zweite Randwertaufgabe der - ETH E

Research Collection
Doctoral Thesis
Die erste und zweite Randwertaufgabe der linearen
Elastizitätstheorie für die Kugelschale
Author(s):
Leutert, Werner
Publication Date:
1948
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000097109
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Die
zweite
erste
und
Randwertaufgabe
der
linearen Elastizitätstheorie
für die
Kugelschale
Von. der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH
zur
Erlangung
der Würde eines Doktors der Mathematik
genehmigte
PROMOTIONSARBEIT
vorgelegt
von
WERNER LEUTERT
aus
Ottenbach
(Zeh.)
Referent: Herr Prof. Dr. H.
Ziegler
Korreferent : Herr Prof. Dr. M. Plancherel
19 4 8
ART. INSTITUT ORELL FÜSSLI A.-G. ZÜRICH
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Inhaltsverzeichnis.
Seite
1.
Formulierung
2.
Lösungsmethode.
3. Erstes
4. Zweites
des Problems
System
Bestehende
von
System
5
Lösungen
6
Partikularlösungen
von
7
Partikularlösungen
9
5. Lineare Unabhängigkeit sämtlicher Vektoren
für
positive, ganzzahlige
6. Eine
7.
allgemeine Lösung
Darstellung
der
jedes Systems
11
n
des
Grundgleichungssystems (la)
Partikularlösungen
durch
Legendre-
funktionen
14
8. Die erste
Randwertaufgabe
für das Innere einer
9. Die erste
Randwertaufgabe
für das
10. Die erste
Randwertaufgabe
für die
Äußere
einer
Kugelschale
Randwertaufgabe
für das Innere einer
12. Die zweite
Randwertaufgabe
für das
13. Die zweite
Randwertaufgabe
für die
Vollständigkeit
der beiden
Kugel.
17
Kugel
20
....
11. Die zweite
14.
22
Äußere einer Kugel
25
Kugelschale
...
17. Die
26
Lösungssysteme. Konvergenz
37
15. Volumenkräfte
Kugelschale, belastet
20
Kugel
der auftretenden Reihen
16.
13
38
durch radiale Einzelkräfte
eingespannte Halbkugelschale
....
39
41
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1.
Formulierung des Problems.
Der
Verschiebungsvektor q(x,y,z) in jedem Punkt eines Be¬
homogenen, isotropen Mediums ist in der linearen
Elastizitätstheorie bekanntlich1) eine Lösung des Gleichungs¬
reiches 8 eines
systems
^"e
+
1_2u
Dabei ist jx die Poissonzahl,
graddiv^+-^
v
=
der Vektor der
°
(1)
•
spezifischen
Raum-
kraft, 0 der Schubmodul.
An der Oberfläche 0
von
8 sind entweder die
Verschiebungen
q0
(erste Randwertaufgabe) oder die spezifischen Oberflächenkräfte k0
gegeben (zweite Randwertaufgabe). Bei der dritten Randwertauf¬
gabe kennt man auf einem Teil von 0 die Verschiebungen und auf
dem Rest die spezifischen Oberflächenkräfte. Mit der äußeren Nor¬
malen
»
von
0 berechnet sich
Die anderen beiden
z.
B.
kx zu1)
Komponenten folgen
durch
zyklisches
Vertau¬
schen.
In dieser Arbeit wird die
durchgeführt,
*)
Zum
Integration
von
(1) für
die
Kugelschale
ohne daß die sonst in der Schalentheorie üblichen
Beispiel
Handbuch der
Physik VI, Kapitel 2, Berlin 1928.
5
Voraussetzungen2) gemacht werden
müssen. Die Theorie
gilt daher
insbesondere auch für dicke Schalen.
Lösungsmethode. Bestehende Lösungen.
2.
Die hier entwickelte
Lösungsmethode verwendet zwei vollstän¬
gewissen Kugel (Radius h) orthogo¬
dige,
nale Systeme von Partikularlösungen.
Strenge Lösungen für die Kugel in Form bestimmter Integrale3)
oder als Reihenentwicklungen4) sind schon lange bekannt, beson¬
ders für die zweite Randwertaufgabe aber so umständlich, daß sie
auf der Oberfläche einer
2)
Sie lauten:
a) Die bei der Verformung der Schale eintretende Verschiebung eines belie¬
bigen Punktes sei durch die Verschiebung des zugehörigen Punktes der
Mittelfläche derart bestimmt, daß die Normalen zur Mitteliläche auch
nach der Verformung zur neuen Mittelfläche normal sind.
b) Die Spannungskomponente normal zur Mittelfläche sei überall so klein
im Vergleich zu den anderen, daß ihr Einfluß auf die Formänderungen ver¬
nachlässigt werden kann.
c) Die Verschiebungen sind klein gegen die Schalenstärke.
Siehe
z.
B.
Flügge, Statik
W.
und
Dynamik der Schalen, Berlin
1934.
W. Thomson, London Phil. Trans. 153
3) Lamé, J. de math. 19 (1854), p. 51.
C. W. Borchhardl, Berlin Monatsber. (1873), p. 9.
V. Cerutti,
(1863), p. 583.
Roma Acc. Line. Rend. (4) 7 (1891) p. 25.
C. Somigliana, Pisa Ann. sc. norm. 4
R. Marcolongo, Roma Acc. Line. Rend. (4) 52 (1889), p. 349.
(1887), p. 101.
R. Marcolongo, Roma Acc. Line. Rend. (5) l1 (1892), p. 335.
R. Marcolongo,
Ann. di mat. (2) 23 (1895), p. 111.
G. Lauricélla, Pisa Ann. sei. norm. 7 (1895),
G. Lauriceila, Ann. di mat. (3) 6 (1901), p. 289.
E. Almansi, Torino
p. 81.
E. Almansi, Ann. di mat. (3) 2 (1898), p. 34.
mem.
(2) 47 (1897), p. 103.
E. u. .F. Casserai, C. R. Paris 126 (1898), p. 1089.
E. u. F. Gosserat, C. R. Paris
133 (1901), p. 326.
J. H. Michell, Messenger of math. (2) 30 (1900), p. 16.
J. Hadamard, Ann. éc. norm. 18 (1901), p. 313.
O. Tedone, Ann. di mat. (3) 8
O. Tedone, Palermo cire. math. Rend. 17 (1903), p. 241.
(1902), p. 147.
V. Cerutti, Roma Acc. Line. Rend. (4) 21 (1886), p. 461, 586.
V. Cerutti, Roma
Acc. Line. Rend. (4) 52 (1889), p. 189.
V. Cerutti, Nuovo Cim. (3) 33 (1893),
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
p. 97,
4)
145, 202, 259.
G. H.
Darwin, London Phil. Trans. 170 (1879), p. 1. —G. H. Darwin, London
C. Chree, Quart. J. of math. 21 (1886), p. 193.
(1882), p. 187.
C. Chree, Quart. J. of math. 23 (1888), p. 11.
C. Chree, Cambr. Phil. Soc. Trans.
Phil. Trans. 173
—
—
—
14
S.
6
C. Somigliana, Lomb. 1st. Rend. (2) 29 (1896), p. 423.
(1889), p. 250.
Bergman, Math. Annalen 98 (1927), p. 248.
—
—
prinzipiell eine Lösung für die Kugelschale zulassen5),
praktische Berechnung aber kaum in Erage kommen6).
Zuerst wird die Integration des homogenen Systems
wohl
A~e+
l
—
2u
graddiv^
(la)
°
=
Eall auf diesen
allgemeine
behandelt und dann in Ziffer 15 der
für die
zu¬
rückgeführt.
System
3. Erstes
von
Partikularlösungen.
Darstellung wird mit Hilfe von quadratischen, dreireihigen
Matrizen vereinfacht (große lateinische Buchstaben). Die drei Ko¬
Die
lonnenvektoren der Matrix
Mn
sind für
(3)
n(n-l)(h2-r2)An + anEn
=
jedes reelle
komplexe
oder
Grundgleichungen (la).
Lösungen der homogenen
n
Dabei sind x,y,z cartesische Koordinaten,
r2
x2
=
+ y2 + z2
beliebige (positive) Konstante, u ein Parameter,
imaginäre Einheit und 0 die Funktion
und h2 eine
|/—
1
die
&
Ferner bedeutet
x-i-cosu -\-
=
die
An
Abkürzung
cos2
0n~2
sin
—
*)
O. Tedone, Ann. di mat.
Rend. 17
i
•
cos u
cos u
sin2«
«-cos«
—
(4)
.
für
sin u
u
z
—
—
—
i sin u
—
•
cos u
i-sin«
—
•
(2) 10 (1904), p. 40.
i
(5)
1
O. Tedone, Palermo O'rc. mat.
(1903), p. 241.
') 8. Bergman,
Math. IV
y-i-sinu -\-
i
(1946),
Duke Math. J. 6
p. 233.
—
S.
(1940),
p. 537.
—
Bergman, Quart, appl.
S.
Bergman, Quart, appl.
Math. V
(1947), p. 69.
7
Jeder Kolonnenvektor in
(5) ist eine Lösung der homogenen Grund
gleichungen (la).
En ist die Matrix
~1
En
=
0n
0
0
0
10
0
0
(6)
Die Konstante
an
ist für die
zahliges
[Für
praktisch
n
=
2
[2/i(2»
—
auftretenden Werte
3n
a„
=
—
3ra
von
+ 2]
fi
(0 <fi <^) und
ganz-
Null verschieden.
von
/*
ist
1)
2
—
2(2»—1)
0.
n(n
—
l)(h2
r2)An
—
wird dann eine
Partikularlösung, die auf der Oberfläche der Kugel
h keine Verschiebungen hervorruft und für posi¬
tives, ganzzahliges n im Innern dieser Kugel keine Singularität auf¬
weist. Die erste Randwertaufgabe ist also mindestens für diese
Werte von fi bei der Kugel nicht mehr eindeutig.]
Beliebige partikuläre Lösungen folgen aus (3) durch Multiplika¬
tion mit einer integrablen Funktion f(u) und Integration nach u
Radius
vom
r
=
über ein endliches Intervall,
jedes
dieser
z.
erhaltenen
B.
von
—
m
bis +
n.
Es muß aber für
Integrale
speziell gezeigt werden,
stetig differenzierbar ist und (la) erfüllt.
Sei n eine ganze, positive Zahl (Null wird zu den ganzen, positiven
Zahlen gerechnet). Das System (3) läßt sich ausmultiplizieren und
gemäß
daß
es
so
zweimal
Mn
=
XMl (x, y, z)
m=0
nach
8
noch
cos(mu)
•
cos
{mu) + Z jf» {x, y, z)
•
sin
(mu)
(7)
m=l
resp.
sin(m«) ordnen,
wobei
m
alle ganzen Zahlen
zwischen 0 und
hält
man
n
durchläuft. Mit Hilfe der Fourierschen
j Mn-cos (mu) du
=
er¬
7T
77
nM
Regel
(7)
aus
JM
nM=
•
n
sin.
(mu) du
.
(8)
-TT
-TT
Für Jf° ist der Koeffizient
n
durch 2n
zu
ersetzen. Damit sind für
jedes positive, ganzzahlige n insgesamt 6ra + 3 (wie in Ziffer 5 ge¬
zeigt wird, linear unabhängige) partikuläre Lösungen gefunden,
die für die erste Randwertaufgabe benützt werden (für negative n
siehe Ziffer 7).
Zweites
4.
System
von
Partikularlösungen.
Die drei Kolonnenvektoren der Matrix
Nn
(Ä» +
=
cn
r*)An + dnB*
C + e„
CBn + bnEn
(9)
0
jedes reelle oder komplexe ra mit Ausnahme von ra
1
Lösungen der homogenen Grundgleichungen (la).
Dabei ist B* die transponierte (an der Hauptdiagonale gespiegelte)
Matrix von Bn. Die vier Konstanten
sind für
und
ra
=
=
C
=
dn=
-^rij-[2A»(2n-l)-(n+l)(n-2)]
ra(ra-l)*
2
»
werden für
und 0 <n
Matrizen
ra
<
^
=
(ra
—
1)
0 und
ist
d„ ^
ra
(11)
fr(2n-l) + n«-n+l]
(12)
[2(i{2n— l)_n + 2]
(13)
1 unendlich groß. Für ganzzahliges ra
i?n und C sind die Abkürzungen für die
=
0.
i
Bn
0n-
=
i
•
cos u
i sin
u
1
•
cos u
i sin
u
1
i-m±u
1
•
•
i-cosu
-4 „ ist in Ziffer 3 erklärt. Für
iV„ Polynome
Für
6x
=
n
1
=
Grade
vom
lauten 6 im
bis
fx
Als Ersatz für die für
=
in x, y und
Qv
=
hy + hz
y
0
0
0
z
n
(14)
sind
ilZ"„
und
Qz
=
feZ
(15)
/8 sind beliebig.
n
—
ausfallenden
0
3
(*«-»*) 75-.-
=
0
2.
Lösungen
Koordinatenursprung singulären,
Partikularlösungen
e.
0
positives, ganzzahliges
die drei im
lären
0
Koordinatenursprung reguläre Lösungen
fi* + fzV + f3z
Die Konstanten
n
C
X
—
nehmen wir
im Unendlichen regu¬
ft2
4^
3r3
(16)
<?*
Die beiden anderen
Die
folgen
durch
=
(ft2
-
zyklisches
r2)
a;z
Vertauschen.
Nn gehörenden spezifischen Oberflächenkräfte k auf der
Radius r um den Ursprung werden für n > 2 aus (2)
•erhalten als entsprechende Kolonnenvektoren der Matrix Ln, wobei
Kugel
zu
vom
rLn
=
~2G~
(n-2)(h?-r*)An-(n-l)dnEn
(17)
ist.
[Die Partikularlösung (9)
für
positives, ganzzahliges
w2
i"
besitzt nach
=
+
Die
> 2
und
1
2n
h
Kugel vom Radius r
spezifischen Oberflächenkräfte, ist aber im
zweite Randwertaufgabe wird also für min¬
von
(i bei der Kugel nicht mehr eindeutig.]
keine
destens diese Werte
10
n
—
auf der Oberfläche der
(17)
0
d„
Innern regulär.
wegen
—
l
n
=
Aus
(15) ergibt
sich für
n
l^L
=
2(f1 + g)x + f2y+f3z
^
=
hx + hy + 2(h + g)z
=
1
^-
=
ftx +
2
(/4 + g)
y +
ftz
(18)
Zu
g=
1JÜ2
ifi + h + h).
(16) gehören die spezifischen Oberflächenkräfte
^ _6(ft*-r>)£ + ^ + (l-2^
=
(19)
^. _6(Ä2_r2)^ ^. _6(Ä2_r2)^.
=
=
Analog
wie in Ziffer 3 wird für
positives, ganzzahliges
TT
nN{x,y,z)=
JiV„•
n
> 2
TT
cos(mu)du
nL(x,y,z)
-IT
=
$Ln-coa(mu)du
(20)
—IT
usw.
jedes ganzzahlige n > 2 insgesamt 6n -j- 3 und
wenigstens 6 (gemäß Ziffer 5 linear unabhängige) Lösun¬
gefunden, die bei der zweiten Randwertaufgabe verwendet
Damit sind für
für
gen
n
=
1
werden sollen.
Weil hier die äußeren Kräfte infolge der sechs Gleichgewichts¬
bedingungen nicht beliebig vorgegeben werden können, benötigt
man zur Lösung der zweiten Randwertaufgabe sechs Partikular¬
lösungen weniger als bei vorgegebenen (beliebigen, stetigen) Ver¬
schiebungen auf der Oberfläche. Es sind dies die drei noch fehlenden,
im Nullpunkt regulären Partikularlösungen für n
0 und n
1.
=
=
Unabhängigkeit sämtlicher Vektoren
jedes Systems für positive, ganzzahlige n.
5. Lineare
a) Aus der Definition
Kolonnenvektoren in
von
jeder
E%
und
E% geht hervor,
daß die drei
dieser Matrizen unter Bich linear
un¬
abhängig sind.
11
Die höchste Potenz
von z
gerade, E% eine ungerade
positive, ganzzahlige n so
in -E und
linear
2C
E% und Ë
in
Funktion
von
definierten
6n
ist zn-. Da
E%
eine
ist, sind die für jedes
y
-+- 3
Kolonnenvektoren
unabhängig.
b) Weil M% für r -> A nach (3) in anE übergeht, sind die für
jedes positive, ganzzahlige n durch (3) definierten Partikularlösun¬
gen von (la) linear unabhängig. Dasselbe gilt bei n > 2 für L in
(17). Aus (18) und (19) folgt die Gültigkeit der Behauptung direkt
auch für
n
0
=
und
n
=
1.
c) Bestände zwischen den 6n + 3 Kolonnenvektoren a^n) der
N„ vom Grade « im System (9) eine Beziehung der Form
Matrix
6n + 3
2cft(M)o4n)
ohne daß daraus
so
folgen
würde
wird durch Differenzieren,
von
a[n)
o
,
ck(h,u)=0
wenn
für
aknl, af^, af}
k=l, 2,.. .6«+3,
die
Komponenten
sind
ga(»)
e»+3
nx
usw.,
=
ohne daß alle
2ç,M)-j7
ck(h,u)
=
0
verschwinden.
Im Ausdruck
n>*H(^)+i£+-T^w!ist mindestens ein cfc
linear
aus
den
(h, u)
von
Null verschieden.
x-Komponenten der
schen Oberflächenkräfte
zu
den
kx
setzt sich daher
0$ gehörenden spezifi¬
zusammen.
Da in (17) für n > 2 sämtliche Kolonnenvektoren nach b) linear
unabhängig sind, folgt die lineare Unabhängigkeit der Kolonnen¬
0 und n
1 geht dies aus
vektoren in (9) für n > 2. Für n
und
hervor.
direkt
(15)
(16)
=
12
=
6. Eine
Grundgleichungssystems
des
allgemeine Lösung
(la)T).
Sei
(x0,y0,zQ)
ein
in dem ein
Punkt,
mehrdeutigen) Lösung q(x,y,z)
regulär8) ist. Mit
oder
der
y=y0+Y
x=x0 + X
(ein-
Grundgleichungen (la)
z
=
+ Z
z0
gewissen Bereich absolut
läßt sich q in eine in einem
einer
gewisser Zweig
(21)
und
gleich¬
mäßig konvergente Reihe9)
t=S
%„„,.** r-z-
2
entwickeln. Jeder der konstanten Vektoren
Zahlenfaktor der
n.
Das Bestehen der
i
a
(Bqv Bgz\
1-2// dX \dY^ dZJ
32e*
&Q*
dY2
dZ2
d*Qv
32e«
Fe*
l
a
dX2
dY2
dZ2
1—2 p
dY
l
a
erlaubt,
aus
d2Qz
Fe*
(dQx
_
_
dX2
8Yn* dZ"3.
Differentialgleichungen (la)
2(1-ft) d2Qx
l—2ft BX2
&Qz_
ist bis auf einen
«"in2„
dn~^/dXni
Differentialquotient
(22)
dZ2
dY2
8e"-i- dQz\
i
l—2fidZ\dX'rdY^'dZ)
jedem Differentialquotienten
dm~%jdXmi
dYm*
dZm*, in
welchem nach der Variablen X mehr als einmal differenziert wird,
die höheren als ersten
Ableitungen
sind alle Koeffizienten der Glieder
lung von q lineare Kombinationen
ponenten der Vektoren
')
Siehe auch E.T. A.
matical
physics,
der
zu
Grade
6n
vertreiben. Daher
n
in der Entwick¬
+ 3 willkürlichen Kom¬
Whittaker, On the partial differential equations of mathe¬
Math. Ann. 57 (1902), p. 333.
8) „Kegulär" heißt: stetig
•)
nach X
vom
Handbuch der
mit
stetigen Ableitungen
bis
zur
zweiten
Ordnung.
Physik VT, p. 122.
13
a00n' a01n-l>
Jedes Glied
Grade
vom
•
n
•
a0«0> K10n-1'
•>
läßt sich somit
•
aus
'
'
Äln-10
6n
•
+ 3 linear unab¬
hängigen Partikularlösungen vom selben Grad zusammensetzen.
Zwei Systeme von Partikularlösungen dieser Art sind für h
0
=
in Ziffer 3 und für
n
in Ziffer 4
> 2
Ist <xn ein Vektor, dessen
tionen
n.
tion der
Grades
von
6n + 3
angegeben.
Komponenten
eiu sind,
Vektoren
so
kann
vom
ganze rationale Funk¬
man
Grade
n
jede
z.
lineare Kombina¬
B. im
System (8)
schreiben als
jM„tndu.
—
(24)
31
Weil die Reihe (22)
Summation und
gleichmäßig konvergiert, darf
Integration vertauscht, also
1
=
beim Einsetzen
] 2 Mntn du
-TT
(25)
n=0
gesetzt werden. Da wir von einer ganz beliebigen Lösung ausgegan¬
gen sind, läßt sich jede Lösung von (la) so darstellen. Jede gleich¬
mäßig konvergente
(la).
7.
Reihe
von
der Form (25) ist eine
Lösung
von
Darstellung der Partikularlösungen
durch Legendrefunktionen.
Die in Ziffer 3 und 4 definierten Matrizen werden für Polar¬
koordinaten
x
=
r-sin#-cos q>
mit Hilfe
von
y
=
r-sin#-sin q>
Ferrers Definition der
z=r-cos&
(26)
zugeordneten Kugelfunk¬
tionen10) umgerechnet. Es ist
10)
E. T. Whittaker und O. N.
1927, p. 323 und 392.
14
Watson, A
course
of modern
analysis, Cambridge
TT
2nimn\ „„m,
Q^cos(ma>))
:[du=-.——ry^p^^os^)
;
,
.„.cos(m«)),
#n
.
;
.
'sin(mw))
Formel
<
m
und
n
n
und
—
1 <
cos
ê < + 1
ganzzahliges
außerdem11)
{"P-fcoatfi-
nK
'
und
m
n
mit
0 <
m
<
und », sofern
und daraus
n
und
cos
&
von
gilt
>0
f
(~1)'"n!
oos(mu)du
&
m)\J
2n(n
(cos + i sin &. cos «)n+1
—
'
•
folgt
r^n-, j cos (m«) j ^ =^j»-^
( sin (m w) j
Da die
m
ist. Für andere Werte
wird sie in dieser Arbeit nicht verwendet.
Für
./
(27
.
'(sinç^m))
(27) gilt sicher für positive, ganzzahlige
m
0 <
(n+m)\
Ableitung
xmn ! rn+1
des
in beiden Variablen
Integranden
und
für
"
x
—
'
1 <
( cos (mç,) j
| sin (mçj) j
cos
(28)
& < + 1
eine
Funktion ist und das
stetige
Integral in (28) im Riemannschen Sinne existiert, ist Differentiation
unter dem Integralzeichen erlaubt. Erfüllt also eine Linearkombi¬
nation der linken Seite von (28) die Grundgleichungen (la), so ist
auch die rechte für cos#>0 sicher eine Lösung. Weil nun aber
P£(cos •&) für 0 < m < » mit ganzzahligem m und n im Intervall
1 < cos & < + 1 keine Singularität aufweist, muß die rechte
u
cos#
—
Seite in diesem ganzen Bereich (la) genügen.
Für negatives n und 0 >
m > n -f- 1
ergeben sich
—
(3) und (9) je 6|«|
so
aus
Partikularlösungen, die für alle Punkte des
Raumes mit Ausnahme des Koordinatenursprunges die Grund¬
gleichungen (la) erfüllen. Beachtet man, daß E^^ und E% bis auf
einen nur von r abhängigen Faktor übereinstimmen, so läßt sich
wie in Ziffer 5 die lineare Unabhängigkeit dieser Partikularlösungen
—
3
beweisen.
u)
E. T. Whittaker und O. N.
Watson,
A
course
of modern
analysis, Cambridge
1927, p. 314 und 326.
15
Mit (27) und (28) lassen sich die durch (5), (6) und (14) definierten
Matrizen
An, Bn, E„
für
jedes ganzzahlige
n
auf
Legendrefunk-
tionen umrechnen. Da diese Ausdrücke für verschiedene Werte
m
und
n von
können, ist für jede Matrix
Setzt
im(n-2)\
2 (n + m)!
und bezeichnet mit
und q. Kolonne,
rn
z.
nur
eine Formel
angegeben.
man
Äm=
K
von
ganz ähnlicher Form sind und leicht bestimmt werden
=
FZ (COS *)
n
B. für
2
n
v
>
m
j
C0S
""-1
"'
paD
folgt
so
(n-ffl)li—•'
2im{n + 2)\
m
die
mit
Komponente von Z)
den Abkürzungen
^J
3Z
^"
'|sm
(m?>) J
> 2
mit Hilfe
von
=
P: («OS 0)
"
v
'
!
\
-n~1
in der p. Zeile
8in
—
^ !
cos
(mç>), )
(27)
(n+»n) (n+m-1) K.2-Ä2
,m-2
-(»+m) (n+m-1) (n+m-2) (w+m—3) $£2
12S!= -3£î"+(»+«) (n+m-1) (n+m-2) (n+m-3)p^i
12A1 1
nm
tf£
2
(n+m) K-t1~2 (n+m) {n+m-1) (n+m-2)
2
(n+m) (n+m-1) K_2+Ä+22
+(»+»») (n+m-1) (n+m-2) (n+m—2) pTl
2
(w+m) SS1+2 (^+m) (n+m-1) (n+m-2) £#
(29)
„D* j
=
«*D?|
23SI
=
23-^» )
33j^n
3»ön
Je
Wert
=
—
4
(n+m) (n+m—l)p2
nachdem, ob D% oder i> zu berechnen ist, wird in p der
oder sin(mç>) genommen, usw. Die noch fehlenden
cos (m 95)
Komponenten
16
.
erhält
man aus
der
Symmetrie
zur
Hauptdiagonale.
Für
n
>
m
> 1
hat
^B%
fm(TC— l)!rn~1
(îi+m)!
im(w_l)!r»-l
12_n
(ji+m)!
12-°n 1
die Form
(-K-V+fa+m) (n+m-l)p^l)
(~Pn?-(n+m) (n+m-1) p^)
(30)
2i"»(n—ljlr"-1
Trml
13-Dn
-Pn-
(7i+m)!
Die restlichen
Komponenten folgen
aus
der Tatsache, daß in
B%
alle drei Zeilen übereinstimmen.
Für
n
>
m
> 0
wird
1
Em\
2 imn. ! rn
E\
(n + m)\
0^
0
&
(31)
1
0
Die Matrix G nimmt in Polarkoordinaten die Gestalt
sin §•
G
=
r
0
0
0
sin#-sinç>
0
0
0
cos
q>
cos
(32)
&
an.
Mit
(29), (30), (31) und (32) bekommt man
Partikularlösungen als lineare Verbindungen
aus
von
(8) und (20) die
Legendrefunk-
tionen.
8. Die erste
Der
Randwertaufgabe
für das Innere einer
Beweis, daß die in den Ziffern
8 bis 13
hergeleiteten
Kugel.
Formeln
wirklich die
verlangten Lösungen bei vorgegebenen Randwerten
sind, sowie die Voraussetzungen, die diese Randwerte erfüllen
müssen, damit eine Lösung in dieser Form überhaupt möglich ist,
werden in Ziffer 14 behandelt.
2
17
Nach Ziffer 6 und 7 läßt sich
ursprunges
als
reguläre Lösung
"e
=
jede
der
in der Nähe des Koordinaten¬
Grundgleichungen (la)
2'[iif0fl<50n + Z'W<5: + if^n)]
n=0
=
(33)
•
m=l
Auf der Oberfläche der
t>{K*,V)
darstellen
Kugel
vom
Radius
Ax geht (33)
Zan[E£k+2 (EZK + Effa)]
n=0
über in
->
Um die auftretenden Konstanten, nämlich die Vektoren
rfö
zu
(34)
.
m=l
->
<5°, ö%
und
bestimmen, wird Gleichung (34) nach Multiplikation mit
Kugelfläche integriert. Mit Hilfe der bekannten Orthogonalitätsrelationen für die zugeordneten Kugelfunktionen folgt
über die
F
Der Wert
von
<5° geht
aus
(35)
für
m
=
0
hervor. Damit sind die
Konstanten bestimmt. Wählen wir in (33) die Linie &, <p als neue
Polarachse, 0ls 9^ als neue Koordinaten der Geraden &',?', so wird
bekanntlich12)
P£(cos#)=P„(cos#)=Pn(l)=l
Mit
(29), (31), (35)
+
und
P£(cos#)=0
(36) folgt dann
aus
12)
18
(36)
(33)
^•n|o(2»+l)(-^-)yPn(a,)t0(Ä1,^,ç)')^,
*
E. T. Whittaker und O. N. Watson, A
1927, p. 394.
m^O.
course
•
(37)
of modern
analysis, Cambridge
Die zweite der
cos^
cos
=
Beziehungen
co
=
cos#-cos#' -f- sin & sin $'• cos (<p
(a>, + const.)
•
sin#'-sin (<p
—
—
<pr)
^
a>')
'
=
zwischen den alten und
sm^x
neuen
Koordinatensystems abhängig.
Koordinaten ist
Dies läßt sich
von
der Wahl des
vermeiden,
wenn man
(37) in der invarianten. Form
(37 a)
^J.(2"+I)(i)7p"(*'0)"1°<0)'ff
schreibt. Dabei ist R der
oberfläche. Mit
feste, Q der variable Punkt auf der Kugel¬
/ im Punkte Q
ist der Wert der Funktion
f(R,Q)
gemeint, bezogen auf ein räumliches Polarkoordinatensystem, des¬
sen z-Achse durch R geht. g(r, R) bezeichnet den Wert der Funk¬
tion g auf dem Strahl vom Koordinatenursprung 0 nach R im Ab¬
stand r von 0. Die Integrale sind Funktionen der Kugelfläche, un¬
abhängig von r.
Setzt man umgekehrt die Werte für die Konstanten aus (35)
direkt in (33) ein, so ergibt sich eine andere Form der Lösung. Aus
beiden läßt sich ein ähnliches Additionstheorem
herleiten, wie
es
für die
Legendreschen Polynome existiert13).
Der zweite Summand in (37) stellt für jede Komponente das aus
der Potentialtheorie bekannte Poissonsche Integral dar, der erste
verschwindet auf der Kugeloberfläche, sofern die betreffenden
Reihen für r
ht konvergieren.
(37) stimmt mit der bereits bekannten Lösungsformel für die
Kugel überein, wie aus Ziffer 14 hervorgeht.
-*
13
) E. T. Whittaker und 0. N. Watson, A
course
of modern
analysis, Cambridge
1927, p. 395.
19
9. Die erste
Die
vom
Randwertaufgabe
Überlegungen
Radius
von
für das Äußere einer
Ziffer 8 führen für das
h2 und negatives, ganzzahliges
n
Kugel.
Äußere der Kugel
zum
Ansatz
F
+
4^r2o (2» + i) (-f )
(39)
J Pn (R,Q)%{Q)
dF
.
F
Sämtliche Glieder der auftretenden Reihen sind im Unendlichen
regulär, im Ursprung singular. Der zweite Summand in (39) ist
jede Komponente das Poissonsche Integral für das Äußere
Kugel vom Radius h2.
10. Die erste
Randwertaufgabe
für die
für
der
Kugelschale.
Randwertaufgabe für den Raum zwischen
Kugeln mit den Radien hx und h2 läßt sich
durch Überlagerung gewinnen. Sie besteht für jedes positive, ganz¬
h2
zahlige n aus zwei Summanden. Der erste verschwindet für r
und nimmt für r
\ die dort vorgeschriebenen Randwerte an.
Beim zweiten sind \ und h2 vertauscht.
Da im System (3) die Konstante ~h% beliebig (also auch Null) ge¬
wählt werden darf, besteht jede der dort angegebenen Partikular¬
lösungen aus zwei Teillösungen der Grundgleichungen (la). Daraus
folgt, daß auch jeder Summand in (37) und (39) aus je zwei Lösun¬
gen besteht. Weil die Grundgleichungen (la) gegenüber Drehungen
des Koordinatensystems invariant sind, erfüllen auch
Die
Lösung der
ersten
den zwei konzentrischen
=
=
r*D°n+2(R,Q)
r-"->Dl+1(R,Q)
und damit
r«JDl+2{R,Q)X(Q)dF
F
20
r—^ D\+1{R ,Q)\{Q)dF
F
(40)
die
Grundgleichungen (la),
Integralzeichen diffe¬
jeden
jedes positive,
sechs Partikularlösungen zur Verfügung.
sofern unter dem
Summanden und
renziert werden darf. Für
ganzzahlige
Mit den
n
stehen
so
Abkürzungen
!D°n+i(R,Q)'e0(Q)dF
=
A2tn+2(e, h)
F
=^X(e.*).
lPn{R,QYe0{Q)dF
(«)
F
der variable Punkt
wenn
dius h
liegt, ergibt
Q auf der Oberfläche der Kugel
die Linearkombination dieser sechs
vom
Ra¬
Lösungen den
Ausdruck
oo
Q(r,B)
=
^ [s„"t_„+1(e,A1)-f-sn E_„+1(ç,h2)+t„'%n+2{Q,h1)+tn s„+2(Q,h2)]
n=0
M2\n+1 hln+1—r2n+1
]
-*
Die Werte für die Konstanten sind
«„
=
W
4«of,(A1I»+1-Aλ+1)(^-1-Ar-1)
(2n+1)AJ+1Ar21(»-2-^)(Är+3-^2n+3) + (&1-Ä2)(fe22n+3-r2"+3)]
/
j
A2\n+3
ina_n_x (Af+a-A*"+a) (Äj"+1-Ä?+1)
s„
undl„ gehen
vor.
r
=
aus sn resp. t„ durch Vertauschen von
Alle diese vier Konstanten verschwinden für
h2 her¬
ht und
mit
=
(42) stellen für jede Komponente die
der Potentialtheorie bekannte
chung
14)
r
h2.
Die zweite und dritte Zeile in
aus
ht
Lösung der Laplaceschen Glei¬
Kugeln dar14).
für den Raum zwischen zwei konzentrischen
Ph. Frank und E.
Mechanik und
v. Mises, Die Differential- und Integralgleichungen
Physik, Leipzig und Berlin 1925, 1927, I, p. 763.
der
21
11. Die zweite
Bandwertaufgabe
Nach Ziffer 6 und 7 läßt sich
der
reguläre Lösung
ursprunges
darstellen als
1 (r, ê, <p)
=
jede
für das Innere einer
in der Nähe des Koordinaten¬
homogenen Grundgleichungen (la)
[n{ô°„ + r {NZ~Ô% + Nfij»)]
S
Kugel.
.
(44)
m=l
n=2
Dazu kommen noch Glieder 0. und 1.
Ordnung. Sieht man von
Verschiebung der Kugel ab und beachtet
außerdem noch die sechs Gleichgewichtsbedingungen für die Ober¬
flächenkräfte, so fallen die Glieder nullter Ordnung in (44) weg
und es treten zusätzlich noch die in (15) angegebenen Glieder erster
Ordnung hinzu, die mit geeigneter Wahl der sechs Konstanten
f!,..., ft leicht auf die Form
einer starren
und
Drehung
gi
Qx
—
ß 1i
f* g3
—
=
on
,
v
*
+ QiV + ?sz
y
+ g6z
.
2(1+/i)
—
/* gl
+ 22
—
f* gs
2(1+/i)
—
i" gl
Q*
gebracht
—
i« Ï2
(45)
+ ?3
2(1+0)
werden können. Die
zu
(45) gehörenden spezifischen Ober(18) mit
flächenkräfte berechnen sich nach
rkx
-q-
=
q1x + qiy + q5z
=
qiX + q2y + q6z
=
q6x + qty + q3z
rkv
G
(46)
rk
Q
22
.
Setzt
man
3
=
U
«Î
=
V
so
"&
ff.
=
!
(47)
ff«
\ff».
W
haben diese Vektoren die Werte
ff
"%
Aus
=
-.
/tu
47r Cr
=
rtj
4jtQj*
/ *o(Äi»^,»C,')sin^/-cosw/dJ"
,/
fXih^â',?')Binö'-sin<p'dF'
(47) und (48) folgen
neun
(48)
Bestimmungsgleichungen für die
Beziehungen
Konstanten q1,..., qt, zwischen denen aber noch drei
der Form
4"^*»
ft
=
fjs^sin^'-sin<p'dF'
=
fk0v-smâ'-cas<p'dF'
(49)
bestehen. Diese sagen aus, daß die drei Komponenten des statischen
Momentes der Oberflächenkräfte in bezug auf den Koordinaten¬
ursprung verschwinden.
Die Koeffizienten der Glieder
werden mit Hilfe
von
mindestens zweiter
Ordnung
(17) und (31) bestimmt. Auf der Oberfläche
der Kugel vom Radius Ji^ gibt die Lösung (44), wenn man die schon
betrachteten Glieder der ersten Ordnung wegläßt, nach (17) die
von
Oberflächenkräfte
^-Tc0(h1,û,<p)=~2Z:(n-l)dn[Ffô°n+Z{K'KJrK'k)]
w
n=2
•
(50)
m=l
23
Multiplizieren wir (50) mit p (#, 95) und integrieren über die
Kugeloberfläche, so wird mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen
für die zugeordneten Kugelfunktionen
87iimn\(n—l)h?+1Gd„ ft»)
-»•
/
,
,
Der Wert
,
,
ô„ geht
von
aus
Konstanten bestimmt.
(51) für
Analog
m
=
G
folgt
als
Lösung
(i)'
^,_2n+l_/r\»r->
1
4m2—1
"
3«,r
F
87i(l+[z)h\
-(l +
a3 ist der
hervor. Damit sind die
0
wie in Ziffer 8
/
r
e.H.
]
\n->
/ [fiJc0xPl(^)coa(Pi + ^KvPl(o>)^9'i
2f*)cak0.]dF'+-^~ß1{k,h1)
Einheitsvektor in der
z-Richtung.
Die noch nicht erklärten
Größen bedeuten
Äa1„(fc)= /
J
0
0
P*(a>) cos <pi
0
0
PI(co)
0
0
sin 9^
»P.(»)
F
r-
**y«(Ä)=
/
J
24
0
0
0
0
0
0
Pl( w)cos 9>i
Pl(co)sin(p1 nPn(a>)_
t0(h,&',<p')dF',
(53)
~k0{h,&',<p')dF'
.
Die
zugehörigen spezifischen Oberflächenkräfte auf der Kugel vom
Radius r ergeben sich aus (17) mit der Koordinatentransformation
von
Ziffer 8
zu
*(r,#,ç>)_
4nf2
1
Bei der
f
r
\
/M*.*i)
2(2»+i)(-^J
der zweiten
(54)
n+1 -*
•
für das Äußere einer
Randwertaufgabe
Lösung
£-«+i(*A)
\hi)
dnn(n_i)*
«>
4^»=i
12. Die zweite
£
Randwertaufgabe für
Kugel.
das Äußere der
h2 ist zu beachten, daß die äußere Normale nun
gerichtet ist. Die sechs Gleichgewichtsbedingungen für
die spezifischen Oberflächenkräfte lassen sich immer durch das An¬
bringen von Zusatzkräften im Unendlichen erfüllen, ohne daß diese
Zusatzkräfte im Endlichen Spannungen oder Verschiebungen her¬
Kugel
vom
Radius
nach innen
vorrufen würden. Die Oberflächenkräfte
daher ganz
beliebig vorgegeben
Ziffer 11 führen
am
inneren Rand dürfen
werden. Die
-g-tfr
1
l){n +
(2n+l)(2n + 3) /M"*1-»
»
/^\"+ir-t
(2n+D
»
Da
n
=
—
1
e-n-l
*»*(*.*»)(kh)
2)*d_n_1r*\r)
8Blà(fH-2)(n+l)\r/
+
von
/Mw+1t
W+«W)(g»+i)
* «,)— y
hQlr>»,<P)£08n{n +
1
Überlegungen
Ansatz
zum
->
.,
.
L
,.
,.
(55)
,..
"^ ^
j
^z:y-"-i(Ä2)j-
und
n.
=
—
sind, laufen die Summen
2
keine Ausnahmewerte im
von
n
=
0
bis
n
=
System (9)
oo.
25
Die
zugehörigen spezifischen Oberflächenkräfte auf der Kugel
r lauten nach (2)
Radius
vom
(2n+l)(n + 3)3)
T2k(r'&'<p) ~I^L£0(n + l){n +
=
1
4ji
13. Die zweite
/h,\
°°
(h2\ n+l. 5n+2 (*,*.)
2)*d.
-„-i
l
r
)
»+i->
(66)
n=0
Randwertaufgabe
für die
Aus den Ziffern 11 und 12 läßt sieh die
Lösung
Kugelsehale.
der zweiten Rand¬
für den Raum zwischen den zwei konzentrischen Ku¬
wertaufgabe
geln mit den Radien hx und A2 analog wie in Ziffer 10 durch Über¬
lagerung gewinnen. Die Glieder nullter und erster Ordnung müssen
speziell betrachtet werden.
Für konstante Oberflächenkräfte (»
0) gehen wir von drei
Die
zwei
ersten
Partikularlösungen aus.
ergeben sich aus (16) und
die letzte ist in (9) enthalten. Die Verschiebungen
=
Qx_
Qz_
J-I
xz
z*
yz
1
i6.
xz
r3
2
(2
—
3
1+!*
26
«)
xz
yz
22
T*
r3
2(2
2(2-3^)
1+fi
yz
—
3«)
—
1
(57)'
l
3-4«
+
r
3
z2
—
—
2«
—
r2
rufen auf der Oberfläche der
Kugel
vom
Radius
r
die
spezifischen
Oberflächenkräfte gemäß
Kx
A/y
A
G
G
G
xz
a
6^
2
z2
yZ
6TT-
r6
^
(58)
•
xz
6^-
—
6
*2
6^
r
2
22
yZ
ß
-67T
6
r
—
—
2r
r
hervor. Wir bilden eine Linearkombination dieser drei
daß
ren
Lösungen so,
kz auf der Kugeloberfläche konstant wird und die beiden ande¬
Komponenten der spezifischen Oberflächenkraft verschwinden.
Sie lautet
xz
Qx
=
-
s0-^-
yz
Qv
=
-
s0-^-
qz
=
-
s0
—
+
tn
~
,
(59)
wobei
(60)
'.
=
^^[^-(Äi-Ä2)^-(3-^)(Äi-^)'-2-^(^-^)]
ist. Die
zugehörigen spezifischen Oberflächenkräfte werden
Rande der
Kugel
vom
Radius
r
auf dem
zu
27
k*
=
0u*—f
K
=
Gu0—
kz^Gu0— +
G^
.
(61)
Dabei ist
u0
=
6
p
verschwindet also für
t>,=
2["^
-
r
h\
=
-
^|- (hi
hx und
+ (l-2At)f+
r
=
h2.
-
A»)l
Für v0
(62)
,
folgt
(^-AÎ)^~^l
(63)
.
Hier ist die z-Koordinate
erzeugt zwei
ausgezeichnet. Zyklisches Vertauschen
analoge Lösungen für über die Oberfläche ver¬
Kräfte in der x- und «/-Richtung.
weitere
teilte konstante
Ôq der Vektor, gebildet
Lösungen, so wird
Sei
aus
den drei Koeffizienten dieser drei
ß0(h1,e',(P')dF'= 16tzQ(1
/*)~Sb
(64)
-/*{%
(65)
—
und
J~k0(h2,ê',<p')dF'
(64) und (65) sind
=
16tzG{1
wegen den drei
Komponentenbedingungen für die
verträglich., Damit sind die Glieder
nullter Ordnung bekannt. Es ist zu beachten, daß für hx -> oo
(Äußeres der Kugel vom Radius h2) (59) in den Verschiebungsvektor
(16) übergeht, und zugleich die Komponentenbedingungen für die
Oberflächenkräfte hinfällig werden.
äußeren Kräfte miteinander
Ist
am
äußeren Schalenrand
z
kx
=
ky
=
0, kz
=
p-r-,
am
inne-
"i
ren
kx
=
die sechs
28
kv
=
kz
=
0,
so
betrachten wir für diesen Fall
Partikularlösungen
(n
=
1)
Qx_
1±
ÈL
X
xz&
y
r5
r7
r5
x
xz*
„
y
,
y&
3z
z3
r'
r5
r
y*'
2/ixr2+{7
10/x)xz2
—
_(l_4,,)-J--3-£-
r*
r3
—(7-6ia)zf2+(7—10/^z3
2jaj/r2+(7 —10/*) yz2
X
2/
z
~r»
r3
T3"
X
2/
-2a
—
z
—/*y
(IX
Durch Einsetzen in
Kugel
fcx
vom
Radius
r
ICy
~Q
X
8-7-+
r6
(66)
(2) folgt für die zugehörigen spezifischen Ober¬
flächenkräfte auf der
-
.
0
xz2
40—
«z2
y
7^
%
r8
x
-4(1+^) —+ 24
-2[ixr+2{l+5n)
ex
xz2
—
-4(1+^+24^
WZ2
-2^+2(7+5/*)^
éy
-8(1+^+24 |J-2(7+3//)zr+2(7+5i«)^r
4z
r4
2x
2y_
4z
r
r
r
0
0.
2(l+p)y
.
29
(67)
Setzt
20aq
man
15(hl-hl)hlhlp
12(7+5ia)(Äj-^)2+5(7+5//)(l+y«)(Ä^)(AI-Äp-30(7+2i«)(Ä^)2ÄjÄ|
sich durch Linearkombination
ergibt
so
kx
=
G-qx(d1 + d2zi)
kz
=
G-qz(d3 + d2z*)
1cy
=
A
(67)
aus
0-qy(d1 + dzzi)
(69)
.
Die ersten beiden der Konstanten
2
d,=
(7+5/*)
(hl-hl){hthl (h\-h\)-r*(h\-h\)}
5
2
(hl-hl) (hl-hl)
U(hl-hl)
5 (hl-hl) r
r«
fi{hlhl (hl-hl) + (hl-hl) r8}
(hl-hl) r*
2 (7+5 /*)
-
d2
\
•
I
"
{A2 Ä2 (^-^)-r2(^-^)
/-/ VI '"2 V'"l
"2/
'
VI
+
"2/
I
r>
'
(A2-A2)}"21}
V'"l
,-«.
=
,12
(70)
12^8
1\
6(7+5/*)A2A2(hl-hl) ( 1
(^)
5(A2-A2)r
+
2(7+3/*)
iffit!Ä^
(7+5/*){6(A6,-A6.)2-5(l+/*) (A^A3,) (*î-^)}-30/t &ÎM (*Î-*S*
15(Ä2-Ä2)(ÄJ-Äl)r
verschwinden für
und für
Die
r
=
=
ht und
Ai geht d3
in
r
P
~
,
=
A2.
Für
über, wie
r
=
man
h2
ist
d3
=
0
leicht feststellt.
zugehörigen Verschiebungen betragen
Qx
&
30
r
U3 Aî)
=
tf^K + d& zi)
=ï«(d. + d5«1)
Sv
.
=
qy(dt+ d6 z2)
(71)
'
wobei
4
^
(7+5j*)(ftî-AS){*î*î(ftî-AÎ)-2f*(*î-ft;)}
20(^-Aj)(^-^)f»
12 A»
7
^
(A« -Af.) r3
(l-/i) (hl-hl)
/i(7+5Ai)(^-^){3^-2^-*î}
5(1+^(^A|)(A.3-Al)fc|
+
(hl
2
2
(A3 -A3) r3 \
l+/t
(ih?
'2
s
/nin
v
(7+3^)^-^+2^
5(l+fi)(hl~hl)
1+p
(7+5/0 {(hl-tyhlhj-r* (K-hl)}
"»'+7-10,1
^''"""^"»7/
(72)
4(A»-A»)r'
/Zd*~
(7 + 5i")("l "2)
t 0*2*6/13
_
2Q(h\-h%(h\-h%h\A
,
*
A
l
X3^2)
Oft8/ft»2(l
(hl-hl)h32r*
4?^
rtA'A3
1+/
"A5
x
*2
Un(h\-h\)
5(l+/i)(A?-Ä3)
{l+Zp) (hl-hl) {{2-Ziî)h\-2rz}
12
hS\l*
2)
'
7+3^
/*A3(A2-A°)(t3| 2r» |
(7~Mr
+^+7,P2
2^-^r3 P2+T+7r
2
ist. Vertauscht
,
hx mit A2, so ergibt sich die am inneren
z-Richtung proportional zu z belastete
Schale. Durch zyklisches Vertauschen folgen zwei weitere Lösun¬
gen, bei denen die anderen beiden Richtungen und Komponenten
ausgezeichnet sind.
Um die anderen Lösungen, z. B. die Verschiebungen bei der Be¬
lastung durch eine Kraft in der a;-Richtung proportional zu y und
in der «/-Richtung proportional zu x zu erhalten, betrachten wir
man
überall
Rand mit Kräften in der
die
folgenden
fünf
partikulären Lösungen
der
homogenen
Grund¬
gleichungen (la)
31
A5ïi
2,l
j?£
y
Qv_
*?y
5
r5
x
-T-6
y
xy*
r5
r7
-(3-4/,)* -S
Qz_
x2y
/
xyz
,
r7
r'
a;«2
x
3
a»3
a
"
-3
^5
o
-(7-4/0-^-+(7-10/0 *»y
-(7-4/*)
2
+(7-10/i)«y»
(7
—
10fi)xyz
0
2/
0
a;
r3
0
A»3
Die
zugehörigen Oberflächenkräfte
ergeben sich nach (2) mit
auf der
Kugel
fCy
A
G
G
ö
x2y
x
xy2
»6
Ä-8
y
y
J
+24
x2y
-(7+2/,)yr+2(7+5/0
/
f
x
-4(2-/1)^+24
a;
r
r
y
xy%
*
r
xyz
40
-5-
24
-fr
r8
r6
a;«z
-(7+2/j)a;r+2(7+5/*)
JL
rl
32
Radius
K
-8re+40 /
4(1-2/,)
vom
(73)
.
—
*
2(7+5/*)
0
X
-7T
0
.
(74)
multiplikativen Konstanten
Die
werden
so
bestimmt, daß
dieser fünf
^,..., e5
äußeren Schalenrand
am
Lösungen
kx
=
tx
y
-7-,
"1
x
i,= t3T-! &«
kz
0
=
gilt.
=
0
und
am
inneren
Dazu müssen die sechs
20-|-+
e
-
=
—
h~jr>
x
kv=—ti
12-p" +(7
8
-^ + 4(1 2ju)^-
8
-^ + 4(1 2^-g-
-
-
-
+
(7 +
-a +
5fx)hle3
2fi) hl
e3 + e4 +
2ß)hte3
-|f- -^
/
=
*
+
ei+-^r
=
2^)»«6, +
e4—^- -|-
-8-^--4(2-^) -|--(7
+
2/«)^e3
e4--|---|
ik
-
Gleichung (76) besagt
ist.
miteinander
k) K
nichts
=
(h
+
=
verträglich,
-
(75)
-£
+
nur
,
=0
-8-|--4(2-/,) -^--(7
erfüllt sein. Sie sind
—
Gleichungen
12-J-+(7+ 5^)^63
20-jrf+
-
&x
y
wenn
h) K
(76)
anderes, als daß die z-Komponente
des resultierenden Momentes der äußeren Kräfte verschwinden
muß. Sei
'
(7+5ju){12{hl~hl)i-5{l+^){h^-hl){hl-hl)}-30(7+2^){hl-hl)iI^hi
so
K
folgt
=
3
Ge3y{p1 + pixi)
kv=Oe3x{p3 + p2y2)
kz=Oe3p2xyz
.
(78)
33
Die Größen p1, p2 und p3 haben die Werte
5v)hlhl(hl-hl)
5(hl-hl) r«
(l+A»)(7 + 5/*)(AÎ-»î)
2(l +
Pi
=
21(hl-h\)
ft
=
Pa
=
(*i
-{l + 2[i)r~
5{hl-ht)r
2(7 + 5 fi)
Hhl-hl)r*
{h{ hi (hi
h\)
-
(h{
-
—
'3) hi
2Ge3ri
hi)
-
r*
+
(79)
(hi
-
hi) r'}
(hl-h\)r*
(h-t3)hl
Pi-
Ge3r*
p2 verschwindet für
r
=
und
hx
r
=
h2.
Ferner ist
h
Pi
r=ht
Ge3ht
Pi
Pz
r^h,Ge3h2
t^Gtzh
wie man leicht nachrechnet. Damit sind die
Die
Qx
,=Ä2#e3A2
Randbedingungen erfüllt.
(78) gehörenden Verschiebungen
zu
=
Ps
esy(P4 + PsX2)
Qv
e3x(p6 + psy^
=
Q!S
=
e3psxyz
(80)
enthalten die Konstanten
2V
(l + 5n)hlhl(h\-h\)
(l-2fi)(7 + 5fi)(hl-hl)
,
20(A*-7i2!)rs
21
\2(hl-h\)r*
(hl-hl)
r2
~~2
2V
Pf-
(7 + 5p) {(h\
h\) hl hl
-
2\^7
Hhl-h\)r
(hl
hhx —12h\
6Ge3r»
Ge3(hl-h\)
-
h\) r*}
+ 7-10,«
(l + 5fi)hlh\(h\-hl)
(l-2n)n + 5fjL)(hl-h\)
2Q(hl-h\)r*
\2(hl-hl)f>
(v-^)34
-
(h ~h)hx
(h-h)hl
Q Geo Is
(81)
Durch zyklisches
Lösungen, in denen
Es ist leicht
folgt.
zu
ergeben
sich noch zwei weitere
die anderen Koordinaten
verifizieren, daß eine davon
ausgezeichnet sind.
aus
den beiden anderen
Randwertaufgabe
Kugelschale für
die Komponenten der spezifischen Oberflächen¬
Damit ist die zweite
den Fall
kraft
Vertauschen
gelöst, daß
proportional zu
x,
y oder
der
z
sind.
Ordnung werden aus den in
angegebenen Lösungen durch Überlagerung
ist
Dabei
zu
beachten, daß nach (9) und (17) jeder der
gewonnen.
dort angegebenen Summanden aus zwei Partikularlösungen be¬
steht, und mit (9), (17) und (40) noch zwei weitere Partikular¬
lösungen gewonnen werden können. Analog wie in Ziffer 10 läßt
sich das allgemeine Glied vom Grade n > 2 durch eine Linear¬
kombination dieser sechs Lösungen darstellen. Man erhält
Die Glieder
von
mindestens zweiter
den Ziffern 11 und 12
GQ(r,&,<p)=2
n=2
+ m„
L
Cen+2(W+0,Xn+i(&A)+Z„
l„(^)+-TL"7n(^i)
a»
|1_„_1(Ä1)+-^y_B_1(A1) j +oX&, h)\
f„"e„+2(£, h) +0„~e-n+i{hh)+ln £„(h) +T-~Y«(*i)
+£
n=2
L
I
a»
+mT^n.AK)+^^^.n.1(h2)\+ÖMk,h2)\
wobei die auftretenden Konstanten
(2n+ l)Ä?+2Af+1
folgende
,
(82)
Werte haben
\-{ht+c_n_1ri)(h21n+3-hln+3)+(hl-hl) (h?+3+ ^ r2*-"»))]
87t(n+l)(»+2)2 d_„_i (h\n+3-hln+3){hln+1-hln+1)
(2n + 1)
I
r"*>
Ä?+21 (/£+c„ r2) (Äf^-Af-V^M^-^W
87rn(«-l)2dn(^B+1-Ä22n+1)(Ä21n-1-^"-i)rn+i
35
(2n + l)J%+2rn
87in(n-l){h\n+1-hln+1)
(2n + 1) hl+i h?+>
m"
(2n + l)hï+2
v
0
{
8n(n + 2)(n+l)(h2n+1-h2n+1)rn+1
i/l
[271-1
—
"
8w(^"+1-Af+1)r"+1Ln(»-l)
2îi
+
r2n+l _|
|
3
'
^1
12n+l
,.
(n + 2)(» + l)
a
J'
gestrichenen Größen gehen aus den ungestrichenen durch Ver¬
tauschen von Tnx mit h2 hervor.
Die zugehörigen spezifischen Oberflächenkräfte auf der Kugel
Die
vom
Eadius
r
lauten
°°
"*"
->
->
"*"
k(r,#,<p)=2 [unsn+2{k,h1) + vne_n+1(k,h1) + wnßn{k,h1)]
n=2
—
E
\ü„en+i(k,h2)+vne_n+1(k,h2) + wnßn(k,h2)]
,
n=2
wobei
U"
(2ra+l)(w+3)^+2Af+1[(^"+3-^"+3)(r2-^)-(?-2"+3-Af+3)(^-fel)]
~
4jr (n+1)
(n+ 2)* d_n_x {h2n+s-h2n+3) {h\n+1-hf+1)
(2n+1) (n-2) ft?+2
Vfl=
4;r
1
n
[(ff-r') {h^-Jif-1) r»—i-(A»-fl»)(tf»-1-r»''-i) #*-*]
(n-1)2 eZ„ (Ä2n+1-^n+1) (M*"1-*?""1) **+"
/A1\»+1r,B+1-AÎ"+1
Die nach außen
gerichtete Normale ist dabei positiv gerechnet.
von ht mit h2 bekommt man die überstrichenen
Durch Vertauschen
Größen.
36
rn+*
14.
Die
Vollständigkeit der beiden Lösungssysteme.
Konvergenz der auftretenden Reihen.
beiden
in
Partikularlösungssysteme
Kugel, das erste in den
das
zweite
in
den
Verschiebungen,
spezifischen Oberflächenkräften,
mit dem zur Lösung der ersten Randwertaufgabe der Potential¬
theorie verwendeten System von Partikularlösungen tiberein15). Da
dieses bekanntlich vollständig ist, bleibt nur noch zu zeigen, daß
die Reihen der auf der Kugeloberfläche verschwindenden Summan¬
den konvergieren. Der Beweis wird hier nur skizziert und nicht
exakt durchgeführt.
Sämtliche Partikularlösungen des ersten Systems sind von der
dieser
verwendeten
Arbeit
stimmen auf der Oberfläche einer
Form
Qv=n+{r*-W)^ Q,=<P3+(r2-W)^
S^Vi+^-h*)—
wobei die Potentialfunktionen ç^, ç?2, <p3 und ip
gleichungen (la) durch die Beziehung
dq>x
w
\
8ft-6j
d<p2
^
dx
dy
d<p3
^
1—2/j,
_
2
(
|
d<px
dx
"*"
8<p2
dy
+
1
—
(86)
der Grund¬
2«
dz
verknüpft sind16). Partialintegration
V
infolge
,
liefert daraus
8<p3
dz
T
!•
dx dr
dy
dr
dz dr
dr
.
(88)
Sind also ç^, q>2, <p3 mindestens zweimal stetig differenzierbar, so
es auch y>. Damit läßt sich die Konvergenz der auftretenden
ist
Reihen beweisen.
") Siehe Fußnote
l«)
14.
Handbuch der Physik VI, p. 102.
—
8.
Bergmann, Math. Ann.
98
(1927), p.
253.
37
15. Volumenkräfte.
Treten
spezifische
Volumenkräfte auf,
der Vektor
chungssystem (1)
v
verschwindet im Glei¬
so
nicht. Ist eine
partikuläre Lösung
inhomogenen Systems (1) bekannt, so wird sie im allgemeinen
auf der Schale spezifische Oberflächenkräfte hervorrufen. Diese
können mit Hilfe der allgemeinen Lösung des homogenen Systems
derart ergänzt werden, daß die gestellten Randbedingungen erfüllt
sind. Eine solche partikuläre Lösung in Form eines bestimmten
Raumintegrals ist bei sehr allgemeinen Volumenkräften bereits be¬
kannt17). Falls jede Komponente des spezifischen Raumkraftvek¬
tors eine in eine Taylorreihe entwickelbare Funktion des Radius
allein ist, lassen sich einfachere Partikularlösungen finden. Im hier
behandelten Fall ist die z-Komponente ausgezeichnet.
des
Ist
00
vx
=
vv
=
0
vz
,
=
G S anrn
(89)
n=0
die
Taylorreihe
der
z-Komponente der spezifischen Raumkraft,
so
ist
xz
e*~
2(1-/1)
anrn
»
Ji
yz
(n+3)(n+5)
1
"
die
Qv
-
(n+3)(n+5)
wobei als
9+2n
Pn
—
n
konvergieren,
folgt
")
38
Handbuch der
gliedweise
Physik VI,
Abkürzung
2
(90) absolut und gleichmäßig
(1)
Differentiation erlaubt, und mit
p. 117.
(90)
2p(n+ 5)
+
verwendet wird. Da die Summen in
ist
anrn
2(1-/0 „ti (n+3)(n+6)
an(z*+pnr*)rn
2(1-ft) „fo
gesuchte Partikularlösung,
»
~
^+T^i*ve+£^n
=
<91>
0-
zugehörigen spezifischen Oberflächenkräfte
Die
SGxz
an r"-1
"
*"_
_
"~
1-/1 „ti (rc+3)(ra+5)
Q
*"
-
l-^à
_30yz
^r""1
~
1-/* „fi (w+3)(n+5)
an{3z*+ [t+n-yjn+5)]r*}r"-i
(»+3)(n+5)
berechnen sich nach (2). Sie lassen sich im
allgemeinen
(92)
durch Li¬
nearkombination mit den drei in (57) angegebenen Partikular¬
lösungen nicht vollständig zum Verschwinden bringen. Dies rührt
davon her, daß sonst die
an
angreifenden äußeren Kräfte
Die Schale muß notwendigerweise
der Schale
Gleichgewicht wären.
irgendwo gelagert sein. Zusammen mit den in den nächsten zwei
Ziffern gegebenen Lösungen können solche Lagerungen realisiert
und damit die Probleme gelöst werden.
Allgemeinere spezifische Volumkraftverteilungen ergeben sich
nicht im
leicht durch Differentiation
Ableitungen
nach
von
(90) nach z,
so ergibt sich die Lösung für die durch radiale
resp. y,
Volumenkräfte belastete
x
16.
Eine
(90). Addiert man z. B. die ersten
und der zu (90) zyklisch vertauschten
aus
Kugelschale,
Lösung läßt
angriffspunkten die
Kugelschale.
belastet durch radiale Einzelkräfte.
sich immer
bekannte
so
finden, daß
man
Partikularlösung
in den Kraft¬
für die auf den
Halbraum wirkende Einzelkraft benützt18), und die damit auf der
Oberfläche der Schale entstehenden
")
S.
Timoshenko, Theory of Elasticity,
spezifischen Oberflächenkräfte
New York 1934, p. 328.
39
mit Hilfe der
allgemeinen Lösung der zweiten Randwertaufgabe für
Kugelschale wieder zum Verschwinden bringt.
Für eine dünne Schale läßt sich eine mathematisch einfache,
strenge Lösung so erhalten, daß man sich die Schale in den Kraft¬
angriffspunkten mit dünnen, radialen Bohrungen versehen denkt,
worin die spezifischen Oberflächenkräfte passend so angebracht
werden, daß sie eine resultierende Kraft in radialer Richtung er¬
geben. Infolge des Saint-Venantschen Prinzipes sind die Spannun¬
gen und Verschiebungen nicht zu nahe an den Kraftangriffspunkten
in beiden Fällen praktisch gleich groß.
Unter der Annahme, daß am Nordpol eine radiale Einzelkraft P
nach innen angreift, kann man von den Verschiebungen
die
SC
e*
=
a
1/
Qv
737
a
=
e.
-^—^
=
a
log (r -z)
(93)
ausgehen. Die Grundgleichungen (la) sind für alle Punkte außer¬
positiven z-Achse (z-Achse durch den Nordpol) erfüllt.
Die spezifischen Oberflächenkräfte
halb der
20a
kx
=
kv
=
kz
0
{
=
am
h
(94)
20a
am
ho
berechnen sich nach
—
4tt
hs)
Gleichgewichtsbedingungen
Daraus bestimmt
inneren Rand
(2).
20a(±n hx
sind die
äußeren Rand
man
—
P
=
(95)
0
für die äußeren Kräfte.
die Konstante
a
und die
endgültige Lösung
lautet
P-x
6"
q_/3/j,
_n/.
SnGQii-hàir-z)
P-y
„\
S"
SnQfa
-
^=8^ö(^-Ä2)log(r-2)40
h2){r
-
z)
(96)
Greifen
rechnet
gen
um
Kugelschale beliebige radiale Einzelkräfte an, so
(93) gegebene Lösung auf die einzelnen Richtun¬
und überlagert. Jede der Einzelkräfte P{ ruft nach (94) auf
an
einer
man
die in
der äußeren Schalenoberfläche entgegengesetzt
gleichgerichtete spezifische Oberflächenkräfte
AiTiQi-L
auf der-inneren
vom
Betrag
Pt
Pi
—
—,
A2) hx
reg
±7il)ix —h^hz
unabhängig vom Ort des Kraftangriffs¬
punktes sind, so verschwindet in jedem einzelnen Punkt die resul¬
tierende spezifische Oberflächenkraft, sofern nur die äußeren Kräfte
im Gleichgewicht sind. Zusammen mit der in der letzten Ziffer und
den drei in (57) angegebenen Partikularlösungen läßt sich so z. B.
die auf radialen Stützen gelagerte Kugelschale unter Eigengewicht
hervor. Weil diese Faktoren
behandeln.
17. Die
eingespannte Halbkugelschale.
eingespannten Halbkugelschale zu behan¬
deln, denken wir uns über die an der Einspannebene (Äquatorebene)
gespiegelte Halbkugelschale radiale Einzelkräfte von der in Ziffer 16
angegebenen Form verteilt. Geht die positive z-Achse durch den
Nordpol, so lauten die Verschiebungen im Punkte Q(x, y, z), wenn
Um das Problem der
im Punkte P mit den Polarkoordinaten r,
Einzelkraft
ms
ms
=
qz
=
Betrage KnGty^
—
Ja
-f-
a,
ß
eine radiale
h2)m angreift
m
sina-cos/3+—(a;-sin/3—2/-cos^)cos/S+m-coscfCos/3'logç
px=
ß„
vom
—
.
.„»*,.„
sina-sin/?——(avsinp—y-
ms
—
cosa—m-sina-logg
„>
cos
.
n
.«i
ß)smß-\-m- cos a-sinp -logg
(97)
41
vom
=
s
=
r
ß
re-cos ex-cos
—
x-sin
—
a-cos/3 + y-sin a-sin/3 +
r
=
z-sin
z-cos a
a
.
Kugel
sind nach (2)
2mG
K
ß +
Oberflächenkräfte auf der
zugehörigen spezifischen
Radius
y-cos a-sin
ky
r
r
rr
2mG
,
n
8
cos a- cos
—
=
cos a-sin
—
r
Die
q
ß
r
(98)
2mO
k,
sin
—
a
Halbkugelschale.
spezifischen Oberflächenkräfte
für die obere
Die
1
G
4m
,
kx
=
——
—
—-
1
—
.
sin a- cos
sin
4m
,
a
a-
cos
ß
[ce ( 1—cos2
.
a
•
cos2
ß)—y
•
cos2
a
•
sin ß
•
cos
ß]
.
&„=- —sina-cosa-Sin/9
2m
t*
sin
a
[ce- cos2 a-sin /?• cos /?—y (1—cos2 a-sin2 ß)]
Im
-jfc,
t
—
m
cos2
a
=
—
=
(ce2 + ?/2)y*
+
—
(ce
m
.
—
sin2
cos
a
+ —sm2a
/? -J-
y sin
/?)
cos
cos
a(ce-cos ß-\-y-sm. ß)
et
die die Äquatorebene auf die Schale ausübt, berechnen sich mit der
äußeren Normalen (0, 0, —1) nach (2).
Durch
tion über
Überlagerung
solcher radialer
Einzelkräfte, d. h. Integra¬
ß ergeben sich für die drei Größen qx qv qx resp.
drei Integralgleichungen in zwei Variabein. Mit dieser
a
und
,
,
kx, kv, kz
Lösung lassen sich also im allgemeinen weder alle drei Komponenten
des Verschiebungsvektors, noch diejenigen des spezifischen Ober42
flächenkraftvektors in der
auch kaum
zu
Einspannebene vorschreiben. Dies ist
erwarten, da bis heute meines Wissens dieses Problem
nicht einmal im einfachsten Fall des
eingespannten
Balkens
gelöst
ist.
Als
Beispiel wird
die
zur
z-Achse
symmetrisch belastete Kugel¬
schale betrachtet. Die radialen Einzelkräfte auf der unteren Halb¬
kugelschale
müssen ebenfalls
symmetrisch zur z-Achse angebracht
längs eines Parallelkreises gleich
großen Einzelkräfte in (97) (Integration nach ß von 0 bis 2ri) ergibt
werden. Die
Überlagerung
aller
qx= 2^m-sina
çs= 27im«sin
qz
=
2^m-sin
Additive Konstanten, die
weggelassen
worden. Es ist
x
r
-\-
r
+
z
y
a
(loo)
z
a-log (r -f- z)
nur vom
.
Parameter
a
abhängen,
sind
(93) leicht ersichtlich, und läßt sich
auch direkt verifizieren, daß die Integration nach dem Parameter ß
erlaubt ist und (100) die Grundgleichungen erfüllt.
aus
43
Lebenslauf.
Geboren
gemeinde
am
9. November
Ottenbach
1922
(Kt. Zürich)
in
meiner
als erster
Heimat¬
Sohn des
Walter Leutert und der Frieda, geb. Schneebeli, arbeitete
ich nach dem Besuch der Primarschule in Ottenbach und
der Sekundärschule im benachbarten Obfelden ein Jahr
auf dem väterlichen Bauernhof, entschloß mich aber dann,
das elterliche Heimwesen meinem Bruder
und trat im
Frühjahr
zu
überlassen
1938 in die erste Klasse der Kanto¬
nalen Oberrealschule in Zürich ein. Nach bestandener
Maturität studierte ich
Semestern
an
der
vom
Abteilung
Herbst 1942
matiker und assistiere seither
tet.
am
Diplom
Physik
als Mathe¬
Lehrstuhl für Mechanik
Sprache.
Den Herren Professoren
für die
während acht
für Mathematik und
der E.T.H., erwarb im Herbst 1946 das
in deutscher
an
Förderung
Herr Prof.
Ziegler
dieser Arbeit
Ziegler
zu
und Plancherel bin ich
großem
Dank
hat mir außerdem
verpflich¬
gestattet, sie
während meiner Assistentenzeit bei ihm auszuführen,
für ich ihm auch
an
dieser Stelle herzlich danke.
wo¬