunkt). Eine bessere
Vorgangsweise ist es die übernächste Nachbarwechselwirkung in geeigneter Form mitzunehmen.
Da K2 auch positiv ist verstärkt sie die nächste Nachbarwechselwirkung und eine einfache
Naherung ist es aus beiden renormierten Kopplungen eine effektive neue zu bilden also
K 0 = K1 + K2 = 3/8 ln cosh(4K)
Jetzt finden wir einen endlichen Fixpunkt, wie der Fluß der Gleichung zeigt
125
27. Juni 2007
Abbildung 6.3: Flußder effektiven Kopplung
Kc = 3/8 ln cosh(4Kc )
Der Fixpunkt liegt bei Kc = 0.507 was mit dem exakten Resultat Kc = J/kb T =
1/2 sinh−1 (1) = 0.441 zu vergleichen ist. Man kann nun den Fluß um den Fixpunkt entwickeln
wobei an Stelle der Kopplung die Temperatur (die ja in β vorkommt aufgetragen wurde). Es
Abbildung 6.4: Entwicklung um Fixpunkt
ist K = Kc + (K − Kc ) und daher
K (K) ∼
= Kc + (K − Kc )
0
dK 0
dK
Kc
Wir entwickeln ferner den Fluß der freien Energie g(K) um Kc . Dabei setzen wir folgendes
nichtanalytische Verhalten voraus
g(K) ∼
= g(Kc ) + a | K − Kc |2−α
Die Renormierungsgleichung lautet wie man aus der für ec̄ sieht
h
i
g(K 0 ) = 2g(K) − ln 2 cosh1/2 (2K) cosh1/8 (4K)
Entwickelt man und vergleicht die nichtanalytischen Terme rechts und links
dK 0
|2−α = 2a | K − Kc |2−α
a | (K − Kc )
dK Kc
126
27. Juni 2007
so findet man einen Ausdruck für den Exponenten α denn
dK 0
dK
2−α
und damit
α=2−
=2
Kc
ln 2
ln
dK 0
dK Kc
Ausrechnen gibt α = 0.131 gegenüber α = 0, der logarithmischen Singularität der Onsagerlösung. Dies ist ein großer Fortschritt gegenüber der Landautheorie wo man keine Divergenz
fand und dem Gauß’schen Modell wo α = 1 (d = 2 !) war.
Die in Gebhard, Krey präsentierte Methode liefert schlechtere Resultate (sie haben in der RGGleichung für K 1/4 statt 3/8 und bekommen für α = 0.663). Mit obiger Methode (Übung,
man entwickle ξ(K) um Kc ) erhält man für der kritische Exponent ν = 0.935 (exakt ν = 1 !).
Diese äuserst einfache Rechnung kann natürlich noch verbessert werden wenn man insbesondere
zu anderen Renormierungsverfahren greift. Ein anderes das hier noch erörtert werden soll ist
das Blockspinverfahren.
6.2.2
Blockspinverfahren
Sei
(ein-, zwei-, drei-etc Spinww.) und H(σ) =
P
P σa = Παa σα ein Spinwechselwirkungsterm
−N
σ
H(σ).
Sei ferner P (σ 0 , σ) ein Gewichtsfaktor
K
σ
und
die
Umkehrung
K
=
2
a a
a
σ a
a
mit den Eigenschaften
X
P (σ 0 , σ) ≥ 0
für alle σ 0 , σ
und
P (σ 0 , σ) = 1
σ
so kann man von dem ursprünglichen H(σ) auf ein neues H0 (σ 0 ) transformieren
X
exp(G + H0 (σ 0 )) =
P (σ 0 , σ) exp(H(σ))
σ
P
die H0 s sind dabei auf H(σ) = 0 normiert (Verschiebung der Energie) und das neue H0 (σ 0 ) =
P
0
0
a Ka σ . Es folgt daß die freien Energien (die mit H bzw. H definiert sind) folgendermaßen
in Beziehung stehen
g + l−d f 0 = f
wo N 0 /N = ld , d die Dimensionalität des Systems (hier 2) und g = G/N ist.
Beispiele für P (σ 0 , σ): i)
P (σ 0 , σ) = 2−N
0
ist trivial
g=f
ii) Betrachten wir ein Dreiecksgitter und
P (σ 0 , σ) = 1/2 1 + σ σi1 + σi2 + σi3 − σi1 σi2 σi3 /2
Man kann noch um die Bedingungen die für P verlangt werden zu erfüllen über alle Dreieckspositionen mitteln. Diese Transformation ist dann der Majoritätsregel äquivalent P (σ 0 , σ) = 1
wenn σ = sign(σi1 + σi2 + σi3 ) sonst Null. Es ist klar daß man auf diese Weise auf ein neues
Dreiecksgitter kommt mit N/3 Spins.
27. Juni 2007
127
Abbildung 6.5: Resultate der Blockspinmethode verglichen mit der exakten Onsager - Lösung (die Kurven) für das 2-dimensionale Isingmodell. Gezeigt sind
die spezifische Wärme (durchgezogen), die freie Energie (strichliert punktiert)
und die innere Energie (punktiert)
Die Wahl eines Gewichtsfaktors ist deshalb ein Problem weil man im allgemeinen nicht exakt
rechnen kann, sondern Approximationen macht, für die es große Unterschiede geben kann. Man
muß auch Symmetrien der freien Energie beachten und in geeigneter Weise in P einbauen
(Antiferromagnet mit nachster und übernächster Nachbarww).
Am quadratischen Gitter funktioniert die Majoritätsregel nicht und man wählt folgende Vorschrift für den Zellspin σ 0 :
Die Konfigurationen (++++), (-+++), (+-++), (++-+), (+++-), (++- -), (+-+-), (+- -+)
entsprechen σ 0 = 1 und die geflippten σ 0 = −1. Damit wurde numerisch die freie Energie des
2-dimensionalen Isingmodells und die Singularität der spezifischen Wärme (Lit.: N.Nauenberg
und B.Nienhuis, Phys. Rev. Lett. 33, 944, 1598 (1974) siehe Abb.) berechnet.
Anwendungen für das 3-dimensionale Isingmodell zeigen wie für das 2-dimensionale daß die
Skalengestze einschließlich des Hyperskalengesetzes gelten. Weiters ist zu Beachten daß das
hier vorgestellte Verfahren nicht nur für das kritische Vehalten sondern im ganzen Tempera-
128
27. Juni 2007
turbereich anwendbar ist.
6.3
6.3.1
Allgemeine Theorie
Exponenten
Die Transformation auf neue Spinvariablen σ 0 führt von den allgemeinen Kopplungsparameter Ka auf die renormierten Kopplungen K (K) und auf die Flußgleichungen. Ziel ist es die
Singularitäten der freien Energie aus den analytischen Funktionen K(K) und g(K) herauszubekommen. Daß diese Funktionen nichtsingulär sind ist nicht von vornherein klar sondern hängt
von der Wahl der Transformation P (σ 0 , σ) ab. Haben wir einmal eine solche Transformation so
sind die Fixpunkte K∗ von Bedeutung.
Ka (K∗ ) = Ka∗
Nicht jeder Fixpunkt, wie zB.der Hochtemperaturfixpunkt K∗ = 0 ist physikalisch interessant.
Linearisiert man in der Nähe eines nichttrivialen Fixpunktes so lauten die Flußgleichungen
∗
∂K(K)
∗
∗
∗
∗
K − Ka = Tab (Kb − Kb )
Tab =
∂Kb
Die Matrix T is nicht symmetrisch und von vornherein sind daher deren Eigenwerte nicht reell.
Durch den Übergang zu neuen Koordinaten im Parameterraum der Kopplungen kann man
erreichen daß die neuen Kopplungen
X
ui =
φia (Ka − Ka∗ )
a
die einfachen Flußgleichungen
u0i = λi ui
erfüllen mit den Eigenwerten aus
∗
= λi φib
φia Tab
So einfache Flußgleichungen kann man auch im nichtlinearen Bereich finden allerdings sind diese
dann nichtlineare Funktionen von K − K∗ . Die ’Normalkoordinaten’ u heißen Skalenfelder.
Der springende Punkt ist nun daß sich auf Grund der Gleichung für die freie Energie (`d =
N/N 0 )
g(K) + l−d f (K0 ) = f (K)
dieselben Gleichungen in den Skalenfeldern schreiben kann
g(u) + l−d f (u0 ) = f (u)
Gemäß der Flußgleichungen für die u kann man die Skalenvariable in solche einteilen die unter
der Renormierung anwachsen λ > 1 man nennt sie relevant, abnehmen λ < 1 man nennt sie
irrelevant und unverändert bleiben λ = 1 man nennt sie marginal. Der Raum aller relevanten
u0i s gleich Null definiert die kritische Oberfläche.
129
27. Juni 2007
Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten λ und den physikalischen kritischen Exponenten
wird nun über die RNG gleichung für die freie Energie hergestellt. Wählt man ein ui aus und
setzt alle anderen u’s gleich Null und sei
f (0, . . . , 0, ui, 0, . . . , 0) = Konst. + A | ui |ai
so folgt wie oben unter der Annahme daß g regulär ist
A | ui |ai = l−d A | λi ui |ai
und damit
ai = d
lnl
ln | λi |
Die ai sind unabhängig von l, die λ’s hängen aber von l ab man schreibt daher λi = lyi
so daß ai = d/yi . Man sieht ferner daß nur die relevanten ui für das singuläre Verhalten
verantwortlich sind.
Für einen ’gewöhnlichen’ kritischen Punkt gibt es zwei relevante Skalenvariable t und H. Der
kritische Punkt ist t = 0 und H = 0. Wir diskutieren nun den Fall wo zwei relevante u’s uT
und uH in f auftreten. Es können dann singuläre Terme der Form | uT |a T | uH |a H auftreten.
Vergleich von rechter und linker Seite der RNG gleichung für f führt zur Relation
aT y T + aH y H = d
Die Kombinationen der möglichen Potenzen unter der obigen Bedingung bilden die beiden
Funktionen
| uT |d/y T fT (uH / | uT |y H /y T )
und
| uH |d/y H fH (uT / | uH |y T /y H)
diese sind Lösungen der Skalenrelation für den singulären Anteil der freie Energie
fsing (lyT uT , lyH uH ) = ld fsing (uT , uH )
Identifiziert man uT und uH mit t und H so folgen entsprechend dem Kapitel b̈er die Skalentheorie die Exponenten
α = 2 − d/yT
β = (d − yH )/yT
γ = (2yH − d)/yT
δ = yH /(d − yH )
Damit ist eine Berechnung der Exponenten möglich, die Skalenfunktion fT und fH sind noch
nicht bestimmt. Diese können nach Lösung der RNG-Gleichung fürf wie unter 1) bestimmt
werden.
6.3.2
Die Korrelationsfunktion
Die Korrelationsfunktion
g(xi − xj ) = < σi σj >
transformiert sich im allgemeinen so kompliziert so daß kein sinnvoll verwertbarer Zusammenhang mit der Korrelationsfunktion
g 0 (x0i − x0j ) =< σi00 σj0 0 >0
130
27. Juni 2007
besteht. Es ist
g 0 (x0i0 − x0j 0 ) =
=
σ0
XX
σ0
Also
X
σi00 σj0 0 exp( G + H0 (σ 0 )) /
X
σi00 σj0 0 P (σ 0 , σ) exp(H(σ)) /
X
σ
σ0
exp( G + H0 (σ 0 ))
exp(H(σ))
σ
g 0 (x0i0 − x0j 0 ) =
X
σi00 σj0 0 < P (σ 0 , σ) >
σ0
Ohne weitere Spezifikation von P läßt sich nichts sagen. Ist jedoch P von der Form
Y
P (σ 0 , σ) =
1/2 (1 + σi00 p(σi10 σi20 . . .))
i0
0
wo i ein Zellindex ist (zB. ein Dreieck) und p ein linearer Gewichtsfaktor
p(σi10 σi20 . . .) = p (σi10 + σi20 + . . .)
bei dem p der Renormierungsfaktor für die Spins noch zu bestimmen ist, dann ergibt sich ein
lineare Zusammenhang zwischen den Korrelationsfunktionen
g 0 (x0i0 − x0j 0 ) = p2 < (σi10 + σi20 + . . .)(σj10 + σj20 + . . .) >
Ist nun der Abstand zwischen den Zellen viel größer als zwischen den Zellspins so kann man
schreiben (s und t aus den jeweiligen Zellen)
| xsi0 − xtj 0 |∼ x = lx0 = l | x0i0 − x0j 0 |
und damit für g
g 0 (x0 ) = p2 l2d g(x)
Führen wir noch das thermodynamischen Skalenfeld uT ein und wahlen
p2 = l−d−2+η
dann gilt
g(uT , x) = l−d+2−η g(u0T , x0 ) = l−d+2−η g(lyT uT , l−1 x)
und somit
g(uT , x) = x−d+2−η gscal (uT xyT )
Daraus folgt die Identifikation der Korrelationslänge
ξ = u−1/yT ∼ t−ν
ν = 1/yT
η scheint in dieser Behandlung unbestimmt. Eine (hier nicht betrachtete) genauere Analyse
auch für nichtlineare P zeigt daß
η = d + 2 − 2yH
Zusammenfassend kann man sagen daß man einen Weg gefunden hat das kritische Verhalten
zu berechnen wobei allerdings durch die Möglichkeiten P (σ 0 , σ) zu wahlen es schwer ist eine
systematische Prozedur zu finden. Kein kleiner Parameter nach dem entwickelt werden
könnte tritt auf.
Kapitel 7
Referenzen
7.1
Webseiten
J. P. Sethna Order
Parameters,
Broken
Symmetry,
and
Topology
http://www.lassp.cornell.edu/sethna/OrderParameters/Intro.html
(1992)
J. P. Sethna Ising Model
http://www.physics.cornell.edu/sethna/teaching/sss/ising/ising.htm
7.2
Bücher und Artikel
Amit D.J. , Field theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena, Mc Graw Hill,
2.ed World Scientific (1984)
Ed. M. Ausloos and R.I. Elliot Solid State Sciences 48; Magnetic Phase Transitions,
Springer 1983
ed. Balian R., Zinn-Justin J. , Les Houches 1975, XXVIII; Methods in Field Theory,
North-Holland (1976)
Barber M.N. , Phys. Rept. 10, 1 (1974)
Barrat J.-L., Hansen J.-P. , Basic Concepts for Simple and Complex Liquids, Cambridge
Uni. Press, (2003)
Baxter R.J. , Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic press (1982)
Le Bellac M. , Quantum and Statistical Field Theory, Oxford Science Publ. Clarendon Press
(1991)
Binder K. , Theory of first order phase transitions, Rep. Prog. Phys. 50, 783 (1987)
Binney J. J., Dowrick N. J., Fisher A. J., Newman M. E. J. , The Theory of Critical
Phenomena, Oxford Science Publ. Clarendon Press (1992)
J. Cardy , Scaling and Renormalization in Statistical Physics, Cambridge Univ. Press (1996)
Modern Problems in Condensed Matter Sciences:
131
27. Juni 2007
132
Vol.5 , Light Scattering near Phase Transitions, eds. Cummings, Levianyuk
Vol.14a,b , Incommensurate Phases in Dielectrics, eds. Blinc, Levianyuk
Bruce and Cowley , Adv. Phys. 29, 1 (1980)
ed.T.W. Burkhardt, I.M.I. van Leeuwen , Real Space Renormalization, in Topics in Current Physics; Band 30 Springer (1982),
Ed. E.G.D. Cohen, van Leeuwen , Fundamental Problems in Statistical Mechanics III,
North Holl. Pulb. Comp., Amsterdam, (1975)
Collins J. , Renormalization, Cambridge Univ. Press (1984)
Ed. J. Brey, R.B. Jones , Critical Phenomena, Lecture Notes in Physics 54, Springer, 1976
Eds Domb C. and Green M.S. , Phase Transitions and Critical Phenomena, Academic
Press, London, 1972 (laufende Serie)
Domb C. , Critical Phenomena: A brief historical survey, Contemp. Phys. 26, 49 (1985)
Domb C. , Critical Phenomena: A Model Illustration of Scientific Method. in Perspectives in
Statistical Physics ed. H.J.Ravech, North Holland (1981)
Domb C. , The Critical Point, A historical introduction to the modern theory of critical
phenomena, Taylor & Francis (1996)
Ed. C.P. Enz , Dynamic Critical Phenomena and Related Topics, Lecture Notes in Physics
104, Springer, (1979)
Fisher M.E. , Rev. Mod. Phys. 46, 597 (1974)
Fisher M.E. , Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics,
Rev. Mod. Phys. 70, 653 (1998)
Frey E., Schwabl F. , Critical Dynamics in Magnets, Advances in Physics 43, 577 (1994)
Ed. L. Garrido , Lecture Notes in Physics 216, Application of Field Theory to Statistical
Mechanics, Springer (1985)
Gebhardt W., Krey U. , Phasenübergänge und kritische Phänomene, Vieweg, Braunschweig, 1980
Goldenfeld N. , Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group, AddisonWesley (1992)
Graham R., Haake F. , Springer Tracts in Modern Physics 66, Springer, Berlin, 1973
Kleinert H., Schulte-Frohlinde V. , Critical properties of Φ4 -Theories, World Scientific,
(2001)
Hu, Bambi ; Phys. Rep. 91, 233 (1982)
ed. M.S. Green , Proc. Int. School of Physics ’Enrico Fermi’ LI Academic Press, (1971)
Ed. Hahne , Lecture Notes in Physics 186, Critical Phenomena, Springer (1983),
Hohenberg P.C., Halperin B.I. , Rev. Mod. Phys. 49, 435 (1977)
Y. M. Ivanchenko, Lisyansky A. A. , Physics of Critical Fluctuations, Springer (1995)
Kadanoff et al. , Rev. Mod. Phys. 39, 395 (1967)
Kocinski J., Wojtcak L. , Critical Scattering Theory, Elsevier, New York 1978
27. Juni 2007
133
Kocinski J. , Theory of Symmetry Changes at Continous Phase Transitions, Elsevier, New
York 1983
Landau D. P., Binder K. , Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge Uni.
Press, (2000)
Lavis D. A., Bell G. M. Statistical Mechanics of Lattice Systems 1, 2: Closed-Form and
Exact Solutions; Exact Series and Renormalization Group Methods, Springer (1999)
R. Lipowsky , Die Renormierung in der Statistischen Physik, Phys. Bl. 39, 387 (1983)
Eds. Maurice Levy, Jean Claude Guillou, Jean Zinn-Justin , Phase Transitions, Cargese Lectures 1980, Plenum Press, (1982)
Ma Shang-keng , Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin, Reading Mass., (1976)
Ma Shang-keng , Rev. Mod. Phys. 45, 589 (1973)
H. J. Maris, L. P. Kadanoff , Teaching the renormalization group, Am. J. Phys. 46, 652
(1978)
Marshall W., Lowde R.E. , Rep. Prog. Phys. XXXI, 705 (1968)
Mazenko G.F. , in Correlation Functions and Quasi Particle Interactions in Condensed Matter; ed. I. Woods Halle, Nato Advanced Studies Series B35
McCoy B.M., Wu T.T. , The Two-Dimensional Ising Model, Harvard University Press
(1973)
Eds. K.A. Müller, H. Thomas , Topics in Current Physics, Structural Phase Transitions
I, Band 23, Springer 1981,
Müller, K.A., Pytte E. , Phase Transitions, IBM J. Res. Develop. 25, 811 (1981)
Nagle J.F., Bonner J.C. ; Annual Review of Physikal Chemistry, Vol 47 (1976) ed. Eyring
Eds. K.A. Müller, A. Rigamonti , Proc. Int. School of Physics ’Enrico Fermi LIX Academic Ress, (1976)
A. Onuki , Phase Transition Dynamics, Cambridge Univ. Press (2002)
Parisi G. , Statistical Field Theory, Addison Wesley, (1988)
Pataschinskii A.Z., Prokrovskii V.L. , Sov. Phys. Usp. 20, 31 (1977)
Pataschinskii A.Z., Prokrovskii V.L. , Fluctuation theory of P hase Transitions, Pergamon Press, Oxford, (1979)
Prokrovskii V.L. , Adv. Phys. 28, 595 (1979)
Eds. R. Pynn, A. Skjeltorp , Multicritical Phenomena, Nato Advanced Studies, Series
(1984)
E. P. Raposo et al. , Random walks: A pedestrian approach to polymers, critical phenomena
and field theory, Am. j. Phys. 59, 633 (1991)
Rao K.J., C.N.R. , Phase Transitions in Solids,, McGraw Hill, New York, (1978)
Ravndal , Scaling and Renormalization, Nordita
Schäfer L. , Excluded Volume Effects in Polymer Solutions, as Explained by the Renormalization Group. Springer, Berlin (1999)
A. Levelt-Sengers, R. Hocken, J. V. Sengers , Critical-point universality and fluids,
Physics Today, December (1977) p.42
27. Juni 2007
134
J. Levelt Sengers , How fluids unmix, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Amsterdam (2002)
Smith , B.I. Critical Point Phenomena, Contmp. Phys. 10, 305 (1969)
Stanley H.E. , Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Clarendon Press,
Oxford, (91971)
Stanley H.E. , Critical Phenomena: Past, Present and Future, in International Symposium
on Synergetics ed. Haken, Springer, Heidelberg (1980)
Stanley H.E. , Scaling, universality, and renormalization: Three pilars of modern critical
pheneomena, Rev. Mod. Phys. 71, 358 (1999)
Toledano J.C., Toledano P. , The Landau Theory of Phase Transitions, World Scientific,
(1987)
Toulouse G., Pfeuty P. , Introduction au Groupe de Renormalization et a ses applications,
Presses Universitaires de Grenoble, (1975), englische Ausgabe
Uzunov , Introduction to the Theory of Critical Phenomena, World Scientific (1993)
Wallace D., Zia R.K.P. , Rep. Prog. Phys. 41, 1 (1978)
F. Wegner , Phasenübergänge und Renormierung, Phys. Bl. 42, 185 (1986)
White R.M., Geballe T.H. , Solid State Physics, Supplement 15, Academic Press, 1979
Widom, B. , Critical Phenomena in Fundamental Problems in Statistical Mechanics, Vol 3,
ed. Cohen North Holland (1975)
Wilson K.G. and Kogut J. , Phys. Rep. 12C, 76 (1974)
Wilson K.G. , Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975)
Wilson K.G. , Rev. Mod. Phys. 55, 583 (1983)
Yeomans J. M. , Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford Science Publ. Clarendon
Press (1992)
Zinn-Justin J. , Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford Science Publ. Clarendon Press (1991)

Zugehörige Unterlagen

Theoretische Physik IV (Thermodynamik/Statistik) 11. (Bonus

Serie 6

Exercise 2 - Goethe

e:/folkfiles/vorlesungen/phasenue/pue2007g.dvi

Zugehörige Unterlagen

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können