Folien zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch

Folien zur Vorlesung
“Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse”
22.10.2015
Kapitel 4.2: Unabhängigkeit von Ereignissen:
Definition: Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A Ereignisse.
A und B sind unabhängig, falls gilt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Bemerkungen:
• Falls A und B unabhängig sind, so gilt
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
U nabh.
=
P(A) · P(B)
= P(A).
P(B)
D.h.: die Tatsache, ob B eintritt (oder nicht) beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von A nicht!
• Falls A und B unabhängig sind, so sind auch B und A unabhängig.
• Falls A ∩ B = ∅ und P(A) > 0 und P(B) > 0, so sind A und B nicht
unabhängig!
Beispiele:
1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Man betrachte folgende Ereignisse:
A = ”gerade Augenzahl”
1
P(A) = ,
2
−→
1
P(B) = .
3
−→
B = ”Augenzahl durch 3 teilbar”
Dann gilt:
P(A ∩ B) = P({6}) =
P(A) · P(B) =
1
6
1
1 1
· = = P(A ∩ B).
2 3
6
Somit sind A und B unabhängig! (Vgl. Skizze!)
2. Roulette
A = ”gerade Augenzahl > 0”
B = ”Zahlen 1,...,18”
−→
−→
P(B) =
P(A) =
18
.
37
Dann gilt:
P(A ∩ B) = P({2, 4, 6, . . . , 18}) =
P(A) · P(B) =
9
37
18 18
9
·
6
=
= P(A ∩ B).
37 37
37
Somit sind A und B nicht unabhängig!
18
,
37
Satz: Seien A und B unabhängige Ereignisse. Dann sind auch
1. A und B unabhängig,
2. A und B unabhängig,
3. A und B unabhängig.
Folgende Definition verallgemeinert den Begriff der Unabhängigkeit auf mehrere Ereignisse:
Definition: Seien A1 , . . . , An ⊆ Ω Ereignisse.
A1 , . . . , An ⊆ Ω heißen vollständig unabhängig, wenn für jedes m ∈
{2, 3, . . . , n} und jede Wahl 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n gilt:
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim ) = P(Ai1 ) · P(Ai2 ) · · · P(Aim ).
Beispiel: Roulette: es wird dreimal gespielt und jeweils auf Rot gesetzt.
Sei Ai das Ereignis, daß man beim i-te Spiel gewinnt (i = 1, 2, 3).
Übungsaufgabe: Man zeige, daß A1 , A2 , A3 unabhängig sind.
Achtung: Im Allgemeinen ist es möglich, daß P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai ) · P(Aj ) für
alle i 6= j ist, aber
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) 6= P(Ai1 ) · P(Ai2 ) · P(Ai3 ).
Siehe Beispiel 4 auf anderer Folie.
Kapitel 4.3: Zuverlässigkeit von Systemen:
Frage: Wie zuverlässig sind Systeme, wenn einzelne Komponenten mit gewissen Wahrscheinlichkeiten ausfallen?
(a) Serielle Systeme:
Serielle Schaltung mit n Komponenten:
K1
K2
K3
Kn
Das System fällt aus, wenn mindestens eine Komponente ausfällt. Jede Komponente fällt unabhängig von den anderen Komponenten aus. Die Komponente Ki bleibt mit der Wahrscheinlichkeit pi ∈ (0, 1) intakt und fällt mit
Wahrscheinlichkeit qi = 1 − pi aus. Sei Ri das Ereignis, daß die Komponente
Ki nicht ausfällt.
Wahrscheinlichkeit, daß das System nicht ausfällt:
P[R1 ∩ R2 ∩ · · · ∩ Rn ]
Unabh.
=
P[R1 ] · P[R2 ] · . . . · P[Rn ] = p1 · p2 · · · pn .
Die Wahrscheinlichkeit, daß das System ausfällt ist dann gegeben durch
1 − P[R1 ∩ R2 ∩ · · · ∩ Rn ] = 1 − p1 · p2 · · · pn .
(b) Parallele Systeme:
Parallele Schaltung mit n Komponenten:
K1
K2
Kn
Das System fällt aus, wenn alle Komponenten ausfallen. Jede Komponente fällt unabhängig von den anderen Komponenten aus. Die Komponente Ki
bleibt mit der Wahrscheinlichkeit pi ∈ (0, 1) intakt und fällt mit Wahrscheinlichkeit qi = 1 − pi aus. Sei Ri das Ereignis, daß die Komponente Ki nicht
ausfällt.
Wahrscheinlichkeit, daß das System ausfällt:
P[R1 ∩R2 ∩· · ·∩Rn ]
Unabh.
=
P[R1 ]·P[R2 ]·. . .·P[Rn ] = q1 ·q2 · · · qn = (1−p1 )·(1−p2 ) · · · (1−pn ).
Die Wahrscheinlichkeit, daß das System ausfällt nicht ist dann gegeben durch
1 − P[R1 ∩ R2 ∩ · · · ∩ Rn ] = 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 ) · · · (1 − pn ).